Một số khái niệm về giải tích không trơn

KHOA TOÁNNGUYỄN THỊ THÙY MỘT SỐ KHÁI NIỆM VỀ GIẢI TÍCH KHÔNG TRƠN KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Chuyên ngành: Giải tích Người hướng dẫn khoa học ThS... Khóa luận tốt nghiệp " Một số khái

NGUYỄN THỊ THÙY

MỘT SỐ KHÁI NIỆM

VỀ GIẢI TÍCH KHÔNG TRƠN

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC

Hà Nội – 2017

KHOA TOÁN

NGUYỄN THỊ THÙY

MỘT SỐ KHÁI NIỆM

VỀ GIẢI TÍCH KHÔNG TRƠN

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC

Chuyên ngành: Giải tích

Người hướng dẫn khoa học

ThS Bùi Ngọc Mười

Hà Nội – 2017

Trước hết cho tôi bày tỏ lòng cảm ơn sâu sắc đến thầy giáo Bùi NgọcMười đã tận tình hướng dẫn và giúp đỡ tôi trong suốt quá trình nghiêncứu đề tài.

Tôi xin chân thành cảm ơn các thầy cô giáo là giảng viên khoa ToánTrường Đại học Sư phạm Hà Nội 2 đã tận tình chỉ dạy, trang bị cho tôinhững kiến thức chuyên môn cần thiết trong quá trình học tập tại trường.Tôi cũng xin gửi lời cảm ơn tới gia đình, người thân, bạn bè đã độngviên khuyến khích tôi hoàn thành tốt đề tài nghiên cứu này

Trong quá trình nghiên cứu đề tài không tránh khỏi những sai sót Vìvậy tôi rất mong nhận được những ý kiến đóng góp của thầy cô và bạnđọc để bài viết của tôi được hoàn thiện hơn

Tôi xin chân thành cảm ơn!

Hà Nội, ngày 04 tháng 05 năm 2017

Sinh viên

Nguyễn Thị Thùy

Khóa luận tốt nghiệp " Một số khái niệm về giải tích không trơn "được hoàn thành do sự cố gắng, nỗ lực tìm hiểu, nghiên cứu của bản thâncùng với sự giúp đỡ hướng dẫn tận tình của thầy Bùi Ngọc Mười.

Tôi xin cam đoan khóa luận tốt nghiệp này không trùng lặp với kết quảcủa các tác giả khác

Hà Nội, ngày 04 tháng 05 năm 2017

Sinh viên

Nguyễn Thị Thùy

R Tập tất cả các số thực.

Rn Tập tất cả các vectơ có n chiều

B Hình cầu đóng có tâm tại x bán kính r = 1

co S Bao lồi của tập nón lồi S

dom f Miền hữu hiệu của f

epi f Trên đồ thị của f

int S Phần trong của S

ProjS(u) Phép chiếu của u trên S

∂convf (x) Dưới vi phân của f tại x

∂Cf (x) Gradient suy rộng của f tại x

1 Dưới vi phân 3

1.1 Một số khái niệm cơ bản 3

1.2 Từ đạo hàm đến dưới vi phân 5

1.2.1 Bài toán cực tiểu không ràng buộc 7

1.2.2 Bài toán cực tiểu ràng buộc 10

1.3 Dưới vi phân 11

1.3.1 Gradient suy rộng (dưới vi phân Clarke) 11

1.3.2 Các khái niệm khác của dưới vi phân 19

2 Nón tiếp tuyến và nón pháp tuyến 21 2.1 Nón tiếp tuyến 21

2.2 Nón pháp tuyến 24

2.2.1 Nón pháp tuyến Clarke 24

2.2.2 Nón pháp tuyến xấp xỉ 24

2.2.3 Nón pháp tuyến Fréchet 29 2.2.4 Nón pháp tuyến cơ sở (nón pháp tuyến Mordukhovich)

30

Giải tích không trơn nghiên cứu những hàm không nhất thiết khả

vi theo nghĩa thông thường Các cố gắng giảm nhẹ giả thiết về tính khả

vi liên tục của các hàm được bắt nguồn từ các nhu cầu trong kĩ thuậtsớm hơn trong toán học Thực tiễn đòi hỏi một lý thuyết tối ưu mà cácphương pháp của nó có khả năng áp dụng cho các bài toán thường gặp,

ở đó các điều kiện về tính khả vi nói chung là bị phá vỡ Giải tích khôngtrơn ra đời nhằm đáp ứng yêu cầu đó Tương tự thuật ngữ "phi tuyến"trong toán học có nghĩa là không nhất thiết tuyến tính, khái niệm "khôngtrơn" cũng ngụ ý rằng không nhất thiết khả vi liên tục Có thể xem giảthiết không trơn là sự mở rộng của giải tích lồi và giải tích cổ điển, bởi

vì khi áp dụng cho các hàm lồi hoặc khả vi ta luôn có được kết quả quenbiết Những công trình đầu tiên nghiên cứu một cách hệ thống các hàmkhông trơn (không lồi) thuộc về Clarke (xem [2]) Cho đến nay, lý thuyếtcủa Clarke được xem là hoàn chỉnh hơn cả Ngoài những công trình cơbản của Clarke, lý thuyết này còn nhận được sự đóng góp của một loạtcác nhà toán học khác: Rockafellar, Aubin, Lebourg, Ioffe, Hiriart-Urruty,Goldstein, Thibault, Hai lớp hàm quan trọng được xét ở đây là lớp hàmlồi và lớp hàm Lipschitz

Khóa luận gồm 2 chương

Chương 1 "Dưới vi phân"

Chương 2."Nón tiếp tuyến và nón pháp tuyến"

Tuy đã có nhiều cố gắng nhưng do thời gian và khả năng có hạn nêncác vấn đề trong khóa luận vẫn chưa được trình bày sâu sắc và không

định lí, hệ quả) được thừa nhận mà bỏ qua chứng minh Tôi rất mongnhận được sự góp ý của thầy cô và các bạn để bản khóa luận được hoànthiện hơn.

Tôi xin chân thành cảm ơn!

Dưới vi phân

1.1 Một số khái niệm cơ bản

Cho X là không gian vectơ tôpô thực hoặc không gian vectơ chuẩnthực hoặc không gian Banach với chuẩn k·k và H là không gian Hilbertthực Trong đó tích giữa các phần tử của H được kí hiệu bởi h·, ·i, kíhiệu tương tự cho tích giữa X và không gian đối ngẫu của nó X∗ (khônggian của các hàm tuyến tính liên tục xác định trên X) Hình cầu đóngtrong X hoặc H có tâm tại x bán kính r > 0 được kí hiệu là B(x, r).Cho x = 0 và r = 1 ta sẽ kí hiệu B thay cho B(0, 1) Kí hiệu B∗ là hìnhcầu đóng đơn vị trong X∗ tâm tại gốc tọa độ bán kính 1, kí hiệu N (x)

là tập tất cả các lân cận của x Cho tập S ta kí hiệu int S, cl S, bd S lầnlượt là phần trong, bao đóng và giới hạn của S

Định nghĩa 1.1 (xem [1]) Cho X là không gian vectơ thực

(i) Tập S được gọi là lồi nếu với mọi cặp phần tử (x, y) của S ta có

(iii) Bao đóng của co S được gọi là bao lồi đóng Kí hiệu: coS

Định nghĩa 1.2 (xem [1]) Cho f là một hàm giá trị thực mở rộng,

(i) f được gọi là hàm lồi trên tập lồi mở Ω ⊂ X nếu

f (αx + (1 − α)y) ≤ αf (x) + (1 − α)f (y) ∀x, y ∈ Ω , ∀α ∈ [0, 1] Khi Ω là không gian X ta nói f là hàm lồi

(ii) f được gọi là nửa liên tục dưới tại x ∈ dom f nếu

f (x) ≤ lim inf

x→x f (x)

Ta nói f là nửa liên tục dưới trên X nếu nó nửa liên tục dưới tạimọi điểm thuộc X

Trong phần này, ta bắt đầu với một số khái niệm cổ điển của viphân và chúng ta sẽ cố gắng tối ưu hóa các bài toán để giải thích sựphát triển của khái niệm vi phân từ đạo hàm Fréchet đến khái niệmgradient suy rộng

Cho X là không gian vectơ tôpô thực, f : X → R ∪ {+∞} là hàm giátrị thực mở rộng và x ∈ X

(i) Đạo hàm theo hướng của f tại x theo hướng v ∈ X được xác địnhlà

f0(x; v) = lim

δ↓0 δ−1[f (x + δv) − f (x)] (1.1)nếu giới hạn tồn tại

(ii) Ta nói f là khả vi Gâteaux tại x nếu tồn tại f0(x; v) với mọi v ∈ X

và f0(x; ·) là tuyến tính liên tục Khi đó tồn tại duy nhất một phần

tử fG0 (x) ∈ X∗ (gọi là đạo hàm Gâteaux) thỏa mãn

hfG0 (x), vi = f0(x; v), ∀v ∈ X (1.2)

(iii) Nếu sự hội tụ trong (1.1) là không đổi đối với v thuộc tập con bịchặn của X, ta nói f khả vi Fréchet tại x và ta viết f0(x) thay cho

fG0 (x)

Nhận xét 1.1 (xem [1])

(1) Hàm f có thể có đạo hàm theo hướng f0(x; v) tại x với mọi hướng

v ∈ X, nhưng không có đạo hàm Gâteaux fG0 (x) tại x Chẳng hạn,lấy X là một không gian Banach, f (x) = kxk và x = 0 Hàm f cóđạo hàm theo hướng f0(x; v) với mọi hướng v ∈ X và f0(x; v) = kvk.Trong khi đạo hàm Gâteaux của hàm f tại x lại không tồn tại, vìhàm v 7→ f0(x; v) = kvk không tuyến tính

(2) Khái niệm khả vi Fréchet và khả vi Gâteaux là không tương đươngtrong trường hợp vô hạn và hữu hạn chiều.Ta không chắc chắn kiểmtra được khả vi Fréchet tại một điểm nghĩa là nó liên tục tại điểm

đó, nó không như trường hợp khả vi Gâteaux Ví dụ: Hàm f ( có thểkhông liên tục) có thể có đạo hàm Gâteax fG0 tại một điểm khôngliên tục

(3) Nếu X là không gian vectơ định chuẩn và f là hàm Lipschitz địaphương, khi đó với mỗi điểm x ∈ X luôn tồn tại một lân cận V của

x và hằng số L > 0 sao cho

|f (x) − f (y)| ≤ L ky − xk ∀x, y ∈ V,thì hai khái niệm ở trên là tương đương

1.2.1 Bài toán cực tiểu không ràng buộc

Hầu hết trong các bài toán tối ưu, ta bắt đầu xét bài toán cực tiểunhư sau

đó, không mất tính tổng quát ta xét trường hợp S = X

Cho hàm f : X → R và x là một điểm trong X Ta xét bài toán cựctiểu không ràng buộc sau

Định lý 1.1 (xem [1]) Nếu f có cực tiểu địa phương tại x thì tồn tại

ε > 0 sao cho

hfG0 (x), x − xi ≥ 0 , ∀x ∈ x + εB (1.3)Chứng minh

Giả sử f có cực tiểu địa phương tại x, khi đó tồn tại α > 0 sao cho

f (x) ≤ f (x) , ∀x ∈ x + αB (1.4)

Chọn ε ∈ (0, α) và δ ∈



0, αε

, với mỗi x ∈ x + αB Ta có

x + δ(x − x) ∈ x + δεB ⊂ x + αB,thay vào (1.4) ta được

f (x + δ(x − x)) − f (x) ≥ 0,với mọi δ ∈



0,αε

Vậy định lí đã được chứng minh

Định nghĩa 1.4 (xem [1]) Cho f là một hàm liên tục lồi trên X và lấy

x ∈ X Ta định nghĩa dưới vi phân của f tại x như sau

∂convf (x) = {ζ ∈ X∗ : hζ, vi ≤ f0(x, v), ∀v ∈ X}

Chứng minh.

Do f là hàm lồi nên cực tiểu địa phương là cực tiểu toàn cục Do đó

x là một cực tiểu toàn cục của f ta có

f (x) ≤ f (x) ∀x ∈ X

⇔ 0 = h0, x − xi ≤ f (x) − f (x)

⇔ 0 ∈ ∂convf (x)

Vậy mệnh đề đã được chứng minh

Mệnh đề 1.2 (xem [1, Proposition 1.3, p 7]) Nếu f là một hàm liêntục lồi và khả vi Gâteaux tại x thì ∂convf (x) = {fG0 (x)}

Chứng minh

Lấy ζ là một phần tử của ∂convf (x).

Vậy ζ = fG0 (x) hay ∂convf (x) = {fG0 (x)}

Vậy mệnh đề đã được chứng minh

1.2.2 Bài toán cực tiểu ràng buộc

Ta xét bài toán cực tiểu ràng buộc sau

ở đó f là hàm liên tục lồi và S là một tập lồi đóng trong X

Ta định nghĩa nón tiếp xúc và nón pháp tuyến cho tập lồi đóng là

Tconv(S; x) = cl [R+(S − x)] = cl {λ(s − x) : λ ≥ 0, s ∈ S}

và Nconv(S; x) là nón cực âm của Tconv(S; x), nghĩa là

Nconv(S; x) = {ζ ∈ X∗ : hζ, vi ≥ 0, ∀v ∈ Tconv(S; x)}

1.3.1 Gradient suy rộng (dưới vi phân Clarke)

Ta thấy rằng hàm dưới vi phân liên tục lồi cũng được định nghĩathông qua đạo hàm theo hướng f0(x, ·) Tương tự như vậy, ta định nghĩagradient suy rộng bằng cách sử dụng một khái niệm mới của đạo hàmkhả vi Trong phần trước ta đã biết đạo hàm theo hướng f0(x, ·) mấthầu hết các đặc trưng của nó và nó không thích hợp để dùng xác địnhgradient suy rộng Khái niệm mới của đạo hàm theo hướng còn được gọi

là đạo hàm theo hướng suy rộng (xem [2]) và được định nghĩa như sau

f0(x; v) = lim sup

x→x t↓0

t−1[f (x + tv) − f (x)] (1.7)

Gradient suy rộng của f tại x được định nghĩa như sau

∂Cf (x) = {ζ ∈ X∗ : hζ, vi ≤ f0(x; v), ∀v ∈ X} (1.8)Mệnh đề 1.3 (xem [1, Proposition 1.5, p.11])

(1) Hàm v 7→ f0(x; v) là hữu hạn, thuần nhất dương, dưới cộng tính, vàthỏa mãn

f0(x; v) ≤ k kvk , ∀v ∈ X (1.9)

(2) Với mỗi α ∈ R ta có (αf )0(x; v) = αf0(x; v) và ∂C(αf )(x) =α∂Cf (x)

(3) Nếu f có cực tiểu hoặc cực đại địa phương tại x thì 0 ∈ ∂Cf (x).(4) Gradient suy rộng ∂Cf (x) là tập lồi khác rỗng, w∗-tập con compacttrong X∗ thì ∂Cf (x) ⊂ kB∗

(5) Nếu xn và ζn tương ứng là hai dãy trong X và X∗ sao cho ζn ∈

∂Cf (xn) và xn hội tụ mạnh đến x và ζn hội tụ yếu đến ζ, khi đó ta

có ζ ∈ ∂Cf (x)

(6) Định lí giá trị trung bình: Nếu f là Lipschitz địa phương trên mộtlân cận mở chứa đoạn [x, y], khi đó tồn tại z ∈ [x, y] và ξ ∈ ∂Cf (z)thỏa mãn

f (y) − f (x) = hξ, y − xi

(7) Quy tắc hàm hợp: Cho F : H → Rn là Lipschitz địa phương tại x

và cho g : Rn → R là Lipschitz địa phương tại F (x) Khi đó hàm

g ◦ F là Lipschitz địa phương tại x và

∂C(g ◦ F )(x) ⊂ co∂C(hξ, F (·)i)(x) : ξ ∈ ∂Cg(F (x)) Chứng minh.

(1) Do f Lipschitz địa phương tại x với hằng số k, cho nên tồn tại lâncận V của x sao cho với mọi x, y ∈ V thì

|f (x) − f (y)| ≤ kkx − yk

Từ đẳng thức trên ta có

|f0(x; v)| ≤ lim sup

x→x t↓0

f (x + tλv) − f (x)

t

= λ lim sup

x→x t↓0

Bây giờ ta kiểm tra tính dưới cộng tính.

f0(x; v + ω) = lim sup

x→x t↓0

f (x + tv + tω) − f (x)

t

≤ lim sup

x→x t↓0

f (x + tv + tω) − f (x + tv)

t

+ lim sup

x→x t↓0

f (x + tv) − f (x)

t

= f0(x; ω) + f0(x; v),bởi vì x + tv → x khi x → x và t ↓ 0

t−1[−f (x + tv) − (−f )(x)]

= lim sup

x0→x t↓0

t−1[f (x0 − tv) − f (x0)]

= f0(x; −v)

Với mỗi ζ ∈ ∂C(−f )(x), ∀v ∈ X ta có

f (x) ≥ f (x), ∀x ∈ x + εB.

Lấy v là một phương trong X và δ > 0 sao cho δ kvk ≤ ε Khi đó

từ bất đẳng thức trên với mỗi t ∈ (0, δ) ta được

t−1[f (x + tv) − f (x)] ≥ 0

Do đó f0(x; v) ≥ f−(x; v) ≥ 0 kết hợp định nghĩa gradient suy rộng

ta có 0 ∈ ∂Cf (x)

(4) Suy ra từ phần 1

(5) Cho xn là một dãy trong X và lấy ζn là một dãy trong X∗ sao cho

ζn ∈ ∂Cf (xn) và xn hội tụ mạnh đến x, ζn hội tụ yếu đến ζ Do đó,

(6) Cho g : [0, 1] → R là hàm được định nghĩa như sau

g(t) = f (x + t(y − x)) + t(f (x) − f (y)) , ∀t ∈ [0, 1] Trong đó f là Lipschitz địa phương trên lân cận mở chứa đoạn [x, y]

Ta kiểm tra được g là Lipschitz địa phương trên [0, 1] và thỏa mãng(0) = g(1) Do đó, từ định lí giá trị trung bình cổ điển tồn tại ítnhất một điểm t ∈ (0, 1), khi đó g đạt cực đại địa phương hoặc cựctiểu địa phương

Do đó, từ phần 3 của mệnh đề ta có 0 ∈ ∂Cg(t) và từ quy tắc tổngtrong phần 2 ta được

0 ∈ ∂Ch(t) + f (x) − f (y), nghĩa là f (y) − f (x) ∈ ∂Ch(t),trong đó h(t) = f (x + t(y − x))

Mặt khác, ta có thể xác định rằng mỗi phần tử ζ của ∂Ch(t) có thểđược viết dưới dạng ζ = hξ, y − xi với ξ ∈ ∂Cf (x + t(y − x))

Thật vậy, lấy ζ ∈ ∂Ch(t) thì

Đó là hai bất đẳng thức và tính lồi của Cf (x + t(y − x)), y − xtrong đó ζ ∈ Cf (x + t(y − x)), y − x Cuối cùng, ta được mộtphần tử z = x + t(y − x) ∈ [x, y] và một phần tử ξ ∈ ∂Cf (z) saocho

f (y) − f (x) = hξ, y − xi,điều phải chứng minh

(7) Đầu tiên, ta tính đạo hàm theo hướng suy rộng của f Cho xn → x

và tn ↓ 0 là dãy nhận giới hạn trên trong định nghĩa của f0(t; v),nghĩa là

f0(x, v) = lim

n→∞t−1[f (xn+ tnv) − f (xn)]

Từ định lí giá trị trung bình đã chứng minh trong phần 6, do đótồn tại một dãy zn trong khoảng (F (xn), F (xn + tnv)) từ tính lồicủa F (x) và ξn ∈ ∂Cg(zn) sao cho

g(F (xn + tnv)) − g(F (xn)) = hξn, F (xn+ tnv) − F (xn)i

Chú ý rằng dãy ξn bị chặn trong Rn và ta có thể trích ra một dãycon hội tụ đến giới hạn ξ Từ phần 5 của mệnh đề thì giới hạnphải nằm trong ∂Cg(F (x)) Ta áp dụng định lí giá trị trung bìnhvới hàm hξ, F (·)i trên đoạn [xn, xn + tnv] và ta được một dãy yntrong khoảng (xn, xn + tnv) là một dãy hội tụ đến x và một dãy

ζn ∈ ∂C[hξ, F (·)i] (yn) sao cho

hξ, F (xn+ tnv)i − hξ, F (xn)i = hζn, tnvi

Chú ý rằng dãy ζn bị chặn trong X∗ và ta có thể trích ra một dãycon hội tụ yếu đến ζ Từ phần 5 ta suy ra ζ ∈ ∂C[hξ, F (·)i] (x) Do

đó, ta có

tn−1[f (xn+ tnv) − f (xn)] = tn−1[g(F (xn+ tnv)) − g(F (xn))]

= tn−1[hξn, F (xn + tnv) − F (xn)i]

= tn−1[hξ − ξn, F (xn+ tnv) − F (xn)i]+ hζn, vi

Vậy tn−1[F (xn+ tnv) − F (xn)] là bị chặn vì F Lipschitz và ξn → ξ

ta có tn−1[hξ − ξn, F (xn+ tnv) − F (xn)i] → 0 khi n → ∞ và cho

n → ∞ trong bất đẳng thức cuối cùng ta được

f0(x; v) = hζ, vi

Lấy mỗi phần tử w ∈ ∂Cf (x) thì hw, vi ≤ f0(x; v) = hζ, vi ∀v ∈

X và w = ζ, trong đó ζ là giới hạn hội tụ yếu của dãy ζn ∈

∂C[hξ, F (·)i] (yn) với yn → x và ξ ∈ ∂Cg(F (x))

1.3.2 Các khái niệm khác của dưới vi phân

Một số khái niệm khác của dưới vi phân về hàm nón lồi đã đượcgiới thiệu trong gradient suy rộng Trong phần này ta sẽ nêu một sốđặc điểm về chúng Ta bắt đầu với dưới vi phân Dini đã được xác địnhtrong điều kiện của đạo hàm theo hướng dưới Dini f−(x; ) Nó đượcđịnh nghĩa như sau

∂−f (x) = {ζ ∈ X∗ : hζ, vi ≤ f−(x; v), ∀v ∈ X}

Các khái niệm khác của dưới vi phân ta nêu dưới đây được định nghĩatheo cách khác

• Dưới vi phân Fréchet của f tại x được kí hiệu là b∂f (x) (hoặc ∂Ff (x))

và xác định là tập của tất cả ζ ∈ X∗ sao cho với mỗi ε > 0 tồn tại δ > 0sao cho

hζ, x − xi ≤ f (x) − f (x) + σkx − xk2, ∀x ∈ x + δB

Nón tiếp tuyến và nón pháp tuyến

Chứng minh

Ta chứng minh có biểu thị duy nhất các đặc điểm theo dãy của

TC(S; x) Ta bắt đầu với phép nhúng

TC(S; x) ⊂v ∈ X : ∀tn ↓ 0, ∀xn →S x , ∃vn → v : xn+ tnvn ∈ S ∀n Lấy v ∈ TC(S; x) Do đó d0S(x; v) = 0, nghĩa là

lim sup

x→x t↓0

t−1[dS(x + tv) − dS(x)] = 0

Từ định nghĩa của giới hạn trên ta có

inf

V ∈N (x) δ>0

sup

x∈V 0<t<δ

kxn + tnv − ynk < dS(xn + tnv) + tn2 = 2tn2.Đặt vn = tn−1(yn− xn) thì

kv − vnk = tn−1kxn+ tnv − ynk < tn

2 → 0

Do đó để chứng minh điều này ta chứng minh phản chứng

Cho v là giới hạn của dãy vn, dãy này thỏa mãn xn + tnvn ∈ S ∀n.Cho dãy tn ↓ 0 và dãy xn →S x Ta biểu diễn điểm v thuộc TC(S; x).Cho tn ↓ 0 và xn → x (không nhất thiết nằm trong S) nhận giới hạntrên trong định nghĩa của d0S(x; v), nghĩa là

d0S(x; v) = lim

n t−1[dS(xn+ tnv) − dS(xn)]

Từ định nghĩa của inf, ∀n , ∃yn ∈ S thỏa mãn

kyn− xnk < dS(xn) + tn2.Điều đó tương đương với yn →S x và ta có yn+ tnvn ∈ S ∀n Do đó,

dS(xn + tnv) − dS(xn) = dS(yn+ tnv) + kyn− xnk − dS(xn)

= kyn− xnk − dS(xn)

< tn2.Vậy

tn−1[dS(xn+ tnv) − dS(xn)] < tn,cho n → ∞ ta được

d0S(x; v) ≤ 0

Bất đẳng thức ngược lại là luôn đúng ta kết luận rằng d0S(x, v) = 0

1.3.2 Các khái niệm khác vi phân

Một số khái niệm khác vi phân hàm nón lồi đượcgiới thiệu gradient suy rộng Trong phần ta nêu số? ?ặc điểm chúng Ta bắt đầu với vi... data-page="26">

∂−f (x) = {ζ ∈ X∗ : hζ, vi ≤ f−(x; v), ∀v ∈ X}

Các khái niệm khác vi phân ta nêu định nghĩatheo cách khác

• Dưới vi phân Fréchet f x kí hiệu b∂f... Cf (x + t(y − x)), y − xtrong ζ ∈ Cf (x + t(y − x)), y − x Cuối cùng, ta mộtphần tử z = x + t(y − x) ∈ [x, y] phần tử ξ ∈ ∂Cf (z) saocho

f (y) − f (x) =