Chuyên đề ôn thi THPT quốc gia môn toán lư sĩ pháp (tập 2)

Tính thể tích của khối tròn xoay tạo thành khi quay hình H quanh trục tung.. Tính thể V của khối tròn xoay tạo thành khi quay hình phẳng đó xung quanh trục hoành.. Tính thể tích của khối

TOÁN 12

CHUYÊN ĐỀ 4: NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN

CHUYÊN ĐỀ 6: PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHƠNG GIAN – HÌNH HỌC GIẢI TÍCH

Giáo Viên Trường THPT Tuy Phong

Quý đọc giả, quý thầy cô và các em học sinh thân mến!

Nhằm giúp các em học sinh có tài liệu tự học môn Toán, tôi biên soạn tập tài liệu ôn thi THPTQG của lớp 12

Nội dung của cuốn tài liệu bám sát chương trình chuẩn và chương trình nâng cao về môn Toán đã được Bộ Giáo dục

và Đào tạo quy định

NỘI DUNG

A Lí thuyết cần nắm

B Trắc nghiệm

C Đáp án

Cuốn tài liệu được xây dựng sẽ còn có những khiếm

khuyết Rất mong nhận được sự góp ý, đóng góp của quý đồng nghiệp và các em học sinh để lần sau cuốn bài tập hoàn chỉnh hơn

Mọi góp ý xin gọi về số 01655.334.679 – 0916 620 899

Email: lsp02071980@gmail.com

Chân thành cảm ơn

Lư Sĩ Pháp

GV_ Trường THPT Tuy Phong

LỜI NÓI ĐẦU

1 Định nghĩa: Cho hàm số f x ( ) xác định trên K Hàm số F x( ) được gọi là nguyên hàm của hàm số

f x ( ) trên K nếu F x'( )= f x( ) với mọi x∈K

d tancos t t= t+C

a Phương pháp biến đổi

 Nếu ∫ f u u( )d =F u( )+C và u u x= ( )là hàm số có đạo hàm liên tục thì

dv e x xd cos dx x hay sin d x x P x x( )d

Yêu cầu tìm nguyên hàm của một hàm số được hiểu là tìm nguyên hàm trên từng khoảng xác định của nó

1( )

A I = −ln cosx +C B I =ln cosx +C C I =ln sinx +C D I = −ln sinx +C

Câu 8: Tìm nguyên hàm ( )F x của hàm số ( )

1

x x

e

f x e

=+

A F x( ) ln= ( )e+ +1 C B ( ) ln( x 1)

F x = e + +C

A ( )F x = −cosx+tanx+ 2 1.− B ( )F x =sinx+cotx+ 2 1.−

C ( )F x = −cosx+tanx+ 2 D ( )F x =cosx−tanx+ 2 1.−

Câu 14: Tìm nguyên hàm F x ( ) của hàm số f x x

x

1( )= + biết

2

( ) 2

= + − C F x( )=x2 +ln x −1 D

2

( ) ln2

A

1

3( )d 3sin

x

x

=∫

A G=ln(sin )x − +x C B G=tan ln(sin )x x +C

C G=tan ln(sin )x x + +x C D G=tan ln(sin )x x − +x C

Câu 30: Tìm nguyên hàm ( )F x của hàm số f x( )=e 3 9x−

Câu 36: Hãy tính sinxcos d

I =∫e x x

A I =esinx +C B I =ecosx+C C I =esinx.cosx C+ D I = −esinx+C

Câu 37: Tìm nguyên hàm ( )F x của hàm số ( ) 2 1 2 .

sin cos

f x

x x

=

A ( )F x =tanx−cotx C+ B ( )F x =sinx+cosx C+

C ( )F x =tanx+cotx C+ D ( )F x =sin cosx x C+

x e

H = − x C+ B 1 4

sin 4

H = x C+ C 1 4

cos 4

H = x C+ D 1 4

cos 4

= có nguyên hàm F( )x là biểu thức nào sau đây, nếu biết đồ thị của hàm số

F( )x đi qua điểm ;0

Câu 46: Tìm nguyên hàm ( )F x của hàm số ( ) 7 2

Câu 50: Hãy tính I =∫x2sin d x x

A I = −cosx+2 sinx x+2cosx C+ B I =x2cosx+2 sinx x+2cosx C+

C I = −x2cosx+2 sinx x+2cosx C+ D I =cosx+2 sinx x+2cosx C+

Câu 51: Tìm nguyên hàm ( )F x của hàm số f x( )= xlnx

Câu 55: Tính cos sin d

A H =2 sinx−cosx C+ B H =2 sinx+cosx C+

C H =2 cosx−sinx C+ D H =2 sin2x C+

Câu 56: Một nguyên hàm của hàm số x

f x

x

2( )

I = x + +C B ( 2 )4

1

I = x + +C C 1( 2 )4

1 4

I = x + +C D 1( 2 )4

1 2

I = − x C+ C 1 3

sin 3

I = x C+ D 1 3

cos 3

I = x C+

Câu 68: Một nguyên hàm của hàm số

3 4

sin( )cos

f x x

x x

cos3cos

x x

f x x C

x x

cos3cos

f x x

x x

∫

Câu 69: Giá trị của K =∫xcos dx x là

A K =xsinx+cosx C+ B K =xsinx−cosx C+

C K =sinx+cosx C+ D K = −xsinx+cosx C+

Câu 71: Tìm nguyên hàm ( )F x của hàm số

x

x

=+

I = x C+ D 1 3

cos 3

A 0 B

2

π

C 1 2

Câu 82: Một nguyên hàm của hàm số f x( )= x là

Câu 89: Hãy tính K =∫cos x xd

A K =2 xcos x+2sin x C+ B K = xsin x+cos x C+

C K =2 xsin x+cos x C+ D K =2 xsin x +2cos x C+

ln ln(ln )

x J

Câu 92: Tìm nguyên hàm ( )F x của hàm số f x( )=x2cosx

A F x( )=x2sinx+2 cosx x−2sinx−2 C B ( )F x =sinx+2 cosx x−2sinx−2 C

C F x( )=x2cosx+2 sinx x−2sinx−2 C D ( )F x =xsinx+2 cosx x−2sinx−2 C

Câu 93: Nguyên hàm của hàm số f x( ) cos= 2 x là

Câu 96: Tìm nguyên hàm ( )F x của hàm số f x( )=xsinx

A ( )F x =xcosx+sinx C+ B ( )F x = −xsinx+cosx C+

C ( )F x = −xcosx+sinx C+ D ( )F x = −xcosx−sinx C+

1( ) ln

Câu 111: Hãy tính Q=∫ ( )1−x cos d x x

A Q= −( )1 x cosx−sinx C+ B Q= −( )1 x sinx+cosx C+

C Q=xsinx−cosx C+ D Q= −( )1 x sinx−cosx C+

Câu 112: Một nguyên hàm của hàm số f x( ) cos= 4 x là

Câu 117: Hãy tính F=∫3 cos(2 )d x2 x x

A F=2 cos2x x−sin2x+2 cos2x2 x C+ B 1(2 cos2 sin 2 2 sin 22 ) .

Câu 120: Cho ∫( 2+ −x−sin 2 + )d = 3+ −x+ cos2 + +

x e x m x ax be c x mx C Tìm tham số thực m sao cho

III Phương pháp tính tích phân

1 Phương pháp đổi biến số

I = −

C

2 2.2

e

I = −

D

2 1.4

A

1 1

C =π −

Câu 14: Biết 2

1

3log

F=e D

3 2

3 ln1

2 1d

I =∫ x x − x và u=x2−1 Chọn khẳng định sai trong các khẳng định sau ?

A

3 3

1 6 ln

x dx b x

125ln 4 1

ln2

1ln

1ln

e

I = + B

2

12

Câu 37: Cho biết

3 2 0

31

x

dx a

x =+

1cos 3 1 tan3

4sin 2 2 1 sin cos

ln

2 ln

e

xdx H

Câu 55: Tính A x x dx

1 2 0

π

2

e F

π

+

=

Câu 64: Tính B x x dx

1

3 4 0

23

I = ∫dt C

10 3

23

x x

=∫

A P= +2 ln 2 B P=ln 2 C P=2 D P=2 ln 2

Câu 72: Hãy tính

2 1

1sin cos

2 0

11

1

11

Câu 80: Cho

1 0

cos cos

π π

= − +∫

0 0

sin cos

π π

Câu 86: Tính B x xdx

4 0cos2

π

+

212

e N

Câu 89: Cho E (x x dx)

4 2 1

31

2 0

11

+

C 3

2 D

12

Câu 97: Biết ( )

( )

2 1

3 0

1

41

x

dx x

+

=+

Câu 99: Hãy tính F xdx

2 0

sin ln(sin ) cos

π π

= − −∫ B E=1 ln2 12( + )

C

3 3 0 0

cos ln(cos ) sin

π π

= − +∫ D E cos ln(cos )x x 03 cosx03

ln 1ln

3

2

E= e B

5 2

23

E= e C

2 5

32

E= e D

5 2

25

Câu 109: Biết

2 3 2

Câu 110: Tính

2

4 0

a x

2

x dx a x

tancos2

2 9d 3

§3 ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN TRONG HÌNH HỌC

A KIẾN THỨC CẦN NẮM

1 Diện tích hình phẳng

Nếu hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị của hàm số f x ( ), liên tục trên đoạn   a b ;  , trục hoành và hai

đường thẳng x = a x , = bthì diện tích S của nó được tính theo công thức:

Giới hạn vật thể V bởi hai mặt phẳng song song, vuông góc với trục hoành, cắt trục hoành tại hai điểm có

hoành độ x = a x , = bvà S x ( )là diện tích thiết diện của V vuông góc với Ox tại x ∈   a b ;   Thể tích của

V được cho bởi công thức: = ∫b ( )d

a

V S x x (S x ( )là hàm số không âm, liên tục trên đoạn   a b ;  )

3 Thể tích khối tròn xoay

Cho hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hàm số f x ( ), liên tục trên đoạn   a b ;  , trục hoành và hai đường

thẳng x = a x , = bquay quanh trục Ox, ta được khối tròn xoay Thể tích của khối tròn xoay này được cho

= , trục hoành và hai đường thẳng x=1,x=2

Câu 4: Cho hình (H) giới hạn bởi các đường x= 5 ,y x2 =0,y= −1 và y=1 Tính thể tích của khối tròn

xoay tạo thành khi quay hình (H) quanh trục tung

Câu 5: Cho hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y=lnx, trục hoành, hai đường thẳng x=1 và x=2

Tính thể V của khối tròn xoay tạo thành khi quay hình phẳng đó xung quanh trục hoành

A V =2 ln 2 2 ln 2 1π ( 2 + + ) B V =2 ln 2 2 ln 2 1π ( 2 − + )

C V =2 ln 2 2 ln 2π ( 2 − ) D V =π (ln 2 2 ln 2 12 − + )

Câu 6: Cho hình (H) giới hạn bởi các đường y=0,x=4 và y= x −1 Tính thể tích của khối tròn xoay

tạo thành khi quay hình (H) quanh trục hoành

Câu 7: Cho hình phẳng (H) giới hạn bởi đồ thị hai hàm số y=x2 và y= −6 x Thể tích V của khối tròn

xoay tạo được khi quay hình (H) xung quanh trục tung là

R

Câu 9: Tính thể tích của khối tròn xoay tạo thành khi quay quanh trục hoành mỗi hình phẳng giới hạn các

đường sin cos , 0, 0,

Câu 12: Tính thể tích của khối tròn xoay tạo thành khi quay quanh trục hoành mỗi hình phẳng giới hạn

bởi đồ thị hàm số y=e x, trục hoành và hai đường thẳng x=0,x=3

Câu 13: Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đường cong y2 =4 ,ax a>0 và đường thẳng x a= bằng ka2

Câu 17: Cho hình (H) giới hạn bởi các đường y=xe y2x, =0,x=0 và x=1 Tính thể tích của khối tròn

xoay tạo thành khi quay hình (H) quanh trục hoành

A V =2π −e B V =πe−2 C V =π(e−2) D V =2eπ

Câu 18: Tính thể tích của vật thể nằm giữa hai mặt phẳng x= −1 và x=1, biết rằng thiết diện của vật thể

bị cắt bởi mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại điểm có hoành độ x ( 1− ≤ ≤x 1) là một hình vuông cạnh

S= π

Câu 22: Xét hình phẳng H giới hạn bởi y=2 1−x2 và y=2 1( )−x Quay hình H xung quanh trục Ox

Tính thể tích khối tròn xoay được tạo thành

Câu 24: Tìm thể tích vật thể tròn xoay thu được khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường y=2x2 và

Câu 25: Tính thể tích của vật thể nằm giữa hai mặt phẳng x=0 và x=π, biết rằng thiết diện của vật thể

bị cắt bởi mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại điểm có hoành độ x (0≤ ≤x π) là một tam giác đều cạnh

là 2 sin x

Câu 26: Tính diện tích hình phẳng S giới hạn bởi các đường cong

2 4

Câu 27: Thể tích khối tròn xoay tạo bởi một hình thang cong giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f(x), trục Ox,

hai đường thẳng x = a, x = b (a < b) quay quanh trục Ox được tính bởi công thức

Câu 29: Tính thể tích của khối tròn xoay tạo thành khi quay quanh trục hoành mỗi hình phẳng giới hạn

đồ thị hàm số y= x , trục hoành và hai đường thẳng x=0,x=2

Câu 32: Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y= f x( ) liên tục, trục hoành và 2 đường thẳng

Câu 35: Tìm thể tích V của phần vật thể giới hạn bởi hai mặt phẳng x=0 và x=3, biết rằng thiết diện

của vật thể bị cắt bởi mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại điểm có hoành độ x, 0( ≤ ≤x 3) là một hình chữ nhật có hai kích thước là x và 2 9−x2

A S = + 4 2 e B S = − 4 2 e C S = − 4 e D S = − 2 4 e

Câu 37: Cho hình phẳng giới hạn bởi đường cong y=sinx , trục hoành và hai đường thẳngx=0,x=π

Tính thể tích khối tròn xoay thu được khi quay hình này xung quanh trục Ox

A

2 1

2 0

x

V =π e dx

 ∫  B

2 1

2 0

x

V =π ∫e dx

Câu 44: Thể tích V của khối tròn xoay tạo nên bởi phép quay xung quanh trục Ox của một hình phẳng

giới hạn bởi các đường 1 1

Câu 49: Tính thể tích của khối tròn xoay tạo thành khi quay quanh trục tung mỗi hình phẳng giới hạn bởi

đồ thị hàm số y=lnx, trục tung và hai đường thẳng y=0,y=1

Câu 52: Viết công thức tính thể tích V của khối tròn xoay được tọa ra khi quay hình thang cong, giới hạn

bởi đồ thị hàm số y= f x( ), trục Ox và hai đường thẳng x=a x, =b(a<b), xung quanh trục Ox

= = và y=4 Tính thể tích của khối tròn xoay tạo

thành khi quay hình (H) quanh trục tung

Câu 55: Diện tích hình phẳng S giới hạn bởi các đường cong y=x3 và y=x5 là

.6

S= C S=2 D S= −4

Câu 56: Tính thể tích của vật thể nằm giữa hai mặt phẳng x=0 và x=π, biết rằng thiết diện của vật thể

bị cắt bởi mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại điểm có hoành độ x (0≤ ≤x π) là một hình vuông cạnh

Câu 58: Cho hai hàm số y= f x1( ) và y= f x2( ) liên tục trên [a; b] Diện tích của hình phẳng giới hạn bởi

đồ thị của hai hàm số và các đường thẳng x=a x, =b được tính bởi công thức:

Câu 63: Tính thể tích của khối tròn xoay tạo thành khi quay quanh trục tung mỗi hình phẳng giới hạn bởi

đồ thị hàm số y=x2, trục tung và hai đường thẳng y=0,y=4

V = C 21

.16

V = π

D 23

.16

Câu 11: Tính diện tích hình phẳng được giới hạn bởi các đường

= C 2 3 2 2( )

.ln3

3

8

2

.3

Câu 18: Tìm nguyên hàm ( )F x của hàm số ( ) cos3 cos f x = x x, biết rằng đồ thị hàm số y=F x( ) đi qua

đi qua gốc tọa độ O

Câu 21: Cho hình phẳng giới hạn bởi đường cong y=sinx , trục hoành và hai đường thẳngx=0,x=π

Tính thể tích khối tròn xoay thu được khi quay hình này xung quanh trục Ox

Câu 22: Tính tích phân

π

=∫ 3 0

Câu 24: Tìm nguyên hàm F x của hàm số ( ) ( ) 2x

f x =e , biết rằng đồ thị hàm số y=F x( ) đi qua điểm

d ln ( , )cos

Câu 27: Tìm thể tích V của phần vật thể giới hạn bởi hai mặt phẳng x=0 và x=3, biết rằng thiết diện

của vật thể bị cắt bởi mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại điểm có hoành độ x, 0( ≤ ≤x 3) là một hình chữ nhật có hai kích thước là x và 2 9 x− 2

Câu 28: Kí hiệu ( )H là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y= x vày=x. Tính thể tích V của

khối tròn xoay thu được khi quay hình ( )H xung quanh trục Ox

.3

V = π

.4

V = π

D

2

7 .8

V = π

Câu 30: Biết tích phân 2( )

2 1

y x x x trục tung và tiếp tuyến tại

điểm có hoành độ thỏa mãn y′′ =0 được tính bằng công thức ?

A

2

3 2 0

Câu 40: Tìm hàm số ( )f x biết ∫ ( )d =sin 2 +cos 2 − +x

=+

I

1.1

=+

I

1

=

I n

Câu 45: Kí hiệu (H) là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y=lnx, trục hoành và các đường thẳng

( )d =10

∫ f x x và

4 0

( )d =7

∫ f x x Tính

6 4

( )d = −3

6 4

( )d =17

6 4

Câu 49: Tìm hàm số ( )f x biết F x( ) cos= 3x là một nguyên hàm của ( ).f x

A f x( )= −3sin cos x 2x B f x( ) 3cos = 2x

C f x( )= −3sin cosx 2 x C+ D f x( )= −3sin 2 x

Câu 50: Tìm nguyên hàm ( )F x của hàm số ( ) f x = −cosx, biết (2017 ) 1.F π =

A ( )F x = −sinx C+ B ( )F x = −sinx+1.

C ( )F x =sinx+1 D ( )F x = −sinx+2017

Câu 51: Biết

1 2 0

Câu 54: Kí hiệu S là diện tích hình thang cong giới hạn bởi đồ thị hàm số liên tục y= f x( ), trục hoành

và hai đường thẳng x=a x, =b.Như hình vẽ bên, khẳng định nào dưới đây là sai ?

x

y y x x

( )d =16

∫ f x x Tính

ln 2 0

V = π

.2

V =π

D ln 2

.2

V =

Câu 58: Cho hình cong (H) giới hạn bởi các đường x, 0, 0

y=e y= x= và x=ln 4.Đường thẳng (0 ln 4)

x=k < <k chia (H) thành hai phần có diện tích là S và 1 S như hình vẽ Tìm k để 2 S1=2 S2

A 2ln3.

3

k= B k=ln3

C k=2ln3 D k=3

Câu 59: Cho ( )f x là hàm số có đạo hàm f x′( )liên tục trên đoạn 0; 2 π

  thỏa mãn điều kiện (0)f 2

= − (a, b cho trước và , a b>0) trục hoành và các đường thẳng x= −a x, =a Tính thể tích V của khối tròn xoay thu được khi quay hình

(H) xung quanh trục Ox

.3

V = ab π B 4 2

.3

V = a bπ C 1 2

.3

V = abπ D 1 2

.3

S= cm D 17 2

.4

S= cm

Câu 65: Viết công thức tính thể tích V của một khối tròn xoay được tạo ra khi quay hình thang cong, giới

hạn bởi đồ thị hàm số y= f x( ), trục Ox và hai đường thẳng x=a x, =b a ( <b), xung quanh trục Ox

( )d 81

f x x=

3 0

V = π

B 48

.35

V = π

.3

V = π

.35

d2

I = − B

10 3

2 d 3

10 3

2 .3

I = t D

10 3

2 1d 3

Câu 77: Cho hàm số ( )f x có đạo hàm trên đoạn [1;2] , (1) 1 f = và (2)f =2 Tính

2 1

f x = x+ +C

C

3(4 1) 4 1

P= − C P=0 D P= −3

Câu 81: Cho

5 1

( )d =5

∫ f x x Tính

ln 2 0

=

D

5.2

dx ln 2 ln3 ln 5,

a b c

x x = + ++

Câu 87: Cho

4 0

( )d 16

f x x=

2 0

( )d 9

f x x=

3 0

(3 )d

I =∫ f x x

Câu 89: Cho A=∫xcos dx x và đặt u=x dv, =cos d x x Khẳng định nào dưới đây là đúng ?

A A=xsinx+cosx C+ B A=xsinx+∫sin d x x

2 1

d

=∫

1 0

1

d 2

2 1

1

d 2

Đ ÁP ÁN CHUYÊN ĐỀ 4 NGUYÊN HÀM

Số phức z1= +a bi và z2 = +b aicó điểm biểu diễn đối xứng qua đường thẳng y=x

 Độ dài của vectơ



OM là môđun của số phức z Kí hiệu: OM = z Như vậy: z = OM = a2+b 2

 Số phức liên hợp của z= +a bi kí hiệu là z và z = + = −a bi a bi

Lưu ý:
z và z đối xứng nhau qua trục Ox

z z z z a b

+

 Số phức đối của z kí hiệu là z′ và z′ = − +a bi z và z′ đối xứng qua trục tung

3 Mối liên hệ giữa z và z

4 Phương trình bậc hai với hệ số thực

Căn bậc hai của số thực a<0 là ±i a

 Xét phương trình bậc hai 2

ax bx c a b c a Đặt ∆ = −b2 4ac

 Nếu ∆ =0 thì phương trình có nghiệm kép

Câu 1: Cho số phức z= −2i 3 Khẳng định nào sai trong các khẳng định dưới đây ?

A Phần thực và phần ảo của z lần lượt là −3 và 2

B Mô đun của z là z = 13

C Điểm biểu diễn hình học của z là M(−3; 2 )

A M M, ′ đối xứng nhau qua trục tung

B M M, ′ đối xứng nhau qua đường thẳng y= −x

C M M, ′ đối xứng nhau qua trục hoành

D M M, ′ đối xứng nhau qua đường thẳng y=x

Câu 7: Cho hai số phức z1= +a bi z, 2 = −a bi a b,( , ∈ℝ,z2 ≠0) Khẳng định nào sau đây là sai ?

i

−

=

− Môđun của số phức w= +z iz .