GIẢI PHÁP THỰC HIỆN BẰNG MÁY TÍNH CẦM TAY MTCT ĐỂ TÍNH GIỚI HẠN Kiến thức giới hạn dãy số và giới hạn hàm số là cơ sở của của hai phép tính đạo hàm và tích phân ở phổ thông trung học .K
Trang 1GIẢI PHÁP THỰC HIỆN BẰNG MÁY TÍNH CẦM TAY (MTCT)
ĐỂ TÍNH GIỚI HẠN
Kiến thức giới hạn dãy số và giới hạn hàm số là cơ sở của của hai phép tính đạo hàm và tích phân ở phổ thông trung học Kiến thức vế giới hạn không những khó đối với người học mà còn khó đối với người dạy Trong tình hình hiện nay để cập nhật phù hợp thi trắc nghiệm Để giúp giăm bớt khó khăn nên tôi soạn đề tài này
Giải pháp thực hiện bằng máy tính cầm tay (MTCT) để tính giới hạn Dãy số: Quy ước : trong máy tính không có biến n nên ta ghi x thay cho n
• Gặp hằng số : C 10
10
,C 20
10
… đọc là (dấu của C) nhân vô cực với C
là hằng số ( chú ý có thể lớn hơn 10)
ví dụ -5 10
10
( đọc là âm vô cực ghi )
• Gặp hằng số C 12
10
đọc là 0 ( Chú ý số mũ có thể nhỏ hơn – 10 )
ví dụ: 15 12
10
A Dãy có giới hạn là 0
• Ví dụ 1:
5
1 lim
n
n
máy ghi :
5
1
x
x
calc x ? nhập 10
10
10 99999995
.
9 ta đọc là 0
Cách bấm máy:
Nhập vào máy tính: (sau khi đã mở máy)
a(z1)^Q)RQ)+5
Màn hình sẽ xuất hiện:
Sau đó nhập: r, màn hình sẽ xuất hiện: (có thể sẽ xuất hiện con số khác ở dòng hiển thị, không ảnh hưởng đến quá trình bấm máy)
Trang 2 Ta nhập tiếp: 10^10=
Màn hình sẽ xuất hiện:
10 99999995
.
9 ta đọc là 0
Vậy
0 5
1
n
n
• Ví dụ 2:
1
cos ) 1 ( lim 2
n
n n
nếu nhập
1
cos ) 1 (
2
x
x x
calc như trên máy sẽ Math ERROR
- Vận dụng định lý 1 Nếu u n v n với mọi n và limv n 0thì limu n 0
- Ta chỉ cần ghi
1
1
2
x calc x ? nhập 10
10 kết quả 20
10
1 đọc là 0
1
cos ) 1 (
n
n n
• Ví dụ 3:
1 2
1 lim
n
n
máy ghi
1 2
) 1 (
x
x
10 26
84430
đọc là 0
Cách bấm máy:
Nhập vào máy tính: (sau khi đã mở máy)
a(z1)^Q)R2^$Q)+1
Trang 3
Màn hình sẽ xuất hiện:
Sau đó nhập: r, màn hình sẽ xuất hiện: (có thể sẽ xuất hiện con số khác ở dòng hiển thị, không ảnh hưởng đến quá trình bấm máy)
Ta nhập tiếp: 100=
Màn hình sẽ xuất hiện:
Vậy
0 1 2
1
x
x
BÀI TẬP TƯƠNG TỰ : Tìm các giới hạn
1.lim ( 2 1)
n
n
2
1 2
) 1 ( lim
n
n
3
5
sin lim
n
n
4
1
2 cos lim 3
n n
B.Giới hạn hữu hạn :
• Ví dụ 1:
2
1 2 lim
n
n
máy ghi:
2
1 2
n n
calc x ? nhập 10
10 kq là 2
Trang 4
Cách bấm máy:
Nhập vào máy tính: 2+a(z1)^Q)RQ)+2 Màn hình sẽ xuất hiện:
Sau đó nhập: r, màn hình sẽ xuất hiện: (có thể sẽ xuất hiện con số khác ở dòng hiển thị, không ảnh hưởng đến quá trình bấm máy)
Ta nhập tiếp: 10^10=
Màn hình sẽ xuất hiện:
vậy
2
1 2
lim
n
n
=2
4
3 sin
n
n
vì
n n
4
3 sin mà lim1 0
n khi đó lim (-1)=-1 nên 1 1
4
3 sin
n
n
• Ví dụ 3
1 2
5 3 lim 2
2
n
n n
Cách bấm máy:
Trang 5 Nhập vào máy tính:
aQ)^2$p3Q)+5R2Q)^2$p1 Màn hình sẽ xuất hiện:
Sau đó nhập: r, màn hình sẽ xuất hiện: (có thể sẽ xuất hiện con số khác
ở dòng hiển thị, không ảnh hưởng đến quá trình bấm máy)
Ta nhập tiếp: 10^15=
Màn hình sẽ xuất hiện:
vậy
1 2
5 3
lim 2
2
n
n n
= 0.5
Với cách bấm máy tương tự cho các ví dụ sau:
• Ví dụ 4 :
7 5
3 3 4 2
2 3
n n
n n n
máy ghi
7 5
3 3 4 2 3
2 3
n n
n n n
calc x ? nhập 15
10 Kq là – 2
7 5
3 3 4 2 lim 3
2 3
n n
n n n
Trang 6• Ví dụ 5: máy ghi
4 2
3
11 3 2
1
X X
X X
calc x=100 kq
9 1
Vậy :
9
1 4 2 3
11 3 2 lim 2 3
n n
n n
• Ví dụ 6: n n n
5 4 2 3
15 3 13 lim
máy ghi X X
X
5 4 2 3
15 3 13
calc X ? nhập 100 17
10
19755
.
3 x đọc là 0
5 4 2 3
15 3 13
n n
n
( chú ý dấu nhân không ghi dấu chấm )
C Giới hạn vô cực :
• Ví dụ 1:
11 2
5 3 lim 2
3
n
n n
máy ghi
11 2
5 3 2
3
n
n n
calc x ? nhập 15
10 kq 14
10
5
đọc là âm vô cực
11 2
5 3 lim 2
3
n
n n
Cách bấm máy:
Nhập vào máy tính:
azQ)^3$p3Q)+5R2Q)d+11 Màn hình sẽ xuất hiện:
Sau đó nhập: r, màn hình sẽ xuất hiện: (có thể sẽ xuất hiện con số khác
ở dòng hiển thị, không ảnh hưởng đến quá trình bấm máy)
Trang 7 Ta nhập tiếp: 10^15=
Màn hình sẽ xuất hiện:
11 2
5 3 lim 2
3
n
n n
• Ví dụ 2 : lim5n2 n3 1 máy ghi : 5n2 n3 1
calc x ? nhập 15
10 kq là 30
10
5 (Đọc là dương vô cực )
Cách bấm máy:
Nhập vào máy tính:
5Q)dp3Q)+1
Màn hình sẽ xuất hiện:
Sau đó nhập: r, màn hình sẽ xuất hiện: (có thể sẽ xuất hiện con số khác ở dòng hiển thị, không ảnh hưởng đến quá trình bấm máy)
Ta nhập tiếp: 10^15=
Màn hình sẽ xuất hiện:
Trang 8Vậy
11 2
5 3 lim 2
3
n
n n
• Ví dụ 3: lim 3n4 5n2 n 1 máy ghi : 3n4 5n2 n 1
calc x ? nhập 15
10 kq : 30
10 08
73205
1 ( đọc là dương vô cực ) Vậy : lim 3n4 5n2 n 1
(Nhập tương tự ví dụ 2)
*Nếu
n g
n f
với f(n) ,g(n) là các đa thức theo n Ta chú ý đến số hạng chứa mũ cao nhất của n trong từng biểu thức f(n) ,g(n)
• Ví dụ 1:
5 3
2 3 2
3
n
n n
máy ghi 2
3
3
2
n n
calc x ? nhập 15
10 kq:
14 10 66666667
.
(đọc là âm vô cực )
Cách bấm máy:
Nhập vào máy tính:
az2Q)^3R3Q)d
Màn hình sẽ xuất hiện:
Sau đó nhập: r, màn hình sẽ xuất hiện: (có thể sẽ xuất hiện con số khác ở dòng hiển thị, không ảnh hưởng đến quá trình bấm máy)
Trang 9 Ta nhập tiếp: 10^15=
Màn hình sẽ xuất hiện:
5 3
2 3 2 lim 2
3
n
n n
Tương tự cho các ví dụ bên dưới
• Ví dụ 2:
12
8 5 7 lim
3 6
n
n n n
máy ghi
n
n6
calc x ? nhập 15
10 kq 30
10 1
( đọc là dương vô cực )
12
8 5 7 lim
3 6
n
n n n
• Ví dụ 3:
1 2
1 3 lim
n
n
máy
1 2
1 3
x
x
calc x ? 100 17
10
4065611 x đọc là
*CHÚ Ý : Gặp n
a nhập n = 100
1 2
1 3
lim n
n
• Ví dụ 4 :
7 3
5 4 lim 3 2
2
n n
n n
máy ghi 3
2
3n
n
calc x ? nhập 15
10 kq :0
7 3
5 4 lim 3 2
2
n n n n
Trang 10• Ví dụ 5:
3 2
2 3 2 lim 2
4
n n
n n
máy ghi 2
4
2
2
n
n
calc x ? nhập 15
10 kq:
2 2
Nếu gặp dạng tổng- hiệu hai căn cần chú ý lượng liên hợp rút gọn trước khi áp dụng dạng trên
• Ví dụ 1: lim n2 n 1 n ta có n2 n 1 n n n n
n
1
1
ghi
n n
n
2 calc x ? nhập 15
10 kq:
2
1
2
1 1
lim n2 n n
• Ví dụ 2:
1 2
1 lim
n
Mà lim n
1 lim
n n
• Ví dụ 3:
1 2 2 3
1 lim
n
3
1
calc x ? nhập
15
10
1 2 2 3
1
n ( các hệ số trước n lệch nhau không cần nhân lượng liên hợp
• Ví dụ 4:
2 3
1 1
lim
2
n
n n
máy ghi :
n
n n
3
2
calc x ? nhập 15
10
kq:
3 1
Bài tập rèn luyện :
Tìm các giới hạn sau:
2
2 3
1 4
lim
n
n n
2
2 1
5 3 lim
n
n n
(KQ: 0 )
Trang 113
1
2 lim 2
n
n (KQ: ) 4.lim n2 n n2 1 (KQ:
2
1
)
3 1 3 2
lim
n n
n n
(KQ: -3) 6
5
2 3
4 1
1 3
2 lim
n
n n
(KQ:
4
27
)
7
3
2 4 1 lim
2 2
n
n n
n
(KQ: -1 ) 8 n n
n n
2 4 2
1 4 3 lim
(KQ: -1)
B GIỚI HẠN HÀM SỐ
1.GIỚI HẠN HÀM SỐ TẠI MỘT ĐIỂM:
Lim
𝑥→𝑥0𝑓(𝑥) Nếu f x xác định tại x 0 viết f x calc ? x 0 f x0
• Ví dụ 1: lim
𝑥→2 x3 5x2 10x máy viết : x3 5x2 10x calc X ? 2
48
Cách bấm máy:
Nhập vào máy tính:
Q)^3$+5Q)d+10Q)
Màn hình sẽ xuất hiện:
Sau đó nhập: r, màn hình sẽ xuất hiện: (có thể sẽ xuất hiện con
số khác ở dòng hiển thị, không ảnh hưởng đến quá trình bấm máy)
Ta nhập tiếp: 2=
Trang 12Màn hình sẽ xuất hiện:
Vậy limx2x3 5x2 10x 48
Tương tự cho ví dụ 2
2
6 5 lim
2
x
x x
2 CÁC DẠNG VÔ ĐỊNH:
2.1 Dạng
0
0
x g
x f x
x 0
lim mà f x0 0 và g x0 0
• Ví dụ 3 :
2 3
4 lim 2
2
2
x x
x
x máy ghi
2 3
4 2
2
x x
x
calc X ? nhập 2,000001 ( lớn hơn 2 một tí ti ) máy hiện 3,999997 làm tròn đọc là 4 hay nhập x= 1,999999999 ( nhỏ hơn 2 một tí ti ) 4
Cách bấm máy:
Nhập vào máy tính:
aQdp4RQ)dp3Q)+2
Màn hình sẽ xuất hiện:
Sau đó nhập: r, màn hình sẽ xuất hiện: (có thể sẽ xuất hiện con
số khác ở dòng hiển thị, không ảnh hưởng đến quá trình bấm máy)
Trang 13 Ta nhập tiếp: 2.000001=
Màn hình sẽ xuất hiện:
2 3
4 lim 2
2
x x
x x
Tương tự cho các ví dụ tiếp theo
• Ví dụ 4:
3 4
2 3 lim 4
3
1
x x
x x
x máy ghi
3 4
2 3 4
3
x x
x x
calc X ?
Nhập 0,9999999
2
1
Vậy
2
1 3 4
2 3 lim 4
3
x x
x x x
• Ví dụ 5:
3 2
72 lim 2
2 4
3
x x
x x
x máy ghi
3 2
72 2
2 4
x x
x x
calc X ? nhập 3,0000001 kq :25,50000069 đọc là 25,5 hoặc nhập 2,9999999
kq : 25,49999993 đọc là 25,5
Vậy
2
51 3 2
72 lim 2
2 4
x x
x x x
1
1 1
2 lim 1 2
x x
1 1
2 2
x
x calc X ? nhập 1,000000001 KQ :
2 1
1
3 1
1 lim
x x
1
3 1
1
x
x calc X ? nhập 1,000000001 -1 KQ: -1
Trang 14• Ví dụ 8:
a x
a x a
x
4 4 lim máy ghi
a x
a x
4 4
calc chọn a = 0 khi đó x 0 kq: 0
chọn a =1 khi đó x 1 kq :4= 3
1
4
chọn a = 2 khi đó x 2 kq:32= 3
2
4
chọn a = 3 khi đó x 3 kq :108 = 3
3
4
4 4
4
a x
a x a
Nhận xét bài nầy thực hiện phép chia giải tự luận nhẹ hơn !
Bảng chia Hoc ne
Hệ số của
x
a
2.2 DẠNG:
Thường gặp khi x nếu dạng
x g
x f
không chứa căn bậc chẳn thì tính như giới hạn dãy Chỉ khác n thay bằng x, khi x nhập
10
10
• Ví dụ 1:
1 2 2
2 2 3
3
x x
x x
1 2 2
2 2 3
2 3
3
x x
x x
calc X ? 20
10 KQ:
2 3
• Ví dụ 2:
2 2
1 3
2 4
x x
x x
x máy ghi:
2 2
1 3 3
2 4
x x
x x
calc X ? 10
10
KQ:
• Ví dụ 3:
2 2
1 3
2 4
x x
x x
2 2
1 3 3
2 4
x x
x x
calc X ? 10
10 KQ:
20
10
1 (đọc là trừ vô cực )
• Ví dụ 4 :
1 3
2 3 lim
2
x
x x x
1 3
2 3 2
x
x x x
calc X ? 20
10
KQ :
3 1
3 2 2 3
4 lim
a x
a x a ax x a x
a x a
Trang 15• Ví dụ 5:
x x x
x x
x
X
2 3 9
2 1 2 4 lim
2
2
TH1:
x x x
x x
x
X
2 3 9
2 1 2 4 lim
2
2
10 (trong căn) KQ:
5 1
TH2:
x x x
x x
x
X
2 3 9
2 1 2 4 lim
2
2
10
KQ: 3
• Ví dụ 6: lim ( 2 1 )
x x
x
X dạng
Máy ghi
x x
x
x
1
1
2 CALC X? 20
10 KQ
2 1
• Ví dụ 7: limX( x2 x 1 x) Khi đó không phải dạng nên không
cần nhân lượng liên hợp
Máy ghi : ( x2 x 1 x) CALC 20
10
KQ 20
10
2 đọc là
