Đạo hàm của khai triển tiệm cận một số dạng tích phân

KHOA TOÁN——————— DƯƠNG THỊ THU HUYỀN ĐẠO HÀM CỦA KHAI TRIỂN TIỆM CẬN MỘT SỐ DẠNG TÍCH PHÂN KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Chuyên ngành: Toán Giải tích Hà Nội, năm 2017... KHOA TOÁN—————– D

KHOA TOÁN

———————

DƯƠNG THỊ THU HUYỀN

ĐẠO HÀM CỦA KHAI TRIỂN TIỆM CẬN MỘT SỐ DẠNG TÍCH PHÂN

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC

Chuyên ngành: Toán Giải tích

Hà Nội, năm 2017

KHOA TOÁN

—————–

DƯƠNG THỊ THU HUYỀN

ĐẠO HÀM CỦA KHAI TRIỂN TIỆM CẬN MỘT SỐ DẠNG TÍCH PHÂN

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC

Chuyên ngành: Toán Giải tích

Người hướng dẫn khoa học:TS NGUYỄN VĂN HÀO

Hà Nội, năm 2017

Nhân dịp khóa luận được hoàn thành em xin bày tỏ lòng biết ơn chânthành, sâu sắc tới TS Nguyễn Văn Hào đã tận tình hướng dẫn emtrong quá trình thực hiện khóa luận.

Em xin được gửi lời cảm ơn chân thành tới Ban giám hiệu trường Đạihọc Sư phạm Hà Nội 2, phòng Đào tạo, các thầy cô giáo trong nhàtrường và các thầy cô giáo trong khoa Toán đã tạo điều kiện thuận lợitrong quá trình em học tập và nghiên cứu

Do thời gian và kiến thức có hạn nên khóa luận không thể tránh khỏinhững hạn chế và còn có nhiều thiếu sót nhất định Em xin chân thànhcảm ơn đã nhận được những ý kiến đóng góp của các thầy giáo, côgiáo và em xin bày tỏ lòng biết ơn tới gia đình, người thân đã độngviên và tạo mọi điều kiện để em có thể hoàn thành bài khóa luận này

Hà Nội, tháng 05 năm 2017

Sinh viên

Dương Thị Thu Huyền

Em xin cam đoan, dưới sự hướng dẫn của TS Nguyễn Văn Hào, khóaluận tốt nghiệp chuyên ngành Toán giải tích với đề tài “ ĐẠO HÀMCỦA KHAI TRIỂN TIỆM CẬN MỘT SỐ DẠNG TÍCH PHÂN” đượchoàn thành bởi chính sự nhận thức của bản thân tác giả, không trùngvới bất cứ khóa luận nào khác Trong quá trình nghiên cứu thực hiệnkhóa luận, tác giả đã kế thừa những thành tựu của các nhà khoa họcvới sự trân trọng và biết ơn.

Hà Nội, tháng 05 năm 2017

Sinh viên

Dương Thị Thu Huyền

LỜI NÓI ĐẦU 1

1.1 Số phức và mặt phẳng phức 3

1.2 Một số tập hợp trong mặt phẳng phức 4

1.3 Hàm chỉnh hình 6

1.4 Tích phân phức 7

2 Khai triển tiệm cận 16 2.1 Một số khái niệm bậc 16

2.2 Dãy tiệm cận 19

2.3 Định nghĩa của Poincaré về khai triển tiệm cận 19

2.4 Chuỗi lũy thừa tiệm cận 21

2.5 Tính chất của khai triển tiệm cận 28

3 Đạo hàm của khai triển tiệm cận một số dạng tích phân 33 3.1 Hàm F (u) phụ thuộc tuyến tính tại giới hạn của tích phân 34

3.1.1 Đánh giá dạng tích phân R e−FGdu 34

3.1.2 Đánh giá dạng tích phân R e−FuσGdu 393.2 Hàm F (u) phụ thuộc toàn phương tại giới hạn của tích

phân 423.2.1 Đánh giá dạng tích phân R e−FGdu 423.2.2 Đánh giá dạng tích phân R e−FuσGdu 46

LỜI NÓI ĐẦU

1 Lí do chọn đề tài Trong thực tế thường xảy ra rằng, những chuỗiphân kỳ có thể được sử dụng cho sự tính toán giá trị số của một đạilượng mà theo nghĩa nào đó có thể được xem như là “tổng” của chuỗi.Trường hợp điển hình là đối với các chuỗi hàm, bằng sự xấp xỉ bởimột số hạng đầu tiên của chuỗi thực sự đem lại hiệu quả mong muốn.Trong hầu hết các trường hợp các số hạng đầu tiên của chuỗi giảmnhanh (khi giá trị độc lập tiến nhanh tới giá trị giới hạn của nó),nhưng những số hạng sau bắt đầu tăng trở lại Các chuỗi như vậy gọi

là chuỗi bán hội tụ, và việc tính toán giá trị số thường được thực hiệnbởi một số hạng đầu của chuỗi

Đạo hàm có vai trò quan trọng trong Toán học, trong thực tế và cácngành khoa học khác có liên quan như Vật lí, Nhờ đạo hàm mà ta

có thể giải quyết một khối lượng lớn các dạng bài tập khó mà bằngcách giải bình thường ta không thể làm được Thông thường, các bàitập đó thường liên quan tới tích phân như tích phân suy rộng và một

số tích phân đặc biệt có cận vô cực, bằng phương pháp đạo hàm củakhai triển tiệm cận ta có thể giải được chúng

Với những lí do trên, được sự định hướng của TS Nguyễn Văn Hào

em chọn đề tài “ Đạo hàm của khai triển tiệm cận một số dạngtích phân” để hoàn thành khóa luận tốt nghiệp chuyên ngành Toángiải tích

Bố cục của khóa luận được trình bày trong 03 chương

Chương 1 Được giành cho việc trình bày một số kiến thức căn bản

lý thuyết hàm số biến phức

Chương 2 Để có thể giới thiệu mục đích chính của khóa luận về đạohàm của khai triển tiệm cận một số tích phân, trong chương này emgiới thiệu một số vấn đề căn bản về lý thuyết tiệm cận

Chương 3 Đây là phần chính của khóa luận, em trình bày về đạohàm của khai triển tiệm cận hai dạng tích phân sau

3 Phạm vi nghiên cứu Đạo hàm của khai triển tiệm cận các tíchphân dạng

4 Các phương pháp nghiên cứu

Đọc sách, nghiên cứu tài liệu

Tổng hợp kiến thức, vận dụng cho mục đích nghiên cứu

5 Dự kiến các đóng góp của đề tài Hệ thống hóa một số kiếnthức căn bản về lý thuyết xấp xỉ tiệm cận Trình bày đạo hàm củakhai triển tiện cận hai dạng tích phân như đã nói trên

Một số kiến thức chuẩn bị

Số phức là số có dạng z = x + iy với x, y ∈ R và i là đơn vị ảo mà

i2 = −1 Ta gọi x là phần thực và y là phần ảo, được ký hiệu tươngứng bởi

z1 + z2 = (x1 + x2) + i(y1 + y2)

z1.z2 = (x1 + iy1)(x2 + iy2)

= x1x2 + ix1y2 + iy1x2 + i2y1y2

= (x1x2 − y1y2) + i(x1y2 + y1x2)

Với mỗi số phức z = x + iy, ta xác định modul của số phức z là giá trị

|z| = px2 + y2 Số phức liên hợp của số phức z = x + iy được kí hiệu

và xác định bởi ¯z = x − iy Không khó khăn, ta có thể kiểm tra được

Rez = z + ¯z

2 , Imz =

z − ¯z2ivà

|z|2 = z.¯z, 1

z =

¯z

eiθ = cos θ + i sin θBởi vì eiθ = 1, nên r = |z| và θ là góc hợp bởi chiều dương của trục

Ox và nửa đường thẳng xuất phát từ gốc tọa độ đi qua điểm z Cuốicùng, ta lưu ý rằng nếu z = r.eiθ và w = s.eiϕ thì z.w = r.s.ei(θ+ϕ)

Cho z0 ∈ C và r > 0, ta gọi đĩa mở tâm z0 bán kính r là tập hợp

Dr(z0) = {z ∈ C : |z − z0| < r}

là điểm trong.

Tập Ω được gọi là tập đóng nếu phần bù của nó C\Ω là mở Điểm

z ∈ C được gọi là điểm giới hạn của tập Ω nếu tồn tại một dãy cácđiểm zn ∈ C sao cho zn 6= z và lim

n→∞zn = z Chúng ta có thể kiểmtra được rằng một tập Ω là đóng nếu nó chứa mọi điểm giới hạn của

nó Bao đóng của tập Ω là hợp của Ω và các điểm giới hạn của nó, kýhiệu là ¯Ω Biên của Ω kí hiệu là ∂Ω = ¯Ω\intΩ Tập Ω là bị chặn nếu

M > 0 sao cho |z| ≤ M ; với mọi z ∈ Ω Nếu tập Ω là bị chặn, thì taxác định đường kính của nó bởi số

diam(Ω) = sup {|x − y| : x, y ∈ Ω}

Tập Ω được gọi là compact nếu nó đóng và bị chặn Tập mở Ω ⊂ Cđược gọi là liên thông nếu không thể tìm được hai tập mở khác rỗng

Ω1 và Ω2 sao cho Ω = Ω1∪Ω2 Một tập mở liên thông trong C được gọi

là một miền Tập đóng F là liên thông nếu không thể viết F = F1∪ F2

ở đó F1 và F2 là các tập đóng rời nhau

Hàm f gọi là chỉnh hình trên Ω nếu nó chỉnh hình tại mọi điểm của

Ω Nếu M là tập đóng của C, ta nói f là chỉnh hình trên M nếu f làchỉnh hình trên một tập mở nào đó chứa M Hàm f chỉnh hình trên

Ω được gọi là hàm nguyên

Hàm f (z) = z là chỉnh hình trên tập con mở bất kỳ trong C và

Định lý 1.1 (Điều kiện Cauchuy-Riemann.) Điều kiện cần và đủ đểhàm phức f (z) = u(x, y) + iv(x, y) khả vi tại điểm z = x + iy là tạiđiểm đó tồn tại các đạo hàm riêng của các hàm u(x, y) và v(x, y),đồng thời các đạo hàm đó thỏa mãn điều kiện Cauchuy-Riemann

đoạn [a, b] và z0(t) 6= 0, với mọi t ∈ [a, b] Tại các điểm t = a và t = bcác đại lượng z0(a) và z0(b) được hiểu như các giới hạn một phía

Hai đường cong tham số z : [a, b] → C và ¯z : [c, d] → C được gọi làtương đương nếu tồn tại song ánh khả vi liên tục s → t(s) từ [c, d] đến[a, b] sao cho t0(s) > 0 và ¯z(s) = z (t(s)) Điều kiện t0(s) > 0 đảm bảohướng của đường cong, khi s chạy từ c đến d thì t(s) chạy từ a đến b

Họ của tất cả các đường cong tham số tương đương với z(t) xác địnhmột đường cong trơn γ ⊂ C Đường cong γ− là đường cong thu được

từ γ bằng cách đổi hướng Một dạng tham số hóa của γ− được xácđịnh như sau

z−: [a, b] → R2

z−(t) = z(b + a − t)Các điểm z(a) và z(b) được gọi là điểm đầu và điểm cuối của đườngcong Đường cong trơn hoặc trơn từng khúc được gọi là kín nếu z(a) =z(b); được gọi là đường cong đóng nếu nó không có điểm tự cắt, nghĩa

là nếu t 6= s thì z(t) 6= z(s) Trường hợp đường cong đóng thì trừ ra

s = a và t = b Để ngắn gọn ta sẽ gọi đường cong trơn từng khúc làmột đường cong

Ví dụ 1.4.1 Xét đường tròn Cr(z0) tâm tại z0 bán kính r

Ví dụ 1.4.3 Giả sử γ là đường cong trơn tùy ý có phương trình tham

số z = z(t), t ∈ [a, b] với các điểm đầu mút z(a) và z(b) Khi đó

và γ là một đường cong trong Ω có điểm đầu là ω1 và điểm cuối ω2,thì

Hệ quả 1.1 Giả sử γ là đường cong đóng trong tập mở Ω Nếu hàm

f (z) liên tục và có nguyên hàm trong Ω thì

Chứng minh Cố định điểm ω0 ∈ Ω Bởi vì Ω liên thông nên với điểmbất kì ω ∈ Ω, tồn tại đường cong γ nối ω với ω0 Ta có

Định lý 1.3 (Cauchy-Goursat) Giả sử D là một miền n-liên trong

C với biên ∂D gồm các chu tuyến đóng trơn từng khúc và f (z) là hàmchỉnh hình trên D liên tục trên D = D ∪ ∂D Khi đó, ta có

D

dF

Nếu F = udx − vdy, thì theo điều kiện Cauchuy - Riemann chúng ta

Tương tự, tích phân của phần ảo trên cũng bằng 0 và định lí đượcchứng minh.

Định lý 1.4 (Công thức tích phân Cauchy) Nếu f (z) là hàm chỉnhhình trong một miền D và z0 ∈ D Khi đó, với mọi chu tuyến đóngbất kỳ γ ⊂ D mà z0 ∈ Dγ ⊂ D thì

f (z) = 1

2πiR

γ

f (ζ)

ζ − z0dζ; với mọi z0 ∈ DγHơn thế, nếu f (z) liên tục trên ¯D với ∂D là một chu tuyến đóng thìvới mọi z ∈ D ta có

f (z0) = 1

2πiR

∂D

f (ζ)

ζ − zdζ.

Chứng minh Giả sử γ là chu tuyến tùy ý vây quanh điểm z0

sao cho Dγ ⊂ D Chọn ρ đủ bé sao cho đĩa đóng S(z0, ρ) tâm z0bán kính ρ chứa trong Dγ Ký hiệu Cρ là biên của đĩa S(z0, ρ) và

Dγ, ρ = Dγ\S(z0, ρ) Bởi vì f (ζ)/ζ − z0 là hàm chỉnh hình với mọi

C ρ

f (ζ)

ζ − z0

dζ

Thực hiện phép biến đổi với tích phân ở vế phải ζ − z0 = ρeit; 0 ≤ t <2π thì dζ = iρeitdt và chúng ta nhận được

Định lý 1.5 (Công thức tích phân Cauchy đối với đạo hàm) Nếu

f (z) là hàm chỉnh hình trong một miền D thì f (z) khả vi vô hạn lầntrong D Hơn nữa, nếu γ là chu tuyến đóng nằm trong D, thì

f(n)(z0) = n!

2πiR

γ

f (z)(z − z0)n+1dz; với mọi z0 ∈ Dγ.Chứng minh Ta chứng minh công thức bằng phép quy nạp theo n.Trường hợp n = 0, ta nhận được từ công thức tích phân Cauchy Giả

sử công thức đúng cho trường hợp n − 1, tức là

Bây giờ với h đủ nhỏ sao cho z0+ h ∈ Dγ, thương vi phân đối với hàm

f(n−1)(z) được cho bởi công thức



1(ζ − z0 − h)n −

1(ζ − z0)n

dζ

ζ − z0 − h, B =

1

ζ − z0, chúng ta nhận được1

(ζ − z0 − h)n −

1(ζ − z0)n

n(ζ − z0)n−1



dζ = n!

2πiZ

γ

f (z)(z − z0)n+1dz.Định lí được chứng minh

Khai triển tiệm cận

Các kí hiệu O, o và ∼ được sử dụng đầu tiên bởi E Landau và P D

B Reymond và chúng được định nghĩa như sau

Định nghĩa 2.1 Giả sử f (z) và φ(z) là các hàm số liên tục của biếnphức z, xác định trên một miền D ⊂ C và có giới hạn khi z → z0

trong D Ta định nghĩa và kí hiệu tương ứng các mối quan hệ giữahàm này khi z → z0 như sau

Cho O, o và ∼ là hai hàm số xác định trên một tập R trong mặt phẳngphức và cho z0 là một điểm giới hạn của R, có thể là điểm vô cùng

Ví dụ, R có thể là hình quạt

0 < |z| < ∞; α < phz < β

và z0 có thể là gốc tọa độ hoặc là điểm vô cùng Cho một lân cận của

z0 (chính xác hơn là cho một lân cận cầu), nghĩa là một hình cầu mở

|z − z0| < δ nếu z0 là một điểm hữu hạn, hoặc là miền |z| > δ nếu z0

là điểm vô hạn

Ta thường sử dụng kí hiệu f (z) = O (φ(z)) trên R, nếu tồn tại mộthằng số dương A sao cho |f (z)| ≤ A |φ(z)| với mọi z ∈ R Đơn giảnhơn, nếu φ không triệt tiêu trên R, thì f (z) = O (φ(z)) nghĩa là tồntại hằng số dương A sao cho

f (z)φ(z)

... tìm khai triển tiệm cận tổng riêng thứ ncủa chuỗi vô hạn n đủ lớn, cho toán tồntại, theo nghĩa bên ngồi miền khơng hội tụ.

Biểu thức khai triển tiệm cận phụ thuộc vào cách chọn dãy tiệmcận... data-page="28">

những khai triển tiệm cận z → ∞ góc α < phz < β; Hoặctrong trường hợp f (z) hàm số biến số thực x, x → +∞ và

x → −∞ Trường hợp đơn giản dãy khai triển tiệm cận

z →... với số nguyên m ≥ 2, ta có

khi x → +∞ có kết sau

(vi) Nếu f (x) hàm có đạo hàm liên tục f0(x) f0(x) có mộtchuỗi lũy thừa tiệm cận x → +∞, khai triển tiệm cận