Phân tích phi tuyến tĩnh và động khung thép phẳng bằng phần tử đồng xoay (tóm tắt)

Một phân tích phi tuyến hoàn chỉnh cho hệ kết cấu cần phải kể đến các yếu tố then chốt ảnh hưởng đến ứng xử của hệ như phi tuyến hình học, sự chảy dẻo của vật liệu, độ mềm và ứng xử trễ

Công trình được hoàn thành t i Trườ ng Đạ i h ọ c Bách Kho – Đ HQG TP HCM

Người hướng d n khoa h c 1: PGS.TS.Ng Hữu Cư ng

Người hướng d n khoa h c 2: PGS.TS.Ch Qu c Th ng

Có thể tìm hiểu lu n án t i thư viện:

- Thư viện Khoa h c Tổng hợp Tp HCM

- Thư viện Trường Đ i h c Bách Khoa ậ ĐHQG-HCM

CHƯƠNG 1 MỞ ĐẦU

1.1 Tín cấp thiết của đề tài

Kết cấu thép được sử dụng rộng rãi trong ngành công nghiệp xây dựng do có

nhiều ưu điểm như cường độ và độ tin cậy cao, tính dẻo dai cao, có tính công

nghiệp hóa cao, trọng lượng nhẹ, dễ vận chuyển và lắp đặt, thời gian thi công

nhanh, dễ gia cố sửa chữa, thân thiện với môi trường và có khả năng tái chế

cao Do cấu kiện có độ mảnh lớn và vật liệu bị chảy dẻo nên phản ứng của hệ

kết cấu thép khi chịu tải thường là phi tuyến Khác với các phương pháp phân

tích đàn hồi tuyến tính truyền thống với lời giải có thể tìm được trực tiếp, bài

toán phân tích phi tuyến cần dùng đến phương pháp gia tải từng bước để cập

nhật dần sự thay đổi độ cứng của cấu kiện và hệ kết cấu nên quá trình phân tích

cần phải trải qua nhiều bước giải lặp Một phân tích phi tuyến hoàn chỉnh cho

hệ kết cấu cần phải kể đến các yếu tố then chốt ảnh hưởng đến ứng xử của hệ

như phi tuyến hình học, sự chảy dẻo của vật liệu, độ mềm và ứng xử trễ của

liên kết và tác động động của tải trọng Trong quá trình chịu tải của hệ kết cấu,

ở mỗi bước gia tải, các thông số về hình học, vật liệu và độ cứng liên kết luôn

biến đổi, do đó ma trận độ cứng của các phần tử cần được cập nhật liên tục

Trong những năm gần đây, hai phương pháp phân tích cơ bản dựa vào phần tử

khung để mô phỏng ứng xử phi tuyến của hệ kết cấu thép đã và đang được phát

triển Phương pháp thứ nhất là phương pháp phần tử hữu hạn (PTHH) tập trung

vào sự mô phỏng chính xác ứng xử phi đàn hồi của vật liệu trong khi phương

pháp thứ hai là phương pháp dầm-cột (beam-column method) tập trung vào

việc mô phỏng chính xác tác động bậc hai Để đảm bảo độ chính xác của kết

quả phân tích phi tuyến, phương pháp PTHH cần chia nhỏ cấu kiện kết cấu

thành nhiều phần tử hữu hạn và mặt cắt ngang ở giữa phần tử hữu hạn cũng cần

được chia nhỏ thành các điểm thớ hoặc các điểm tích phân để khảo sát sự lan

truyền dẻo qua mặt cắt ngang và dọc theo chiều dài cấu kiện Do quá trình phân

tích cần phải chia thành nhiều bước gia tải nhỏ và cần phải cập nhật liên tục ma

trận độ cứng và véc-tơ tải của hệ kết cấu cũng như cần phải giải lặp để đảm bảo

sự cân bằng giữa ngoại lực và nội lực ở mỗi bước tải nên khối lượng tính toán

và dữ liệu lưu trữ của bài toán phân tích phi tuyến theo phương pháp này sẽ rất lớn, đặc biệt là với các khung nhiều tầng nhiều nhịp, có tính phi tuyến cao hoặc cần phân tích hệ kết cấu theo lịch sử thời gian khi chịu tải trọng động

Việc giảm được thời gian và khối lượng tính toán mà vẫn đảm bảo độ chính xác cao trong việc dự đoán ứng xử phi tuyến của hệ kết cấu là rất cần thiết và có tính thực tiễn cao Trên cơ sở tránh chia cấu kiện thành nhiều phần tử nhằm rút ngắn thời gian phân tích và nhu cầu thiết lập một phương pháp mới mạnh mẽ và chính xác trong kỹ thuật phân tích kết cấu, tác giả tập trung phát triển một phần

tử mới theo phương pháp dầm-cột dựa vào công thức đồng xoay (co-rotational formulation) Ưu điểm nổi bật của phương pháp đề xuất là chỉ cần sử dụng một hoặc hai phần tử để mô phỏng một cấu kiện kết cấu là có thể dự đoán khá chính xác ứng xử phi tuyến, đặc biệt là ứng xử chuyển vị lớn của hệ kết cấu, do đó hiệu quả tính toán sẽ cao hơn nhiều so với phương pháp PTHH truyền thống

1.2 Mục tiêu của nghiên cứu

Phát triển phương pháp dầm-cột trong phân tích ứng xử phi tuyến khung thép phẳng nửa cứng phi đàn hồi dưới tác dụng của tải trọng tĩnh và động với các

nội dung sau: (i) Thiết lập các hàm ổn định từ việc đề xuất hàm chuyển vị có

dạng đa thức bậc 7 cho lời giải xấp xỉ của phương trình vi phân cân bằng của phần tử dầm-cột đàn hồi chịu tải đầu mút để đơn giản hóa các phép biến đổi toán học trong việc thành lập công thức cho ma trận độ cứng phần tử có xét đến

các tác động phi tuyến; (ii) Đề xuất một ma trận độ cứng mới cho phần tử

dầm-cột có kể đến tác động bậc hai theo các hàm ổn định có xét đến hệ số chảy dẻo

và độ mềm của liên kết tại vị trí đầu mút phần tử bằng phương pháp phần tử

đồng xoay; (iii) Xây dựng một thủ tục số theo các thuật toán giải phi tuyến hiện

đại và phát triển một chương trình ứng dụng tin cậy và hiệu quả trong phân tích khung thép phẳng có kể đến đầy đủ các tác động phi tuyến

1.3 Đối tượng v p ạm vi nghiên cứu

Đối tượng nghiên cứu: Phân tích ứng xử phi tuyến của khung thép dưới các tác

động của tải trọng tĩnh và động

Phạm vi nghiên cứu: Khung thép phẳng phi đàn hồi có liên kết nửa cứng có

xem xét ứng xử chuyển vị lớn làm việc trong và ngoài miền đàn hồi; Sự chảy

dẻo của tiết diện chỉ do ảnh hưởng của ứng suất pháp; Không xét đến ảnh

hưởng của biến dạng cắt trong cấu kiện; Không xét đến sự mất ổn định cục bộ

của tiết diện và sự mất ổn định tổng thể ngang-xoắn của cấu kiện

1.4 Phương p áp nghiên cứu

Phương pháp nghiên cứu của đề tài là phương pháp lý thuyết: (i) phát triển

phương pháp dầm-cột trong phân tích nâng cao khung thép phẳng bằng việc áp

dụng công thức đồng xoay để thành lập ma trận độ cứng mới cho phần tử

dầm-cột có kể đến đầy đủ các tác động phi tuyến; (ii) áp dụng các thuật toán giải lặp

phi tuyến để xây dựng chương trình ứng dụng và sử dụng chương trình này để

khảo sát sự làm việc của khung thép phẳng nửa cứng dưới tác dụng của các

dạng tải trọng

1.5 Ý nghĩa k o học v ý nghĩa thực tiễn của đề tài

Đề tài luận án xây dựng một phần tử dầm-cột mới theo lý thuyết dầm-cột phi

tuyến kết hợp với phương pháp đồng xoay và áp dụng nó trong việc phát triển

một chương trình máy tính có thể mô phỏng ứng xử phi đàn hồi của hệ kết cấu

khung thép phẳng có liên kết dầm-cột cứng và nửa cứng chịu tải trọng tĩnh và

động một cách tin cậy và hiệu quả

1.6 Cấu trúc của luận án

Luận án gồm có: Chương 1 (Mở đầu); Chương 2 (Cơ sở lý thuyết – Trình bày

những nội dung chính về lý thuyết của đề tài); Chương 3 (Chương trình ứng

dụng – Trình bày các thuật toán giải phi tuyến và lưu đồ của chương trình ứng

dụng); Chương 4 (Ví dụ số minh họa – Khảo sát các ví dụ số của các nghiên

cứu trước bằng phương pháp đề xuất); Chương 5 (Kết luận và kiến nghị - Nêu

những đóng góp chính và các kiến nghị của đề tài); Tài liệu tham khảo; Phụ lục

CHƯƠNG 2 CƠ SỞ LÝ THUYẾT 2.1 Các giả thiết

Những giả thiết sau đây được sử dụng trong việc thành lập ma trận độ cứng phần tử dầm-cột đồng xoay: (1) Phần tử ban đầu thẳng và có dạng lăng trụ; (2) Mặt cắt ngang trước và sau biến dạng luôn phẳng và vuông góc với trục phần tử; (3) Bỏ qua biến dạng ngoài mặt phẳng và biến dạng cắt; (4) Bỏ qua ảnh hưởng của hệ số Poisson; (5) Không xét đến sự mất ổn định cục bộ của tiết diện

và sự mất ổn định tổng thể ngang-xoắn của cấu kiện; (6) Biến dạng của phần tử

là nhỏ, nhưng chuyển vị của hệ kết cấu có thể lớn; (7) Sự chảy dẻo của tiết diện chỉ do ảnh hưởng của ứng suất pháp

2.2 Ma trận độ cứng phần tử dầm-cột đồng x a

2.2.1 Nội lực p ần tử dầm-cột có xét đến g c x a hai đầu p ần tử

Xét phần tử dầm-cột đàn hồi điển hình chịu lực dọc trục và mô-men uốn ở hai đầu như trong Hình 2.1

Để đơn giản hóa việc biến đổi toán học mà vẫn đảm bảo độ chính xác cần thiết,

hàm chuyển vị ∆( )x được tác giả xấp xỉ thành đa thức bậc 7

Các hệ số a i 0 ~ 7i( = ) được xác định từ việc cho hàm chuyển vị giả thiết ở

trên thỏa các điều kiện tương thích và điều kiện cân bằng Từ đây ta xác định

Hình 2.3 Các hàm chuyển vị theo λ (θ1 = 1, θ2 = 0)

2.2.3 Nội lực có xét đến sự chả dẻo ở hai đầu p ần tử

Gọi η η 1, 2 (0≤ η η ≤ lần lượt là hệ số chảy dẻo ở hai đầu phần tử (1, 2 1) η η 1, 2

có giá trị bằng 1 nếu còn đàn hồi và bằng 0 khi bị chảy dẻo hoàn toàn tại vị trí

xuất hiện khớp dẻo), ta hiệu chỉnh lại các biểu thức nội lực như sau:

trong đó, s , s , s1p 2p 3p được xác định theo các hàm ổn định s , s , s , s11 12 21 22 và các

hệ số chảy dẻo η η được Liew và cộng sự [12][13] đề xuất như sau: 1, 2

Rõ ràng, với việc sử dụng hàm chuyển vị xấp xỉ bằng hàm đa thức, các phép

biến đổi toán học sẽ đơn giản hơn nhiều khi tính toán và xác định các giá trị

s , s , s và (ds / dq , ds / dq , ds / dq1p ) ( 2p ) ( 3p )

2.2.4 Nội lực có xét đến độ cứng của l ên kết ở hai đầu p ần tử

Xét phần tử dầm-cột có liên kết nửa cứng ở vị trí các đầu mút được mô phỏng thành một phần tử hữu hạn như Hình 2.4 Giả thiết chiều dài liên kết bằng 0

Hình 2.4 Mô hình phần tử dầm-cột có liên kết nửa cứng Quan hệ nội lực khi có xét đến các góc xoay của liên kết θ θ được viết lại: r1, r2

Xét phần tử dầm-cột AB với tọa độ ban đầu A x , z( A A), B x , z( B B) có các

thông số hình học trước và sau khi chuyển vị được trình bày như ở Hình 2.5

Hình 2.5 Vị trí ban đầu và sau khi chuyển vị của phần tử dầm-cột

Véc-tơ chuyển vị lần lượt theo hệ tọa độ địa phương và hệ tọa độ tổng thể:

Do Mc1 =M , M1 c2 =M2, sử dụng các phương trình (2.13), (2.14) ta xác định

được ma trận độ cứng trong tọa độ địa phương K L Từ đây, theo phương trình

(2.25) ta xác định được ma trận độ cứng K G Ta thấy, K G có cập nhật sự thay

đổi hình học của phần tử sau khi biến dạng, có xét đến ảnh hưởng phi tuyến vật

liệu thông qua các hệ số chảy dẻo η η ở hai đầu phần tử trong các hàm 1, 2

s , s , s , (ds / dq , ds / dq , ds / dq1p ) ( 2p ) ( 3p ) và có xét đến ảnh hưởng phi

tuyến liên kết thông qua việc cập nhật các góc xoay θ θ của liên kết ở hai r1, r2

đầu phần tử

2.3 Phân tích p i tuyến v t l ệu

2.3.1 Phươ g p áp k ớ dẻo hiệu chỉn

Tác động của ứng suất dư trong tiết diện dưới tác dụng của lực dọc được kể đến

bằng cách hiệu chỉnh mô-đun đàn hồi E thành mô-đun tiếp tuyến Et đã được

trình bày bởi: Liew và cộng sự [13], Hội đồng nghiên cứu về cột (CRC), …

Để xét ảnh hưởng đồng thời của lực dọc và mô-men uốn đến sự chảy dẻo của

tiết diện phần tử, khái niệm thông số dẻo α (hàm số phụ thuộc vào giá trị của

lực dọc và mô-men uốn tại đầu mút phần tử) đã được đề xuất bởi một số tác

giả: Orbison [11], ASIC-LRFD [13], Balling [20], … (Hình 2.6)

Hình 2.6 Các đường tương tác của tiết diện thường dùng

Phương pháp khớp dẻo hiệu chỉnh được phát triển bởi Liew cùng cộng sự [13]

sử dụng hai đường dẻo (đường bắt đầu chảy dẻo khi α =0.5 và đường chảy dẻo hoàn toàn, còn gọi là đường tương tác của tiết diện, khi α = ) cho phép mô 1phỏng sự chảy dẻo dần dần tại vị trí đầu mút phần tử Hệ số chảy dẻo tại nút phần tử được xác định theo công thức: η = α − α Khi cặp nội lực tại đầu 4 1( )

mút phần tử di chuyển bên trong hoặc ngay trên đường bắt đầu chảy dẻo thì vị trí đầu mút phần tử vẫn còn đàn hồi (các hệ số chảy dẻo η = ) Khi nội lực nút 1phần tử di chuyển bên ngoài đường bắt đầu chảy dẻo và bên trong đường chảy dẻo hoàn toàn, khớp dẻo hình thành và hệ số chảy dẻo giảm dần ( 0< η < ) 1Khi nội lực nút phần tử di chuyển ngay trên đường chảy dẻo hoàn toàn, hệ số chảy dẻo η = Trong trường hợp 0 α > , cặp nội lực nút được đưa trở về 1đường α = ở vị trí có cùng giá trị của lực dọc cho bước tải tiếp theo 1

2.3.2 Phương p áp k ớp th

Để theo dõi sự chảy dẻo dần dần tại vị trí xuất hiện khớp dẻo, phương pháp khớp thớ chia tiết diện tại các vị trí đầu mút phần tử thành nhiều thớ để dò theo ứng xử phi đàn hồi Mỗi thớ được đại diện bởi diện tích và vị trí tọa độ trọng tâm của nó như trong Hình 2.7 Ứng suất dư ban đầu trong tiết diện dễ dàng được gán cho các thớ trước khi tiến hành phân tích bài toán Một số mô hình ứng suất dư đã được đề xuất bới Lehigh Notes (US) ,Vogel (ESSC) [26], …

zjy

Trong phương pháp khớp thớ, sự chảy dẻo được thể hiện thông qua việc cập

nhật ứng suất trong từng thớ sau mỗi bước gia tải mà không phụ thuộc vào các

đường tương tác của tiết diện nên mô phỏng được sự chảy dẻo chính xác hơn,

đặc biệt là trong bài toán có xét đến ứng suất dư ban đầu trong tiết diện

Mô-đun tiếp tuyến Et của phần tử và hệ số chảy dẻo η η tại các vị trí đầu 1, 2

mút được xác định như sau:

E

n E

với nE và AE là số thớ và diện tích phần đàn hồi của tiết diện ở giữa phần tử

do tác động của lực dọc có xét đến ảnh hưởng của ứng suất dư, nEi và Aj là số

thớ và diện tích thớ còn đàn hồi tại các tiết diện đầu mút phần tử

2.4 Phi tuyến l ên kết

2.4.1 Liên kết nửa cứng

Trong phân tích và thiết kế khung thép truyền thống, ứng xử của liên kết tại vị

trí dầm – cột được lý tưởng hóa thành các liên kết cứng hoàn toàn hoặc là liên

kết khớp lý tưởng Tuy nhiên, nhiều kết quả thực nghiệm đã chỉ ra rằng ứng xử

của liên kết là phi tuyến do sự liên kết không chặt và sự chảy dẻo dần dần của

các thành phần cấu thành liên kết như các tấm, sườn gia cường, thép góc,

bu-lông… Dạng liên kết này được gọi là liên kết nửa cứng Quan hệ giữa mô-men

và góc xoay của liên kết thường được biểu diễn bằng các hàm toán học có dạng

tổng quát M f= ( )θ Một số mô hình toán học của liên kết nửa cứng đã được r

đề xuất bởi Chen-Lui [6][8], Kishi-Chen, Richard-Abbott [21]…

1

r 0

R M

1

θθθ

2.4.2 Mô hìn ứng xử v ng tr của l ên kết nửa cứng

Ứng xử vòng trễ (hysteresis loop) của liên kết ảnh hưởng lớn đến kết quả phân tích phi tuyến của hệ kết cấu khi chịu tải lặp (tải tác dụng có sự đổi chiều theo thời gian) Có ba phương pháp chính mô phỏng ứng xử vòng trễ của liên kết: phương pháp tăng bền độc lập, phương pháp tăng bền động học và phương pháp mặt biên Tác giả áp dụng mô hình ứng xử tăng bền độc lập (Hình 2.8) trong nghiên cứu của mình do tính đơn giản của nó

r

θ

0 pD

θ

d dM kt R M

pB

θ

B ( , 0)

ki R

kt R

kt R

cC

θ

C ( , M ) C H

cG

θ

G ( , M ) G cE

CHƯƠNG 3 CHƯƠNG TRÌNH PHÂN TÍCH

Chương trình ứng dụng được phát triển bằng MATLAB dựa vào thuật toán giải

phi tuyến chiều dài cung (Arc-length Method – AL) kết hợp với thuật toán cực

tiểu hóa chuyển vị dư (Minimum Residual Displacement Method – MRD) cho

bài toán phân tích tĩnh và thuật toán Newmark-β kết hợp với thuật toán giải lặp

Newton-Raphson cho bài toán phân tích động khung thép phẳng phi đàn hồi có

liên kết nửa cứng

3.1 Th ật to n AL-MRD

Phương pháp chiều dài cung kết hợp với phương pháp cực tiểu hóa chuyển vị

dư (AL-MRD), đã được Chan và Zhou [24] đề xuất để phân tích ứng xử phi

tuyến của hệ kết cấu chịu tải trọng tĩnh, được trình bày cụ thể như bên dưới

Phương trình cân bằng gia tăng của hệ kết cấu:

trong đó: ∆F là véc-tơ lực không cân bằng, ∆ = − F F Z ; ∆u là véc-tơ gia số

chuyển vị; ∆F là véc-tơ song song với véc-tơ ∆F ; ∆u là véc-tơ chuyển vị kết

hợp do ∆F gây ra; ∆λ là hệ số điều chỉnh tải

Hệ số ∆λ ở bước lặp đầu tiên được xác định theo phương pháp chiều dài cung:

Ở bước lặp thứ hai trở về sau của mỗi bước tải, hệ số điều chỉnh tải ∆λ được

xác định từ điều kiện cực tiểu hóa chuyển vị dư:

T T 0

Hình 3.1 trình bày cụ thể nội dung thuật toán AL-MRD Thuật toán dừng lặp

(hội tụ) khi trị số (∆u ui/ ) [ ]≤ ε So với các thuật toán giải lặp phi tuyến truyền

thống, thuật toán AL-MRD hiệu quả và có tốc độ hội tụ cao do có xét đến hệ số điều chỉnh tải ∆λ trong mỗi bước tải

Hình 3.1 Thuật toán AL-MRD

3.2 Thuật to n Newmark-β kết h p với th ật to n Newton-Rap son

Phương trình cân bằng gia tăng chuyển động của hệ kết cấu:

∆ + T∆ + T∆ =∆

trong đó: ∆U U U,∆ɺ,∆ɺɺ lần lượt là véc-tơ gia số chuyển vị, vận tốc và gia tốc; , T, T

M C K lần lượt là ma trận khối lượng, ma trận cản và ma trận độ cứng tiếp

tuyến của hệ kết cấu; ∆F là véc-tơ gia số của tải ngoài

Các phương trình của Newmark [16] theo phương pháp gia tốc trung bình:

∆

Thay các phương trình (3.5), (3.6) vào (3.4), véc-tơ gia số chuyển vị ∆U của n 1+

bước tải thứ (n + 1) được xác định từ phương trình sau:

Áp dụng thuật toán giải lặp Newton-Raphson để khư lực dư trong hệ kết cấu

cho đến khi đạt sai số cho phép Các bước lặp được trình bày cụ thể như sau:

B1: Xác định ∆U1n 1+ ở bước lặp đầu tiên theo phương trình (3.7)

B2: Xác định véc-tơ chuyển vị dư δUk 1n 1++ tại bước lặp (k + 1):

B3: Cập nhật véc-tơ gia số chuyển vị k 1

n 1 + +

∆U , từ đó cập nhật các véc-tơ chuyển vị, véc-tơ vận tốc và véc-tơ gia tốc theo (3.10), (3.11), (3.12)

Các véc-tơ chuyển vị, véc-tơ vận tốc và véc-tơ gia tốc xác định được ở cuối

bước tải sẽ là điều kiện ban đầu cho bước tải kế tiếp

3.3 Chươ g trìn p ân tích

Dựa vào các thuật toán đã trình bày ở trên, một chương trình ứng dụng được

viết bằng ngôn ngữ MATLAB để phân tích phi tuyến khung thép phẳng chịu tải

trọng tĩnh và động Các tập tin nhập liệu Input.txt và Input_dyna_load.txt được

thiết lập riêng ngoài chương trình Tập tin Input.txt chứa các dữ liệu của hệ

khung và dữ liệu tải tĩnh Tập tin Input_dyna_load.txt, chỉ dùng cho bài toán động, chứa các dữ liệu tải động (hoặc gia tốc nền) theo thời gian

Để phân tích một hệ kết cấu, ta tiến hành rời rạc hóa hệ kết cấu, đánh số nút, đánh số phần tử và nhập các thông tin của hệ khung vào các tập tin Input.txt và Input_dyna_load.txt Chương trình sẽ đọc các tập tin này để nhập liệu

Chương trình phân tích không mặc định trước các hệ đơn vị tính, kết quả phân tích được xuất ra theo cùng thứ nguyên với các dữ liệu đầu vào

3.4 Các lưu đồ th ật to n

Lưu đồ thuật toán bài toán tĩnh Lưu đồ thuật toán bài toán động

Hình 3.2 Các lưu đồ thuật toán