Biến đổi iđêan và đối đồng điều địa phương suy rộng theo một cặp iđêan (tóm tắt)

Đầu tiên là sự rađời của môđun đối đồng điều địa phương suy rộng vào những năm 1970.Các môđun này được nhà toán học Herzog giới thiệu trong [57] và hiệnnay nó đang được nhiều nhà toán họ

ĐẠI HỌC QUỐC GIA THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINHTRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

BIẾN ĐỔI IĐÊAN VÀ ĐỐI ĐỒNG ĐIỀU ĐỊA PHƯƠNG SUY RỘNG THEO MỘT CẶP IĐÊAN

Chuyên ngành: Đại số và Lý thuyết số

Mã số chuyên ngành: 62 46 01 04

TÓM TẮT LUẬN ÁN TIẾN SĨ ĐẠI SỐ VÀ LÝ THUYẾT SỐ

TP HỒ CHÍ MINH - 2017

Công trình được hoàn thành tại: Trường Đại học Khoa học Tự nhiên

- Đại học Quốc gia thành phố Hồ Chí Minh

Người hướng dẫn khoa học: PGS TS Trần Tuấn Nam

TS Nguyễn Viết Đông

Phản biện 1: GS TSKH Nguyễn Tự Cường

Phản biện 2: GS TS Lê Thị Thanh Nhàn

Phản biện 3: PGS.TS Mỵ Vinh Quang

Phản biện độc lập 1: GS.TS Lê Văn Thuyết

Phản biện độc lập 2: TS Hà Minh Lam

Luận án sẽ được bảo vệ trước Hội đồng chấm luận án họp tại: TrườngĐại học Khoa học Tự nhiên - Đại học Quốc gia thành phố Hồ Chí Minhvào lúc giờ ngày tháng năm 2017

Có thể tìm hiểu luận án tại thư viện:

- Thư viện Khoa học Tổng hợp Tp HCM

- Thư viện Trường Đại học Khoa học Tự nhiên

TÓM TẮT LUẬN ÁN

Lý thuyết “Đối đồng điều địa phương” của Grothendieck đóng mộtvai trò quan trọng trong Đại số giao hoán và Hình học đại số Đối đồngđiều địa phương liên quan đến một iđêan a của một vành Noether giaohoán R và một R-môđun M , khi đó môđun đối đồng điều địa phươngthứ i của M theo a được cho như sau

Hai(M ) ∼= lim−→

n

ExtiR(R/an, M )

Trong những năm gần đây, lý thuyết “Đối đồng điều địa phương” đã

và đang được mở rộng theo nhiều hướng khác nhau Đầu tiên là sự rađời của môđun đối đồng điều địa phương suy rộng vào những năm 1970.Các môđun này được nhà toán học Herzog giới thiệu trong [57] và hiệnnay nó đang được nhiều nhà toán học trong và ngoài nước nghiên cứu.Cho M, N là các R-môđun, khi đó môđun đối đồng điều địa phương suyrộng thứ i của M, N theo iđêan a được xác định như sau

ΓI,J(M ) = {m ∈ M | Inm ⊆ J m với n  1}

Khi đó hàm tử ΓI,J(−) là một hàm tử hiệp biến, cộng tính và khớp trái

từ phạm trù các R-môđun vào chính nó Hàm tử dẫn xuất phải thứ icủa ΓI,J(−) được kí hiệu là HI,Ji (−) và được gọi là hàm tử đối đồng điềuđịa phương thứ i theo cặp iđêan (I, J ) Môđun đối đồng điều địa phương

theo một cặp iđêan nhanh chóng thu hút được sự chú ý của nhiều nhàtoán học trên thế giới Một số tính chất cơ bản của chúng trình bàytrong [50, 1.13, 2.4, 2.6, 3.2]; các tính chất triệt tiêu và không triệt tiêuđược trình bày trong phần 4 của [50], phần 3 của [15] và [41, Định lí 2,Mệnh đề 1]; các tính chất Artin được nêu trong Phần 2 của [15] và [40];các tính chất liên quan đến tính hữu hạn sinh được trình bày trong [42,2.4 - 2.7].

Năm 2011, trong [55], Zamani đưa ra khái niệm môđun đối đồngđiều địa phương suy rộng theo một cặp iđêan như sau: Cho M, N là cácR-môđun và I, J là các iđêan của vành Noether giao hoán R Khi đómôđun đối đồng điều địa phương suy rộng thứ i của M, N theo cặp iđêan(I, J ) được kí hiệu và xác định như sau

HI,Ji (M, N ) = Hi(HomR(M, ΓI,J(E•)))

với E• là một phép giải nội xạ của N Trong [55, 2.2], khi M là mộtR-môđun hữu hạn sinh và kí hiệu IM = 0 :RM/IM, tác giả nêu ra cácđẳng cấu

Trong quá trình nghiên cứu về đối đồng điều địa phương có một hàm

tử mà các hàm tử dẫn xuất phải của nó có các tính chất rất gần vớicác hàm tử đối đồng điều địa phương đó là hàm tử biến đổi iđêan (xem

HomR(an, M ) là biến đổi iđêan của M theo iđêan a hay là a-biến

đổi của M Các hàm tử dẫn xuất phải thứ i của Da(−) được kí hiệu là

RiDa(−) Một số tính chất của chúng đã được trình bày trong [6], [10]

và [12] Trong [20], các tác giả đã đưa ra định nghĩa biến đổi iđêan suyrộng như sau: Cho M là một R-môđun, hàm tử biến đổi iđêan suy rộngtheo iđêan a được xác định như sau

Luận án tiếp tục nghiên cứu các tính chất của môđun HI,Ji (M ) và

HI,Ji (M, N ) một cách có hệ thống Bên cạnh đó, các kết quả liên quanđến biến đổi iđêan suy rộng theo một iđêan cũng là một phần nội dungcủa luận án Để có một sự kết nối hoàn chỉnh giữa các chương, chúng tôiđưa ra khái niệm biến đổi iđêan theo một cặp iđêan và nghiên cứu cáctính chất của chúng để thấy được mối liên hệ với các môđun đối đồngđiều địa phương theo một cặp iđêan

Nội dung của luận án được tóm tắt như sau:

Chương 1 Kiến thức chuẩn bị

Chương 2 Đối đồng điều địa phương theo một cặp iđêan

2.1 Môđun Lasker yếu và môđun cofinite

Hartshorne đã định nghĩa môđun I-cofinite như sau: Một R-môđun

L được gọi là I-cofinite nếu SuppR(L) ⊆ V (I) và ExtiR(R/I, L) là hữuhạn sinh với mọi i Ông đặt ra câu hỏi: Khi nào HIi(M ) là I-cofinite vớimọi i ? Trong thực tế, có nhiều lớp môđun rộng hơn lớp môđun hữu hạnsinh ví dụ như lớp môđun Lasker yếu, môđun minimax, Chúng tôi sẽ

sử dụng môđun Lasker yếu để mở rộng khái niệm môđun I-cofinite củaHartshorne và đưa ra định nghĩa môđun (I, J )-weakly cofinite như sau:Định nghĩa 2.1.11 Một R-môđun M được gọi là (I, J )-weakly cofinitenếu SuppR(M ) ⊆ W (I, J ) và ExtiR(R/I, M ) là Lasker yếu với mọi i ≥ 0

Vì tập các iđêan nguyên tố liên kết của môđun Lasker yếu là hữuhạn nên ta sẽ dùng môđun (I, J )-weakly cofinite để nghiên cứu các kếtquả liên quan đến tính hữu hạn của tập iđêan nguyên tố liên kết củacác môđun HI,Ji (M )

Định lí 2.1.14 Cho M là một R-môđun Lasker yếu và t là một sốnguyên không âm thỏa HI,Ji (M ) là (I, J )-weakly cofinite với mọi i < t.Khi đó HomR(R/I, HI,Jt (M )) cũng là Lasker yếu Đặc biệt, tập

AssR(HomR(R/I, HI,Jt (M ))) là hữu hạn

Một câu hỏi được đặt ra tương tự như của Hartshorne nhưng đốivới môđun đối đồng điều địa phương theo một cặp iđêan là: Khi nào

HI,Ji (M ) là (I, J )-weakly cofinite với mọi i ?

Định lí 2.1.18 Cho M là một R-môđun sao cho ExtiR(R/I, M ) làLasker yếu với mọi i và t là một số nguyên không âm Nếu HI,Ji (M ) là(I, J )-weakly cofinite với mọi i 6= t thì HI,Jt (M ) cũng là (I, J )-weaklycofinite

Từ đây, chúng ta có hệ quả

Hệ quả 2.1.20 Cho I là một iđêan chính của R và M là một R-module

Lasker yếu Khi đó HI,Ji (M ) là (I, J )-weakly cofinite với mọi i ≥ 0.

2.3 Môđun coatomic

Trong tiết này, chúng ta sẽ phát triển một số kết quả đã có trongtrường hợp M là môđun coatomic Môđun coatomic được giới thiệu vànghiên cứu bởi H Z¨oschinger trong [58]

Định nghĩa 2.3.1([58]) Một R-môđun M được gọi là coatomic nếu mọimôđun con thực sự của M đều chứa trong một môđun con tối đại củaM

Trong [15, 2.1], nếu M là R-môđun hữu hạn sinh trên vành địaphương (R, m) thì HI,Jd (M ) là Artin với d = dim M Kết quả này sẽ vẫnđúng trong lớp các môđun coatomic và minimax

Định lí 2.3.6 Cho (R, m) là một vành địa phương và M là một môđun coatomic với d = dim M > 0 hoặc M là một R-môđun minimaxvới d = dim M > 1 Khi đó Hd

R-I,J(M ) là Artin và

Att(HI,Jd (M )) = {p ∈ SuppR(M ) ∩ V (J ) | cd(I, J, R/p) = d}

trong đó cd(I, J, M ) = sup{n | HI,Jn (M ) 6= 0}

Một sự tổng quát hóa của [1, 3.9], nó cho thấy mối quan hệ giữa tínhtriệt tiêu, tính hữu hạn và tính coatomic của HI,Ji (M ).

Định lí 2.3.9 Cho (R, m) là một vành địa phương, M là một R-môđunhữu hạn sinh và t là một số nguyên dương Các phát biểu sau là tươngđương:

(i) HI,Ji (M ) = 0 với mọi i ≥ t;

(ii) HI,Ji (M ) là hữu hạn sinh với mọi i ≥ t;

(iii) HI,Ji (M ) là coatomic với mọi i ≥ t

2.4 Tính hữu hạn của tập giá

Trong [1, 3.3] hay [46, 2.3], khi nghiên cứu các môđun đối đồng điềuđịa phương theo một iđêan, các tác giả đã chỉ ra dim HIi(M ) ≤ d − i vàSuppR(HId−1(M )) là một tập hữu hạn

Định lí 2.4.1 Cho M là một R-môđun hữu hạn sinh với d = dim M <

∞ Khi đó các điều sau đây là đúng:

(i) dim HI,Ji (M ) ≤ d − i

(ii) Nếu R là vành nửa địa phương thì SuppR(HI,Jd−1(M )/J HI,Jd−1(M ))

là hữu hạn

Chương 3: Đối đồng điều địa phương suy rộng theo một cặp iđêan

3.1 Một số tính chất cơ bản

Chúng tôi giới thiệu một định nghĩa khác của môđun đối đồng điềuđịa phương suy rộng theo một cặp iđêan

Định nghĩa 3.1.1 Cho các R-môđun M và N, ta kí hiệu ΓI,J(M, N )

là môđun được xác định như sau

ΓI,J(M, N ) = ΓI,J(HomR(M, N ))

Khi đó ΓI,J(M, −) là một hàm tử hiệp biến, R-tuyến tính và khớptrái từ phạm trù các R-môđun vào chính nó Các hàm tử dẫn xuất phảithứ i của ΓI,J(M, −) kí hiệu là HI,Ji (M, −) và được gọi là hàm tử đốiđồng điều địa phương suy rộng thứ i theo cặp iđêan (I, J ) Với mỗiR-môđun N, môđun HI,Ji (M, N ) được gọi là môđun đối đồng điều địaphương suy rộng thứ i của M, N theo cặp iđêan (I, J ) Ta thấy rằng,khi M hữu hạn sinh thì định nghĩa của Zamani và định nghĩa của chúngtôi là tương đương Do đó, trong toàn bộ chương này, M luôn được xét

là một môđun hữu hạn sinh Tiếp theo, khi N là các môđun đặc biệtnhư (I, J )-xoắn hay J -xoắn thì ta có được các đẳng cấu liên quan đếnmôđun ExtiR(M, N ) và HIi(M, N )

Mệnh đề 3.1.7 Nếu N là một R-môđun (I, J )-xoắn thì HI,Ji (M, N ) ∼=ExtiR(M, N ) với mọi i ≥ 0

Mệnh đề 3.1.8 Nếu N là một R-môđun J -xoắn thì HI,Ji (M, N ) ∼=

HIi(M, N ) với mọi i ≥ 0

Ngoài cách tính các môđun HI,Ji (M, N ) thông phép giải nội xạ của

N, chúng tôi trình bày một cách tính khác thông qua phức ˇCech và phứctoàn phần (Định lí 3.1.9.)

3.2 Các kết quả về tính Artin

Tính Artin là một trong những vấn đề quan trọng khi nghiên cứumôđun HI,Ji (M, N ).

Định lí 3.2.1 Giả sử (R, m) là một vành địa phương Cho M, N là cácR-môđun hữu hạn sinh với r = pd(M ) và d = dim(N ) Khi đó

HI,Jr+d(M, N ) ∼= ExtrR(M, HI,Jd (N ))

Hơn nữa, HI,Jr+d(M, N ) là một R-môđun Artin

Định lí 3.2.7 Cho M là một R-môđun hữu hạn sinh và N là mộtR-môđun Artin Khi đó HI,Ji (M, N ) là Artin với mọi i ≥ 0

Trong [16, 5.4], nếu dim R = d và M, N là các R-môđun hữu hạnsinh với pdM < ∞ thì HId(M, N ) là Artin và SuppR(HId−1(M, N )) làmột tập hữu hạn Tính chất này đặt ra cho chúng ta một câu hỏi: Cácmôđun HI,Jd (M, N ) và HI,Jd−1(M, N ) với d = dim R có tính chất giốngnhư trên không? Câu trả lời được cho trong định lí dưới đây

Định lí 3.2.8 Cho (R, m) là một vành địa phương và M, N là các môđun hữu hạn sinh với pdM < ∞, d = dim R Khi đó, các điều sauđây là đúng:

R-(i) HI,Jd (M, N )/J HI,Jd (M, N ) là Artin

(ii) SuppR(HI,Jd−1(M, N )/J HI,Jd−1(M, N )) là một tập hữu hạn

3.3 Mối liên hệ giữa HI,Ji (N ) và HI,Ji (M, N ) trong các phạm trùcon Serre

Bằng cách sử dụng dãy phổ Grothendieck, chúng tôi đã chứng minhđược kết quả dưới đây:

Định lí 3.3.2 Cho M là một môđun hữu hạn sinh, N là một môđun bất kì và t là một số nguyên không âm Nếu Extt−iR (M, HI,Ji (N )) ∈

R-S với mọi 0 ≤ i ≤ t thì Ht

I,J(M, N ) ∈ S

Những hệ quả của Định lí 3.3.2 cho ta các kết quả về tính hữuhạn của giá hay tính minimax của môđun HI,Ji (M, N ) Trong vành địa

phương (R, m), ta sẽ thấy rằng HomR(R/m, HI,Jd (M, N )) ∈ S ngay cảkhi HI,Jd (N ) 6∈ S.

Định lí 3.3.6 Cho M, N là các môđun hữu hạn sinh trên vành địaphương (R, m) và d là một số nguyên không âm Giả sử rằng S là mộtphạm trù con Serre khác phạm trù các môđun không Nếu HI,Ji (N ) ∈ Svới mọi i < d thì HomR(R/m, HI,Jd (M, N )) ∈ S

3.4 Môđun (S, I, J )-cofinite

Chúng tôi đưa ra một khái niệm môđun (S, I, J )-cofinite Đây chính

là một sự tổng quát hóa của môđun I-cofinite do Hartshorne giới thiệu

và môđun (I, J )-weakly cofinite

Định nghĩa 3.4.1 Một R-môđun M được gọi là (S, I, J )-cofinite nếuSuppR(M ) ⊆ W (I, J ) và ExtiR(R/I, M ) ∈ S với mọi i ≥ 0

Cho S là một phạm trù con Serre của phạm trù các R-môđun Vấn

đề được đặt ra là khi nào môđun HI,Ji (M, N ) ∈ S

Mệnh đề 3.4.9 Cho M là một R-môđun xạ ảnh hữu hạn sinh và N

là một R-môđun bất kì Nếu HI,Ji (N ) là (S, I, J )-cofinite với mọi i ≥ 0thì HI,Ji (M, N ) là (S, I, J )-cofinite với mọi i ≥ 0

Mệnh đề 3.4.10 Cho M là một R-môđun xạ ảnh hữu hạn sinh, N làmột R-môđun bất kì thỏa ExtiR(M/IM, N ) ∈ S với mọi i ≥ 0 và d làmột số nguyên không âm Nếu HI,Ji (M, N ) là (S, I, J )-cofinite với mọi

i 6= d thì HI,Jd (M, N ) cũng là (S, I, J )-cofinite

Ngoài ra, chúng tôi có đưa ra một kết quả liên quan đến tính cofinite artin của môđun đối đồng điều địa phương suy rộng theo mộtiđêan

I-Định lí 3.4.13 Cho M là một môđun hữu hạn sinh trên vành địaphương (R, m) Nếu SuppR(HI,Ji (N )) ⊆ {m} với mọi i ≥ 0 thì HI,Ji (M, N )

là artin và I-cofinite với mọi i ≥ 0

Chương 4: Biến đổi iđêan suy rộng

4.1 Biến đổi iđêan suy rộng theo một iđêan

Năm 2004, Divaani-Aazar và Sazeedeh đã định nghĩa biến đổi iđêansuy rộng theo một iđêan DI(M, N ) và dùng nó để nghiên cứu tính I-cofinite của môđun HIi(M, N ) Trong tiết này, chúng tôi sẽ tiếp tụcnghiên cứu các tính chất của hàm tử DI(M, −) và các hàm tử dẫn xuấtphải RiDI(M, −) của nó Brodmann đã chứng minh rằng khi N là mộtR-môđun I-xoắn thì DI(N ) = 0 (xem [12]) Kết quả này sẽ được tổngquát trong trường hợp của biến đổi iđêan suy rộng

Định lí 4.1.2 Cho M là một R-môđun hữu hạn sinh và N là mộtR-môđun I-xoắn Khi đó RiDI(M, N ) = 0 với mọi i ≥ 0

Trong [12], nếu I = Ra là một iđêan chính thì DI(N ) ∼= Navới Na

là địa phương hóa của N tương ứng với tập con đóng nhân S = {ai |

i ∈ N} Định lí tiếp theo sẽ cho thấy một tính chất khá đẹp của biến đổiiđêan suy rộng trong trường hợp I là một iđêan chính

Định lí 4.1.8 Cho M là một R-môđun hữu hạn sinh và N là mộtR-môđun Khi đó

RiDI(M, N ) và HIi(M, N )

Định lí 4.1.11 Cho M là một R-môđun hữu hạn sinh và N là mộtR-môđun bất kì Nếu t là một số nguyên không âm sao cho RiDI(M, N )

là hữu hạn sinh với mọi i < t thì HomR(R/I, RtDI(M, N )) là một môđun hữu hạn sinh.

R-Định lí 4.1.13 Cho M là một R-môđun hữu hạn sinh Khi đó, ta cócác điều sau đây:

(i) Nếu N là một R-môđun Artin thì RiDI(M, N ) là Artin với mọi

i ≥ 0

(ii) Nếu N là một R-môđun hữu hạn sinh và p = pd(M ), d = dim(N )

là hữu hạn thì Rp+dDI(M, N ) là một R-môđun Artin

4.2 Tập iđêan nguyên tố liên kết của RiDI(M, N )

Nếu N là một R-môđun hữu hạn sinh thì biến đổi iđêan suy rộngbậc cao nhất là Artin Tuy nhiên, khi cho N là một môđun Lasker yếuthì ta không có được tính Artin mà chỉ thấy được tính hữu hạn của tậpgiá của biến đổi iđêan suy rộng và môđun đối đồng điều địa phương suyrộng theo một iđêan bậc cao nhất

Định lí 4.2.2 Cho M là một R-môđun hữu hạn sinh và N là mộtR-môđun Lasker yếu với p = pd(M ) < ∞ và d = dim(N ) Khi đóSuppR(Rp+dDI(M, N )) và SuppR(HIp+d(M, N )) là các tập hữu hạn.Bằng cách sử dụng các dãy phổ Grothendieck, chúng tôi đã đưa rađược một số kết quả liên quan đến tập iđêan nguyên tố liên kết của

(iii) SuppR(RtDI(M, N )) ⊆

t

S

i=0

SuppR(ExtiR(M, Rt−iDI(N )))

4.3 Biến đổi iđêan theo một cặp iđêan

Một cách rất tự nhiên, khi nghiên cứu môđun HI,Ji (M ), chúng tôicũng cố gắng đưa ra định nghĩa biến đổi iđêan theo cặp iđêan (I, J ).Định nghĩa 4.3.2 Cho M là một R-môđun và I, J là hai iđêan củavành R Biến đổi iđêan của M theo cặp iđêan (I, J ) hay còn gọi là(I, J )-biến đổi của M được xác định như sau

DI,J(M ) = lim−→

a∈ ˜ W (I,J )

Da(M )

Ta sẽ thấy được mối liên hệ giữa biến đổi iđêan theo một cặp iđêan

là giới hạn thuận của một hệ các môđun biến đổi iđêan theo một iđêan.Mệnh đề 4.3.4 Cho M là một R-môđun Khi đó

RiDI,J(M ) ∼= lim−→

a∈ ˜ W (I,J )

RiDa(M )

với mọi i ≥ 0

Một trong những vấn đề quan trọng khi nghiên cứu biến đổi iđêan

là khi nào hàm tử DI(−) là một hàm tử khớp Các điều kiện để hàm tử

DI,J(−) là hàm tử khớp là kết quả chính của tiết 4.3

Định lí 4.3.5 Cho M là một R-môđun Khi đó các điều sau đây làtương đương:

(i) DI,J(−) là một hàm tử khớp;

(ii) HI,Jn (R) = 0 với mọi n ≥ 2;

(iii) HI,Jn (M ) = 0 với mọi n ≥ 2 và mọi R-môđun hữu hạn sinh M ;

(iv) HI,Jn (M ) = 0 với mọi R-môđun M và mọi n ≥ 2;

(v) HI,Jn (DI,J(M )) = 0 với mọi n ≥ 0;