Một số bài toán điều khiển phương trình vi phân mờ (tóm tắt)

Điều khiển hệ thống đã trở thành một Lý thuyết toán học vào đầu nhữngnăm 60 của thế kỷ 20, bắt đầu là sự chú ý của giới khoa học trong công nghệ Wilde và Kokotovic [?].. Theo xu hướng tấ

• Một số tính chất định tính của nghiệm (tồn tại và duy nhất, ổn định, );

• Bài toán điều khiển được;

• Bài toán điều khiển ngược;

• Bài toán điều khiển tối ưu

Điều khiển hệ thống đã trở thành một Lý thuyết toán học vào đầu nhữngnăm 60 của thế kỷ 20, bắt đầu là sự chú ý của giới khoa học trong công nghệ

(Wilde và Kokotovic [?]) Nhiều bài toán đã được mô hình hóa và có những

kết quả nghiên cứu chuyên sâu Theo xu hướng tất yếu, lý thuyết điều khiển

hệ thống đã được nhiều nhà toán học quan tâm nghiên cứu, hoàn thiện và cónhững đóng góp rất lớn để lý thuyết này ngày càng hoàn thiện, chặt chẽ và có

sự mô phỏng được sử dụng cho nghiệm bó của các hệ động lực Vấn đề nàythường được các nhà toán học nghiên cứu trên các đối tượng giá trị tập, giátrị mờ, v.v

Đề tài luận án này liên quan tới khảo sát một số bài toán điều khiển phươngtrình vi phân mờ - đối tượng mới của mô hình hệ động lực mờ Lý thuyết tập

mờ (fuzzy set theory) được Zadeh giới thiệu đầu tiên vào năm 1965 trong bài

báo [?] là một sự mở rộng của lý thuyết tập hợp kinh điển, nhằm mục đích

giải quyết những hạn chế của logic đơn trị trong điều khiển học Sau khi cónhiều ứng dụng có ý nghĩa trong thực tiễn, lý thuyết mờ đã được cộng đồngkhoa học thế giới ghi nhận Theo xu hướng phát triển tất yếu, lý thuyết giảitích mờ (fuzzy analysis) đã được nhiều nhà toán học quan tâm nghiên cứu,xây dựng và hoàn thiện các phép toán cần thiết để ngày càng chặt chẽ về lýthuyết và hiệu quả về ứng dụng

Tóm tắt luận án gồm: Tổng quan vấn đề, Nội dung của luận án (3 chương),Kết luận, Danh mục công trình của tác giả và Tài liệu tham khảo

Chương 1 Kiến thức chuẩn bị Trình bày các kiến thức cần sử dụng trong

luận án: bao gồm các khái niệm về tập, tập mờ và số mờ Hơn nữa, nhữngkiến thức cơ bản về không gian mêtric Hausdorff, giải tích tập, không gianmêtric mờ, giải tích mờ, không gian vectơ được trình bày đầy đủ và có hệthống nhằm sử dụng cho các kết quả chính của luận án

Chương 2 Bài toán nghiệm bó mờ Chương thứ hai trình bày các khái niệm

về nghiệm của bài toán giá trị ban đầu cho phương trình vi phân tập dạng

bó, về điều khiển bó mờ và mờ có chậm trong không gian metric mờ Ed Nộidung chính của chương này đã được công bố trong [Tri1], [Tri2]

Chương 3 Bài toán điều khiển nghiệm bó mờ Chúng tôi trình bày một số kết

quả về đánh giá tính chất định tính và phương pháp giải cho một số lớp bàitoán nghiệm bó mờ; Nghiên cứu tính chất tồn tại và duy nhất nghiệm của bàitoán điều khiển nghiệm bó mờ dưới sự tham gia của điều khiển mờ Nội dungchính của chương này đã được công bố trong một bản thảo gửi đăng [Tri3].Các kết quả chính của luận án được viết dựa trên kết quả của 2 bài báo đãcông bố [Tri1], [Tri2] của tác giả (chung với người hướng dẫn khoa học và cáctác giả khác) và 1 bài đã gửi tạp chí Các kết quả này đã được tác giả trình bàytại các buổi seminar nhóm phương trình vi phân của người hướng dẫn khoahọc, tại Hội nghị toán học phối hợp Việt - Pháp [Tri4] và tại Đại hội toán họcViệt Nam lần thứ VIII [Tri5]

Chương 1

Kiến thức chuẩn bị

1.1 Không gian mêtric Hausdorff

Cho A, B ⊂ Rd và λ ∈ R, phép cộng Minkowski và phép nhân vô hướng

(xem [?]) được định nghĩa như sau:

A+ B = {a + b : a ∈ A, b ∈ B}; λA = {λa : a ∈ A}

Ta ký hiệu KCC(Rd) là họ các tập con lồi, compact và khác rỗng của Rd

Định nghĩa 1.1.1 ([?]) Cho A, B ∈ KCC(Rd) Nếu tồn tại C ∈ KCC(Rd) sao cho

A= B + C thì C được gọi là hiệu Hukuhara giữa A và B Ta ký hiệu C = A B

Định nghĩa 1.1.2 ([?]) Cho A, B là hai tập lồi, compact và khác rỗng của Rd.Khoảng cách Hausdorff từ B đến A được xác định bởi:

dH(B, A) = sup inf

b∈B a∈A

||a − b||

và khoảng cách Hausdorff từ A đến B được xác định bởi:

dH(A, B) = sup inf

a∈A b∈B

||a − b||

Định nghĩa 1.1.3 ([?]) Cho A, B ∈ KCC(Rd) Khoảng cách Hausdorff giữa haitập A, B được xác định bởi:

D[A, B] = max{dH(B, A), dH(A, B)}

Định lý 1.1.1 ([?]) (KCC(Rd), D) là không gian mêtric đầy đủ, tách được và compact

địa phương.

1.1.2 Một số kiến thức cơ bản về giải tích tập

Cho [t0, T] ⊆ R+ Xét ánh xạ F đi từ [t0, T] vào KCC(Rd) Hàm tập (giá trịtập) được hiểu như là một ánh xạ đa trị F : [t0, T] → KCC(Rd) Khi đó, F(t) ∈

KCC(Rd), ∀t ∈ [t0, T]

Định nghĩa 1.1.4 ([?]) Hàm F đi từ [t0, T] vào KCC(Rd) được gọi là liên tục tại

t ∈ (t0, T) nếu với mọi  > 0 tồn tại δ = δ(, t) > 0 sao cho với mọi s ∈ (t0, T):

Định nghĩa 1.1.6 (Đạo hàm Hukuhara của hàm tập, [?]) Cho hàm F : [t0, T] →

KCC(Rd) Ta nói hàm F(t) khả vi Hukuhara tại điểm t ∈ [t0, T] nếu tồn tại

DHF(t) ∈ KCC(Rd) sao cho với mọi h > 0 đủ nhỏ, các hiệu Hukuhara F(t + h) F(t), F(t) F(t − h) tồn tại, các giới hạn sau tồn tại và thỏa mãn:

limh→0+

Định nghĩa 1.1.7 (Đạo hàm Hukuhara tổng quát của hàm tập, [?]) Cho F :

(t0, T) → KCC(Rd) Ta nói F có đạo hàm Hukuhara tổng quát tại t ∈ (t0, T) nếutồn tại DHgF(t) ∈ KCC(Rd) sao cho

(i) với h > 0 đủ nhỏ, hiệu Hukuhara F(t + h) F(t), F(t) F(t − h) tồn tại và

limh→0+

(ii) với h> 0 đủ nhỏ, hiệu Hukuhara F(t) F(t + h), F(t − h) F(t) tồn tại và

limh→0+

Định nghĩa 1.2.1 (Tập mờ - số mờ, [?]) Ký hiệu Ed = {ω : Rd → [0, 1] sao cho

ω thỏa các tính chất (i)-(iv) sau} :

(i) ω là chuẩn, nghĩa là tồn tại z0 ∈ Rd sao choω(z0) = 1;

(ii) ω là mờ lồi, nghĩa là

ω(λz1+ (1 − λ)z2) ≥ min{ω(z1), ω(z2)}, ∀λ ∈ [0, 1], z1, z2 ∈ Rd;

(iii) ω nửa liên tục trên;

(iv) cl{z ∈ Rd :ω(z) > 0} là tập compact

Khi đó, Ed được gọi là họ các tập mờ (không gian các tập mờ trong Rd) và

E1 được gọi là họ các số mờ (không gian các số mờ trong R)

Định nghĩa 1.2.2 ([?]) Choω ∈ Ed Vớiα ∈ (0, 1], ta ký hiệu

Định nghĩa 1.2.3 ([?]) Choω1, ω2 ∈ Ed Khoảng cách Hausdorff giữa hai tập

mờω1vàω1 được xác định như sau:

D0[ω1, ω2] = sup

α∈[0,1]

Dh[ω1]α, [ω2]αi,với D là khoảng cách Hausdorff trong KCC(Rd)

Định nghĩa 1.2.4 ([?]) Cho hai tập mờ ω1, ω2 ∈ Ed Nếu tồn tại ω3 ∈ Ed saocho ω1 = ω2 + ω3 thì ω3 được gọi là hiệu Hukuhara của ω1, ω2 Ta ký hiệu

Ta gọi tập tất cả vector số mờ d chiều (tức là tích Descartes E1× E1× · · · × E1

Định nghĩa 1.2.6 ([?]) Nếuω ∈ Ed (không gian tập mờ trong Rd) và tập mức[ω]α là một khối hộp, tức là, [ω]α có thể được biểu diễn bởi

dQ

i =1[ωi(α), ωi(α)],hay

[ω1(α), ω1(α)] × [ω2(α), ω2(α)] × · · · × [ωd(α), ωd(α)], ∀α ∈ [0, 1],

trong đóωi(α), ωi(α) ∈ R với ωi(α) ≤ ωi(α) với mọi α ∈ (0, 1], i = 1, 2, , d, thì

ta gọiω ∈ Edlà một số mờ d−chiều, và ta ký hiệuω ∈ Ed

Nhận xét 1.2.1 ([?]) Khoảng cách Hausdorff giữa 2 vectơ mờ trong Ed đượcxác định như trong Định nghĩa 1.2.3 Khi đó, (Ed, D0) là không gian mêtricđầy đủ

min {ω1(x1), ω2(x2)}, nếu g−1(z) , ∅,

với z ∈ Rd Trong đó, g−1(z) = {(x1, x2) ∈ Rd × Rd : g(x1, x2) = z} có thể khácrỗng (hoặc chứa một điểm hoặc chứa nhiều điểm)

Khi đó, ta nói ˆg thu được từ g bằng nguyên lý mở rộng của Zadeh Nguyên

lý này đóng một vai trò rất quan trọng trong lý thuyết mờ và ứng dụng trongviệc nghiên cứu các bài toán mờ

Định nghĩa 1.2.8. Hàm mờ x : (t0, T) → Ed được gọi là liên tục tại t ∈ (t0, T)nếu với mọi > 0 tồn tại δ = δ(t, ) > 0 sao cho với mọi s ∈ (t0, T) : |t − s| < δ,

Định nghĩa 1.2.10 ([?]) Cho x : (t0, T) → Ed và t ∈ (t0, T) Ta nói x có đạo hàmHukuhara tổng quát tại t nếu tồn tại DgHx(t) ∈ Edsao cho

(i) với h > 0 đủ nhỏ, những hiệu Hukuhara x(t + h) x(t) và x(t) x(t − h)tồn tại, những giới hạn sau tồn tại và thỏa mãn:

limh→0+

(ii) với h > 0 đủ nhỏ, những hiệu Hukuhara x(t) x(t + h) và x(t − h) x(t)tồn tại, những giới hạn sau tồn tại và thỏa mãn:

limh→0+

(iii) với mọi h> 0 đủ nhỏ, những hiệu Hukuhara x (t + h) x(t), x(t−h) x(t)tồn tại, những giới hạn sau tồn tại và thỏa mãn:

limh→0+

(iv) với mọi h> 0 đủ nhỏ, những hiệu Hukuhara x (t) x(t+h), x(t) x(t−h)tồn tại, những giới hạn sau tồn tại và thỏa mãn:

limh→0+

1.2.3 Trường hợp E1

Định nghĩa 1.2.13 ([?]) Cho x : [t0, T] → E1 Đường kính (độ rộng) của x làhàm diam([x(·)]α) : [t0, T] → R+ được xác định bởi:

diam([x(t)]α) = x(t, α) − x(t, α),trong đó [x(t)]α = [x(t, α), x(t, α)] với mỗi α ∈ [0, 1]

Định nghĩa 1.2.14 ([?]) Tích phân Riemann của hàm mờ x : [a, b] → E1 trên[a, b] là số mờ Ξ nếu với mọi  > 0, tồn tại δ > 0, với bất kỳ phân hoạch

a= t0 < t1 < t2 < < td = b mà ti− ti−1< δ, i = 1, , d và ξi ∈ [ti−1, ti] thì

D0

 dX

i =1x(ξi)(ti− ti−1), Ξ < 

Khi đó, x được gọi là khả tích Riemann trên [a, b] và ký hiệu (R)Rb

a x(t)dt = Ξ

Khi tiếp cận mô hình hệ động lực mà vế phải là một hàm thực và hệ thốngđầu vào là một giá trị thuộc một bó lồi, compact, khác rỗng của Rd(tức là hệthống đầu vào x0 ∈ H0 ⊂ Rd), ta thu được đầu ra của hệ thống là một bó haymột tập con lồi compact, khác rỗng của Rd Cách tiếp cận này có rất lợi ích choviệc nghiên cứu đầu ra của hệ thống vì đầu vào của hệ thống thường khôngđược đo đạt chính xác hay bị nhiễu bởi một vài yếu tố khách quan trong quátrình vận hành của hệ thống Chẳng hạn, hàm biểu diễn quá trình chuyển đổicủa hệ thống là một hàm giá trị tập, hoặc một hàm mờ Dựa vào cách tiếp cậnnày, chúng tôi thu được đầu ra dưới dạng nghiệm bó Ta xét

d

dtx(t) = f (t, x(t)), x(t0) = x0 ∈ H0 ⊂ Rd, (1.2)trong đó t ∈ [t0, t0+ ζ], H0 là một tập con lồi, compact, khác rỗng của Rd và

f : [t0, t0 + ζ] × Rd → Rd là một hàm giá trị thực Ta nhận thấy rằng, nghiệmx(·) của (1.2) được biết như một hàm liên tục x : [t0, t0 + ζ] → Rd thỏa (1.2)ứng với mỗi x0 ∈ H0 Cho mỗi trạng thái của hệ thống (t, x) ∈ [t0, t0+ ζ] × Rdthì đạo hàm được biết như là đạo hàm thông thường trong cổ điển cho hàmthực Nghiệm của bài toán (1.2) được biểu diễn dưới dạng tập hoặc bó:

X= {x : [t0, t0+ ζ] → Rd

| x(·) là nghiệm của bài toán (1.2) ứng với mỗi x0 ∈ H0}.Khi đó, nghiệm bó của bài toán (1.2) tại t ∈ [t0, t0+ ζ] có thể được định nghĩalại như sau:

Ht ,x = {x(t, t0, x0) | x(·) ∈ X}

Tuy nhiên, có thể được mở rộng với lớp bài toán mà hàm vế phải f của (1.2)

là một hàm mờ Hay ta xét bài toán (1.2) với vế phải là một hàm mờ, tức

là f : [t0, t0 + ζ] × Ed → Ed và đầu vào hệ thống là những tập mờ Khi đó,nghiệm của hệ thống (1.2) với vế phải là một hàm mờ được xác định bởi

x : [t0, t0 + ζ] → Ed, trong đó Ed là không gian của những tập con mờ trên

Rd với tập mức là những tập lồi, compact, khác rỗng Hiện nay, với cách tiếpcận cho bài toán dạng này, ta gọi nó là bài toán nghiệm bó mờ và có ít nhấthai cách tiếp cận để xây dựng nghiệm mờ cho bài toán này Đầu tiên là nghiêncứu bài toán nghiệm bó mờ dưới đạo hàm Hukuhara và cách tiếp cận thứ hai

là dựa vào đạo hàm Hukuhara tổng quát

Bằng hai cách tiếp cận trên chúng tôi xây dựng được bài toán sau

DHgx(t)= f (t, x(t)), x(t0) = x0 ∈ Ed, (1.3)trong đó Ed là một tập mờ và f : [t0, t0+ ζ] × Ed → Ed là một hàm mờ Trongbài toán (1.3) của chúng tôi, có thể sử dụng nguyên lý mở rộng của Zadeh chonhững hàm mờ vào trong hệ động lực (1.3) thì nghiệm của hệ thống đầu ravẫn là một tập con lồi, compact khác rỗng của Rd Trong bài toán này chúngtôi gọi nghiệm của bài toán này là nghiệm bó dưới dạng mờ Chúng ta xét haibài toán sau đây để làm rõ kết quả đầu ra của hệ thống (1.2) và (1.3)

Ví dụ 1.2.1 Xét bài toán giá trị đầu dạng bó:

d

dtx(t) = −λx(t), x(t0) = x0 ∈ H0 = [H0, H0] ⊂ R, (1.4)trong đó x : [t0, T] → R và λ > 0

Nghiệm của bài toán (1.4) được cho bởi dạng tập (hay bó) như sau

Ht ,x = {x(t) = x(t, t0, x0) : x(t)= x0e−λt, x0 ∈ [H0, H0]}

Ta có thể biểu diễn nghiệm bó trên tại thời điểm t dưới dạng

Ht ,x = [H0e−λt, H0e−λt] = H0e−λt.Trong các chương tiếp theo, chúng tôi nghiên cứu một số lớp bài toán liênquan đến phương trình vi phân mờ: phương trình vi phân mờ có chậm vàphương trình vi phân bó mờ Một số kết quả về đánh giá tính chất định tính

và phương pháp giải cho một số lớp bài toán nghiệm bó mờ được nghiên cứu.Tính chất tồn tại và duy nhất nghiệm của bài toán điều khiển nghiệm bó mờdưới sự tham gia của điều khiển mờ cũng được trình bày

Chương 2

Bài toán nghiệm bó mờ

2.1 Bài toán giá trị đầu dạng mờ

Xét bài toán giá trị đầu dạng mờ:

DHgx(t)= f (t, x(t)), x(t0) = x0 ∈ Ed, (2.1)trong đó f : [t0, t0+ ζ] × Ed → Ed

Định nghĩa 2.1.1. Cho hàm mờ x : [t0, t0+ ζ] → Ed khả vi loại (i) (loại (ii)).Nếu x và đạo hàm DHgx thỏa mãn bài toán (2.1) thì ta nói x là nghiệm loại(i) (loại (ii)) của bài toán (2.1) Nghiệm x của (2.1) là duy nhất nếu thỏa mãn

D0[x(t), ˆx(t)] = 0, với ˆx : [t0, t0 + ζ] → Ed là một nghiệm bất kỳ khác của bàitoán (2.1)

Định nghĩa 2.1.2. Choα ∈ [0, 1] Nghiệm bó mờ của bài toán (2.1) dưới đạohàm Hukuhara tổng quát tại thời điểm t ∈ [t0, t0+ ζ] là tập

H(i)t,x = [x(t)]α =

"

x0+

tZ

t0

f (s, x(s))ds

#α,

trong đó x(t) là một nghiệm của bài toán (2.1) và khả vi loại (i);

t0

f (s, x(s))ds

#α,trong đó x(t) là một nghiệm của bài toán (2.1) và khả vi loại (ii)

Tồn tại và duy nhất nghiệm bó mờ.

Cho B(x0, ρ) = {z ∈ Ed : D0[z, x0]) ≤ ρ}, ρ > 0

Định lý 2.1.1 Giả sử các điều kiện sau đây thỏa mãn:

(i) Hàm f : [t0, t0+ ζ] × B(x0, ρ) → Edliên tục, tồn tại M1 > 0 sao cho

D0[ f (t, z), ˆ0] ≤ M1, ∀(t, z) ∈ [t0, t0+ ζ] × B(x0, ρ);

(ii) Hàm g ∈ C([t0, t0+ ζ] × [0, ρ], R+), g(t, 0) ≡ 0, tồn tại M2 > 0 sao cho

0 ≤ g(t, k) ≤ M2, ∀t ∈ [t0, t0+ ζ], 0 ≤ k ≤ ρ,g(t, k) không giảm theo k và bài toán giá trị đầu thực

dk

chỉ có nghiệm k(t) ≡ 0 trên [t0, t0+ ζ];

(iii) D0[ f (t, x1), f (t, x2)] ≤ g(t, D0[x1, x2]), ∀(t, x1), (t, x2) ∈ [t0, t0+ ζ] × B(x0, ρ),

tồn tại M3 > 0 sao cho D0[x1, x2] ≤ M3;

(iv) Tồn tại q > 0 sao cho với mọi t ∈ [t0, t0+ q], dãyexm : [t0, t0+ q] → Edsau đây

ex0(t) = x0, exm+1(t) = x0 (−1)

tZ

t0

f s,exm(s)
ds, t ∈ [t0, t0+ q], (2.4)

cho trường hợp khả vi loại (ii), hội tụ lần lượt về nghiệmbx(t),ex(t).

Giải bài toán nghiệm bó mờ.

Xét bài toán giá trị đầu dạng mờ

DgHx(t) = f (t, x(t)), x(0) = x0 ∈ E1, (2.5)trong đó f : [0, b] × E1 → E1 Cho [x(t)]α = [x(t, α), x(t, α)] Bằng việc sử dụngnguyên lý mở rộng của Zadeh, chúng ta thu được

[ f (t, x(t))]α = [ f (t, α, x(t, α), x(t, α)), f (t, α, x(t, α), x(t, α))], với α ∈ [0, 1]

Trường hợp 1.Nếu x(t) khả vi loại (i) thì [DHgx(t)]α = h

x0(t, α), x0

(t, α)i Khi đóbài toán (2.5) được chuyển thành hệ phương trình vi phân thường sau:

Xét bài toán giá trị đầu dạng tập mờ dưới đạo hàm Hukuhara tổng quát:

DHgx(t)= f (t, x(t)), x(t) = x0 ∈ H0 ⊂ Ed, (2.8)trong đó f ∈ C([t0, t0+ ζ] × Ed, Ed), t ∈ [t0, t0+ ζ]

Định nghĩa 2.1.3. Nghiệm bó tập mờ của (2.8) tại thời điểm t ∈ [t0, t0+ζ] dướiđạo hàm Hukuhara tổng quát là tập

H(i)t,x =

(x(t) = x0+

tZ

t0

f (s, x(s))ds : x0 ∈ H0

),

trong đó x(t) khả vi loại (i) và là nghiệm của (2.8) với mỗi x0 ∈ H0;

hoặc

H(ii)t,x =

(x(t)= x0 (−1)

tZ

t0

f (s, x(s))ds : x0 ∈ H0

),trong đó x(t) khả vi loại (ii) và là nghiệm của (2.8) với mỗi x0 ∈ H0

Định lý 2.1.2 Giả sử các điều kiện sau đây thỏa mãn:

(i) Hàm f : [t0, t0+ ζ] × B(x0, ρ) → Edliên tục, tồn tại M0 > 0 sao cho

t0

f (s,exm(s))ds

được xác định hợp cách (nghĩa là hiệu Hukuhara trước đó tồn tại) với bất kỳ m ∈ N Khi đó, bài toán (2.8) có duy nhất nghiệm bó tập mờ loại (i) (tương ứng loại (ii)) trên [t0, t0+ r], trong đó r = min{ζ, q, ρ/M0, 1/L0}

2.2 Bài toán giá trị đầu dạng mờ có chậm

Choσ > 0, ta gọi Cσ = C([−σ, 0], Ed) là không gian của những ánh xạ mờliên tục từ [−σ, 0] vào trong Ed Khoảng cách Dσ trong không gian Cσ đượcđịnh nghĩa bởi

Dσx, y = sup

t∈[−σ,0]

D0x(t), y(t)

Choζ > 0, ta xét các khoảng [t0, t0+ ζ], [t0−σ, t0] ∪ [t0, t0+ ζ] = [t0−σ, t0+ ζ].Với mỗi t ∈ [t0, t0+ ζ], phần tử xtcủa Cσđược định nghĩa bởi

xt(s) = x(t + s), s ∈ [−σ, 0]

Xét bài toán giá trị đầu dạng bó mờ có chậm:

(DHgx(t)= f (t, xt), t ≥ t0,x(t) = ϕ(t − t0) = ϕ0 ∈ Cσ, t0−σ ≤ t ≤ t0, (2.9)trong đó f : [t0, t0+ ζ] × Cσ → Ed, ϕ ∈ Cσvà DHgx(t) là đạo hàm Hukuhara tổngquát của x(t)

Nghiệm của (2.9) là ánh xạ mờ x ∈ C([t0 − σ, t0 + ζ], Ed) thỏa mãn x(t) =ϕ(t − t0) với t ∈ [t0−σ, t0]; x khả vi trên [t0, t0+ ζ] và

DgHx(t) = f (t, xt), t ∈ [t0, t0+ ζ]