Ứng dụng của lý thuyết toán tử tuyến tính trong lý thuyết phương trình tích phân

Lời cam đoanKhoá luận tốt nghiệp "Ứng dụng của lý thuyết toán tử tuyến tính trong lý thuyết phương trình tích phân" được hoàn thành do sự cố gắng, nỗ lực tìm hiểu và nghiên cứu cùng với

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:

TS Bùi Kiên Cường

Hà Nội – Năm 2017

Lời cảm ơn 1

1 Một số kiến thức cơ sở về lý thuyết toán tử trong không

1.1 Một số khái niệm mở đầu 5

1.1.1 Không gian vectơ (Không gian tuyến tính) 5

1.1.2 Không gian định chuẩn và không gian Banach 6

1.1.3 Toán tử tuyến tính (Ánh xạ tuyến tính) 8

1.1.4 Không gian Hilbert 9

1.2 Lý thuyết toán tử trong không gian Hilbert 12

1.2.1 Ví dụ về toán tử 12

1.2.2 Phiếm hàm song tuyến tính và dạng toàn phương 14 1.2.3 Toán tử liên hợp và toán tử tự liên hợp 17

1.2.4 Toán tử khả nghịch, toán tử trực giao, toán tử đẳng cự và toán tử unita 20

1.2.5 Toán tử dương 22

1.2.6 Toán tử chiếu 23

1.2.7 Toán tử Compact 24

1.2.8 Giá trị riêng và vectơ riêng 26

1.2.9 Toán tử không bị chặn 28

2 Phương trình tích phân 31

2.1 Mở đầu 31

2.2 Định lí cơ bản về sự tồn tại nghiệm 32

2.3 Phương trình tích phân Fredholm 36

2.4 Phương pháp xấp xỉ liên tiếp 40

2.5 Phương trình tích phân Volterra 43

2.6 Phương pháp tìm nghiệm với nhân tách được 49

2.7 Phương trình Volterra loại một và phương trình tích phân Abel 55

Lời cảm ơn

Sau một thời gian dài nghiêm túc, miệt mài nghiên cứu cùng với sự

giúp đỡ tận tình của các thầy cô giáo và các bạn sinh viên Đến nay,

khóa luận của em đã được hoàn thành Em xin bày tỏ lòng cảm ơn chân

thành, sâu sắc tới các thầy cô giáo tổ Giải tích (Khoa Toán)- trường Đại

học Sư phạm Hà Nội 2, các thầy cô trong khoa toán đặc biệt là thầy

giáo - Tiến Sĩ Bùi Kiên Cường người đã trực tiếp tạo mọi điều kiện

giúp đỡ, chỉ bảo tận tình cho em trong suốt thời gian nghiên cứu, hoàn

thành khóa luận này

Do còn hạn chế về thời gian cũng như kiến thức của bản thân nên

khóa luận của em không thể tránh khỏi những thiếu sót Kính mong

nhận được sự góp ý từ thầy cô và các bạn sinh viên

Một lần nữa em xin chân thành cảm ơn!

Hà Nội, ngày 18 tháng 4 năm 2017

Tác giả khóa luận

ĐÀO THỊ HẠNH

Lời cam đoan

Khoá luận tốt nghiệp "Ứng dụng của lý thuyết toán tử tuyến

tính trong lý thuyết phương trình tích phân" được hoàn thành

do sự cố gắng, nỗ lực tìm hiểu và nghiên cứu cùng với sự giúp đỡ tận

tình của thầy giáo - Tiến Sĩ Bùi Kiên Cường

Trong quá trình thực hiện em đã tham khảo một số tài liệu như đã

viết trong phần tài liệu tham khảo Vì vậy, em xin cam đoan kết quả

trong khóa luận này là trung thực và không trùng với kết quả của tác

giả nào khác

Hà Nội, ngày 18 tháng 4 năm 2017

Tác giả khóa luận

ĐÀO THỊ HẠNH

1 Lý do chọn đề tài

Trong rất nhiều vấn đề của toán học (phương tình vi phân với điều kiện

ban đầu hay điều kiện biên), cơ học, vật lí, dẫn đến những phương trình

trong đó hàm chưa biết ở dưới dấu tích phân Những loại phương trình

đó được gọi là phương trình tích phân Phương trình tích phân được xem

như là công cụ toán học hữu ích trong nhiều lĩnh vực nên được quan tâm

nghiên cứu theo nhiều khía cạnh khác nhau như sự tồn tại nghiệm, sự

xấp xỉ, tính chỉnh hay không chỉnh, nghiệm chỉnh hoá Nó có ứng dụng

rộng rãi không chỉ trong toán học mà còn trong nhiều ngành khoa học

khác, ví dụ như nghiên cứu phương trình tích phân với các điều kiện xác

định để giải quyết một số vấn đề vật lí mà phương trình vi phân không

thể mô tả được như hiện tượng khuếch tán, hiện tượng truyền Vì vậy

nghiên cứu giải phương trình tích phân đóng vai trò quan trọng trong

lý thuyết toán học

Phương trình tích phân trên không gian Hilbert là một mảng trong

Giải tích hàm được xây dựng từ các bài toán thực tế trong Vật lí, Hoá

học và những ngành khoa học ứng dụng khác

Trong khoá luận này, em tập trung nghiên cứu ứng dụng của Lý thuyết

toán tử tuyến tính trong không gian vào việc khảo sát các phương trình

tích phân thường gặp nhất đó là phương trình Fredholm, phương trình

Volterra, phương trình Abel

2 Mục đích nghiên cứu

- Bước đầu làm quen với việc nghiên cứu khoa học, từ đó hình thành tư

duy logic đặc thù của bộ môn

- Nhắc lại một số lý thuyết toán tử tuyến tính trong không gian Hilbert

- Vận dụng lý thuyết toán tử tuyến tính để giải một số phương trình

tích phân thường gặp: Phương trình Fredholm, phương trình Volterra,

phương trình Abel

3 Nhiệm vụ nghiên cứu

- Tìm hiểu khái quát các khái niệm cơ bản của Giải tích hàm

- Nghiên cứu các phương trình tích phân: Fredholm, Volterra, Abel

4 Phương pháp nghiên cứu

Phương pháp lí luận: Đọc, nghiên cứu các tài liệu, giáo trình có liên

quan đến phương trình tích phân Fredholm, Volterra, Abel Sau đó hệ

thống, phân hoá các kiến thức

5 Đối tượng nghiên cứu

- Phương trình tích phân Fredholm, Volterra, Abel

6 Cấu trúc khoá luận

Ngoài mục lục, phần mở đầu, phần kết luận và tài liệu tham khảo, khoá

luận gồm 2 chương:

- Chương 1: Một số kiến thức cơ sở của Lý thuyết toán tử tuyến tính

trong không gian Hilbert

- Chương 2: Phương trình tích phân

Một số kiến thức cơ sở về lý thuyết toán tử trong không gian Hilbert

1.1.1 Không gian vectơ (Không gian tuyến tính)

Định nghĩa 1.1 Cho V là tập hợp khác rỗng, K là trường số thực hoặctrường số phức Ta xác định hai phép toán:

(i) Phép tính cộng (+): u, v ∈ V, u + v ∈ V

(ii) Phép nhân vô hướng (·): u ∈ V, k ∈ K, ku ∈ V

V cùng với hai phép toán nói trên được gọi là không gian vectơ trên

trường K nếu thoả mãn các điều kiện sau:

(i) Tính giao hoán của phép cộng:

(iv) ∀u ∈ V , tồn tại một phần tử đối, kí hiệu là −u, thoả mãn:

u + (−u) = 0

(v) ∀u, v ∈ V, ∀k ∈ K, k(u + v) = ku + kv

(vi) ∀u ∈ V , ∀k, h ∈ K, (h + k)u = hu + ku

(vii) ∀u ∈ V , k, h ∈ K, h(ku) = (hk)u

(viii) ∀u ∈ V , 1.u = u

Phép tính trừ trong không gian vectơ được định nghĩa:

u − v = u + (−v)

Các phần tử của K gọi là các vô hướng và các phần tử của V được gọi

là các vectơ

Tính chất

(i) Phần tử 0 trong (iii) và phần tử (−u) trong (iv) là duy nhất

(ii) ∀u ∈ V , 0.u = 0, trong đó 0 ở vế phải là vectơ 0, còn 0 ở vế trái là

số 0

(iii) ∀k ∈ K, 0 ∈ V , k.0 = 0

(iv) Nếu ku = 0 thì hoặc k = 0 hoặc u = 0

(v) −u = (−1).u

1.1.2 Không gian định chuẩn và không gian Banach

Định nghĩa 1.2 Giả sử X là không gian vectơ trên trường K (R hoặcC) Ta gọi chuẩn là một ánh xạ:

k·k : X → R

x 7→ kxk

Nói cách khác, không gian định chuẩn là một cặp (X, kxk), trong đó X

là không gian tuyến tính, kxk là một chuẩn trong X

L [a, b] là một không gian định chuẩn

Cho X là không gian định chuẩn, dãy (xn) gồm các phần tử của X gọi

là hội tụ đến điểm x ∈ X nếu :

lim

n→∞kxn − xk = 0,Định nghĩa 1.5 (Dãy Cauchy trong không gian định chuẩn)

Dãy (xn) là dãy Cauchy trong không gian định chuẩn X nếu :

lim

m,n→∞kxm − xnk = 0,hay tương đương, ∀ε > 0, ∀n0 ∈ N, ∀m, n ≥ n0 : kxm − xnk < ε Tươngđương: ∀ε ≥ 0, ∃ n0 ∈ N, ∀n ≥ n0, p ∈ N∗ : kxn+p − xnk < ε

Định nghĩa 1.6 (Không gian Banach)

Không gian định chuẩn X được gọi là không gian Banach nếu mọi dãy

cơ bản trong X đều hội tụ

1.1.3 Toán tử tuyến tính (Ánh xạ tuyến tính)

Định nghĩa 1.7 Cho hai không gian tuyến tính X, Y trên trường K.Ánh xạ A : X −→ Y được gọi là tuyến tính nếu A thoả mãn:

i) ∀x, y ∈ X : A(x + y) = Ax + Ay

ii) ∀x ∈ X, ∀α ∈ K : A(αx) = αAx

Ánh xạ tuyến tính thường được gọi là toán tử tuyến tính.

A thoả mãn i) thì A được gọi là ánh xạ cộng tính

A thoả mãn ii) thì A được gọi là ánh xạ thuần nhất

Khi Y = K thì A được gọi là phiếm hàm tuyến tính

Định nghĩa 1.8 Cho X, Y là hai không gian định chuẩn Toán tử tuyến

tính A : X −→ Y được gọi là bị chặn nếu tồn tại hằng số c ≥ 0 :

kAxk ≤ c.kxk, ∀x ∈ X,

hằng số c nhỏ nhất được gọi là chuẩn của toán tử A Ký hiệu: kAk

Định nghĩa 1.9 Định lí ba mệnh đề tương đương:

Cho A là toán tử tuyến tính từ không gian định chuẩn X và không gian

định chuẩn Y Khi đó ba mệnh đề sau là tương đương:

i) A liên tục

ii) A liên tục tại điểm x0 nào đó thuộc X

iii) A bị chặn

Định lý 1.1 (Định lí tính chuẩn của toán tử)

Cho toán tử A từ không gian định chuẩn X vào không gian định chuẩn

1.1.4 Không gian Hilbert

Định nghĩa 1.10 (Tích vô hướng)

Cho không gian X trên trường K (R hoặc C) Ta gọi tích vô hướng trên

không gian X là ánh xạ:

f : X × X → K(x, y) 7→ f (x, y)

Định nghĩa 1.11 (Không gian tích vô hướng)

Không gian tích vô hướng là một cặp X,

tuyến tính,

Định nghĩa 1.12 (Không gian Hilbert)

Ta gọi một tập H 6= ∅ gồm những phần tử x, y, z nào đấy là khônggian Hilbert, nếu tập H thoả mãn điều kiện:

i) H là không gian tuyến tính trên trường K

ii) H được trang bị một tích vô hướng

iii) H là không gian Banach với chuẩn : kxk =

q

Ta gọi mọi không gian tuyến tính con đóng của không gian Hilbert H

là không gian Hilbert con của không gian H

Ví dụ: Kí hiệu Rk là không gian vectơ thực k chiều.

Mọi phiếm hàm tuyến tính liên tục trong không gian Hilbert H đều có

biểu diễn duy nhất dưới dạng:

Một dãy (xn) các vectơ trong không gian tích vô hướng E được gọi làhội tụ yếu tới một vectơ x ∈ E nếu

n, y

Để thuận tiện, ta kí hiệu

”xn → x” : hội tụ mạnh

”xn −→ x” : hội tụ yếu.wĐịnh lý 1.4 Một dãy hội tụ mạnh thì hội tụ yếu

(x) xác định trên không gian

các hàm khả vi Xét VD, toán tử vi phân trên không gian con của

L2([−π, π]), được xác định:

D(D) = { f ∈ L2([−π, π]) : f0 ∈ L2([−π, π])}

Nếu L2([−π, π]) được trang bị một chuẩn:

trong đó a, b là hữu hạn hoặc vô hạn, K là hàm xác định trên hình chữ

nhật (a, b) × (a, b) Hàm K được gọi là hạt nhân của toán tử Miền xác

định của toán tử tích phân phụ thuộc vào K Nếu

2

dtdskxk

dt

ds

2

Định lý 1.7 Tích A.B của toán tử bị chặn A và B là bị chặn và

AB ≤ A B

Chứng minh Cho A, B là các toán tử tuyến tính bị chặn trên không

gian định chuẩn E, kAk = K1, kBk = K2 Khi đó

ABx ≤ K1 Bx ≤ K1.K2 x , ∀x ∈ E

1.2.2 Phiếm hàm song tuyến tính và dạng toàn phương

Định nghĩa 1.15 (Phiếm hàm song tuyến tính)

Một hàm song tuyến tính ϕ trên một không gian vectơ phức E là một

ánh xạ ϕ : E × E −→ C thoả mã hai điều kiện:

a) ϕ(αx1 + βx2, y) = αϕ(x1, y) + βϕ(x2, y),

b) ϕ(x, αy1 + βy2) = αϕ(x, y1) + βϕ(x, y2),

với α, β là các vô hướng bất kì và x, x1, x2, y, y1, y2 ∈ E bất kì

Dễ thấy các hàm song tuyến tính trên E tạo thành không gian vectơ.

Ví dụ 1: Tích vô hướng là một hàm song tuyến tính

Ví dụ 2: Cho A, B là các toán tử trên không gian tích vô hướng E

Khi đó, ϕ1(x, y) = 2(x, y) =

ϕ3(x, y) =

Định nghĩa 1.16 (Hàm đối xứng, hàm dương, hàm hoàn toàn dương,

hàm song tuyến tính bị chặn)

Cho ϕ là một hàm song tuyến tính trên E

i) ϕ được gọi là đối xứng nếu ϕ(x, y) = ϕ(y, x), ∀x, y ∈ E

ii) ϕ được gọi là dương nếu ϕ(x, x) ≥ 0, ∀x ∈ E

iii) ϕ được gọi là hoàn toàn dương nếu ϕ dương và ϕ(x, x) > 0,

Chú ý, đối với hàm song tuyến tính bị chặn trên E, ta có

ϕ(x, y) ≤ kϕk.kxk.kyk, ∀x, y ∈ E

Định nghĩa 1.17 (Dạng toàn phương)

Cho Φ là hàm song tuyến tính trên không gian vectơ E

Hàm

Φ : E −→ C

được xác định bởi

Φ(x) = ϕ(x, x)

được gọi là dạng toàn phương liên kết với Φ Một dạng toàn phương Φ

trên không gian định chuẩn E được gọi là bị chặn nếu tồn tại hằng số

Chú ý, đối với dạng toàn phương bị chặn Φ trên không gian định chuẩn

ta có: |Φ(x)| ≤ kΦk.kxk2

Một hàm song tuyến tính và dạng toàn phương liên kết có những tính

chất tương tự với tích vô hướng

xác định bởi tích vô hướng kxk2 =

Định lý 1.8 (Đồng nhất thức phân cực)

Cho ϕ là hàm song tuyến tính trên E và cho Φ là dạng toàn phương liên

kết với ϕ Khi đó

4ϕ(x, y) = Φ(x + y) − Φ(x − y) + iΦ(x + iy) − iΦ(x − iy), ∀x, y ∈ E

Hệ quả 1.1 Cho ϕ1, ϕ2 là các hàm song tuyến tính trên E

Nếu ϕ1(x, x) = ϕ2(x, x), ∀x ∈ E

Tượng tự, nếu A và B là các toán tử trên E sao cho

Định lý 1.9 Một hàm song tuyến tính ϕ trên E là đối xứng nếu và chỉ

nếu dạng toàn phương liên kết Φ là số thực

Định lý 1.10 Một hàm song tuyến tính ϕ trên một không gian định

chuẩn E bị chặn nếu và chỉ nếu dạng toàn phương liên kết Φ bị chặn

Hơn nữa, ta có:

kΦk ≤ kϕk ≤ 2.kΦk

Định lý 1.11 Cho ϕ là một không gian tuyến tính trên không gian định

chuẩn E và cho Φ là dạng toàn phương liên kết

Nếu ϕ đối xứng và bị chặn thì kϕk = kΦk

Định lý 1.12 Cho A là toán tử bị chặn trên không gian Hilbert H Khi

đó hàm song tuyến tính được xác định bởi ϕ(x, y) =

kAk = kϕk

Định lý 1.13 Cho ϕ là hàm song tuyến tính bị chặn trên không gian

Hilbert H Khi đó tồn tại duy nhất toán tử bị chặn A trên H sao cho

ϕ(x, y) =

1.2.3 Toán tử liên hợp và toán tử tự liên hợp

Xét một toán tử bị chặn trên không gian Hilbert H Vì hàm song tuyến

∗y, ∀x, y ∈ H

Định nghĩa 1.18 (Toán tử liên hợp)

Cho A là toán tử bị chặn trên không gian Hilbert H

Toán tử A∗ : H −→ H được xác định bởi:

∗y, ∀x, y ∈ H

được gọi là toán tử liên hợp của A.

Định lý 1.14 Toán tử liên hợp A∗ của toán tử bị chặn A là bị chặn.Hơn nữa, ta có: kAk = kA∗k và kA∗Ak = kAk2

Định nghĩa 1.19 (Toán tử tự liên hợp)

Nếu A = A∗ thì A được gọi là tự liên hợp

Nói cách khác, nếu A là toán tử tự liên hợp thì

Vì vậy A là toán tử tự liên hợp.

Định lý 1.15 Cho ϕ là hàm song tuyến tính bị chặn trên H và cho A

là toán tử trên H sao cho ϕ(x, y) =

toán tử tự liên hợp nếu và chỉ nếu ϕ là đối xứng

Định lý 1.16 Cho A là toán tử bị chặn trên không gian Hilbert H Khi

đó các toán tử T1 = A∗A và T2 = A + A∗ là tự liên hợp

Định lý 1.17 Tích của hai toán tử tự liên hợp A, B là toán tử tự liên hợp

nếu và chỉ nếu các toán tử giao hoán được với nhau, nghĩa là AB = BA

Định lý 1.18 Với mỗi toán tử bị chặn T trên không gian Hilbert H,

tồn tại duy nhất các toán tự tử liên hợp A, B sao cho T = A + iB và

1.2.4 Toán tử khả nghịch, toán tử trực giao, toán tử đẳng cự

và toán tử unita

Định nghĩa 1.20 (Toán tử nghịch đảo)

Cho A là một toán tử xác định trên không gian vectơ con của E Một

toán tử B xác định trên R(A) được gọi là nghịch đảo của A nếu

ABx = x, ∀x ∈ R(A) và BAx = x, ∀x ∈ D(A)

Một toán tử có nghịch đảo được gọi là khả nghịch

Nghịch đảo của A được kí hiệu bởi A−1

Định lý 1.20 a) Nghịch đảo của một toán tử tuyến tính là một toán tử

Hệ quả 1.2 Nếu A là một toán tử tự liên hợp bị chặn có nghịch đảo bị

chặn A−1 thì A−1 tự liên hợp

Định nghĩa 1.21 (Toán tử trực giao)

Một toán tử bị chặn T được gọi là toán tử trực giao nếu nó giao hoán

với liên hợp của nó, nghĩa là T T∗ = T∗T

Chú ý, T trực giao nếu và chỉ nếu T∗ là trực giao

Định lý 1.21 Toán tử bị chặn T là trực giao nếu và chỉ nếu

T x = T∗x , ∀x ∈ H

Ví dụ: Cho H là không gian Hilbert và cho T x = ix, ∀x ∈ H

Vì T∗ = −ix = −T x, T không phải là tự liên hợp

Mặt khác, T x = T∗x , ∀x ∈ H Vì vậy T là trực giao Định nghĩa 1.22 (Toán tử đẳng cự)

Một toán tử bị chặn T trên không gian Hilbert H được gọi là toán tử

đảng cự nếu T x = x , ∀x ∈ H

Ví dụ: Cho (en) là một dãy trực giao đầy đủ trong không gianHilbert H Tồn tại duy nhất toán tử A sao cho Aen = en+1, ∀n ∈ N.Thật vậy, nếu x =

Định lý 1.22 Nếu T là toán tử bị chặn trên không gian Hilbert H là

đẳng cự nếu và chỉ nếu T∗T = I trên H

Chú ý, toán tử đẳng cự bảo toàn tích vô hướng, nghĩa là

Đặc biệt, x ⊥ y nếu và chỉ nếu T x ⊥ T y.

Một toán tử đẳng cự là một phép đẳng cấu đẳng cự giữa không gian

Hilbert H và ảnh của nó R(T )

Định nghĩa 1.23 (Toán tử unita)

Một toán tử T trên không gian Hilbert H được gọi là toán tử unita nếu

Định nghĩa 1.24 (Toán tử dương)

Toán tử A được gọi là toán tử dương nếu nó tự liên hợp và

Ví dụ: Cho K là hàm số dương liên tục xác định trên [a, b] × [a, b].

Toán tử tích phân T trên L2 [a, b]
được xác định bởi:

Định nghĩa 1.25 (Căn bậc hai)

Căn bậc hai của một toán tử dương A là một toán tử tự liên hợp B thoả

mãn B2 = A

Định lý 1.25 Một toán tử dương A có duy nhất một căn bậc hai B

dương Hơn nữa, B giao hoán với mọi toán tử giao hoán với A

Định nghĩa 1.26 (Toán tử dương hoàn toàn)

Một toán tử tự liên hợp A được gọi là dương hoàn toàn hay xác định

dương nếu

1.2.6 Toán tử chiếu

Định nghĩa 1.27 (Toán tử chiếu trực giao)

Cho S là không gian con đóng của không gian Hilbert H Toán tử P

trên H xác định bởi P x = y nếu x = y + z, y ∈ S và z ∈ S⊥ được gọi

là toán tử chiếu trực giao trên S, hay đơn giản là toán tử chiếu trên S

Vectơ y được gọi là hình chiếu của x trên S Phép chiếu trên không gian

con S thường được kí hiệu bởi PS

Định nghĩa 1.28 (Toán tử luỹ đẳng)

Một toán tử được gọi là luỹ đẳng nếu T2 = T

Định lý 1.26 Một toán tử bị chặn là phép chiếu nếu và chỉ nếu nó là

luỹ đẳng và tự liên hợp

Hệ quả 1.3 Nếu P là toán tử chiếu trên H thì 2,

∀x ∈ H

Định nghĩa 1.29 (Tính trực giao của toán tử chiếu)

Hai toán tử P, Q được gọi là chiếu trực giao nếu P Q = 0

Định lý 1.27 Hai toán tử chiếu PR, PS là trực giao nếu và chỉ nếu

P ⊥ Q

Định lý 1.28 Tổng của hai toán tử chiếu PR và PS là toán tử chiếunếu và chỉ nếu PR.PS = 0 Trong trường hợp này PR + PS = PR⊕S.Định lý 1.29 Tích của hai toán tử chiếu PR và PS là một toán tử chiếunếu và chỉ nếu PR, PS giao hoán Trong trường hợp này, PR.PS = PR∩S.Định lý 1.30 Cho R, S là hai không gian con đóng của không gian

Hilbert H, cho PR, PS là các toán tử chiếu tương ứng Các điều kiện sau

Định nghĩa 1.30 (Toán tử Compact)

Một toán tử A trên không gian Hilbert H được gọi là toán tử Compact

(hay toán tử hoàn toàn liên tục) nếu mọi dãy bị chặn xn trong H, dãy(Axn) chứa một dãy con hội tụ.

Ví dụ 1: Mọi toán tử trong không gian Hilbert hữu hạn chiều là

Compact Thật vậy, nếu A là một toán tử trên Cn thì nó bị chặn Do đó,nếu (xn) là dãy bị chặn thì (Axn) là dãy bị chặn trong Cn Theo định líBolzano- Weierstrass, (Axn) chứa một dãy con hội tụ

Ví dụ 2: Cho x, y là hai phần tử cố định trong không gian Hilbert H

Xác định T x =

Cho (xn) là một dãy bị chặn, nghĩa là xn ≤ M, ∀M > 0, ∀n ∈ N Vì

n, y ... A tốn tử tự liên hợp.

Định lý 1.15 Cho ϕ hàm song tuyến tính bị chặn H cho A

là toán tử H cho ϕ(x, y) =

toán tử tự liên hợp ϕ đối xứng

Định lý 1.16 Cho A toán tử bị... data-page="25">

Định lý 1.18 Với tốn tử bị chặn T khơng gian Hilbert H,

tồn toán tự tử liên hợp A, B cho T = A + iB

1.2.4 Toán tử khả nghịch, toán tử trực giao, toán tử đẳng cự

và toán. ..

đó toán tử T1 = A∗A T2 = A + A∗ tự liên hợp

Định lý 1.17 Tích hai toán tử tự liên hợp A, B toán tử tự liên hợp

nếu toán tử giao