Bài toán ổn định hóa cho hệ điều khiển tuyến tính

Trong toán học, lý thuyết ổn định tập trungnghiên cứu về sự ổn định các điểm cân bằng của vi phân và quỹ đạocủa các hệ vi phân dưới tác động nhỏ.. Bài toán ổn định hóa có thể được hiểu l

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC ThS TRẦN VĂN TUẤN

Hà Nội – Năm 2017

Lời cảm ơn

Sau một thời gian học tập, tự tìm tòi, tham khảo và nghiên cứucác tài liệu liên quan đến nội dung, cùng với sự giúp đỡ nhiệt tình,tận tâm của Thầy giáo hướng dẫn ThS Trần Văn Tuấn Khóa luậnnày đã chắt lọc được các nội dung cơ bản

Tôi xin được bày tỏ lòng biết ơn chân thành và sâu sắc tới Thầyhướng dẫn, tới các Thầy cô giáo trong trường Đại học Sư phạm HàNội 2 và đặc biệt là các Thầy cô giáo trong bộ môn Toán của trường,những người Thầy, những người bạn đã giúp đỡ tôi rất nhiều trongquá trình làm khóa luận

Cuối cùng tôi xin bày tỏ lòng biết ơn đến gia đình, bạn bè và ngườithân đã động viên và tạo điều kiện thuận lợi trong suốt quá trình họctập vừa qua

Hà Nội, ngày 20 tháng 04 năm 2017

Tác giả khóa luậnNguyễn Thị Hằng

Lời cam đoan

Tôi xin cam đoan khóa luận là công trình nghiên cứu của riêng tôidưới sự hướng dẫn của thầy ThS Trần Văn Tuấn

Trong quá trình nghiên cứu và hoàn thành khóa luận, tôi đã kếthừa thành quả khoa học của các nhà khoa học với sự trân trọng vàbiết ơn

Hà Nội, ngày 20 tháng 04 năm 2017

Tác giả khóa luậnNguyễn Thị Hằng

2

Mục lục

1.1 Không gian metric đầy và nguyên lý ánh xạ co 7

1.1.1 Không gian metric đầy 7

1.1.2 Nguyên lý Banach về ánh xạ co 8

1.2 Hệ phương trình vi phân 11

1.3 Bài toán điều khiển cho hệ tuyến tính 14

1.3.1 Hệ điều khiển tuyến tính 15

1.3.2 Bài toán ổn định 15

2 Tính ổn định hoá cho hệ điều khiển tuyến tính 18 2.1 Bổ túc về ma trận 18

2.2 Các tiêu chuẩn ổn định cơ bản 21

2.3 Bài toán ổn định hóa 27

Lời mở đầu

1 Lý do chọn đề tài

Lý thuyết ổn định là một phần quan trọng của lý thuyết định tínhphương trình vi phân Trong toán học, lý thuyết ổn định tập trungnghiên cứu về sự ổn định các điểm cân bằng của vi phân và quỹ đạocủa các hệ vi phân dưới tác động nhỏ Lý thuyết ổn định đã và đangđược quan tâm nghiên cứu một cách sâu rộng và mạnh mẽ bởi nhiềunhà toán học Lý thuyết ổn định, đặc biệt, có nhiều ứng dụng quantrọng trong nhiều lĩnh vực của toán học ứng dụng Một trong nhữngbài toán liên quan chặt chẽ với bài toán ổn định là bài toán ổn địnhhóa, xem tài liệu [2] Bài toán ổn định hóa có thể được hiểu là: thiết

kế một điều khiển phản hồi để hệ tương ứng là ổn định hay không Vớimong muốn tìm hiểu về hệ điều khiển cho bởi phương trình vi phântôi chọn đề tài: “Bài toán ổn định hóa cho hệ điều khiển tuyếntính.”

2 Mục đích nghiên cứu

Giới thiệu hệ điều khiển tuyến tính

Nghiên cứu bài toán ổn định hóa cho hệ điều khiển, nghĩa là tìmmột hàm điều khiển để nghiệm của hệ trở thành ổn định

3 Đối tượng nghiên cứu

4

Các hệ phương trình vi phân điều khiển tuyến tính.

4 Phạm vi nghiên cứu

Xoay quanh tính ổn định của hệ phương trình vi phân tuyến tính

có điều khiển

5 Phương pháp nghiên cứu

Tìm và tham khảo tài liệu, sưu tầm phân tích và các bài tập giảiminh họa, tham khảo ý kiến của giáo viên hướng dẫn

6 Cấu trúc đề tài

Khoá luận được chia làm 2 chương chính như sau:

Chương 1: Một số kiến thức chuẩn bị

Chương 2: Tính ổn định hóa của hệ điều khiển tuyến tính

λmax(A) MaxRe(λ) : λ ∈ λ(A)

λmin(A) Min Re(λ) : λ ∈ λ(A)

Chương 1

Một số kiến thức chuẩn bị

1.1 Không gian metric đầy và nguyên lý ánh xạ

co

1.1.1 Không gian metric đầy

Định nghĩa 1.1 Cho không gian metric M = (X, d) Dãy điểm(xn) ⊂ X được gọi là dãy cơ bản trong M , nếu

Thật vậy, giả sử x(n) = x(n)1 , x(n)2 , , x(n)k , (n = 1, 2, ) là dãy cơbản tùy ý trong không gian Eukleides Rk Theo đĩnh nghĩa dãy cơ bản,(∀ε > 0) (∃n0 ∈ N∗) (∀m, n ≥ n0) d(x(n), x(m)) < ε, hay

lim

n→∞x(n)j = xj(j = 1, 2, , k)

Đặt x = (x1, x2, , xk), ta nhận được dãy (x(n)) ⊂ Rk đã cho hội tụtheo tọa độ tới x Nhưng sự hội tụ trong không gian Eukleides Rk tươngđương với sự hội tụ tọa độ, nên dãy cơ bản x(n)
đã cho hội tụ tới xtrong không gian Rk Vậy không gian Eukleides Rk là không gian đầy.1.1.2 Nguyên lý Banach về ánh xạ co

Định nghĩa 1.3 Cho hai không gian metric M1 = (X, d1), M2 =(Y, d2) Ánh xạ A : M1 → M2 gọi là ánh xạ co, nếu tồn tại số α, α ∈[0, 1) sao cho:

đó tồn tại lim

n→∞xn = ¯x ∈ X Ta có

d(A¯x, ¯x) ≤ d(A¯x, xn) + d(xn, ¯x) = d(A¯x, Axn−1) + d(xn, ¯x)

≤ αd(xn−1, ¯x) + d(xn, ¯x), ∀n = 1, 2,

Cho n → ∞ ta được d(A¯x, ¯x) = 0 hay A¯x = ¯x, nghĩa là ¯x là điểm bấtđộng của ánh xạ A.

Giả sử tồn tại điểm ¯y ∈ X cũng là điểm bất động của ánh xạ A, thì

d(¯x, ¯y) = d(A¯x, A¯y) ≤ αd(¯x, ¯y) =⇒ (1 − α)d(¯x, ¯y) ≤ 0

=⇒ d(¯x, ¯y) = 0, (0 ≤ α < 1) =⇒ ¯x = ¯y

Vì vậy ¯x là điểm bất động duy nhất của ánh xạ A

Định lý được chứng minh

Ví dụ 1.2 Giải và biện luận phương trình sau

x + asinx = π, a là tham số, |a| < 1

Phương trình đã cho tương ứng với

0

2

sinx − x

0

2

= |a||x − x0|

Suy ra A là ánh xạ co (do (|a| < 1)) Theo nguyên lý Banach về ánh

xạ co, ánh xạ A có điểm bất động duy nhất ¯x, nghĩa là phương trình(1) có nghiệm duy nhất ¯x

Nhận thấy được ¯x = π là nghiệm duy nhất đó

10

Vậy, phương trình đã cho có nghiệm duy nhất x = π, ∀a ∈ (−1, 1).

(1.1)

Trong đó: f : G −→ Rntrong đó G = I×D, D = {x ∈ Rn : ||x − x0|| ≤ a}Định nghĩa 1.4 Nghiệm x(t) của hệ phương trình vi phân (1.1) làmột hàm số x(t) xác định trên I, khả vi liên tục và thỏa mãn:

||f (t, x1) − f (t, x2)|| ≤ L||x1 − x2||, ∀(t, x1), (t, x2) ∈ G, ∀t ≥ 0

Định lý 1.2 (Định lý 1.23, [2], trang 27) Xét hệ phương trình

vi phân (1.1), trong đó giả sử hàm f (t, x) : G −→ Rn là liên tục theo

t và thỏa mãn điều kiện Lipschitz theo x với hằng số Lipschitz L > 0.Khi đó với mỗi (t0, x0) ∈ G sẽ tìm được số d > 0 sao cho hệ (1.1)luôn có nghiệm duy nhất trên đoạn [t0 − d, t0 + d]

Chứng minh Giả sử hàm f (t, x) liên tục tên G, khi đó lấy tích phânhai vế của (1.1) trên đoạn [t0, t] ta có

Lấy tập đóng H ⊂ G chứa điểm (t0, x0) sao cho hàm f bị chặn trong

H Khi đó tồn tại số M > 0 sao cho

C(J ) vào chính nó sẽ có hàm bất động x0(t) duy nhất sao cho

nên hệ (1.2) có duy nhất nghiệm Do vậy hệ (1.1) có duy nhất nghiệm

1.3 Bài toán điều khiển cho hệ tuyến tính

Xét điều khiển mô tả bởi phương trình vi phân tuyến tính dạng

eA(t−s)Bu(s)ds, t ≥ 0,trong đó eAt là ma trận nghiệm cơ bản của hệ tuyến tính thuần nhất:

˙x(t) = Ax(t), t ≥ 0

14

1.3.1 Hệ điều khiển tuyến tính

Định nghĩa 1.6 Cho hai trạng thái x0, x1 ∈ Rn, ta nói cặp (x0, x1)được gọi là điều khiển được sau một thời gian T > 0, nếu tồn tại mộtđiều khiển được u(t) sao cho nghiệm x(t, x0, u) tương ứng của hệ (1.3)thỏa mãn điều kiện x(0, x0, u) = x0, x(T, x0, u) = x1

Định nghĩa 1.7 Hệ điều khiển (1.3) gọi là điều khiển được hoàn toàn(GC) nếu với bất kỳ hai trạng thái x0, x1 sẽ tìm được một thời gian

T > 0 sao cho x0, x1 là điều khiển được sau thời gian T

Định nghĩa 1.8 Hệ điều khiển (1.3) được gọi là điều khiển được hoàntoàn về 0 (GNC) nếu bất kỳ trạng thái x0 ∈ Rn, tồn tại một thời gian

T > 0 sao cho (x0, 0) là điều khiển được sau một thời gian T

Nhận xét 1.1 Từ định nghĩa, ta thấy (GC) −→ (GNC) Do đó, đểkiểm tra một hệ điều khiển là điều khiển được hoàn toàn về 0, ta chỉcần kiểm tra hệ điều khiển có điều khiển được hoàn toàn hay không.Định lý sau cho ta một điều kiện cần và đủ để hệ (1.3) là điều khiểnđược hoàn toàn về 0

Định lý 1.3 (Tiêu chuẩn Kalman): Hệ tuyến tính (1.3) là điềukhiển được hoàn toàn khi và chỉ

rank[B, AB, , An−1B] < n

1.3.2 Bài toán ổn định

Định nghĩa 1.9 Nghiệm x(t) của hệ (1.3) gọi là ổn định nếu vớimọi số ε > 0, t0 ≥ 0 khi đó ∃δ = δ(ε, t0) sao cho bất kỳ nghiệm y(t),

y(t0) = y0 của hệ thỏa mãn ||y0− x0|| < δ thì sẽ nghiệm đúng bất đẳngthức

||y(t) − x(t)|| < ε, t ≥ t0.Nói cách khác, nghiệm x(t) là ổn định khi mọi nghiệm khác của hệ

có giá trị ban đầu đủ gần với giá trị ban đầu của x(t) thì vẫn đủ gần

nó trong suốt thời gian t ≥ t0

Định nghĩa 1.10 Nghiệm x(t) của hệ (1.3) gọi là ổn định tiệm cậnnếu nó ổn định và có một số δ > 0 sao cho với ||y0 − x0|| < δ thì

lim

t→∞||y(t) − x(t)|| = 0

Nghĩa là, nghiệm x(t) là ổn định tiệm cận nếu nó ổn định và mọinghiệm y(t) khác có giá trị ban đầu y0 gần với giá trị ban đầu x0 sẽtiến gần tới x(t) khi t → ∞

Định nghĩa 1.11 Hệ (1.3) là ổn định mũ nếu tồn tại các số M >

0, δ > 0 sao cho mọi nghiệm của hệ (1.3) với x(t0) = x0 thỏa mãn

||x(t)|| ≤ M e−δ(t−t0 )

, ∀t ≥ t0

là nghiệm 0 của hệ không những ổn định tiệm cận mà nó còn tiến tới

0 nhanh với tốc độ theo hàm số mũ

Ví dụ 1.3 Xét phương trình vi phân sau trong R

˙x = ax, ∀t ≥ 0

16

Nghiệm x(t), với x(t0) = x0 cho bởi công thức

x(t) = x0eat, ∀t ≥ 0

Khi đó hệ là ổn định (tiệm cận, mũ) nếu a < 0 Nếu a = 0 thì hệ là

ổn định Hơn nữa, hệ sẽ là ổn định đều (hoặc ổn định tiệm cận đều)

vì số δ > 0 chọn được sẽ không phụ thuộc vào trạng thái ban đầu t0

x0.Khi đó hệ là ổn định nếu

áp dụng các kết quả cho hệ điểu khiển tuyến tính.

2.1 Bổ túc về ma trận

Định nghĩa 2.1 Giả sử A = (aij), aij ∈ C là một ma trận vuông cấp

n Ta định nghĩa chuẩn của ma trận A như sau

Nếu x = (x1, · · · , xn) là một vectơ n chiều thì ta có thể xem x như làmột ma trận n hàng, một cột và do đó

Ma trận đơn vị cấp n được kí hiệu là In (hay đơn giản là I nếu không

sợ nhầm lẫn) Đa thức det(λI − A) bậc n của λ gọi là đa thức đặctrưng của ma trân A, nghiệm của nó gọi là giá trị riêng của ma trận

A

Ta thấy kAkk ≤ kAkk nên theo dấu hiệu Weierstrass, chuỗi trên hội

tụ tuyệt đối với mọi ma trận A

Định lý 2.1 (Công thức Sylvester - Định lý 1.3.[2]) Cho A

là ma trận (n × n) chiều với các giá trị riêng λ1, λ2, , λn khác nhau.Cho f (λ) =

Zk = (A − λ1I)(A − λ2I) · · · (A − λk−1I)(A − λk+1I) · · · (A − λnI)

(λk − λ1)(λk− λ2) · · · (λk − λk−1)(λk− λk+1) · · · (λk − λn) .Xét hệ phương trình vi phân tuyến tính

là ma trận cơ bản của hệ (2) Khi đó hàm

x(t) = e(t−to )Axo

là nghiệm duy nhất của hệ (2) vơi điều kiện ban đầu x(to) = xo

20

= AetA.

Do đó etA là một ma trận nghiệm của (2) Từ định lý Liouville ta có

det(etA) = ettrace(A) 6= 0

nên etA là một ma trận cơ bản của (2)

2.2 Các tiêu chuẩn ổn định cơ bản

Định lý dưới đây cho một tiêu chuẩn đầu tiên về tính ổn định của

hệ (2.1), thường gọi là tiêu chuẩn ổn định đại số Lyapunov

trong đó: λk là các giá trị riêng của A, αk là chỉ số mũ bội của các λk

trong phương trình đa thức đặc trưng của A Zki là các ma trận hằngxác định Do đó ta có đánh giá sau

với µ > 0, δ > 0 nào đó Bây giờ ta giả sử phản chứng rằng có một

λ0 ∈ λ(A) sao cho Reλ0 ≥ 0 Khi đó với véctơ riêng x0 ứng với λ0 này

ta có

Ax0 = λ0x0

22

và khi đó nghiệm của hệ với x0(t) = x0 là x0(0) = x0eλ0 t, lúc đó ta có

Chứng minh Giả sử phương trình (LE) có nghiệm là ma trận X đốixứng xác định dương Với x(t) là một nghiệm tùy ý của (2.1) ta xéthàm số

V (t, x(t)) = hXx(t), x(t)i , ∀t ≥ 0

Ta sẽ chứng minh rằng Reλ < 0, ∀λ ∈ λ(A) Thật vậy gỉa có một số

λ0 ∈ λ(A) mà Reλ0 ≥ 0 Lấy x0 ∈ Rn là véctơ riêng tương ứng với giátrị riêng λ0 này thì nghiệm cả hệ (2.2) sẽ cho bởi

x1(t) = eλ0 tx0,

24





˙Z(t) = ATZ(t) + Z(t)A, t ≥ t0,Z(t0) = Y

Cho t → +∞ thì Z(t) → 0 và vì A là ma trận ổn định, nên ta được

e−AtBBTe−ATtdt,

là không suy biến

26

2.3 Bài toán ổn định hóa

Xét hệ điều khiển mô tả bởi hệ phương trình vi phân

x(t) ∈ Rn, u(t) ∈ Rm

(2.4)

Định nghĩa 2.3 Hệ (2.4) gọi là ổn định hóa được nếu tồn tại hàmh(x) : Rn → Rm sao cho với hàm điều khiển này hệ phương trình viphân

˙x(t) = f (t, x(t), h(x(t))), t ≥ 0,

là ổn định tiệm cận Hàm h(x) thường gọi là hàm điều khiển ngược.Trường hợp hệ (2.4) là hệ tuyến tính ˙x = Ax(t) + Bu(t) thì hệ là

ổn định hóa được nếu tồn tại ma trận K sao cho ma trận (A+BK) là

ổn định

Như vậy mục đích của bài toán ổn định hóa là tìm các hàm điềukhiển ngược h(·) hoặc ma trận K sao cho hệ là ổn định theo nghĩaLyapunov Ngay cả đối với hệ tuyến tính

một điều khiển đủ để hệ tuyến tính dừng là ổn định hóa.

Định lý 2.5 (Định lý 3.18, [2], trang 140) Hệ (2.5) là ổn địnhhóa được nếu nó là điều khiển được về 0 hoàn toàn

Chứng minh Giả sử (2.5) là diều khiển được về 0 hoàn toàn, (khôngmất tính tổng quát ta giả sử t0 = 0), theo bổ đề (2.1) sẽ có một số

T > 0 sao cho ma trận

LT =

Z T 0

(T1 − t)e−AtBBTe−ATtdt,

khi đó LT1 cũng là không suy biến, tức là, tồn tại ma trận ngược L−1T

1.Đặt

K = −T1BTL−1T

1,

ta chứng tỏ rằng K chính là ma trận điều khiển ngược cần tìm Tức

là với điều khiển ngược

Với nghiệm x(t), x(0) = x0 của hệ

˙x(t) = (A + BK)x(t),

và bằng điều khiển u = −T1BL−1T

1x ta cód

d

dtV (x(t)) = 1BB

Ty, y + 2 hBu, yi −

y,

DfV (x) ≤ −C||x||2.

Do đó hệ là ổn định tiệm cận Định lý được chứng minh

Ví dụ 2.2 Xét hệ điều khiển (2.5) trong đó

KẾT LUẬN

Luận văn có nội dung chính như sau

1 Trình bày một số kiến thức cơ sở về hệ phương trình vi phân Cácđịnh nghĩa về hệ điều khiển tuyến tình, bài toán ổn định và ổn địnhhóa

2 Các tiêu chuẩn ổn định cơ bản Chứng minh điều kiện đủ cho bàitoán ổn định hóa hệ điều khiển tuyến tính

TÀI LIỆU THAM KHẢO

A Tài liệu Tiếng việt

[1] Nguyễn Thế Hoàn, Phạm Phu (2000), Cở sở phương trình viphân và lý thuyết ổn định, NXB Giáo dục, Hà Nội

[2] Vũ Ngọc Phát (2001), Nhập môn lý thuyết điều khiển toán học,NXB ĐHQG Hà Nội

[3] Nguyễn Phụ Hy (2005), Giải tích hàm, NXB Khoa học và Kỹthuật

[4] Cung Thế Anh(2015), Cơ sơ lý thuyết phương trình vi phân,NXB Đại học Sư phạm

B Tài liệu Tiếng anh

[1] J Zabcxyz, Mathematical Control Theory, Brikhauser 1992

32

2 Các tiêu chuẩn ổn định Chứng minh điều kiện đủ cho bàitốn ổn định hóa hệ điều khiển tuyến tính. .. Bu(t) hệ

ổn định hóa tồn ma trận K cho ma trận (A+BK)

ổn định

Như mục đích tốn ổn định hóa tìm hàm điềukhiển ngược h(·) ma trận K cho hệ ổn định theo nghĩaLyapunov Ngay hệ tuyến. .. x0(t) cho< /p>

nên hệ (1.2) có nghiệm Do hệ (1.1) có nghiệm

1.3 Bài tốn điều khiển cho hệ tuyến tính< /h3>

Xét điều khiển mơ tả phương trình vi phân tuyến tính dạng

eA(t−s)Bu(s)ds,