Tuyển tập các bài toán trong đề thi Tuyển sinh chuyên toán các TỉnhThành phố

Tiếp nối thành công đến từ các ấn phẩm trước, với mong muốn giúp các bạn học sinh đang chuẩn bị cho kì thi tuyển sinh vào các lớp 10 chuyên Toán có một nguồn tài liệu đầy đủ và chất lượn

TRẦN DƯƠNG VIỆT HOÀNG – PHẠM THỊ HỒNG NHUNG – PHẠM QUỐC THẮNG

NGÔ HOÀNG ANH – NGUYỄN TRƯỜNG HẢI

TUYỂN TẬP CÁC BÀI TOÁN TRONG

ĐỀ THI TUYỂN SINH CHUYÊN TOÁN CỦA CÁC TỈNH – THÀNH PHỐ

Tháng 4 – 2017

Đây là tài liệu miễn phí Bất cứ ai cũng có thể tải về và chia sẻ đến những người khác, nhưng khi chia sẻ, vui lòng ghi rõ nguồn tài liệu

Mọi hành động sử dụng tài liệu này vào mục đích thương mại đều phải được sự cho phép bằng văn bản của THCMN, nếu không sẽ bị coi là vi phạm bản quyền

“Đi nhiều người, bạn sẽ đi rất xa.”

Kì thi tuyển sinh vào bậc THPT luôn là một kì thi cam go, quyết liệt đối với các bạn học sinh, nhất là các bạn học sinh muốn thi vào các trường chuyên Thông thường, một lớp chuyên chỉ có khoảng dưới 40 học sinh, nhưng số lượng các bạn học sinh đăng kí thi vào lớp chuyên đó luôn ở mức hàng trăm, thậm chí hàng nghìn Nói như vậy để thấy rằng, vượt qua kì thi tuyển sinh vào các lớp chuyên luôn là một thử thách lớn đối với các thí sinh, và điều đó đòi hỏi sự chuẩn bị, ôn tập kĩ lưỡng và những kĩ năng vững vàng đến từ các bạn

Tiếp nối thành công đến từ các ấn phẩm trước, với mong muốn giúp các bạn học sinh đang chuẩn bị cho kì thi tuyển sinh vào các lớp 10 chuyên Toán có một nguồn tài liệu đầy đủ

và chất lượng để ôn tập trong giai đoạn nước rút, Blog Toán học cho mọi người cho ra mắt ấn phẩm “Tuyển tập các bài toán trong đề thi tuyển sinh chuyên Toán của các tỉnh – thành phố” Trong cuốn sách này, để thuận tiện cho các bạn theo dõi, chúng tôi chia các bài toán ra làm 5 lĩnh vực: Bất đẳng thức, Đại số, Hình học, Số học, Tổ hợp Mỗi bài toán đều có hướng dẫn giải hoặc lời giải đầy đủ ở phần sau

Các biên tập viên từng phần của ấn phẩm này gồm có:

• Bất đẳng thức: Võ Thành Đạt (Sinh viên hệ Cử nhân tài năng khoa Toán – Tin học trường Đại học Khoa học tự nhiên, ĐHQG Tp HCM) và Phạm Quốc Thắng (Học sinh chuyên Toán trường THPT chuyên Long An, tỉnh Long An)

• Đại số: Võ Trần Duy (Sinh viên hệ Cử nhân tài năng khoa Toán – Tin học trường Đại học Khoa học tự nhiên, ĐHQG Tp HCM) và Ngô Hoàng Anh (Học sinh chuyên Toán trường Phổ thông Năng khiếu, ĐHQG Tp HCM)

• Hình học: Lương Văn Khải (Sinh viên hệ Cử nhân tài năng khoa Toán – Tin học trường Đại học Khoa học tự nhiên, ĐHQG Tp HCM) và Nguyễn Duy Tùng (Sinh viên đại học Wabbash, Hoa Kỳ)

• Số học: Phạm Thị Hồng Nhung (Học sinh chuyên Toán trường THPT chuyên Lê Quý Đôn, tỉnh Bà Rịa – Vũng Tàu) và Nguyễn Trường Hải (Học sinh chuyên Toán trường THPT chuyên Trần Hưng Đạo – Bình Thuận)

• Tổ hợp: Đặng Nhì (Sinh viên hệ Cử nhân tài năng khoa Toán – Tin học trường Đại học Khoa học tự nhiên, ĐHQG Tp HCM) và Trần Dương Việt Hoàng (Học sinh chuyên Toán trường Phổ thông Năng khiếu, ĐHQG Tp HCM)

Chúng tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến TS Trần Nam Dũng (Trường Đại học Khoa học Tự nhiên ĐHQG Tp HCM) đã luôn động viên và giúp đỡ chúng tôi trong quá trình hoàn thành cuốn tài liệu này Trân trọng cảm ơn anh Huỳnh Phước Trường (Sinh viên trường Đại học Sư phạm Tp HCM) đã chỉnh sửa và trang trí lại các phần của cuốn sách, chị Đỗ Thị Lan Anh (Chủ nhiệm CLB Học thuật khoa Toán – Tin học trường Đại học Khoa học tự nhiên – ĐHQG Tp HCM) đã đưa ra những nhận xét thẳng thắn cho bản thảo ấn phẩm Cảm ơn các cộng tác viên Võ Ngọc Trăm (Sinh viên khoa Toán – Tin học trường Đại học Khoa học Tự nhiên, ĐHQG Tp HCM) đã sưu tập đề thi, Lư Thương Thương (Học sinh chuyên Toán trường THPT chuyên Lê Hồng Phong, Tp HCM) đã đọc và kiểm tra bản thảo Cảm ơn các thầy cô và

https://diendantoanhoc.net/home/), Thư viện trực tuyến Violet (https://violet.vn/) , Mathscope (http://mathscope.org/index.php) đã cung cấp một số đề thi và đáp án Đặc biệt, chúng tôi xin cảm ơn Công ty cổ phần Giáo dục Titan – Titan Education đã tài trợ kinh phí cho chúng tôi hoàn thành ấn phẩm này

Chúng tôi rất mong nhận được những ý kiến đóng góp của các bạn để những lần biên tập các ấn phẩm khác được hoàn thiện hơn Mọi nhận xét và góp ý xin gửi về email

blogtoanhocchomoinguoi@gmail.com hoặc gửi tin nhắn đến fanpage Toán học cho mọi người – Math for Everyone (https://www.facebook.com/thcmn/)

Cảm ơn tất cả các bạn!

GIỚI THIỆU VỀ ĐƠN VỊ TÀI TRỢ CÔNG TY C Ổ PHẦN GIÁO DỤC TITAN

Khi giáo dục ngày càng phát triển, việc chọn cho con em mình môi trường học tập tốt luôn là điều trăn trở của các bậc phụ huynh Ở trường, các môn tự nhiên khiến học sinh gặp không ít khó khăn, bởi đa số các em chưa nắm vững kiến thức căn bản từ lớp trước, đặc biệt chưa có phương pháp học hợp lý

Được thành lập vào năm 2010, TITAN Education là trung tâm đào tạo và bồi dưỡng văn hóa trực tiếp nhằm mang lại môi trường giáo dục tốt nhất, nơi các em có thể thỏa chí đam mê với các môn học đầy lý thú cũng như các khóa học bổ ích giúp phát triển tối đa kỹ năng, sở trường của mỗi em Các chương trình được giảng dạy tại TITAN:

• Toán, Lý, Hóa, Văn, Anh văn cơ bản – nâng cao

• Toán chuyên

• Toán IQ cho thiếu nhi

• Luyện thi THPT Quốc gia

• Toán tiếng Anh

• Lớp hè đặc biệt – 9 tuần thử thách

• Bồi dưỡng học sinh giỏi - Gặp gỡ toán học

giúp học sinh củng cố các kiến thức cơ bản và dần dần tiếp cận với các kiến thức nâng cao, rèn khả năng tư duy, hình thành kỹ năng giải các bài tập, giúp các em đạt kết quả tốt ở trường cũng như các kỳ thi chuyển cấp và kỳ thi tuyển sinh Đại học Đối với những em có năng khiếu đặc biệt về toán, các giảng viên tại TITAN sẽ bồi dưỡng dạy chuyên sâu và nâng cao hơn, để các em có thể tự tin tham dự các kỳ thi Olympic, học sinh giỏi Quốc gia, Quốc tế

Phối hợp với gia đình, TITAN luôn chủ động liên hệ, thông tin đến phụ huynh về tình hình học tập của các em Đặc biệt, TITAN còn có những bài kiểm tra định kỳ để theo dõi việc học tập cũng như rèn kỹ năng làm bài thi cho từng học sinh, và báo cáo kết quả cho phụ huynh bằng Phiếu báo học tập

Nhằm đảm bảo chất lượng dạy và học, TITAN bố trí lớp học không quá 20 học sinh cùng một giảng viên và một trợ giảng Với môi trường thân thiện, gần gũi, cơ sở vật chất khang trang, các phòng học được thiết kế đạt chuẩn quốc tế, Học viện còn có môi trường hoạt động thể dục thể thao để giúp học viên có được sức khỏe tốt phục vụ cho việc học và những kĩ năng cần thiết hỗ trợ cho công việc sau này

Thư viện hiện đại với nhiều sách chuyên nghành phục vụ cho nhu cầu nâng cao kiến thức của học viên Bên canh đó trường còn trang bị các phòng tự học cho học viên và những phòng để học viên làm việc nhóm nhóm theo đề tài giảng viên đưa ra

THCMN

2 Tìm giá trị lớn nhất của P = |(x − y)(y − z)(z − x)|

Bài 2. (Bà Rịa - Vũng Tàu)Cho x, y, z là 3 số dương thỏa mãn x2+ y2+ z2= 3xyz Chứng minh:

Bài 4. (Bình Định)Cho x, y, z là 3 số thay đổi thỏa mãn x2+ y2+ z2= 1 Tìm giá trị lớn nhấtcủa biểu thức:

r1

b+25c

Bài 12. (Tp HCM)Cho x, y là hai số thực dương Chứng minh rằng

x√

y+ y√x

8a2+ 1+

18b2+ 1+

18c2+ 1 ≥ 1

Bài 14. (Long An)Cho a, b, c là 3 cạnh của một tam giác Tìm giá trị nhỏ nhất của

Bài 20. (Quảng Nam)Cho ba số thực a, b, c sao cho 0 ≤ a, b, c ≤ 1 Chứng minh

a+ b + c + 3abc ≥ 2(ab + bc + ca)

Bài 21. (Thái Bình)Cho các số thực x, y, z ≥ 1 và thỏa mãn 3x2+ 4y2+ 5z2= 52 Tìm giá trị

Bài 2. (Trường Phổ thông Năng khiếu - ĐHQG Tp HCM)

1 Giải hệ (x − 2y) (x + my) = m2− 2m − 3

(y − 2x) (y + mx) = m2− 2m − 3 khi m = −3 và tìm m để hệ có ít nhất mộtnghiệm (x0, y0) thỏa x0> 0; y0> 0

2 Tìm a ≥ 1 để phương trình ax2+ (1 − 2a)x + 1 − a = 0 có hai nghiệm phân biệt x1, x2thỏa x2 − ax1= a2− a − 1

Bài 3. (THPT chuyên Đại học Sư phạm Hà NộiChứng minh biểu thức sau nhận giá trị nguyêndương với mọi giá trị nguyên dương của n:

q

n2+ (n + 1)2+

q(n − 1)2+ n2

 q4n2+ 2 − 2p4n4+ 1

2 (a) Giải phương trình: 2 (2x − 1) − 3√

3x − 8

(b) Cho bốn số thực a, b, c, d khác 0 thỏa mãn các điều kiện sau: a, b là hai nghiệm củaphương trình x2− 10cx − 11d = 0; c, d là hai nghiệm của phương trình x2− 10ax −11b = 0 Tính giá trị của S = a + b + c + d

ab= 1.(b) Cho phương trình x2− x + b = 0 có các nghiệm x1, x2và phương trình x2− 97x + a =

0có các nghiệm là x41; x42 Tìm giá trị của a

2 (a) Giải phương trình: 9x2− 18x + 5

(b) Cho x =p√3 28 + 1 −p√3 28 − 1 + 2 Tính giá trị của P = x3− 6x2+ 21x + 2016



x2y2− 2x + y2= 02x2− 4x + 3 = −y3

2 Cho phương trình x2− 2 (m − 1) x − 2m + 5 = 0 (m là tham số) TÌm m để phương trình

có hai nghiệm x1, x2sao cho x1+ x2+ 2x1x2= 26

1 Cho phương trình x4+ 3x3− mx2+ 9x + 9 = 0 (m là tham số)

(a) Giải phương trình khi m = −2

(b) Tìm tất cả các giá trị của m để phương trình đã cho có ít nhất một nghiệm dương

2 Giải phương trình 3x2− 4x√4x − 3 + 4x − 3 = 0

1.3 Hình học phẳng

Bài 1. (THPT chuyên KHTN, ĐH KHTN, ĐHQG HN)Cho hình vuông ABCD nội tiếp đườngtròn tâm (O), P là điểm thuộc cung nhỏ AD của đường tròn (O) và P khác A, D Các đường thẳng

PB, PC lần lượt cắt đường thẳng AD tại M, N Đường trung trực của AM cắt các đường thẳng

AC, PB lần lượt tại E, K Đường trung trực của DN cắt các đường thẳng BD, PC lần lượt tại F, L

1 Chứng minh ba điểm K, O, L thẳng hàng

2 Chứng minh đường thẳng PO đi qua trung điểm EF

3 Giả sử đường thẳng EK cắt đường thẳng BD tại S, các đường thẳng FL và AC cắt nhau tại

T, đường thẳng ST cắt các đường thẳng PC, PB lần lượt tại U,V Chứng minh rằng bốnđiểm K, L,U,V cùng thuộc một đường tròn

Bài 2. (Trường Phổ thông Năng khiếu, ĐHQG Tp HCM) 4ABC nhọn có dABC> 45o Dựngcác hình vuông ABMN, ACPQ (M và C khác phía đối với AB, B và Q khác phía đối với AC) AQcắt BM tại E, NA cắt CP tại F

1 Chứng minh 4ABE ∼ 4ACF và tứ giác EFQN nội tiếp

2 Chứng minh trung điểm I của EF là tâm đường tròn ngoại tiếp 4ABC

3 MN cắt PQ tại D Đường tròn ngoại tiếp các tam giác DMQ và DNP cắt nhau tại K khác

D Tiếp tuyến tại B và C của đường tròn ngoại tiếp 4ABC cắt nhau tại J Chứng minh

D, A, K, J thẳng hàng

Bài 3. (THPT chuyên Đại học Sư phạm Hà Nội)Cho tam giác ABC nhọn, AB < AC Kẻ đườngcao AH Đường tròn (O) đường kính AH cắt cạnh AB, AC tương ứng tại D, E Đường thẳng DEcắt đường thẳng BC tại S

1 Chứng minh rằng BDEC là tứ giác nội tiếp

1 Tứ giác MAOB nội tiếp

3 E là trung điểm đoạn MB

Bài 5. (Bà Rịa Vũng Tàu)Cho hai đường tron (O; R), (O0; R0) cắt nhau tại A và B (OO0> R > R0).Trên nửa mặt phẳng bờ OO0có chứa điểm A, kẻ tiếp tuyến chung của MN của hai đường tròntrên (với M thuộc (O) và N thuộc (O0) Biết MB cắt (O0) tại điểm E nằm trong đường tròn (O)

và đường thẳng AB cắt MN tại I

1 Chứng minh [MAN+ [MBN= 1800và I là trung điểm MN

2 Qua B, kẻ đường thẳng (d) song song với MN, (d) cắt (O) tại C và cắt (O0) tại D (với C, Dkhác B) Gọi P, Q lần lượt là trung điềm của CD và EM Chứng minh ∆AME ∼ ∆ACD vàcác điểm A, B, P, Q cùng thuộc 1 đường tròn

3 Chứng minh ∆BIP cân

Bài 6. (Bà Rịa Vũng Tàu)Cho ∆ABC nhọn và H là trực tâm Chứng minh

2 Cho nửa đường tròn tâm O, đường kính AB = 2R Điểm M nằm trên nửa đường tròn sao

EF và AB cắt nhau tại K Tính diện tích tam giác MEF và độ dài các đoạn thẳng KA, KBtheo R

Bài 10. (Cần Thơ) 4ABCnội tiếp đường tròn (O), AB < AC Phân giác trong góc dBACcắt (O)tại D khác A Trên tia AB lấy M tuỳ ý sao cho đường tròn ngoại tiếp 4ADM cắt AC tại N khácA,C

1 Chứng minh rằng MODS là tứ giác nội tiếp

2 Chứng minh rằng QB = PC

Bài 12. (Đồng Nai)Từ điểm M nằm ngoài đường tròn (ω) tâm O, vẽ đến (ω) hai tiếp tuyến

MA, MB và cát tuyến MCD (C nằm giữa M và D).Gọi H là giao điểm MO và AB

2 Chứng minh tứ giác CDOH nội tiếp

3 Chứng minh đường thẳng AB và hai tiếp tuyến của (ω) tại C, D đồng quy

4 Đường thẳng CH cắt (ω) tại điểm thứ hai E khác C Chứng minh AB//DE

Bài 13. (Đồng Nai) 4ABCcó bán kính đường tròn nội tiếp r và độ dài các đường cao là x, y, z

2 Biết r = 1 và x, y, z là các số nguyên dương Chứng minh 4ABC đều

Bài 14. (Hà Nội)Cho tam giác nhọn ABC có AB < AC và nội tiếp đường tròn (O) Các đườngcao BB0,CC0cắt nhau tại điểm H Gọi M là trung điểm BC Tia MH cắt đường tròn (O) tại điểmP

1 Chứng minh ∆BPC0∼ ∆CPB0

2 Các đường phân giác của các góc [BPC0, [CPB0lần lượt cắt AB, AC tại E, F Gọi O0là tâmđường tròn ngoại tiếp ∆AEF; K là giao điểm của HM và AO0

(a) Chứng minh tứ giác PEKF nội tiếp

(b) Chứng minh các tiếp tuyến tại E và F của đường tròn (O0) cắt nhau tại 1 điểm nằmtrên đường tròn (O)

Bài 15. (Hà Tĩnh)Cho tam giác đều ABC nội tiếp đường tròn tâm O Điểm E thay đổi trêncung nhỏ AB (E khác A và B) Từ B và C lần lượt kẻ các tiếp tuyến với đường tròn (O), các tiếptuyến này cắt đường thẳng AE theo thứ tự tại M và N Gọi F là giao điểm của BN và CM

1 Chứng minh điểm M luôn nằm trên một đường tròn cố định

2 Đường thẳng MH cắt (O) tại E và F (E nằm giữa M và F) Gọi I là trung điểm HC, đườngthẳng AI cắt (O) tại G (G 6= A) Chứng minh AF2+ FG2+ GE2+ EA2= 2.BC2

3 Kẻ HP⊥AB tại P Tìm vị trí điểm A sao cho bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác BPCđạt giá trị lớn nhất

Bài 17. (Hải Phòng)Cho ∆ABC nhọn nội tiếp đường tròn tâm O có AB < AC Các đường caoBD,CE cắt nhau tại H (D thuộc AC, E thuộc AB) Gọi M là trung điểm của BC, tia MH cắtđường tròn (O) tại N

1 Chứng minh rằng năm điểm A, D, H, E, N cùng thuộc 1 đường tròn

2 Lấy điểm P trên đoạn BC sao cho [BHP= [CHM, Q là hình chiếu vuông góc của A trênđường thẳng HP Chứng minh rằng tứ giác DENQ là hình thang cân

3 Chứng minh rằng đường tròn ngoại tiếp tam giác MPQ tiếp xúc với đường tròn (O)

Bài 18. (TP HCM)

1 Cho ∆ABC nhọn có các đường cao AA1, BB1,CC1 Gọi K là hình chiếu của A trên A1B1; L

là hình chiếu của B lên B1C1 Chứng minh rằng: A1K= B1L

2 Cho tứ giác nội tiếp ABCD có AC cắt BD tại E Tia AD cắt tia BC tại F Dựng hình bìnhhành AEBG

(a) Chứng minh FD.FG = FB.FE

(b) Gọi H là điểm đối xứng của E qua AD Chứng minh 4 điểm F, H, A, G cùng thuộcmột đường tròn

Bài 19. (Hưng Yên)Cho hai đường tròn (O) và (O0) cắt nhau tại A, B Tiếp tuyến chung gần Bcủa hai đường tròn lần lượt tiếp xúc (O), (O0) tại C và D Qua A kẻ đường thẳng song song CDlần lượt cắt (O), (O0) tại M, N Các đường thẳng CM, DN cắt nhau tại E Gọi P là giao điểm của

1 4BCP ∼ 4BDQ

2 CA.DQ = CP.DA

3 Ba điểm C, D và trung điểm I của PQ thẳng hàng

Bài 21. (Lào Cai)Cho ∆ABC (AB < AC) nội tiếp đường tròn (O) Gọi H là chân đường cao kẻ

từ A đến BC Gọi P, Q lần lượt là chân đường cao kẻ từ H đến AB, AC Hai đường thẳng PQ và

3 Gọi P là trung điểm BC, diện tích tứ giác AMHN là S Chứng minh 2.OP2> S

Bài 25. (Ninh Bình)Cho đường tròn (O), bán kính R, dây BC cố định khác đường kính A làmột điểm di động trên cung lớn BC sao cho 4ABC nhọn Các đường cao BE,CF của 4ABC cắtnhau tại H

1 Chứng minh tứ giác BECF nội tiếp và AO ⊥ EF

2 Tia EF cắt (O) tại I, tia AO cắt (O) tại G Gọi M là trung điểm BC, D là giao điểm hai

3 Trong trường hợp 4ABC cân tại A, goi x là khoảng cách từ (O) đến BC Tìm x để chu vi4ABC lớn nhất

Bài 26. (Phú Thọ)Cho đường tròn (O; R) và dây cung BC cố định Gọi A là điểm di động trêncung lớn BC sao cho ∆ABC nhọn Bên ngoài ∆ABC dựng các hình vuông ABDE, ACFG và hìnhbình hành AEKG

N, tiếp tuyến tại E của (O) cắt CN tại F

1 Chứng minh tứ giác MACN nội tiếp

2 Gọi K là điểm trên cạnh AC sao cho AB = AK Chứng minh AO ⊥ DK

1 EC là tia phân giác của [DEB.

2 4CFG cân

Bài 29. (Quảng Nam)Cho đường tròn (O) đường kính AB, dây CD vuông góc với AB tại Hnằm giữa O và A Lấy điểm E bất kì trên cung nhỏ BD, gọi M là hình chiếu của B lên CE

1 Chứng minh rằng HM//AE

2 Đường tròn ngoại tiếp 4DEM đi qua trung điểm N của dây AF

Bài 30. (Tây Ninh)Cho ∆ABC vuông tại A có đường cao AH (H thuộc cạnh BC) Cho BH = 2

và CH = m Xác định m để đường thẳng BC tiếp xúc với đường tròn tâm A bán kính R = 4 Khi

đó tính độ dài các đoạn AB và AC

Bài 31. (Tây Ninh)Cho ∆ABC cân tại A và nội tiếp (O) tâm O Gọi M là một điểm bất kì trêncung nhỏ AC của (O) (M khác A và C) Trên tia BM lấy điểm E sao cho ME = MC (E ở ngoàiđoạn BM) Chứng minh rằng đường tròn tâm A bán kính AE luôn đi qua B và C

Bài 32. (Tây Ninh)Từ một điểm M nằm ngoài (O) kẻ hai tiếp tuyến MA, MB với (O) (A, B làcác tiếp điểm) Gọi C là giao điểm của MO và AB, lấy D thuộc đoạn AC (D khác A,C) Đườngthẳng MD cắt (O) tại E, F (ME < MF) Chứng minh rằng:

2 E,C, O, F cùng thuộc 1 đường tròn

Bài 33. (Thái Bình)Từ một điểm I nằm ngoài đường tròn (O), vẽ các tiếp tuyến IA, IB (A, B làcác tiếp điểm) và cát tuyến ICD không qua tâm O của (O) (C nằm giữa I và D)

1 Chứng minh AC.BD = AD.BC

2 Gọi K là giao điểm của CD và AB, E là trung điểm OI Chứng minh KA.KB = OE2− EK2

3 Gọi H là trung điểm AB Chứng minh [ADH= dIDB

Bài 34. (Thái Nguyên)Cho đường tròn tâm O và dây cung AB Từ một điểm M bất kì trênđường tròn (M 6= A, B), kẻ MH⊥AB tại H Gọi E, F lần lượt là hình chiếu vuông góc với Htrên MA, MB Qua M kẻ đường thẳng vuông góc với EF, cắt dây cung AB tại D Chứng minh

MA2

MB 2 =AHBH.ADBH

Bài 35. (Thái Nguyên)Cho ∆ABC vuông tại A, đường cao AH Gọi (O) là đường tròn ngoạitiếp ∆AHC Trên cung nhỏ AH của (O) lấy điểm M bất kì khác A và H Tren tiếp tuyến tại Mcủa (O) lấy hai điểm D, E sao cho BD = BE = BA Đường thẳng BM cắt (O) tại điểm thứ hai

N Chứng minh rằng:

1 Tứ giác BDNE nội tiếp

2 Đường tròn ngoại tiếp tứ giác BDNE và đường tròn (O) tiếp xúc nhau

Bài 36. (Thanh Hóa)Cho hình bình hành ABCD với dBAD< 90o Tia phân giác góc dBCDcắtđường tròn ngoại tiếp ∆BCD tại O (O khác C) Kẻ đường thẳng (d) đi qua A và vuông góc với

CO Đường thẳng (d) cắt các đường thẳng CB,CD lần lượt tại M, N

1 Chứng minh rằng: [OBM= [ODC

2 Chứng minh ∆OBM = ∆ODC và O là tâm đường tròn ngoại tiếp ∆CMN

3 Gọi K là giao điểm của OC và BD; I là tâm đường tròn ngoại tiếp ∆BCD Chứng minhrằng: NDMB =IB2−IK2

KD 2

Bài 37. (Thừa Thiên - Huế)Cho hai đường tròn (O1) và (O2) có bán kính khác nhau, cắt nhautại A, B sao cho O1, O2thuộc hai nửa mặt phẳng có bờ là đường thẳng AB Đường tròn (O) ngoạitiếp 4BO1O2cắt (O1), (O2) lần lượt tại K, L khác A và B Đường thẳng AO cắt (O1), (O2) lầnlượt tại M, N khác A Hai đường thẳng MK, NL cắt nhau tại P sao cho P, B thuộc hai nửa mặtphẳng có bờ là đường thẳng KL Chứng minh:

1 Tứ giác BKPL nội tiếp

2 Điểm A cách đều hai đường thẳng BK, BL

3 Điểm P thuộc đường thẳng AB khi và chỉ khi 4PKL cân

Bài 38. (Vĩnh Phúc) 4ABCnhọn (AB < AC) nội tiếp đường tròn (O), M là trung điểm BC AMcắt (O) tại D khác A Đường tròn ngoại tiếp 4MDC cắt đường thẳng AC tại E khác C Đườngtròn ngoại tiếp 4MDB cắt đường thẳng AB tại F khác B

1 Chứng minh rằng x, y là hai số lẻ và nguyên tố cùng nhau

2 Chứng minh k = x2+yxy2+10 chia hết cho 4 và k ≥ 12

Bài 3. (THPT chuyên Đại học Sư phạm Hà Nội) Tìm các số nguyên dương x, y thỏa mãn

Bài 9. (Cần Thơ)Tìm tất cả các cặp số nguyên (x; y) thỏa mãn

Bài 13. (Hải Dương)

1 Tìm dạng tổng quát của số nguyên dương n biết M = n.4n+ 3nchia hết cho 7

2 Tìm số các cặp số (x; y) nguyên dương thỏa mãn

(x2+ 4y2+ 28)2− 17(x4+ y4) = 238y2+ 833

Bài 14. (Hải Phòng)Tìm tất cả các số nguyên m, n với m ≥ n ≥ 0 sao cho (m + 2n)3là ướccủa 9(m2+ mn + n2+ 16

1 Chứng minh rằng tồn tại vô hạn bộ ba số nguyên (x; y; z) thỏa xyz 6= 0 và x5+ 8y3+ 7z2= 0.

2 Tìm tất cả các số nguyên không âm (a; b; c) thỏa và

((a − b)2+ (b − c)2+ (c − a)2= 6abc

Bài 22. (Thái Nguyên)

1 Tìm tất cả các nghiệm nguyên của phương trình:

1.5 Tổ hợp

Bài 1. (Trường THPT chuyên Khoa học Tự nhiên, ĐH KHTN, ĐHQG HN)Chứng minh rằngvới mọi số nguyên n ≥ 3 luôn tồn tại một cách sắp xếp bộ n số 1, 2, , n thành x1, x2, xn saocho xj6= xi +xk

2 với mọi bộ số chỉ số (i, j, k) mà 1 ≤ i < j < k ≤ n

Bài 2. (Trường THPT Chuyên ĐH Sư phạm HN)Giả sử mỗi điểm của mặt phẳng được tô bởimột trong ba màu : xanh,đỏ,vàng Chứng minh rằng tồn tại ba điểm cùng màu là ba đỉnh củamột tam giác cân

Bài 3. (Trường Phổ thông Năng khiếu, ĐHQG Tp HCM)Với mỗi số nguyên dương m > 1, kíhiệu S(m) là ước nguyên dương lớn nhất của m và khác m Cho số tự nhiên n > 1, đặt n0= n

và lần lượt tính các số n1= n0− S(n0); n2= n1− S(n1); ; ni+1= ni− S(ni); Chứng minhrằng tồn tại số nguyên dương k để nk= 1 và tính k khi n = 216.1417

Bài 4. (Đà Nẵng)Người ta dùng một số quân cờ tetromino gồm 4 ô vuông kích thước 1 x 1,hình chữ L, có thể xoay hoặc lật ngược như hình 1 để ghép phủ kín một bàn cờ hình vuông kíchthước n x n (n là số nguyên dương) gồm n2ô vuông kích thước 1 x 1 theo quy tắc:

i Với mỗi quân cờ sau khi ghép vào bàn cờ, các ô vuông của nó phải trùng với các ô vuôngcủa bàn cờ

ii Không có hai quân cờ nào mà sau khi ghép vào bàn cờ chúng kê lên nhau

1 Khi n = 4, hãy chỉ ra một cách ghép phủ kín bàn cờ

2 Tìm tất cả giá trị của n để có thể ghép phủ kín bàn cờ

Bài 5. (Hà Nội)Cho 2017 số hữu tỷ dương được viếttrên một đường tròn Chứng minh tồn tạihai số được viết cạnh nhau trên đường tròn sao cho khi bỏ 2 số đó thì 2015 số còn lại không thểchia thành hai nhòm mà tổng các số ở mỗi nhóm bằng nhau

Bài 6. (Hà Tĩnh)Trên một đường tròn, lấy 1000 điểm phân biệt, các điểm được tô màu xanh và

đỏ xen kẽ nhau Mỗi điểm được gán với một giá trị là một số thực khác 0 Giá trí của mỗi điểmxanh bằng tổng giá trị của hai điểm đỏ kề với nó, giá trị của mỗi điểm đỏ bằng tích giá trị củahai điểm xanh kề với nó Tính tổng giá trị của 1000 điểm trên

Bài 7. (Hải Phòng)Trong dãy số thực a1; a2; a3; ; a2016ta đánh dấu tất cả các số dương và

số mà có ít nhất một tổng của nó với một số các số liên tiếp liền ngay sau nó là một số dương(ví dụ trong dãy −6; 5; −3; 3; 1; −1; −2; −3; ; 2011 ta đánh dấu các số a2= 5; a3= −3; a4=

Bài 9. (Khánh Hòa)Trong mặt phẳng cho 10 điểm đôi một phân biệt sao cho bất kỳ 4 điểmnào trong 10 điểm đã cho cũng có 3 điểm thẳng hàng Chứng minh rằng ta có thể bỏ đi mộtđiểm trong 10 điểm đã cho để có 9 điểm còn lại thuộc một đường thẳng.

Bài 10. (Long An)Số A được tạo thành bởi các chữ số viết liền nhau bao gồm các số nguyên

dương từ 1 đến 60 theo thứ tự từ nhỏ đến lớn: A = 12345678910 585960 Ta xóa 100 chữa sốcủa A sao cho số tạo thành bởi các chữ số còn lại là số nhỏ nhất (không thay đổi trật tự của cácchữ số ban đầu) Hãy tìm số nhỏ nhất được tạo thành đó

Bài 11. (Nam Định)Trên bảng ban đầu ghi số 2 và số 4 Ta thực hiện cách viết thêm các số lênbảng như sau: trên bảng đã có 2 số, giả sử là a, b (a khác b), ta viết thêm lên bảng số có giá trị là

a+ b + ab Hỏi với cách thực hiện như vậy, trên bảng có thể xuất hiện số 2016 được hay không ?Giải thích

Bài 12. (Phú Thọ)Cho 19 diểm phân biệt nằm trong 1 tam giác đều có cạnh bằng 3, trong đó

không có 3 điểm nào thẳng hàng Chứng minh rằng luôn tìm được 1 tam giác có 3 đỉnh là 3trong 19 điểm đã cho mà có diện tích không lớn hơn

√3

4 .

Bài 13. (Quảng Bình)Trong 100 số tự nhiên từ 1 đến 100 hãy chọn n số (n ≥ 2) sao cho 2 sốphân biệt bất kì được chọn có tổng chia hết cho 6 Hỏi có thể chọn n số thỏa mãn điều kiện trênvới n lớn nhất là bao nhiêu ?

Bài 14. (Vĩnh Phúc)Tập hợp A =1; 2; 3; ; 3n − 1; 3n với n là số nguyên dương được gọi là

tập hợp cân đối nếu có thể chia A thành n tập hợp con A1, A2, , Anvà thỏa mãn hai điều kiệnsau:

i Mỗi tập hợp Ai(i = 1; 2; ; n) gồm 3 số phân biệt và có một số bằng tổng hai số còn lại

ii Mỗi tập hợp A1, A2, , Anđôi một không có phần tử chung

Chứng minh rằng:

1 Tập A =1; 2; 3; ; 92; 93 không là tập cân đối.

2 Tập A =1; 2; 3; ; 830; 831 là tập cân đối.

2 Tìm giá trị lớn nhất của P = |(x − y)(y − z)(z − x)|

(Trường Phổ thông Năng khiếu, ĐHQG Tp HCM)

Nhận xét Các bạn có thể luyện tập thêm bằng các bài toán sau:

1 Cho a, b, c là các số không âm Chứng minh rằng

(a + b + c)3≥ 6√3(a − b)(b − c)(c − a)

Do đó ta thu được điều phải chứng minh.

Bài 3 Cho a, b, c > 0 Tìm giá trị nhỏ nhất của

4+ 3b4+ c3+ 2(a + b + c)3

(Bắc Ninh)

Lời giải

Trong bài có dùng tới bất đẳng thức Holder:

Bổ đề 1 (BĐT Holder) Cho a, b, c, x, y, z, m, n, p là các số dương Khi đó:

(a3+ b3+ c3)(x3+ y3+ z3)(m3+ n3+ p3) ≥ (axm + byn + czp)3Nhưng trước hết, áp dụng bất đẳng thức AM - GM ta có

3a4+ 1 = a4+ a4+ a4+ 1 ≥ 44

q(a4)3= 4a3

Tương tự, ta được

3+ 4b3+ c3(a + b + c)3Đến đây áp dụng BĐT Holder ta có:

4

Suy ra: M ≥ 1

4 Dấu bằng xảy ra khi a = b = 1; c = 2.

Nhận xét Sau đây là một số bài tập tự luyện:

1 (VMO 2004) Cho x, y, z là các số thực dương thỏa mãn (x + y + z)3= 32xyz Tìm giá trị

nhỏ nhất và lớn nhất của biểu thức

4+ y4+ z4(x + y + z)4

2 (United Kingdom 2008) Cho x, y, z thỏa mãn x3+ y3+ z3− 3xyz = 1 Tìm giá trị nhỏ nhất

2+ yz + zx)(xy + yz + zx)2Tương tự:

yz

y2+ zx + xy ≤yz(z

2+ zx + xy)(xy + yz + zx)2zx

z2+ xy + yz ≤zx(x

2+ xy + yz)(xy + yz + zx)2Suy ra:

Dấu bằng xảy ra khi x = y = z

Nhận xét Chúng ta có một số bài toán tương tự:

1 Chứng minh rằng với mọi số thực dương a, b, c ta luôn có

Bài 6 Cho a, b, c lần lượt là độ dài ba cạnh của một tam giác và thỏa mãn 2ab + 3bc + 4ca =

5abc Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

27(a + b − c) + 6(b + c − a) + 5(c + a − b)=

Do a, b, c không âm nên kết hợp AM-GM ta có:

a2b+ b2c+ c2a≤a2b+ bc2+ 2abc = b(a + c)2= b(a + c)(a + c) ≤ 4(a + b + c)

3

Nhận xét Bài toán trên thuộc đề thi chọn học sinh giỏi quốc gia của Canada năm 1999 (Canada

MO 1999) Xin giới thiệu một bài toán được xây dựng từ bài toán trên, xuất hiên trên tạp Chí Toán học và Tuổi trẻ: Cho các số thực không âm a, b, c thỏa mãn a + b + c = 3 Tìm giá trị nhỏ

b.ab ≥ 2a −b+ ab

2Tương tự ta được

√

c

cc

√c

Nhận xét Chúng ta có vài bài toán tương tự:

1 Cho a, b, c dương thỏa mãn ab + bc + ca = 1 Chứng minh rằng

Chứng minh bổ đề trên bằng AM - GM là rất dễ dàng, xin nhường lại cho bạn đọc.

Quay lại bài toán Áp dụng bổ đề 2 ta được:

Q≥ 14(a2+ b2+ c2) +3(ab + bc + ca)

a2+ b2+ c2 = 14(a2+ b2+ c2) +3(1 − a

2− b2− c2)2(a2+ b2+ c2)

Nhận xét Đây là một bài toán quen thuộc đã xuất hiện trong đề thi tuyển sinh chuyên của

trường THPT chuyên Phan Bội Châu Nghệ An và trường THPT chuyên Lê Hồng Phong Tp HCM năm 2012 và bất đẳng thức phụ trên chính là mấu chốt để giải quyết bài toán này Các bạn có thể sử dụng bất đẳng thức trên để giải quyết hai bài toán sau:

1 (Vũng Tàu TST 2016) Cho x, y, z không âm thỏa mãn x2+ y2+ z2= 1 Chứng minh rằng

(x2y+ y2z+ z2x) √ 1

x2+ 1+

1p

c2

r1

b+25c

(1 + 3 + 5) ≥ (a + b + c)2⇒ 2

s

a2+b2

c2

31

b+25

a+ b + cĐặt t = a + b + c thì

Bài 12 Cho x, y là hai số thực dương Chứng minh rằng

x√

y+ y√x

4

Do đó ta thu được điều phải chứng minh

Bài 13 Cho a, b, c là các số dương thỏa mãn 1

18b2+ 1+

18c2+ 1 ≥ 1

(Lào Cai)

Lời giải

Giả sử tồn tại a, b, c sao cho

18a2+ 1+

18b2+ 1+

18c2+ 1 < 1Suy ra:

8a28a2+ 1 >

18b2+ 1+

1

(8b2+ 1)(8c2+ 1)Chứng minh tương tự:

8b2

b2+ 1 >

2p

(8c2+ 1)(8a2+ 1)

8c2

c2+ 1 >

2p

2p

(8b2+ 1)(8c2+ 1).

2p

(8c2+ 1)(8a2+ 1).

2p

(8a2+ 1)(8b2+ 1)Suy ra

Chứng minh tương tự:

1

√cap(c + 1)(a + 1)

1

√bcp(b + 1)(c + 1)

2√cap(c + 1)(a + 1).

2√bcp(b + 1)(c + 1)

Suy ra

Từ (2.1.13.1) và (2.1.13.2) ta có mâu thuẫn nên từ đó có điều phải chứng minh

Nhận xét Bài toán ở trên có phần hao hao giống bài toán sau: Cho a, b, c > 0 thỏa mãn

Áp dụng AM-GM ta được:

(b + c − a)(c + a − b) ≤ c2(b + c − a)(a + b − c) ≤ b2(a + b − c)(c + a − b) ≤ a2

⇒ (b + c − a)2(c + a − b)2(a + b − c)2≤ a2b2c2

⇒ (b + c − a)(c + a − b)(a + b − c) ≤ abc

⇒ Q ≥ 1Dấu −” xảy ra khi a = b = c

Nhận xét Bất đẳng thức abc ≥ (a + b − c)(b + c − a)(c + a − b) vẫn đúng với trường hợp

a, b, c > 0, và chính là BĐT Schur cho bậc 3 Xin giới thiệu BĐT Schur tổng quát:

Với mọi số thực không âm a, b, c, k ta có:

a2+ b2+ c2+ 9abc

a+ b + c ≥ 2(ab + bc + ca)a

Khi k = 2 ta có các bất đẵng thức sau

a4+ b4+ c4+ abc(a + b + c) ≥ ab(a2+ b2) + bc(b2+ c2) + ca(c2+ a2)

a2+ b2+ c2+ ab + bc + ca ≥ 2(ab + bc + ca)

Chú ý rằng với k = 2 thì bất đẳng thức Schur đúng với mọi a, b, c ∈ R.

Đặt x = a(a − b − c) ; y = b(b − c − a); z = c(c − a − b) Khi đó bất đẳng thức

x2+y2+z2≥ xy+yz+zx ⇔ a4+b4+c4+abc(a+b+c) ≥ ab(a2+b2)+bc(b2+c2)+ca(c2+a2)

Bài 15 Cho x, y, z là các số thực thỏa mãn (x − y)(x − z) = 1 và y 6= z Chứng minh

2+ 2(x − y)(x − z)(x − y)2(x − z)2

2

(x − y)(x − z)Kết hợp sử dụng AM-GM, suy ra:

(x − y)(x − z)= 4

Nhận xét Đây chính là dạng biến thể của bài thi học sinh giỏi quốc gia lớp 12 năm 2008 (VMO

2008) Xin phát biểu lại đề như sau:

Cho a, b, c là các số không âm phân biệt Chứng minh rằng:

Ngoài ra ta còn có thể sử dụng phương pháp dồn biến về biên như sau

Nhận thấy rằng bất đẳng thức trên không hề có dấu bằng tại tâm Ta dự đoán dồn biến về biên Xét

x2+ 1

y2 ≥ 4xy

hay là

1(x − y)2+(x − y)

Do đó ta thu được điều phải chứng minh Dấu bằng xảy ra khi a = b = c = 1.

Nhận xét Mở rộng ra, hãy thử chứng minh bài toán sau: Chứng minh rằng với mọi a, b, c dương

ta có

12a + b + c+

P= 1 xảy ra khi x = y =2

3.

Nhận xét Hãy thử loại bỏ đi những căn thức "khó chịu"ở mẫu số bằng AM-GM Sau đây là

một số bài toán tương tự:

1 (Trần Quốc Anh) Cho các số thực không âm a, b, c có tổng bằng 3 Chứng minh rằng