a Chứng minh mọi ước số của M đều là số lẻ.. Chứng minh rằng xyz chia hết cho 60... Ta sẽ chứng minh xyz chia hết cho thông qua việc sử dụng các bổ đề trên Trước tiên, ta chứng minh.. Tr
Trang 1Câu 1: Tìm nghiệm nguyên của phương trình: 2 2
2x 4x 3 y 19 0
Câu 2: Cho a, b là các số nguyên dương thỏa mãn a 1 và b 2019 đều chia hết cho 6
Chứng minh rằng 4a + a + b chia hết cho 6
cho 101?
3a 1
M a với a là số nguyên dương
a) Chứng minh mọi ước số của M đều là số lẻ
b) Giả sử M chia hết cho 5, tìm a Với giá trị nào của a thì M là lũy thừa của 5?
x y z Chứng minh rằng xyz chia hết cho 60
Tìm cặp số nguyên (x, y) thỏa mãn: 2 2
5x 8y 20412
n
Chứng minh rằng 3 .(S n n 3) 1 là một số chính phương
x y z
3 2x 2x 10 4 0
x y y y
S chia hết cho 31
10 Bài Toán bồi dưỡng HSG 9 và Luyện thi lên lớp 10 Chuyên
Chuyên đề: Số học
Trang 2Câu 1:
Theo đề x y, nên:
Vì x y, nên 2 2
2 2 2
2
4
x x
x
Vậy cặp nghiệm ( ; )x y {(2;1),(2; 1),( 4;1),( 4; 1)}
Câu 2:
Vì (a 1) 6, a a 5
Từ giả thiết a 1 6;b 2019 6 a b 2020 (a b 4 336.6) 6
Vậy ta chỉ cần chứng minh (4a 4) 6
4 4 4(4 1) 4 1 (4 1) 255 3
4
a
Vậy 4a + a + b chia hết cho 6
Câu 3:
Ta có:
Vậy các số cần phải tìm chính là các số tự nhiên có 5 chữ số chia hết cho 101
10000 100 101x100 10100 là các số tự nhiên có 5 chữ số nhỏ nhất chia hết cho 101
99999 9 101x990 99990 là các số tự nhiên có 5 chữ số lớn nhất chia hết cho 101
Vậy số các số có 5 chữ số chia hết cho 101 là 99990 10100 1 891
101
số
PHẦN HƯỚNG DẪN GIẢI
Trang 3Câu 4:
Ta có: M 5;(5a) 5. Do đó 2
(a 1) 5 Nên a 1 5 Nên : a chia 5 dư 1, tức là a 5k 1(k )
a n n vì do a 1 nên 2
3a 1 5)
Ta có: 5 5n theo trên ta có : a 5k 1(k )
(5k 1) 3(5k 1) 1 5n 25k 10k 1 15k 3 1 5n
k k
Nếu n 2 ta có 2
25 (k K 1) 5 ; 5 không chia hết cho 2
5 vô lý Vậy với n 1, ta có 25 (k k 1) 0;k Do đó k 0nên a 1
Câu 5:
Ta chứng minh một số bổ đề sau
Một số chính phương chia 3 chỉ có thể dư 0 hoặc 1, chia 4 chỉ có thể dư 0; 1 hoặc 3, chia 5
chỉ có thể dư 0, 1 hoặc 4
Thật vậy, trước tiên ta chia các số nguyên thành các dạng: 3 ,3k k 1,3k 2
Mà
Do đó, một số chính phương chia 3 chỉ có thể dư 0, 1 Tương tự, ta có các điều nói trên
Ta sẽ chứng minh xyz chia hết cho thông qua việc sử dụng các bổ đề trên
Trước tiên, ta chứng minh
Giả sử đều không chia hết cho 4 Do đó, 2 2 2
, ,
x y z chia 4 dư 1 hoặc 3
Mà 2 2 2
x y z mo hay nói cách khác:
mo mo mo mo
(vô lý)
Vậy, xyz 3
Tương tự, ta chứng minh được xyz 4,xyz 5 Mà 3, 4, 5 đôi một nguyên tố cùng nhau nên ta
suy ra xyz 60 dpcm
Trang 4Trước hết ta nhận thấy tổng trên được viết dưới dạng hai số chính phương Ta cần chứng
minh mọi số chính phương khi chia cho 3 chỉ có thể dư 1 hoặc 0.(có thể tham khảo chứng
minh ở câu 5)
Vậy tổng hai số chính phương chia hết cho 3 khi và chỉ khi cả hai số cùng chia hết cho 3
Đặt 3 ;( , )
a b b
2 2
b
2 2
3
Thay vào (3), ta có
Dễ thấy f=0 không thỏa bài toán
Thay f= 1 vào bài toán ta suy ra e 2
Thay f=-1 vào bài toán ta suy ra e 2
Với các giá trị của e, f ta dễ dàng suy ra được c, d cũng như a, b và suy ra được nghiệm
x ;y
Vậy phương trình trên nhận nghiệm ( ; )x y {(54; 27), (54; 27), ( 54; 27), ( 54; 27)}
Câu 7:
Ta có:
n
dpcm
Trang 5Câu 8:
x y z
x y z
x y x xy y z
2
( )[( ) 3x ]
x y z
Thế x y z vào pt dưới, ta được :
2
( 3x )
( 3x ) 0
z z y z
2 2
0
3
Áp dụng định lý Vi-èt đảo ta có :
2 2
3
z z
2
3
z z
2
3 3 3 3
2; 1 3
1; 2
z
Vậy hệ phương trình trên nhận nghiệm ( ; ; ) {(0;0;0),(2;1;3),(1;2;3),(2;2;4)}x y z
Câu 9:
Theo đề x y, nên:
Trang 63 1 7
3 1
3 1 7
3 7
3 1 1
3 7
3 1 1
x y
x y
x y
x y
x y
x y
x y
3 3 1 7 3 3 1
y x y x y x y
(thỏa)
Vậy phương trình trên nhận nghiệm ( ; )x y {(1;-3),(3;1),(7;-3),(-3;1)}
Câu 10:
Ta có :
2 2018 2019
S
2 3 4 2015 2016 2017 2018 2019
S
S
S
5 2015
S
Vậy S 31 dpcm
Trang 7
CHƯƠNG TRÌNH LUYỆN THI VÀO LỚP 10 CHUYÊN NĂM 2017 TRÊN HỌC247
- Chương trình luyện thi được xây dựng dành riêng cho học sinh giỏi, các em yêu thích toán và muốn thi
vào lớp 10 các trường chuyên
- Nội dung được xây dựng bám sát với đề thi tuyển sinh lớp 10 các trường chuyên của cả nước trong
những năm qua
- Đội ngũ giáo viên giảng dạy gồm các thầy nổi tiếng có nhiều năm kinh nghiệm trong việc ôn luyện học
sinh giỏi
- Hệ thống bài giảng được biên soạn công phu, tỉ mỉ, phương pháp luyện thi khoa học, hợp lý mang lại kết
quả tốt nhất
- Lớp học qua mạng, tương tác trực tiếp với giáo viên, huấn luyện viên
- Học phí tiết kiệm, lịch học linh hoạt, thoải mái lựa chọn
- Mỗi lớp từ 5 đến 10 em để được hỗ trợ kịp thời nhằm đảm bảo chất lượng khóa học ở mức cao nhất
- Đặc biệt, các em còn hỗ trợ học tập thông qua cộng đồng luyện thi vào lớp 10 chuyên của HỌC247