Bài 17 hướng dẫn giải bài tập tự luyện cac bài toán ve khoảng cách phần 1

Giả sử Mx, y là điểm thuộc đồ thị mà tổng các khoảng cách d = d1 + d2 trong đó d1 tương ứng d2 là khoảng cách từ M đến tiệm cận đứng tương ứng tiệm cận xiên là bé nhất.. Tìm trên đồ thị

Bài 1 Cho hàm số 2 1

1

x y x







Tìm trên đồ thị những điểm có tổng khoảng cách đến 2 tiệm cận của đồ thị nhỏ nhất

Lời giải:

Gọi M là 1 điểm thuộc đồ thị 0

0 0

1

x

M x

x



 TCĐ: x = -1; TCN : y = 2

x



Theo BĐT Cô si: 1 2 0

0

1

1

x



 tổng đạt GTNN bằng 2 khi x0  0 x0  2

Vậy có 2 điểm thỏa mãn là: M1 0;1 ; M22;3

Bài 2 Cho hàm số

 

2

y

x



 Tìm các điểm trên đồ thị sao cho tổng các khoảng cách từ đó đến các tiệm cận là nhỏ nhất

Lời giải:

x

    



  Tập xác định R\  1

Tiệm cận xiên : 1 

2 2

Tiệm cận đứng: x = 1

CÁC BÀI TOÁN VỀ KHOẢNG CÁCH (Phần 1)

HƯỚNG DẪN GIẢI BÀI TẬP TỰ LUYỆN

Giáo viên: LÊ BÁ TRẦN PHƯƠNG

Giả sử M(x, y) là điểm thuộc đồ thị mà tổng các khoảng cách d = d1 + d2 trong đó d1 (tương ứng d2) là khoảng cách từ M đến tiệm cận đứng (tương ứng tiệm cận xiên) là bé nhất

Ta có d1 = x1, 2

4

x d

x







x

  



Vậy

4

x



Dấu bằng xảy ra khi

2

x



Vậy các điểm cần tìm là:

2



Bài 3 Cho đồ thị của hàm số: 2

3

x y x







Tìm trên đồ thị của hàm số điểm M sao cho khoảng cách từ điểm M đến đường tiệm cận đứng bằng khoảng cách từ điểm M đến đường tiệm cận ngang

Lời giải:

Giả sử M x y( ;0 0) thuộc đồ thị

Gọi d1 là khoảng cách từ M đến tiệm cận đứng và d2 là khoảng cách từ M đến tiệm cận ngang

0

5

| 3 |; | 1|

| 3 |

x

 Theo giả thiết ta có: d1d2x0  3 5y0  1 5

Vậy có 2 điểm cần tìm: M1(3 5;1 5);M2(3 5;1 5)

Bài 4 Cho hàm số 3 4

2

x y x





 Tìm điểm thuộc (C) cách đều 2 đường tiệm cận

Lời giải:

Giả sử M x y thuộc đồ thị ( ; )

Khoảng cách từ M đến tiệm cận đứng và tiệm cận ngang bằng nhau, tức là:

4

x

x







 Vậy 2 điểm cần tìm là: M 1;1 ; M1  2 4; 4

Bài 5 Cho hàm số 2 1

1

x y x





 (C)

Tìm các điểm M thuộc đồ thị (C) sao cho tổng khoảng cách từ M đến 2 tiệm cận đồ thị là nhỏ nhất

Lời giải:

Lấy M x ; y 0 0   C

TCĐ: x = -1; TCN : y = 2

Gọi d1  d M , TCĐ x 0   0 1 , d2  d M , TCN y – 2  0   0

Ta có:

ô

0

3

1

C si

x





Dấu "=" xảy ra khi x0   1 3y0 2 3

Vậy điểm cần tìm là: M1( 1  3 2  3); M2( 1  3 2  3)

Bài 6 Cho hàm số

 

2

y

x



 Tìm các điểm trên đồ thị sao cho tổng các khoảng cách từ đó đến hai trục là nhỏ nhất

Lời giải:

Điểm M(x, y) thuộc đồ thị thì x  1 và 1 2 4

x

    



  1 4    

x



 

 

x

x





TH1 Xét f(x) với x > 1

Ta có  

 2

x

  

2 x 1



f’(x) = 0   2 4

1 3

3 ,

2 1 3

f’(x) < 0 khi 1,1 2

3

  và f’(x) > 0 khi

2

3

2 2

3

x f x



       

khi 1 2

3

TH2 Xét f(x) với 0  x < 1

Khi đó

 2

x

Vậy    

0 1

x f x f

TH3 Xét f(x) với x < 0

Khi đó

2

x

      



 

 2

'

x

  

3

f’(x) < 0 khi 1 2

3

x  và f(x) > 0 khi 1 2

3

Vậy  

0

2

3

x f x



So sánh ta thấy    

1

x f x f

Vậy M(0;-3) là điểm cần tìm

Bài 7 Cho hàm số 1

x y x

 



 (C)

a Tìm điểm M thuộc (C) sao cho tổng khoảng cách từ M đến 2 trục tọa độ đạt GTNN

b Tìm điểm M thuộc (C) sao cho tổng khoảng cách từ M đến 2 tiệm cận đạt GTNN

Lời giải:

0

x

Tổng khoảng cách từ M đến 2 trục tọa độ là: 0

0

x

2 2

             

Dấu = xảy ra khi 0 0

0

;

x

Vậy 3 1; 3 1

  thì dmin  3 1

b Khoảng cách từ M đến TCN, TCĐ lần lượt là: d1  x0 ; 2

0

3 4

d x



 1 2 0 0

2

x  

Vậy: 3 1; 3 1

M   

;

M    

  là các điểm cần tìm

Bài 8 Cho hàm số

 

2

y

x



 Tìm các điểm M, N trên hai nhánh của đồ thị (mỗi điểm thuộc một nhánh) sao cho độ dài đoạn MN là nhỏ nhất

Lời giải:

Giả sử M(s, y(s)) và N (t, y(t)) ở đây t < 1 < s là các điểm thuộc đồ thị Khi đó

    1  4   

s t

y s y t s t

2 2

s t

Nhưng  

2

, do đó

 

 

2

2

2



Dấu bằng đạt được khi:

 

 

4 2

4

2

5

2

5

t

s t



  

Từ đó ta có các điểm cần tìm là

2



2



Bài 9 Cho hàm số 1

x y x

 



 (C) Tìm 2 điểm A; B thuộc 2 nhánh của đồ thị hàm số sao cho AB min

Lời giải:

Gọi 1; 3 1

2 4 2

A a

a

  thuộc nhánh trái,

1 3 1

;

2 4 2

B b

b

  thuộc nhánh phải của đồ thị hàm số (C), với

0

a b

2

b a



2

ab ab



 Dấu bằng xảy ra

3 2

3

2

b a

b

b a



 

   

Vậy hai điểm cần tìm là: 3 1; 3 1

A    

3 1 3 1

;

B   

Bài 10 Cho hàm số 2

x y x





 Tìm những điểm trên đồ thị (C) cách đều hai điểm A(2 , 0) và B(0 , 2)

Lời giải:

Dễ thấy phương trình đường trung trực của đoạn AB là: y = x

Những điểm thuộc đồ thị cách đều A và B có hoàng độ là nghiệm của phương trình:

2

1 5

1 0

2

x x

x x x x

x











Vậy hai điểm trên đồ thị thỏa đề bài là: 1 5 1, 5 ; 1 5 1, 5

Bài 11 Cho hàm số 2

1

x y x



 Tìm trên đồ thị (C) hai điểm B, C thuộc hai nhánh sao cho tam giác ABC

vuông cân tại đỉnh A với A(2;0)

Lời giải:

Ta có ( ) : 2 2

1

x

 

 ; Gọi

  với ( b < 1 < c)

Gọi H, K lần lượt là hình chiếu của B, C lên trục Ox, ta có:

B

A

C

ABAC CAKBAH CAKACKBAH ACK



      









Hay:

2

1 1

1

b

b c

c c

b

  

 







  













Vậy ( 1;1),B  C(3;3)

Giáo viên: Lê Bá Trần Phương Nguồn: Hocmai.vn