Vi+t phương trình ñư;ng th%ng AB.. Tìm giao ñi m M trên m#t ph%ng xOy sao cho tYng các ñ dài MA + MB nhZ nhVt... Tính ñ dài ngon nhVt c.a ñoFn th%ng MN.. Xác ñUnh vU trí c.a M, N tương T
Trang 1Bài 1: Trong không gian v i h t a ñ Oxyz , cho hai ñi m A(1; 2; 3), B( 1; 0; 1) và m#t ph%ng
(P): x+ + + = y z 4 0
a Tìm t a ñ hình chi+u vuông góc c.a A trên (P)
b Vi+t phương trình m#t c4u (S) có bán kính b8ng
6
AB
, có tâm thu c ñư;ng th%ng AB và (S) ti+p xúc v i (P)
Gi i:
a Tìm t a ñ hình chi+u vuông góc
Hình chi+u vuông góc A’ c.a A trên (P) thu c ñư;ng th%ng ñi qua A và nhAn u =(1;1;1)làm vectơ chD phương
T a ñ A’ có dFng A’(1 + t; 2 + t; 3 + t)
Ta có: A'∈( )P ⇔3t+ = ⇔ = − 6 0 t 2
VAy A’( 1; 4; 1)
b Vi+t phương trình m#t c4u
Ta có: AB = −( 2; 2; 2)− = −2(1; 1;1)− Bán kính m#t c4u là: 3
6 3
AB
Tâm I c.a m#t c4u thu c ñư;ng th%ng AB nên t a ñ I có dFng I(1 + t; 2 – t; 3 + t)
Ta có: ( , ( )) 6 3 5
7
t t
AB
d I P
t
= −
= ⇔ = ⇔ = −
▪ t= − ⇒ −5 I( 4;3; 2)− M#t c4u (S) có phương trình là: ( 4)2 ( 3)2 ( 2)2 1
3
▪t= − ⇒ −7 I( 6;5; 4)− M#t c4u (S) có phương trình là: 2 2 2 1
( 6) ( 5) ( 4)
3
Bài 2: Cho hai ñi m A(1; 2; 3), B(4; 4; 5)
a Vi+t phương trình ñư;ng th%ng AB Tìm giao ñi m P c.a nó v i m#t ph%ng xOy CMR v i m i
ñi m Q thu c (Oxy), bi u thTc QA QB− có giá trU l n nhVt khi Q trùng v i P
b Tìm giao ñi m M trên m#t ph%ng xOy sao cho tYng các ñ dài MA + MB nhZ nhVt
Gi i:
a Phương trình ñư;ng th%ng AB cho b[i:
BÀI GI NG 12
QUAN H GI A M T C U VÀ M T PH NG
QUAN H GI A ðI M VÀ M T PH NG
(HƯ(NG D,N GI.I BÀI T1P T3 LUY7N)
Trang 21 3 (1; 2;3)
(3; 2; 2)
3 2
qua A
vtcp AB
= +
• Tìm giao ñi m P c.a nó v i m#t ph%ng xOy
M#t ph%ng xOy có phương trình z = 0
⇒ + = ⇔ = − ⇒ − −
• CMR v i m i ñi m Q thu c m#t ph%ng xOy, bi u thTc QA QB− có giá trU l n nhVt khi Q trùng v i P ThAt vAy:
Ta có: t t A B =1.4= > ⇒4 0 A B, cùng phía v i xOy
Xét tam giác QAB, ta có: QA QB− ≤AB
DVu “=” xdy ra khi và chD khi Q≡ P
b Tìm ñi m M trên m#t ph%ng (xOy) sao cho MA + MB nhZ nhVt
G i n là m t vectơ pháp tuy+n c.a (Oxy), ta có: n =(0; 0;1)
▪ G i A1 là hình chi+u vuông góc c.a A lên mp(Oxy) ⇒A1=(1; 2; 0) & AA1= 3
▪ G i B1 là hình chi+u vuông góc c.a B lên mp(Oxy)⇒B1=(4; 4; 0) &BB1= 5
▪ ði m N thu c (xOy) chia vectơ A B theo tD si b8ng 1 1 1
1
AA 3
5
BB
− = − , suy ra:
1
3 5 8
0
N
N
N
x
z
+
=
+
=
▪ Ta ñi chTng minh r8ng MA + MB nhZ nhVt khi và chD khi M ≡N ThAt vAy:
G i A2 là ñi m ñii xTng c.a A qua mp(xOy)
Vì ñi m N chia vectơ A B theo tk si b8ng: 1 1 1
2 1
AA
, ,
A B N BB
− ⇒ th%ng hàng
VAy: MA + MB = MA2 + MB ≥A B2 =NA+NB
DVu “=” xdy ra khi và chD khi M ≡ N
Bài 3: Trong không gian Oxyz , cho mp(P): x+ + − = và hai ñi m A(1; 3; 0), B(5; 1; 2) y z 1 0
Tìm t a ñ ñi m M trên m#t ph%ng (P) sao cho MA MB− ñFt giá trU l n nhVt
Gi i:
Ta có: A, B n8m khác phía so v i (P) G i B’ là ñi m ñii xTng v i B qua mp(P)
'( 1; 3; 4)
B
⇒ − −
' '
MA MB− = MA MB− ≤AB
ð%ng thTc xdy ra khi M, A, B’ th%ng hàng ⇒ M là giao ñi m c.a (P) và AB’
Trang 31 ' : 3
2
= +
= −
= −
VAy M( 2; 3; 6)
Bài 4: Trong không gian Oxyz cho hai ñi m A (–1; 3; –2), B (–3; 7; –18) và m#t ph%ng(P): 2x – y + z + 1
= 0
a Vi+t phương trình m#t ph%ng chTa AB và vuông góc v i mp (P)
b Tìm t a ñ ñi m M ∈ (P) sao cho MA + MB nhZ nhVt
Gi i:
a 2x + 5y + z − 11 = 0
b) A, B n8m cùng phía ñii v i (P) G i A′ là ñi m ñii xTng v i A qua (P) ⇒ A'(3;1; 0)
ð M ∈ (P) có MA + MB nhZ nhVt thì M là giao ñi m c.a (P) v i A′B ⇒ M(2; 2; 3)−
Bài 5: Trong không gian v i h trlc t a ñ Oxyz, cho tam giác ABC v i A(1; 2; 5), B(1; 4; 3), C(5; 2; 1)
và m#t ph%ng (P): x – y – z – 3 = 0 G i M là m t ñi m thay ñYi trên m#t ph%ng (P) Tìm giá trU nhZ nhVt
c.a bi u thTc MA2+MB2+MC2
Gi i:
G i G là tr ng tâm c.a ABC ⇒ G 7 8; ;3
3 3
F=MA +MB +MC = MG+GA + MG+GB + MG+GC
F nhZ nhVt ⇔ MG2 nhZ nhVt ⇔ M là hình chi+u c.a G lên (P)
⇔
7 8
3 3
19
3 3 ( , ( ))
1 1 1 3 3
− − −
+ +
VAy F nhZ nhVt b8ng
2
19 64 553 3
3 9
3 3
+ =
khi M là hình chi+u c.a G lên (P)
Bài 6: Trong không gian v i h t a ñ Oxyz, cho m#t c4u (S) và m#t ph%ng (P) có phương trình là
( ) :S x +y +z −4x+2y−6z+ =5 0, ( ) : 2P x+2y− +z 16= ði m M di ñ ng trên (S) và ñi m N di 0
ñ ng trên (P) Tính ñ dài ngon nhVt c.a ñoFn th%ng MN Xác ñUnh vU trí c.a M, N tương Tng
Gi i:
2) M#t c4u (S) tâm I(2;–1;3) và có bán kính R = 3
Trang 4Khodng cách tq I ñ+n m#t ph%ng (P): ( ,( ) ) 2.2 2.( 1) 3 16 5
3
Do ñó (P) và (S) không có ñi m chung Do vAy, min MN = d –R = 5 –3 = 2
Trong trư;ng hrp này, M [ vU trí M0 và N [ vU trí N0 Ds thVy N0 là hình chi+u vuông góc c.a I trên m#t ph%ng (P) và M0 là giao ñi m c.a ñoFn th%ng IN0 v i m#t c4u (S)
G i là ñư;ng th%ng ñi qua I và vuông góc v i (P), thì N0 là giao ñi m c.a và (P)
ðư;ng th%ng có VTCP là n = P (2; 2; 1− và qua I nên có phương trình là )
2 2
1 2 3
= +
= − + ∈
= −
ℝ
T a ñ c.a N0 Tng v i t nghi m ñúng phương trình:
2 2 2 2 1 2 3 16 0 9 15 0
+ + − + − − + = ⇔ + = ⇔ = − = −
Suy ra 0 4; 13 14;
3 3 3
Ta có 0 0
3 5
IM = IN Suy ra M0(0;–3;4)
Bài 7: Trong không gian v i h toF ñ Oxyz, cho 3 ñi m A(3; 1; 1), B(7; 3; 9), C(2; 2; 2) và m#t ph%ng (P)
có phương trình: + = + = Tìm trên (P) ñi m M sao cho + + nhZ nhVt
Gi i:
G i I là ñi m thod: + + = ⇒
Ta có: T = + + =( + ) (+ + )+ ( + ) = =
Do ñó: T nhZ nhVt ⇔ nhZ nhVt ⇔ M là hình chi+u c.a I trên (P)
Ta tìm ñưrc:
−
Giáo viên: Tr,n Vi-t Kính Ngu4n : Hocmai.vn