tim gtnn, gtln bang dao ham khao sat gian tiep

Khảo sát gián tiếpViệc tìm GTLN, GTNN của hàm số yf g x[ ] bằng phơng pháp gián tiếp đợc thực hiện thông qua việc sử dụng đối số mới t g x để đa hàm số ban đầu về dạng yf t đơn gi

Khảo sát gián tiếp

Việc tìm GTLN, GTNN của hàm số yf g x[ ( )] bằng phơng pháp gián tiếp đợc thực hiện thông qua việc sử dụng đối số mới t g x ( ) để đa hàm số ban đầu về dạng yf t( ) đơn giản hơn Với chú ý, ta phải đi tìm tập giá trị của hàm số t g x ( ), giả sử tập giá trị đó là D sau đó tìm GTLN, GTNN của hàm số yf t( ) trên miền D

Ví dụ 3: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số sau

y

Giải:

Đặt sin 2 2

1

x t

x



2

1

x x

 



[ 1;1] ( ; )

2 2

Khi đó, hàm số đợc chuyển về dạng: y 2t2   t 2 f t( )

Miền xác định D = [ sin1; sin1]

Đạo hàm '( )4 1, '( )   0 1 D

4

D

min =min{ ( sin1); (sin1)} ( sin1) 2sin 1 sin1 2

 2

2

1

x

x

D

max max{ ( ); ( sin1); (sin1)} ( )

 2

x t

x

Chú ý: Đối với bài trên ta có rhể giải cách thông thờng là áp dụng tính chất

của tam thức bậc 2

Ví dụ 4: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

     

y

Giải:

t   , điều kiện t 2

Khi đó

2

2 2

2

Vậy y (t2  2)2  2 ( t2  2)  t t4 5t2  t 4

Xét hàm số  4 2  

f t t t t Miền xác định D=(- ; 2]  [2;+ ).

'( )= 4 10 1

2 ''( )=12 10 0

f t t    thoả mãn t t 2

 f t'( ) luôn đồng biến

Vậy:

- Với t 2 ta có '( )f t f'(2) 13  0 f t( ) luôn đồng biến

- Với t 2 ta có '( )f t f'( 2) 11 0 f t( ) luôn nghịch biến Bảng biến thiên

t   -2 2  '( )

( )

-2

 2

Dựa vào bảng biến thiên trên, ta có

D

t



  , đạt đợc khi

2 a  b 2  0

Ví dụ 5: Cho x y , 0 và x y 1 Tìm GTLN, GTNN của biểu thức sau:

1 1.

( HVQHQT - 1999 )

Đặt txy ta có t 0 và vì : 1 2 1

4

4

t

Xét hàm số ( ) 2 2

2

t

f t

t





 trên

1

D =[0; ]

4

(2 )

t



Do đó

D

minS = min ( ) = ( )

4

t 





1 1

2 1

1 4

2

xy

y

Chú ý: Đôi khi ta cần phải biến đổi hoặc sử dụng các bất đẳng thức Cauchy,

Bunhiacopski, , đa hàm số cần tìm GTLN, GTNN về một hàm số trung gian khác

Ví dụ 6: Cho các số thực x y z , , 0 thoả mãn điều kiện x   y z 1

P xyyzzx  2xyz Tìm maxP ( TH & TT)

Giải:

Ta có Pxyyzzx 2xyzxy(1 2 ) z z x( y)

2

2

x y





(1 ) (1 2 )2   (1 )1( 2 3  2 1)

z

Do vai trò x y z, , bình đẳng, nên không mất tính tổng quát ta giả sử

  

0 z x y 1

3

Ta xÐt hµm sè 1 3 2

4

f z   z z  trªn [0; ]1

3 .

B¶ng biÕn thiªn

'( )

( )

1/ 4 Nhê b¶ng biÕn thiªn trªn ta thÊy:

7 ( ) 27

f z  víi [0; ]1

3

27

xy yz zx xyz

7 max P =

27











   





1 3

1 3 1

z

x y z