Bài 1: Cho ñi m A(1; 2; 1) và ñư ng th ng d: 1 3
x y
z
−
a Vi"t phương trình m&t ph ng ñi qua A và ch*a ñư ng th ng d
b Tính kho.ng cách t0 A ñ"n ñư ng th ng d
Gi i:
a G2i a là m4t vectơ ch6 phương c7a d, ta có: (3; 4;1)a L;y ñi m B(0; 1; 3) d∈
Ta có: n P = AB a, và m&t ph ng (P) ñi qua ñi m A
V@y phương trình m&t ph ng (P) là:
15− x+11y+ − = z 5 0
b Kho.ng cách t0 A ñ"n d ñưCc cho bDi công th*c:
( , )
26
AB a
d A d
a
Bài 2: Cho ñi m A(1; 2; 1) và ñư ng th ng d có phương trình:
1 :
1
x t
d y t z
= −
=
= −
Xác ñInh t2a ñ4 hình chi"u vuông góc c7a A lên ñư ng th ng d T0 ñó tìm t2a ñ4 ñi m A1 ñKi x*ng vMi A qua d
Gi i:
G2i a là m4t vectơ ch6 phương c7a d, ta có: ( 1;1; 0) a −
G2i H là hình chi"u vuông góc c7a A lên d ⇒H∈ do ñó: d
(1 ; ; 1) ( ; 2; 0)
H −t t − ⇒AH −t t−
Vì AH ⊥ ⇔a AH a = ⇔ − − + − = ⇔ = ⇒0 t( 1) t 2 0 t 1 H(0;1; 1)−
Gi sP A x y z Vì H là trung ñi m AA1( ;1 1; )1 1, ta có:
1
1
1
2
2
A H
A
A H
x x x
y y
z z z
+
+
+
BÀI GI NG 08
KHO NG CÁCH T M T ðI M ð N M T
ðƯ NG TH NG
(HƯ(NG D,N GI.I BÀI T1P T3 LUY7N)
Trang 2V@y A1( 1; 0; 1)
Bài 3: Cho ñư ng th ng d và m&t ph ng (P) có phương trình:
1 2
3
d y t t R P x y z
z t
= +
=
a Tìm t2a ñ4 các ñi m thu4c ñư ng th ng d sao cho kho.ng cách t0 mQi ñi m ñó ñ"n m&t ph ng (P) bRng 1
b G2i K là ñi m ñKi x*ng c7a ñi m I(2; 1; 3) qua ñư ng th ng d Xác ñInh t2a ñ4 K
Gi i:
a ði m A∈ , suy ra: (1 2 ;2d A + t −t t;3 )
Kho.ng cách t0 A tMi (P), ñưCc cho bDi:
( , ( ))
3
2 ( 1) ( 2)
Do ñó:
1
2
(9; 2;12) 4
1
3
A t
t
d A mp P
=
V@y tWn tXi hai ñi m A1; A2 thu4c d mà kho.ng cách t0 nó ñ"n mp(P) bRng 1
b G2i a là m4t vectơ ch6 phương c7a d, ta có: (2; 1;3) a −
G2i H là hình chi"u vuông góc c7a I lên d ⇒H∈ do ñó: d
(2 1; 2 ;3 ) & (2 1;3 ;3 3)
H t+ −t t IH = t− −t t−
Vì IH ⊥ ⇔d IH a = ⇔0 2(2t− − − +1) (3 t) 3(3t−3)= ⇔ = 0 t 1
V@y t2a ñ4 ñi m H (3; 1; 3)
ði m K ñKi x*ng vMi I qua d, suy ra:
2
2
Bài 4: Cho hai ñư ng th ng và d có phương trình:
d
L@p phương trình ñư ng th ng d1 ñKi x*ng vMi d qua
Gi i:
Chuy n phương trình ñư ng th ng d vZ dXng tham sK:
7
x t
d y t
= +
= − +
Trang 3L;y hai ñi m A(7; 3; 9), B(6; 1; 10) ∈ G2i d H A,H theo th* t[ là hình chi"u vuông góc c7a A, B B
lên
• Xác ñInh HA và A1 là ñi m ñKi x*ng vMi A qua
Chuy n phương trình vZ dXng tham sK:
x t
y t
z t
= − +
= +
Làm tương t[ bài 2, 3 tìm ñưCc t2a ñ4 chân ñư ng vuông góc HA(3; 1; 1)
T0 ñó suy ra t2a ñ4 A1 ñKi x*ng vMi A qua
A1( 1; 1; 7)
• Xác ñInh HB và B1 là ñi m ñKi x*ng vMi B qua
Tương t[ d^ dàng tìm ra 72 37 40; ;
31 31 31
B
1 42 43; ; 230
31 31 31
• Phương trình ñư ng th ng d1 ñưCc cho bDi:
1
1 1
( 11; 74; 13)
vtcp A B
− − −
Bài 5: Tìm trên ñư ng th ng d: 1 3 2
x+ = y+ = z−
− − ñi m M x( M;y M;z M) sao cho 2 2 2
x +y +z nh_ nh;t
Gi i:
Chuy n phương trình d vZ dXng tham sK:
1 3
2
= − +
= − −
= − −
ði m M∈ ⇒d M( 1 3 ; 3 2 ; 2− + t − − t − − t)
3
x +y +z = − + t + − − t + − −t = t + t+ ≥
x +y +z nh_ nh;t 41
3
t= − ⇒M− − −
Bài 6: Cho hai ñi m A(a; 0; a) và 4 ; 2 ;
a a a
B − −
và ñư ng th ng d có phương trình: :
x t
d y t
z a t
=
=
= −
Tìm ñi m M thu4c d sao cho:
a MA + MB nh_ nh;t
b MA MB− lMn nh;t
Gi i:
Trang 4Vì M∈ ⇒d M t t a t( ; ; − khi ựó ta có: )
MA MB+ = t−a + + −t t + t− +t+ + −t
3t 2at a 3t 4at 4a
3
Xét các ựi m 1 ; 2 ; 1 2 ; 8
−
Khi ựó: MA MB+ = 3(M A1 1+M B1 1)
Vì M1 chXy trên trdc 'Ox x và A1; B1 nRm vZ hai phắa c7a 'Ox x nên
(MA MB+ ) min⇔(M A +M B) min⇔M =(A B)∩x Ox'
1
Tương t[ câu a ta có:
3
Xét các ựi m 1 ; 2 ; 1 2 ; 8
−
Khi ựó: MA MB− = 3 M A2 2−M B2 2
Vì M2 chXy trên trdc 'Ox x và A2; B2 nRm vZ m4t phắa c7a 'Ox x nên
2 2 2 2 2 ( 2 2) '
MA MB max− ⇔ M A −M B max⇔M = A B ∩x Ox
2 0; 0 0; 0;
M$t s' ự) đ*i h,c Ờ Cao ự1ng
đHA Ờ 2002: Trong không gian hg t2a ự4 đZcác vuông góc Oxyz cho ựư ng th ng 2
1
1 2
x t
= +
= +
Cho ựi m M(2; 1; 4) Tìm t2a ự4 ựi m H thu4c ựư ng th ng 2 sao cho ựoXn th ng MH có ự4 dài nh_ nh;t
đáp s=: H(2; 3; 3)
đHD Ờ 2006: Trong không gian hg t2a ự4 Oxyz, cho ựi m A(1; 2; 3) và ựư ng th ng:
1: 2 2 3
− Tìm t2a ự4 ựi m AỖ ựKi x*ng vMi ựi m A qua ựư ng th ng d1.
Trang 5đáp s=: AỖ( 1; 4; 1)
đHD Ờ 2007: Trong không gian hg t2a ự4 Oxyz, cho hai ựi m A(1; 4; 2) , B( 1; 2; 4) và ựư ng th ng:
: 1 2
x− y+ z
− Tìm t2a ự4 ựi m M thu4c ựư ng th ng sao cho MA2+MB2 nh_ nh;t
đáp s=: M( 1; 0; 4)
Giáo viên: Tr;n Vi=t Kắnh Ngu@n : Hocmai.vn