Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số Các bài toán về tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất GTLN, GTNN của hàm số liên quan chặt chẽ tới các bài toán bất đẳng thức.. Tất cả
Trang 1Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất
của hàm số
Các bài toán về tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất (GTLN, GTNN) của hàm số liên quan chặt chẽ tới các bài toán bất đẳng thức Tất cả các bài toán bất đẳng thức mà có dấu “=” xảy ra đều có thể thay đổi câu hỏi để đa về các bài toán tìm GTLN, GTNN của hàm số Sự phân chia ở đây chỉ mang tính hình thức
- Chứng minh bất đẳng thức là dạng toán cho trớc cận đánh giá Tức là bài toán bất đẳng thức yêu cầu chứng minh f x( )m f x( ( )M còn đối với) bài toán tìm GTLN, GTNN thì số m M, đợc giấu đi
- Tìm GTLN, GTNN của hàm số là dạng toán giấu cận đánh giá
Vì vậy các phơng pháp để chứng minh bất đẳng thức cũng là phơng pháp tìm GTLN, GTNN
Khảo sát trực tiếp
Ta thực hiện theo các bớc:
- Tìm tập xác định;
- Tính đạo hàm f x'( ) ,rồi giải phơng trình f x '( ) 0;
- Lập bảng biến thiên;
- Kết luận dựa vào bảng biến thiên
Nếu hàm số f x( ) xác định trên [ ; ]a b thì ngoài cách trên ta có thể làm theo cách sau:
- Tính đạo hàm f x'( );
- Tìm các điểm tới hạnx x x1, 2, 3, , x của n f x( ) trên đoạn [ ; ]a b ;
- Tính f a f x( ), ( ), (1 f x2), (f x3), , f x( n), ( );f b
- Tìm số lớn nhất M và số nhỏ nhất m trong các số trên.
Ví dụ 1: Cho hàm số ( )sinn cosn
f x x x với n là số tự nhiên, n 3 và
(0; )
2
Tìm
(0; ) 2 min ( )f x .
( ĐHBK Hà Nội - 1999 )
Giải:
Trang 2Ta có :
'( ) sinn cos cosn sin
nsin cos (sinx x n 2x cosx n 2x)
'( ) 0 sin cos (sinn cos n ) 0
2
4
'( )
( )
( )
4
f
Vậy
2 2 (0; )
2
2 min ( ) ( ) 2( ) 2
n n
4
Ví dụ 2: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số sau
( )
2 cos
x
y f x
x
với x[0; ].
Giải:
Xét hàm số trên D = [0; ].
2
cos (2 cos ) sin 1 2 cos
(2 cos ) (2 cos )
y
x
x
(0) 0, ( ) , ( ) 0
Vậy max max{0; 1 } 1
x D y
2 3
x
min min{0; } 0
3
x D y đạt đợc khi x 0 hoặc x