Vì BD’ là ñư:ng cao ca tam giác vuông ABD nên AD AD'... Cho hình chóp S.ABCD ñáy ABCD là hình thoi... Tính th tích khQi chóp S.ABC... Bi't hai mMt ph^ng SBI và SCI cùng vuông góc v i mMt
Trang 1CHÓP T NG H P
Bài 1
Cho t di n ABCD có ba c nh AB, BC, CD ñôi m t vuông góc v i nhau và AB=BC =CD = G i C’ a
và D’ l#n lư%t là hình chi'u c(a ñi)m B trên AC và AD Tính th) tích tích t di n ABC’D’
L i gi i:
Suy ra n'u V là th) tích t di n ABC’D’ thì 1 ' ' '
3 AC D
Vì tam giác ABC vuông cân nên ' ' ' 2
2
a
Ta có AD2= AB2+BD2 =AB2+BC2+CD2=3a2⇒ AD=a 3
Vì BD’ là ñư:ng cao c(a tam giác vuông ABD nên AD AD' =AB2⇒ '
3
a
AD =
Ta cã
2 ' '
' 'sin ' '
AC D
AD
V>y
2
3 12 2
3
36
a
BÀI GI NG 04
TH TÍCH KH I CHÓP (Ph n 4)
HƯ+NG D/N GI1I BÀI T3P T4 LUY7N
Trang 2Bài 2
Cho hình chóp S.ABCD ñáy ABCD là hình thoi SA = x (0 < x < 3 ) các c nh còn l i ñFu bGng 1 Tính
th) tích c(a hình chóp S.ABCD theo x
L i gi i:
Ta có SBD= DCB c c c( )⇒SO=CO Tương tJ ta có SO = OA
V>y tam giác SCA vuông t i S⇒CA= 1+x2
MMt khác ta có AC2+BD2 =AB2+BC2+CD2+AD2
2
4
ABCD
G i H là hình chi'u c(a S xuQng (CAB)
Vì SB = SD nên HB = HD ⇒ H ∈ CO
2
1
x SH
+ V>y V = 1 2
3 ( vtt)
6x −x d
Bài 3
Cho t di n ñFu ABCD có c nh bGng 1 G i M, N là các ñi)m l#n lư%t di ñ ng trên các c nh AB, AC sao cho (DMN) (⊥ ABC) ðMt AM = x, AN = y Tính th) tích t di n DAMN theo x và y Ch ng minh rGng:
3
L i gi i:
Trang 3DJng DH ⊥MN =H
Do (DMN) (⊥ ABC)⇒DH ⊥(ABC) mà D ABC là t di n ñFu nên H là tâm tam giác ñFu ABC
Trong tam giác vuông DHA:
2
1
= − = − =
Di n tích tam giác AMN là 1 sin 600 3
AMN
Th) tích t di n D AMN là 1 2
3 AMN 12
Ta có: S AMN =S AMH +S AMH 1 0 1 0 1 0
.sin 60 sin 30 sin 30
2xy 2x AH 2y AH
⇔x+ =y 3 xy
Bài 4
Cho hình chóp S.ABC có AB = AC = a BC =
2
a
SA=a 3, SAB=SAC=300 Tính th) tích khQi chóp
S.ABC
L i gi i:
Trang 4Theo ñUnh lí côsin ta có: SB2=SA2+AB2−2SA AB .cosSAB=3a2+a2−2.a 3 .cos 30a 0 =a2
Suy ra SB= Tương tJ ta cũng có SC = a a
G i M là trung ñi)m c(a SA, do hai tam giác SAB và SAC là hai tam giác cân nên MB ⊥ SA, MC ⊥ SA Suy ra SA ⊥ (MBC)
S ABC S MBC A MBC MBC MBC MBC
SABS’ và SDCS’ là hình bình hành => M, N là trung ñi)m SB, S’D: V =V S ABCD. −V S AMND.
S AMND S AMD S MND
S AMD S MND
S ABD S BCD
1 2
S ABD S ACD S ABCD
S AMND S ABCD S ABCD
24
⇒ =
Hai tam giác SAB và SAC có ba cMp c nh tương ng bGng nhau nên chúng bGng nhau Do ñó MB = MC hay tam giác MBC cân t i M
G i N là trung ñi)m c(a BC suy ra MN ⊥ BC Tương tJ ta cũng có MN ⊥ SA
2
= − = − − = − − =
3 4
a MN
Do ñó
3
S ABC
Bài 5
Cho hình chóp S.ABCD có ñáy ABCD là hình thoi ; hai ñư:ng chéo AC = 2 3a , BD = 2a và c]t nhau t i
O; hai mMt ph^ng (SAC) và (SBD) cùng vuông góc v i mMt ph^ng (ABCD) Bi't kho`ng cách ta ñi)m O
ñ'n mMt ph^ng (SAB) bGng 3
4
a
, tính th) tích khQi chóp S.ABCD theo a
L i gi i:
Trang 5Ta gi` thi't AC = 2a 3 ; BD = 2a và AC ,BD vuông góc v i nhau t i trung ñi)m O c(a mbi ñư:ng chéo
Ta có tam giác ABO vuông t i O và AO = a 3; BO = a , do ñó A DB =600hay tam giác ABD ñFu
Ta gi` thi't hai mMt ph^ng (SAC) và (SBD) cùng vuông góc v i mMt ph^ng (ABCD) nên giao tuy'n c(a chúng là SO ⊥ (ABCD)
Do tam giác ABD ñFu nên v i H là trung ñi)m c(a AB, K là trung ñi)m c(a HB ta có DH ⊥AB và DH = 3
a ; OK // DH và 1 3
a
OK = DH = ⇒ OK ⊥ AB ⇒ AB ⊥ (SOK)
G i I là hình chi'u c(a O lên SK ta có OI ⊥ SK; AB ⊥ OI ⇒ OI ⊥ (SAB) , hay OI là kho`ng cách ta O ñ'n mMt ph^ng (SAB)
Tam giác SOK vuông t i O, OI là ñư:ng cao ⇒ 12 12 12
2
a SO
Di n tích ñáy S ABCD=4S ABO =2.OA OB =2 3a2; ñư:ng cao c(a hình chóp
2
a
Th) tích khQi chóp S.ABCD:
3
S ABC ABC
a
Bài 6
Cho hình chóp S.ABCD có ñáy ABCD là hình thang vuông t i A và D; AB = AD = 2a, CD = a; góc gifa hai mMt ph^ng (SBC) và (ABCD) bGng 600 G i I là trung ñi)m c(a c nh AD Bi't hai mMt ph^ng (SBI) và (SCI) cùng vuông góc v i mMt ph^ng (ABCD), tính th) tích khQi chóp S.ABCD theo a
L i gi i:
Vì (SBI)và (SCI)vuông góc v i (ABCD) nên SI ⊥(ABCD)
Ta có IB=a 5;BC=a 5;IC=a 2;
Trang 6H IH ⊥BC tính ñư%c 3 5
5
a
Trong tam giác vuông SIH có SI = IH tan 600 3 15
5
a
2 2 2
ABCD AECD EBC
S =S +S = a +a = a (E là trung ñi)m c(a AB)
3 2
3
Bài 7
Cho hình chóp S.ABC có ñáy ABC là tam giác vuông cân t i ñhnh A (A= 90o), AB=AC=a MMt bên qua
c nh huyFn BC vuông góc v i mMt ñáy, hai mMt bên còn l i ñFu h%p v i mMt ñáy các góc 60o Hãy tính th) tích c(a khQi chóp S.ABC
L i gi i:
Kk SH vuông góc v i BC Suy ra SH ⊥ mp (ABC)
Kk SI vuông góc v i AB và SJ ⊥ AC
⇒góc SIH=góc SJH = 60o
⇒ tam giác SHI = tam giác SHJ
⇒ HI = HJ ⇒ AIHJ là hình vuông
⇒ I là trung ñi)m AB ⇒ IH = a/2
Trong tam giác vuông SHI ta có SH =
a 3
2
Trang 7V(SABC) =
3
SH.dt(ABC)
(ñvtt) Bài 8
Hình chóp t giác ñFu SABCD có kho`ng cách ta A ñ'n mMt ph^ng (SBC bGng 2 V i giá trU nào c(a )
góc α gifa mMt bên và mMt ñáy c(a chóp thì th) tích c(a chóp nhm nhnt?
L i gi i:
G i M, N là trung ñi)m BC, AD, g i H là hình chi'u vuông góc ta N xuQng SM Ta có:
( )
( ) ( ( ) )
2 2
2
2
tan 1 tan
sin os
3 sin os 3.sin os
sin sin 2 os 2 sin sin 2 os
1 sin os
3 min sin os ax
s
ABCD
SABCD
SABCD
NH
c V
c c
c
α
α α
⇔
in 2 os os
3
Bài 9
Tính th) tích khQi t di n ABCD, bi't: AB=a và AC=AD=BC=BD=CD=a 3
L i gi i:
G i I, J theo th tJ là trung ñi)m c(a CD, AB Do ACD, BCDñFu
( )
AI CD, BI CD CD ABI
Trang 8Suy ra CI là ñư:ng cao c(a hình chóp C.ABI
a
V =V +V = S = S
Vì : 3 3 IJ à IJ2 2 AJ2 2 2 IJ 2
3
2
V = S = =
⇒
Bài 10 Trên ñư:ng th^ng vuông góc t i A v i mMt ph^ng ch a hình vuông ABCD c nh a ta lny ñi)m S
v i SA=2a G i B’,D’ là hình chi'u vuông góc c(a A lên SB và SD MMt ph^ng (AB’D’) c]t SC t i C’
Tính th) tích hình chóp S.AB’C’D’
L i gi i:
'
⊥
⊥ Tương tJ AD'⊥SC⇒SC⊥(AB C D' ' ')⇒SC⊥ AC'
Do tính ñQi x ng ta có: VS AB C D ' ' '=2VS AB C ' '
Áp dqng tính chnt tr sQ th) tích cho 3 tia: SA,SB,SC, ta có:
5 6 15
S ABC
V
V
Bài 11
Trong mMt ph^ng (P) cho ñư:ng tròn (C) tâm O ñư:ng kính AB = 2R.Trên ñư:ng th^ng vuông góc v i (P)
t i O lny ñi)m S sao cho OS = R 3 I là ñi)m thu c ño n OS v i SI = 2
3
R
M là m t ñi)m thu c (C) H
Trang 9là hình chi'u c(a I trên SM Tìm vU trí c(a M trên (C) ñ) t di n ABHM có th) tích l n nhnt.Tìm giá trU
l n nhnt ñó
L i gi i:
T giác IHMO n i ti'p nên SH.SM = SI.SO mà OS = R 3 , SI = 2
3
R
,
SM = SO2+OM2 =2R⇒ SH = R hay H là trung ñi)m c(a SM
G i K là hình chi'u vuông góc c(a H lên mp(MAB) thì HK = 1
2SO=
3
2 R , (không ñui)
⇒ VBAHM l n nhnt khi dt( MAB) l n nhnt ⇒ M là ñi)m gifa c(a cung AB
Khi ñó VBAHM= 3 3
Bài 12
Cho hình chóp t giác ñFu S.ABCD có c nh bGng a, và SH là ñư:ng cao c(a hình chóp Kho`ng cách ta
trung ñi)m I c(a SH ñ'n mMt bên (SDC) bGng b Tìm th) tích hình chóp S.ABCD
L i gi i:
Trang 10Ta gi` thi't suy ra H là tâm c(a hình vuông ABCD
G i M là trung ñi)m c(a CD, và G là trJc tâm ∆SCD ⇒HG⊥CD (1)
Mà BD AD BD (SAC) BD SC
⊥
⊥ và SC⊥DG⇒SC⊥(BDG)⇒SC⊥HG(2)
Vì I là trung ñi)m c(a SH nên : HG=d H SCD( ; ( ))=2d I SCD( ; ( ))=2b
2
4 à
4 4
b
b
−
−
Giáo viên: Lê Bá Tr n Phương Ngu2n: Hocmai.vn