Đối đạo hàm và ánh xạ tập nghiệm của hệ ràng buộc tuyến tính

332.4 Tính tựa Lipschitz và tính chính qui mêtric đối với ánh xạ tập nghiệm... 453.4 Tính tựa Lipschitz của tập nghiệm trong bài toán bù tuyến tính... Đồngthời người ta chỉ ra điều kiện

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠOTRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠOTRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học: TS Lê Anh Dũng

HÀ NỘI, NĂM 2017

Mục lục

1.1 Nón pháp tuyến 31.2 Đối đạo hàm 111.3 Ánh xạ đa trị Lipschitz 19

2 Ánh xạ tập nghiệm của hệ ràng buộc tuyến tính 282.1 Tính chính qui mêtric 282.2 Hệ ràng buộc tuyến tính 332.3 Công thức đối đạo hàm của ánh xạ G và ánh xạ hằng M 332.4 Tính tựa Lipschitz và tính chính qui mêtric đối với ánh xạ

tập nghiệm 35

3.1 Bài toán bù tuyến tính 413.2 Một số bài toán tối ưu liên quan đến bài toán bù tuyến tính 423.2.1 Bài toán qui hoạch tuyến tính 423.2.2 Bài toán tối ưu bậc hai 433.2.3 Trò chơi song ma trận (Bimatrix Games) 43

3.3 Mối liên hệ bài toán bù tuyến tính với hệ ràng buộc tuyến

tính 453.4 Tính tựa Lipschitz của tập nghiệm trong bài toán bù tuyến

tính 46

Lời nói đầu

Ánh xạ Lipschitz là khái niệm rất quen thuộc trong giải tích Khi nghiêncứu đối với ánh xạ đa trị, một cách tự nhiên ánh xạ đa trị Lipschitzđược định nghĩa thông qua khoảng cách giữa hai tập ảnh là khoảng cáchHausdorff giữa hai tập hợp Tuy nhiên, để đảm bảo khoảng cách Hausdorff

là mêtric đòi hỏi ảnh là tập đóng, bị chặn Để mở rộng một cách tự nhiênhơn người ta đề cập đến khái niệm tựa Lipschitz Để có "tính Lipschitz"đối với ánh xạ nghịch ảnh người ta đề cập tính chính qui mêtric Đồngthời người ta chỉ ra điều kiện đủ để tính chính qui mêtric của ánh xạ đatrị F tương đương với tính tựa Lipschitz của ánh xạ ngược F−1

Đối với ánh xạ tuyến tính liên tục, nghiên cứu ánh xạ liên hợp đóngmột vai trò quan trọng trong giải tích hàm Đối với ánh xạ đa trị, tính

"liên hợp" được thay thế bởi đối đạo hàm thông qua nón pháp tuyến Điềuđặc biệt là ta vẫn có mối liên hệ giữa đối đạo hàm và tính tựa Lipschitz.Mục tiêu chính của luận văn thông qua công cụ đối đạo hàm ta nghiêncứu tính biến đổi liên tục của tập nghiệm: tính tựa Lipschitz của ánh xạtập nghiệm, tính chính qui mêtric theo nghĩa Robinson Luận văn sử dụngcác tài liệu tham khảo [1] → [6] đặc biệt là các tài liệu [1], [2] Luận văntiêu đề "Đối đạo hàm và ánh xạ tập nghiệm của hệ ràng buộc tuyến tính"gồm 3 chương nội dung chính

Chương 1 đề cập đến khái niệm và tính chất của nón pháp tuyến, đối đạo

Tuy đã có nhiều cố gắng nhưng do thời gian, trình độ và điều kiệnnghiên cứu còn hạn chế nên luận văn không tránh khỏi những thiếu sótnhất định Kính mong quý thầy cô và các bạn đóng góp ý kiến để luậnvăn được hoàn thiện và phát triển hơn.

Hà Nội, tháng 6 năm 2017

Tác giả

Bạch Thu Trang

Nếu x /∈ Ω, ta qui ước bNε(x; Ω) := ∅ với mọi ε ≥ 0.

(ii) Cho x ∈ Ω, x¯ ∗ ∈ X∗ là một pháp tuyến giới hạn của Ω tại x¯ nếutồn tại dãy εk ↓ 0, xk → ¯Ω x, và x∗k w

∗

→ x∗ sao cho x∗k ∈ Nbεk(xk; Ω) với mọi

gọi là nón pháp tuyến (hay nón pháp tuyến giới hạn) của Ω tại x¯.

Ta qui ước N (¯x; Ω) := ∅, với x /¯∈ Ω

Mệnh đề 1.1 Cho Ω1, Ω2 lần lượt là tập con khác rỗng trong không gianBanach X1 và X2 Lấy tùy ý điểm x = (¯¯ x1, ¯x2) ∈ Ω1 × Ω2 ⊂ X1 × X2

Khi đó:

b

N (¯x; Ω1 × Ω2) = N (¯b x1; Ω1) ×N (¯b x2; Ω2) (1.3)

N (¯x; Ω1 × Ω2) = N (¯x1; Ω1) × N (¯x2; Ω2) (1.4)Chứng minh Do bN (¯x; Ω)vàN (¯x; Ω)không phụ thuộc vào việc chọn chuẩntrên X1 và X2, nên ta có thể cố định một chuẩn trong các chuẩn tươngđương của không gian đó Trong không gian tích X1 × X2 ta chọn chuẩntổng như sau:

k(x1, x2)k := kx1k + kx2k

Lấy tùy ý ε ≥ 0 và x = (¯¯ x1, ¯x2) ∈ Ω := Ω1 × Ω2, ta khẳng định rằng

b

Nε(¯x1; Ω1) ×Nbε(¯x2; Ω2) ⊂ Nb2ε(¯x; Ω) ⊂Nb2ε(¯x1; Ω1) ×Nb2ε(¯x2; Ω2) (1.5)Thật vậy, lấy tuỳ ý x∗ = (x∗1, x∗2) ∈ Nbε(¯x1; Ω1) × ¯Nε(¯x2; Ω2), ta cần chứngminh rằng x∗ ∈ Nb2ε(¯x, Ω)

Do x∗1 ∈ Nbε(¯x1; Ω1) suy ra với mỗi γ > 0, tồn tại một lân cận U1 của x¯1

Bởi chọn x1 = ¯x1 hoặc x2 = ¯x2 ta dễ dàng suy ra rằng x∗1 ∈ Nb2ε(¯x1; Ω1)

và x∗2 ∈ Nb2ε(¯x2; Ω2) Do đó bao hàm thức thứ hai trong (1.5) được chứngminh

Dễ dàng thấy được (1.3) và (1.4) được suy ra trực tiếp từ (1.5)

Mệnh đề 1.2 (Tập các ε-pháp tuyến đối với tập lồi) Cho Ω là tập lồitrong không gian Banach X Khi đó

Chứng minh Chú ý rằng bao hàm thức “ ⊃ ” rõ ràng luôn đúng với mỗitập Ω tùy ý Ta sẽ chỉ ra bao hàm thức “ ⊂ ” khi Ω là tập lồi.

Lấy tùy ý x∗ ∈ Nbε(¯x; Ω) và cố định x ∈ Ω Do Ω là tập lồi nên ta có

Chứng minh Trong định nghĩa N (¯x; Ω), nếu ta lấy dãy {xk} là dãy hằng,

xk = ¯x, với mọi k ∈ N∗ thì ta suy ra bN (¯x; Ω) ⊂ N (¯x; Ω) Ta chứng minh

bao hàm thức ngược lại Lấy x∗ ∈ N (¯x; Ω), tồn tại một dãy tương ứng

(εk, xk, x∗k)trong định nghĩa 1.1(ii) Vì lim xk = ¯x nên tồn tại k0 ∈ N∗ saocho xk ∈ U với mọi k ≥ k0 Với k ≥ k0, theo mệnh đề 1.2 ta có

trong Rn, trong trường hợp này X∗ = X = Rn

Trước hết, ta nhắc lại khái niệm hàm khoảng cách và phép chiếu điểm gầnnhất Cho một tập không rỗng Ω ⊂ Rn, hàm khoảng cách từ một điểmđến tập Ω được xác định bởi

dist(x; Ω) := inf

u∈Ωkx − uk, x ∈ Rn (1.6)

và hình chiếu của x trên Ω:

Π(x; Ω) := {w ∈ Ω | kx − wk = dist(x; Ω)}

Nếu Ω là tập đóng, thì tập Π(x; Ω) là khác rỗng với mọi x ∈ R Đặc biệt

nếu Ω là tập lồi đóng thì Π(x; Ω) là tập một điểm

Ta kí hiệu coneΩ là nón sinh bởi Ω, nghĩa là

coneΩ := {ax ∈ X|a ≥ 0, x ∈ Ω}

Định lý tiếp theo mô tả nón pháp tuyến đối với tập đóng địa phương quanh

¯

x

Định lí 1.1.1 (Nón pháp tuyến trong không gian hữu hạn chiều) Cho

Ω ⊂ Rn là tập đóng địa phương quanh x ∈ Ω¯ , nghĩa là tồn tại lân cận U

của x¯ sao cho U ∩ Ω là tập đóng Khi đó ta có các khẳng định sau:

xk + αx∗k ∈ Ω và chọn wk ∈ Π(xk + αx∗k; Ω) Theo cách định nghĩa wk ta

có bất đẳng thức

kxk + αx∗k − wkk2 ≤ α2kx∗kk2

Suy ra

kxk + αx∗k− wkk2 = kxk − wkk2 + 2αhx∗k, xk − wki + α2kx∗kk2

Kết hợp bất đẳng thức này với bất đẳng thức trên ta nhận được

kxk − wkk2 ≤ 2αhx∗k, wk − xki (1.9)

Sử dụng sự hội tụ của wk → xk khi α ↓ 0 và định nghĩa của εk-pháp tuyến

x∗k ∈ Nbεk(xk; Ω), ta tìm một dãy số dương α = αk thỏa mãn

Ta có kwk∗ − x∗kk ≤ 4εk và wk∗ → x∗ khi k → ∞ Bây giờ ta chứng minh

w∗k ∈ N (wb k; Ω), ∀k Thật vậy, với mỗi x cố định thuộc Ω ta có

Để kết thúc định lý ta chứng minh bao hàm thức “ ⊃ ” trong (1.8) Với

x ∈ Ω, ta kí hiệu hình chiếu ngược (nghịch ảnh)

Π−1(x; Ω) := {z ∈ X : x ∈ Π(z; Ω)}

Từ tính chất của phép chiếu và định nghĩa của bN (x; Ω) suy ra

cone[Π−1(x; Ω) − x] ⊂N (x; Ω), ∀x ∈ Ω.bVới x ∈ X, z = Π−1(x; Ω), ta có

cone[z − Π(z; Ω)] ⊂ N (x; Ω).bSuy ra

Định nghĩa 1.2.1 Cho ánh xạ đa trị F : X ⇒ Y với domF 6= ∅

(i) Với (x, y) ∈ X × Y và ε ≥ 0, ta định nghĩa ε-đối đạo hàm của F tại

(x, y) là ánh xạ đa trị bD∗εF (x, y)(y∗) : Y∗ ⇒ X∗ được xác định bởi

Theo quy ước của nón pháp tuyến, nếu(x, y) /∈ gph F, ta có bD∗εF (x, y)(y∗) =

∅

(ii) Đối đạo hàm giới hạn của F tại (¯x, ¯y) ∈ gph F là ánh xạ đa trị

DN∗ F (¯x, ¯y) : Y∗ ⇒ X∗ được định nghĩa bởi

DN∗ F (¯x, ¯y)(¯y∗) := lim sup

Ta quy ước DN∗ F (¯x, ¯y)(y∗) := ∅, ∀y∗ ∈ Y∗ nếu (¯x, ¯y) /∈ gph F

Chú ý rằng, theo định nghĩa nón pháp tuyến giới hạn ta có

DN∗ F (¯x, ¯y)(y∗) = {x∗ ∈ X∗ | (x∗, −y∗) ∈ N ((¯x, ¯y); gph F )} (1.13)(iii) Đối đạo hàm hỗn hợp của F tại (¯x, ¯y) ∈ gph F là ánh xạ đa trị

DM∗ F (¯x, ¯y) : Y∗ ⇒X∗ được định nghĩa bởi

DM∗ F (¯x, ¯y)(¯y∗) := lim sup

Ta quy ước DM∗ F (¯x, ¯y)(y∗) := ∅, ∀y∗ ∈ Y∗ nếu (¯x, ¯y) /∈ gph F

Nhận xét: Vì dãy hội tụ mạnh kéo theo hội tụ yếu nên bD∗F (¯x, ¯y)(y∗) ⊂

DM∗ F (¯x, ¯y)(y∗) ⊂ DN∗ F (¯x, ¯y)(y∗) Khi Y là không gian hữu hạn chiều thì

sự hội tụ mạnh, yếu trên là tương đương nên

DN∗ F (¯x, ¯y) = D∗MF (¯x, ¯y)

Trong trường hợp này ta kí hiệu gọn là D∗F (¯x, ¯y).

Ví dụ 2: Cho 2 không gian X và Y, xét tập con khác rỗng Ω ⊂ X, ánh

xạ hàm chỉ ∆ : X → Y của Ω đối với Y được xác định bởi

Định lí 1.2.1 Cho F : X ⇒ Y là nửa liên tục trong tại x ∈ domF¯ và cógiá trị lồi xung quanh điểm đó Giả thiết rằng y∗ ∈ domDN∗ F (¯x, ¯y), ¯y ∈

F (¯x).Khi đó

hy∗, ¯yi = min

y∈F (¯ x)hy∗, yi

Chứng minh Do DN∗ F (¯x, ¯y)(y∗) 6= ∅ và (1.13), tồn tại x∗ ∈ X∗ sao cho

Lấy x = xk, thì −yk∗ ∈ Nbεk(yk; F (xk)) Theo giả thiết tậpF (xk) là tập lồi,

D∗F (¯x, ¯y)(y∗) ⊂ DM∗ F (¯x; ¯y)(y∗) ⊂ D∗NF (¯x, ¯y)(y∗).

Cả ba đối đạo hàm bD∗F (¯x, ¯y), DM∗ F (¯x, ¯y), DN∗ F (¯x, ¯y) là các đồng cấudương từ Y∗ ⇒ X∗ Các bao hàm trên trong một số trường hợp xảy rathực sự và đặc biệt là bao hàm thứ nhất

Định nghĩa 1.2.3 Cho F : X ⇒ Y và (¯x, ¯y) ∈ gphF Khi đó:

(i)F là N-chính quy tại (¯x, ¯y) nếu DN∗ F (¯x, ¯y) =Db∗F (¯x, ¯y)

(ii)F là M-chính quy tại (¯x, ¯y) nếu DM∗ F (¯x, ¯y) = Db∗F (¯x, ¯y)

Sau đây chúng ta giới thiệu một vài điều kiện đủ đảm bảo cho tínhchính quy trong định nghĩa 1.2.3

Định lí 1.2.2 Cho F : X ⇒ Y là ánh xạ đa trị có gph F là tập lồi Khi

đó F là N-chính quy tại mọi điểm (¯x, ¯y) ∈ gph F và ta có công thức biểudiễn đối đạo hàm như sau

DN∗ F (¯x, ¯y)(y∗) = D∗MF (¯x, ¯y)(y∗) = Db∗F (¯x, ¯y)(y∗)

= {x∗ ∈ X∗ | hx∗, ¯xi − hy∗, ¯yi = max

(¯ x,¯ y)∈gph F[hx∗, xi − hy∗, yi]}

Chứng minh Theo định nghĩa

b

D∗F (¯x, ¯y)(y∗) = {x∗ ∈ X∗ | (x∗, −y∗) ∈N ((¯b x, ¯y); gph F )},

DN∗ F (¯x, ¯y)(y∗) = {x∗ ∈ X∗ | (x∗, −y∗) ∈ N ((¯x, ¯y); gph F )}

Theo giả thiết gph F lồi, theo mệnh đề 1.3 ta có

b

N ((¯x, ¯y), gph F ) = N ((¯x, ¯y), gph F )

Suy ra

D∗NF (¯x, ¯y)(y∗) = DM∗ F (¯x, ¯y)(y∗) =Db∗F (¯x, ¯y)(y∗)

Theo định lý 1.2.1 ta có công thức biểu diễn đối đạo hàm

DN∗ F (¯x, ¯y)(y∗) = D∗MF (¯x, ¯y)(y∗) = Db∗F (¯x, ¯y)(y∗)

Định nghĩa 1.2.4 (i) Ánh xạ f : X → Y được gọi là khả vi (Fréchet)tại x¯ nếu tồn tại ánh xạ tuyến tính liên tục A : X → Y sao cho

lim

x → ¯ x

kf (x) − f (¯x) − A(x − ¯x)k

kx − ¯xk = 0.

Ta kí hiệu A = ∇f (¯x) gọi là đạo hàm (Fréchet) của f tại x¯

(ii) Ánh xạ f : X → Y được gọi là khả vi chặt tại x¯ nếu f khả vi tại x¯ và

Hơn nữa, nếu f là khả vi chặt tại x¯ thì

D∗Nf (¯x)(y∗) = D∗Mf (¯x)(y∗) = {∇f (¯x)∗y∗}, ∀y∗ ∈ Y∗

Do đó, f là N-chính quy tại điểm x¯

Chứng minh Với ánh xạ đơn trị f : X −→ Y, lấy x∗ ∈ Db∗f (¯x)(y∗), theođịnh nghĩa ta có

Ngược lại, lấy x∗ ∈ ˆD∗f (¯x)(y∗) ta có công thức (1.16)

Do f khả vi Fréchet tại x¯ nên ta có

với mọi x đủ gần đến xk và với mọi k ∈ N Từ định nghĩa khả vi chặt, với

dãy γj ↓ 0 khi j → ∞, tồn tại dãy các lân cận Uj của x¯ sao cho

kf (u) − f (x) − ∇f (¯x)(u − x)k ≤ γjku − xk, với mọi x, u ∈ Uj, j ∈ N

Điều này cho phép ta chọn một dãy con {kj} các số tự nhiên thỏa mãn

Hệ quả 1.2.1 (đối đạo hàm của toán tử tuyến tính) Cho A : X → Y làtuyến tính và liên tục Khi đó A là N-chính quy tại mỗi điểm x ∈ X¯ và

DN∗ A(¯x)(y∗) = DM∗ A(¯x)(y∗) = {A∗y∗}, ∀¯x ∈ X, y∗ ∈ Y∗

Chứng minh Sử dụng định lý 1.2.3 với f (x) = Ax, ∇f (¯x) = A với mọi

¯

x ∈ X

1.3 Ánh xạ đa trị Lipschitz

Định nghĩa 1.3.1 Cho ánh xạ đa trị F : X ⇒ Y với domF 6= ∅

(i) Với tập con khác rỗng U ⊂ X và V ⊂ Y, ta nói F là tựa Lipschitztrên U đối với V nếu tồn tại hằng số ` > 0 sao cho

F (x) ∩ V ⊂ F (u) + `kx − ukB, ∀x, u ∈ U (1.17)

Ở đây B được kí hiệu là hình cầu đóng đơn vị có tâm là O trong Y

(ii) Với (¯x, ¯y) ∈ gph F, F được gọi là tựa Lipschitz địa phương xung quanhđiểm (¯x, ¯y) với môđun ` > 0 nếu tồn tại lân cận U của x¯ và V của y¯ thỏamãn (1.17)

* Hệ số Lipschitz

lipF (¯x, ¯y) = inf` > 0 :tồn tại U, V thoả mãn (1.17)

(iii) F là Lipschitz liên tục trên U nếu nó thỏa mãn (1.17) với V = Y.Ngoài ra, F được gọi là Lipschitz địa phương xung quanh x¯ nếu tồn tại lâncận U của x¯ và hằng số ` > 0 sao cho

F (x) ⊂ F (u) + `kx − ukB, ∀x, u ∈ U (1.18)

* Hệ số Lipschitz

lipF (¯x) = inf` > 0 : tồn tại U thoả mãn(2.2)

Nhận xét Bao hàm thức

F (x) ⊂ F (u) + `kx − ukB, ∀x, u ∈ U

tương đương với

H(F (x), F (u)) ≤ `kx − uk,

Ở đây H(F (x), F (u)) được kí hiệu là khoảng cách Hausdorff giữa hai tập

F (x), F (u) Vì vậy F Lipschitz liên tục trên U ở trên tương đương vớikhái niệm F Lipschitz "đa trị" đã biết

Định lí 1.3.1 Cho ánh xạ đa trị F : X ⇒ Y và (¯x, ¯y) ∈ gph F Khi đócác khẳng định sau là tương đương:

(a) F là tựa Lipschitz địa phương xung quanh (¯x, ¯y)

(b) Hàm vô hướng ρ : X × Y →R định nghĩa bởi

ρ(x, y) := dist(y; F (x)) = inf

v∈F (x)ky − vk

là Lipschitz địa phương xung quanh (¯x, ¯y)

Chứng minh Từ định nghĩa, hàm ρ Lipschitz địa phương xung quanh

(¯x, ¯y) nếu tồn tại lân cận Ux ¯, V¯ và hằng số M ≥ 0 sao cho

|ρ(x, y) − ρ(x0, y0)| ≤ M (kx − x0k + ky − y0k), ∀x, x0 ∈ U ; y, y0 ∈ V

Trước hết ta chứng minh ρ là Lipschitz địa phương xung quanh (¯x, ¯y) khi

và chỉ khi tồn tại lân cận Ux ¯, V¯ và hằng số ` ≥ 0 sao cho

ρ(x, y) ≤ ρ(u, y) + `kx − uk, ∀x, u ∈ U, ∀y ∈ V (1.19)Thật vậy, chiều ” ⇒ ” là hiển nhiên với y = y0 Ta chứng minh chiều

” ⇐ ” Đặt M = max{1, `}

Ta có

ρ(x, y) ≤ ρ(x0, y) + `kx − x0k

dist(y; F (u) + `kx − ukB) ≤ dist(y; F (x) ∩ V ), ∀x, u ∈ U, y ∈ Y.

Ta có dist(y; F (u)) − η ≤ dist(y; F (u) + ηB), η ≥ 0 Suy ra

dist(y; F (u)) − `kx − uk ≤ dist(y; F (x) ∩ V ), ∀x, u ∈ U, y ∈ Y

Bây giờ, ta chỉ ra tồn tại eU ,Ve sao cho

dist(y; F (x) ∩ V ) = dist(y; F (x)), nếu x ∈ U , y ∈e V e (1.20)

Lấy γ > 0 sao cho y + γ¯ B ⊂ V và đặt eV := ¯y + 13γB Khi đó với mỗi

Ngược lại, lấy x, u ∈ U và y ∈ F (x) ∩ V trong (1.18).

Ta có dist(y; F (x)) = 0 nên

dist(y; F (u)) ≤ dist(y; F (x)) + `kx − uk = `ku − xk

Lấy `0 > `, tồn tại dãy {an} ⊂ F (u) sao cho

limky − ank = d(y, F (u)) < `0kx − uk

Bây giờ chúng ta đi xem xét về quan hệ giữa tính Lipschitz địa phương

và tính tựa Lipschitz của ánh xạ đa trị Từ định nghĩa, nếu F là Lipschitzđịa phương quanh x ∈ domF¯ , thì F là tựa Lipschitz địa phương quanh

(¯x, ¯y) Với mỗi y ∈ F (¯¯ x) ta có

lipF (¯x) ≥ sup{lipF (¯x, ¯y) | ¯y ∈ F (¯x)} (1.21)Quan hệ ngược lại cũng đúng khi F là compact địa phương xung quanh

¯

x

Định nghĩa 1.3.2 F : X → Y được gọi là compact địa phương xungquanh x ∈ domF¯ nếu tồn tại lân cận O của x¯ và tập compact C ⊂ Y saocho F (O) ⊂ C Ngoài ra, F được gọi là đóng tại x¯ nếu với mỗi y /∈ F (¯x),tồn tại lân cận U của x¯ và V của y sao cho F (x) ∩ V = ∅, ∀x ∈ U

Định lí 1.3.2 Giả sử ánh xạ đa trị F : X ⇒ Y là đóng tại x ∈ domF¯

và compact địa phương quanh x¯ Khi đó F là Lipschitz địa phương quanh

F (x) ∩ C = F (x), ∀x ∈ O

Không mất tính tổng quát, giả sử mọi lân cận của x¯ là tập con của O Tacần chỉ ra rằng tính tựa Lipschitz địa phương của F xung quanh (¯x, ¯y),

với mọiy ∈ F (¯¯ x) suy ra F là Lipschitz địa phương xung quanhx¯ và(1.21)

đúng Ngược lại, giả sử đẳng thức (1.21) không đúng, nghĩa là

lipF (¯x) > lipF (¯x, ¯y), ∀¯y ∈ F (¯x)

Khi đó với mỗi y ∈ F (¯¯ x), ta tìm một số 0 ≤ `¯ < lipF (¯x) và lân cận U¯

của x¯, V¯ của y¯sao cho

Do F đóng tại x¯, với mỗi y ∈ C \Vb, có lân cận eUy của x¯ và eVy của y¯saocho

F (x) ∩Vey = ∅, x ∈ Uey, y ∈ C \V bBởi tính compact củaC\Vb, ta trích từ{Vey}một phủ con hữu hạn{Vej}, j =

F (x) ⊂ F (u) +`kx − ukb B, x, u ∈ U ∩b U ,e

Do đó b` < lipF (¯x), điều này mâu thuẫn với cách xác định lipF (¯x) Định

lí được chứng minh

Phần tiếp theo, ta đề cập đến quan hệ đánh giá hệ số Lipschitz với đốiđạo hàm.

Định lí 1.3.3 Cho ánh xạ đa trị F : X ⇒ Y, ¯x ∈ domF, ε ≥ 0 Khi đó

(i) Nếu F là tựa Lipschitz địa phương quanh (¯x, ¯y) ∈ gph F với môđun

` ≥ 0, thì tồn tại η > 0 sao cho

supnkx∗k | x∗ ∈ Dbε∗F (x, y)(y∗)o ≤ `ky∗k + ε(1 + `) (1.23)với mọi x ∈ ¯x + ηB, y ∈ F (x) ∩ (¯y + ηB), y∗ ∈ Y∗ Do đó

lipF (¯x, ¯y) ≥ inf

η>0supnkDb∗F (x, y)k | x ∈ Bη(¯x), y ∈ F (x) ∩ Bη(¯y)o.(ii) Nếu F là Lipschitz địa phương quanh x¯, thì tồn tại η > 0 sao cho

F (x) ∩ (¯y + ηB) ⊂ F (u) + `kx − ukB, với mọi x, u ∈ ¯x + 2ηB

Ta sẽ chứng minh (1.22) với số η và ` được chọn ở trên Lấy tùy ý (x, y) ∈(gph F ) ∩ [(¯x + ηB) × (¯y + ηB)], x∗ ∈ Db∗εF (x, y)(y∗), và γ > 0 Chọn một

số dương α ≤ {η, `η} sao cho

hx∗, u − xi − hy∗, v − yi ≤ (ε + γ)(ku − xk + kv − yk), (1.24)

∀(u, v) ∈ gph F với ku − xk ≤ α và kv − yk ≤ α Chọn u ∈ x + α`−1B và

chú ý rằng

ku − ¯xk ≤ ku − xk + kx − ¯xk ≤ 2η