Bất đẳng thức dạng mũ đối với các martingale tự chuẩn hoá và ứng dụng

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Tên đề tài BẤT ĐẲNG THỨC DẠNG MŨĐỐI VỚI CÁC MARTINGALE TỰ CHUẨN HOÁ VÀ ỨNG DỤNG Chuyên ngành : Lý thuyết Xác suất và Thống kê Toán học Giảng viên hướng dẫn : TS

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Tên đề tài

BẤT ĐẲNG THỨC DẠNG MŨĐỐI VỚI CÁC MARTINGALE TỰ CHUẨN HOÁ VÀ ỨNG DỤNG

Chuyên ngành : Lý thuyết Xác suất và Thống kê Toán học

Giảng viên hướng dẫn : TS Nguyễn Văn Hùng

HÀ NỘI - 2017

I LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI

Các quá trình tự chuẩn hoá phát sinh tự nhiên trong các ứng dụng thống kê

Là các đơn vị tự do, chúng không bị ảnh hưởng bởi thay đổi Hơn thế nữa, tựchuẩn hóa thường loại bỏ hoặc làm suy yếu các giả thiết mô men Các chuẩn hóatrong các định lý giới hạn cổ điển thường là các dãy số thực Các điều kiện mômen hoặc các giả định có liên quan khác là cần thiết và đủ cho nhiều định lý giớihạn cổ điển Tuy nhiên, tình hình trở nên rất khác khi các chuẩn hoá không phảihằng số mà là dãy các biến ngẫu nhiên Độ lệch lớn tự chuẩn hóa cho thấy khôngcần điều kiện mô men nào vẫn cho các kết quả như vậy Một luật tự chuẩn hoácủa logarit lặp vẫn có giá trị cho tất cả các phân bố trong miền hút của một luậtchuẩn hoặc ổn định Điều này cho thấy rằng tự chuẩn hóa bảo tồn các tính chấtthiết yếu tốt hơn nhiều so với sự chuẩn hóa xác định Một thí dụ điển hình củadãy các biến ngẫu nhiên tự chuẩn hóa là thống kê Student, người ta vẫn gọi làt-thống kê dựa trên một mẫu các quan sát là các đại lượng ngẫu nhiên độc lập,cùng phân phân phối chuẩn (i.i.d.) X1, X2, Xn Vào năm 1908 khi WilliamGosset (“Student”) xét bài toán suy luận thống kê trên trung bình µ khi độ lệchchuẩn σ của phân bố cơ bản chưa được biết Giả sử X = n−1Pn

i=1Xi là trungbình mẫu và s2n = (n − 1)−1Pn

i=1(Xi− Xn)2 là phương sai mẫu Gosset (1908)

đã chứng minh được kết quả phân phối của thống kê Tn = √

n(Xn − µ)/Sn cógiới hạn là một phân phối chuẩn tắc khi n −→ ∞ ngay cả khi Xi không phải làchuẩn Ngày nay, các nghiên cứu lý thuyết xác suất và thống kê toán học khaithác rất nhiều đến các tự chuẩn hóa của các quá trình để tìm ra các kết quả sâusắc hơn Đề tài của luận văn này đề cập đến một hướng nghiên cứu như vậy.Với những lí do trên, dưới sự hướng dẫn của TS Nguyễn Văn Hùng, tôi quyếtđịnh chọn đề tài luận văn tốt nghiệp thạc sĩ "Bất đẳng thức dạng mũ đốivới các martingale tự chuẩn hoá và ứng dụng"

khả báo, các bất đẳng thức dạng mũ của các martingale tự chuẩn hoá.

III ĐỐI TƯỢNG NGHIÊN CỨU

• Khái niệm martingale, martingale trên

• Một số bất đẳng thức martingale

• Biến ngẫu nhiên nặng bên trái hoặc bên phải

• Quá trình ngẫu nhiên tự chuẩn hoá

IV PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU

• Đọc sách, các bài báo, luận văn liên quan đến đề tài, tìm tài liệu trênInternet

• Sử dụng phương pháp phân tích để nắm vững vấn đề một cách chi tiết

• Sử dụng phương pháp tổng hợp, tổng hợp lại các kiến thức, trình bày vấn

đề theo trình tự logic để người đọc dễ theo dõi

• Dựa vào phương pháp của De La Pena đối với các quá trình tự chuẩn hoá

V CẤU TRÚC LUẬN VĂN

Nội dung của luận văn bao gồm ba chương:

Chương I: Kiến thức chuẩn bị

1.1 Các khái niệm cơ bản của lý thuyết xác suất

1.2 Lý thuyết cơ bản về martingale

1.3 Một số đinh nghĩa, kết quả dùng cho luận văn.

Chương II: Bất đẳng thức dạng mũ cho các martingale tự chuẩn hoá2.1 Giới thiệu

3.1 Hồi quy tuyến tính

3.2 Quá trình tự hồi quy

3.3 Quy trình phân nhánh

VI KẾ HOẠCH THỰC HIỆN

- Từ tháng 11 và tháng 12 năm 2016: Gặp giảng viên hướng dẫn, nhận đềtài, lập và bảo vệ đề cương

- Từ tháng 01 đến tháng 05 năm 2017: Nghiên cứu kết hợp trao đổi vớigiảng viên hướng dẫn để viết luận văn

- Tháng 06 năm 2017: Hoàn chỉnh luận văn và bảo vệ trước Hội đồngchấm luận văn Thạc sĩ

Trong quá trình học tập, nghiên cứu và hoàn thành luận văn "Bất đẳngthức dạng mũ đối với các martigale tự chuẩn hoá và ứng dụng", tôi đãnhận được sự hướng dẫn, giúp đỡ và động viên của nhiều cá nhân và tập thể,tôi xin được bày tỏ lòng biết ơn tới tất cả các cá nhân và tập thể đã tạo điềukiện giúp đỡ tôi.

Đầu tiên, tôi xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới các thầy cô giáo trongkhoa Toán, đặc biệt là các thầy trong tổ Lý thuyết xác suất và thống kê toánhọc-Trường Đại học Sư phạm Hà Nội đã mang đến cho tôi những kiến thức bổích trong những năm học vừa qua và trong công việc sắp tới

Tôi xin gửi lời cảm ơn sâu sắc đến TS Nguyễn Văn Hùng - Người thầy đãtrực tiếp hướng dẫn, tận tình chỉ bảo, giúp đỡ tôi trong quá trình nghiên cứu

và hoàn thành luận văn

Cuối cùng tôi xin gửi lời cảm ơn đến gia đình, bạn bè đã luôn ở bên tôi, độngviên và khuyến khích tôi trong quá trình thực hiện đề tài nghiên cứu của mình.Tôi rất mong nhận được những ý kiến đóng góp của các thầy cô, bạn bè vànhững người quan tâm để luận văn được hoàn thiện và phát triển hơn

Tôi xin chân thành cảm ơn!

Hà Nội, tháng 6 năm 2017Nguyễn Minh Hiếu

Lời cam đoan

Tôi xin cam đoan, dưới sự chỉ bảo và hướng dẫn của TS Nguyễn Văn Hùng,luận văn chuyên ngành Lý Thuyết Xác Suất Và Thống Kê Toán Học với đềtài:"Bất đẳng thức dạng mũ đối với các martingale tự chuẩn hoá vàứng dụng" được hoàn thành bởi sự nhận thức và tìm hiểu của bản thân tácgiả

Trong quá trình nghiên cứu và thực hiện luận văn, tác giả đã kế thừa nhữngkết quả của các nhà khoa học với sự trân trọng và biết ơn

Hà Nội, tháng 6 năm 2017

Tác giả

Nguyễn Minh Hiếu

LỜI CẢM ƠN 4

LỜI CAM ĐOAN 5 1 Kiến thức chuẩn bị 7 1.1 Các kiến thức cơ bản của lý thuyết xác suất 7

1.2 Lý thuyết cơ bản về Martingale 12

1.3 Một số định nghĩa, kết quả dùng cho luận văn 13

2 Bất đẳng thức dạng mũ với quá trình tự chuẩn hoá 15 2.1 Giới thiệu 15

2.2 Các bất đẳng thức dạng mũ hai phía 17

2.3 Bất đẳng thức dạng mũ một phía 21

2.4 Bất đẳng thức mũ cải tiến 27

2.5 Bất đẳng thức đối với dãy martingales hiệu 30

3 Ứng dụng 33 3.1 Hồi quy tuyến tính 33

3.2 Quá trình tự hồi quy 35

3.3 Quá trình phân nhánh 38

Chương 1

Kiến thức chuẩn bị

Luật số lớn, định lý giới hạn trung tâm và luật loga lặp hình thành một bộ banghiên cứu dáng điệu tiệm cận của các tổng các biến ngẫu nhiên độc lập.Chúng liên quan chặt chẽ đến các điều kiện mo-men và giải quyết ba phươngthức hội tụ của một chuỗi các biến ngẫu nhiên Yn đến một biến ngẫu nhiên Y Chúng ta nói Yn hội tụ đến Y theo xác suất, ký hiệu bởi: Yn

P

−→ Y , nếu vớimọi  > 0, P (|Yn− Y | > ) −→ 0 khi n → ∞

Chúng ta nói rằng Yn hội tụ hầu khắp nơi tới Y (hoặc Yn hội tụ tới Y với xácsuất 1), ký hiệu bởi Yn −→ Y h.c.c Nếu P (limn→∞Yn = Y ) = 1

Chú ý rằng hội tụ hầu khắp nơi tương đương với P (max

k≥n |Yk − Y | > ) −→ 0khi n → ∞ với mọi  > 0 đã cho

Chúng ta nói rằng Yn hội tụ theo phân phối (hoặc yếu) tới Y , và viết

Yn −→ Y hoặc YD n ⇒ Y , nếu P (Yn ≤ x) −→ P (Y ≤ x), tại mọi điểm liên tụccủa hàm phân phối của Y

Nếu hàm phân phối P (Y ≤ x) là liên tục, thì Yn

→ Y và ξn −→ c ,Dthì Yn + ξn → Y + c và ξD nYn −→ cY Giả sử XD 1, X2, là các biến ngẫu nhiênđộc lập và cùng phân phối (i.i.d.) và giả sử Sn =Pn

i=1Xi Thì chúng ta có luậtmạnh số lớn Kolmogorov và luật yếu số lớn Feller

Luật số lớn, luật loga lặp

Định lí 1.1.1 n−1Sn → c < ∞ h.c.c nếu và chỉ nếu E(|X1|) < ∞, trongtrường hợp này c = E(X1)

Định lí 1.1.2 Để tồn tại một dãy hằng số cn sao cho n−1Sn − cn → 0, thìPđiều kiện cần và đủ là limx→∞xP (|X1| ≥ x) = 0 Trong trường hợp này, cn =

EX1I(|X1| ≤ n) Luật số lớn Marcinkiewicz–Zygmund cho tốc độ hội tụ trongĐịnh lý 1.1.1

Định lí 1.1.3 Giả sử 1 < p < 2 Nếu E(|X1|) < ∞, thì:

n1−1/p(n−1Sn − E(X1)) → 0 h.c.cnếu và chỉ nếu E(|X1|p) < ∞

Khi p = 2, kết luận trong Định lý 1.1.3 không còn đúng Thay vào đó, chúng

ta có luật logarithm lặp (LIL) Hartman–Wintner , điều ngược lại được thiết lậpbởi Strassen (1966)

Chương 1 Kiến thức chuẩn bị

lim inf

n→∞

Sn− nµ

√2n log log n = −σ h.c.c;

lim sup

n→∞

max1≤k≥n|Sk − kµ

√2n log log n = σ h.c.c.

Ngược lại, nếu tồn tại các hằng số hữu hạn a và τ sao cho:

lim sup

n→∞

Sn − na

√2n log log n = τ h.c.cthì a = E(X1) và τ2 = V ar(X1)

Định lý sau đây của Kolmogorov cho trường hợp các biến ngẫu nhiên độc lậpnhưng không cần cùng phân phối; xem Chow and Teicher (1988, Đoạn 10.2).Giả sử rằng EXi = 0 và EXi2 < ∞ và đặt Bn2 = Pn

Định lý giới hạn trung tâm

Đối với mọi dãy biến ngẫu nhiên Xi với trung bình hữu hạn, dãy Xi− E(Xi) cótrung bình không Vì vậy, không làm mất tính tổng quát, chúng ta có thể giả sửrằng trung bình của Xi là 0 Đối với biến ngẫu nhiên độc lập và có cùng phânphối Xi, chúng ta có Định lý giới hạn Trung tâm cổ điển (CLT)

Định lí 1.1.6 Cho dãy X1, , Xn là độc lập có cùng phân phối với E(X1) = 0

và V ar(X1) = σ2 < ∞, khi đó:

Sn

√nσ

D

−→ N (0, 1)Bất đẳng thức Berry–Esseen cho chúng ra biết về tốc độ hội tụ của Định lýgiới hạn trung tâm

Định lí 1.1.7 Cho Φ là hàm phân phối chuẩn và Wn = Sn/(√

nσ) khi đó:

x

|P (Wn ≤ x) − Φ(x) (1.1.2)

≤ 4.1{σ−2EX12I(|X1| >√nσ) + n−1/2σ−3E|X1|3I(|X1| ≤ √nσ)}

Trong trường hợp riêng, nếu E|X1|3 < ∞, khi đó:

Định lí 1.1.8 (Lindberg - Feller CLT) Cho Xn là biến ngẫu nhiên độc lậpvới E(Xi) = 0 và E(Xi2) < ∞ Cho Wn = Sn/Bn ở đó B2n = Pn

i=1E(Xi2) Nếu

có điều kiện Lindberg:

khi đó Wn −→ N (0, 1) Ngược lại, nếu maxD a≤i≥nEXi2 = o(Bn2) và Wn −→D

N (0, 1) Khi đó điều kiện Lindberg (1.1.4) được thoả mãn

Định lí 1.1.9 Với các ký hiệu giống như định lý 1.1.8

Chương 1 Kiến thức chuẩn bị

P

 Pn

i=1aiεi(Pn

i=1a2i)1/2



≤ e−x2/2 (1.1.7)Với x > 0 và ai là số thực

Giả sử Xn là các biến ngẫu nhiên độc lập và giả sử Vn2 =Pn

i=1Xi2.Nếu chúng ta giả thiết thêm Xi là đối xứng, thì Xi và εiXi có cùng phân phối,

ở đây (εi) là dãy Rademacher đã nói đến ở Định lý 1.1.13 độc lập với (Xi)

Do đó tổng tự chuẩn hóa Sn/Vn có cùng phân phối với (Pn

i=1εiXi) /Vn Khi cho dãy (Xi ), áp dụng (1.1.7) cho trường hợp ai = Xi chúng ta suy ra kếtluận sau đây:

Định lí 1.1.11 Nếu Xi là dãy đối xứng, khi đó với x > 0

P (Sn ≥ xVn) ≤ e−x2/2 (1.1.8)

Giả sử là các biến ngẫu nhiên độc lập và giả sử Sn =Pn

i=1Xi Định lý sauđây cho chúng ta các bất đẳng thức Bennett–Hoeffding:

Giả sử rẳng EXi ≤ 0, Xi ≤ a(a > 0) Với mỗi 1 ≤ i ≤ n và Pn

i=1EXi2 ≤ B2

n.Khi đó:

a2



1 + ax

B2 n

log



1 + ax

B2 n



− ax

B2 n

1.2 Lý thuyết cơ bản về Martingale

Trong phần này, chúng tôi xem xét lại lý thuyết cơ bản về kỳ vọng có điều kiện

và martingale

Các kỳ vọng có điều kiện và các Martingale

Giả sử X là một biến ngẫu nhiên được định nghĩa trên không gian xác suất(Ω,F, P ) sao cho E|X| < ∞

Giả sử G ⊂ F là một σ-trường Một biến ngẫu nhiên Y được gọi là một phiênbản của xác suất có điều kiện của X, được ký hiệu bởi E(Y |X), nếu nó thỏamãn hai tính chất sau đây:

(a) Y là F– đo được;

(b) RAXdP = R

AY dP với mọi A ∈G

Vậy kỳ vọng có điều kiện là đạo hàm Radon-Nikodym dv/dP ở đây v(A) =R

AXdP đối với mọi A ∈ G

Do đó nó là duy nhất ngoại trừ các tập có độ đo không (P -không) Trường hợpđặc biệt Y = 1I(B) sẽ cho xác suất có điều kiện P (B|G) của B khi cho G

Một lọc là một dãy không giảm (tức là F ⊂ Fn+1) các σ-trường Fn ⊂F

Giả sử Mn là một dãy các biến ngẫu nhiên tương thích với một lọc Fn sao choE|Mn| < ∞ đối với mọi n

Nếu E(Mn|Fn−1) = Mn−1 h.c.c với mọi n ≥ 1 (1.2.1)thì Mn,Fn, n ≥ 1 được gọi là một martingale và dn := Mn − Mn−1 đượcgọi là một dãy martingale hiệu Khi dấu bằng trong (1.2.1) được thay bằng

≥, Mn,Fn, n ≥ 1 được gọi là một martingale dưới

Nó được gọi là martingale trên nếu dấu "=" trong (1.2.1) được thay bằngdấu "≥" Theo bất đẳng thức Jensen, nếu Mn là một martingale và hàm thực

φ : R → R là lồi, thì φ(Mn) là một martingale dưới

Chúng ta nói rằng một martingale địa phương bình phương khả tích

Chương 1 Kiến thức chuẩn bị

(Xt); t ≥ 0 thì:

(i) (Xt); t ≥ 0 là một martingale địa phương, tức là tồn tại dãy tăng các thờiđiểm dừng (Tn), Tn ↑ ∞ sao cho quá trình dừng (XTn

t 1ITn>0); t ≥ 0 là mộtmartingale

(ii) Xt ∈ L2(P ) đối với tất cả t ≥ 0

Ngược lại, một martingale địa phương bình phương khả tích (Xt); t ≥ 0 thỏamãn:

(i) Tồn tại một dãy các thời điểm dừng tăng (Tn), Tn ↑ ∞, sao cho XTn

t ), t ≥ 0 là một martingale và XTn

t ∈ L2 , từ "địaphương" chỉ cả hai tính khả tích và tính martingale

Định nghĩa 1.3.1 Phân phối Pareto - phân phối được đặt theo tên của kỹ sưxây dựng, nhà kinh tế học và nhà xã hội học Ý Vilfredo Pareto, là một phân

bố xác suất được sử dụng để mô tả về các hiện tượng có thể quan sát được về

xã hội, khoa học, địa vật lý

Ở đây xm là (có thể dương) giá trị nhỏ nhất có thể của X, và α là tham

số dương Phân phối Pareto dạng I được đặc trưng bởi một tham số tỷ lệ xm

và một tham số hình ảnh α, thường được biết đến với tên chỉ số đuôi Khi chỉ

số này được sử dụng để mô hình sự giàu có, thì tham số α được gọi là chỉ sốPareto

Định nghĩa 1.3.2 Tiếp tuyến

Cho {xi}, {yi} là hai dãy biến ngẫu nhiên tương thích với một dãy tăngcủa σ- trường {Fi} {xi} được gọi là tiếp tuyến với {yi} nếu với mọi i,L(xi|Fi−1) =L(yi|Fi−1 ở đó L(xi) là luật xác suất đối với xi

Định nghĩa 1.3.3 Đối xứng có điều kiện

Một dãy biến ngẫu nhiên {xi} được gọi là đối xứng có điều kiện nếu với mọi ithì xi tiếp tuyến với −xi

Định nghĩa 1.3.4 Độc lập có điều kiện

Dãy biến ngẫu nhiên {yi} tương thích với một dãy tăng của σ- trường {Fi} bịchặn trong F được gọi là độc lập có điều kiện nếu tồn tại một σ − đại số G bịchặn trên F sao cho {yi} độc lập có điều kiện cho bởi G và L(yi|Fi−1) =L(yi|G)

P(|Mn| ≥ x) ≤ 2 exp− 2x

2

Pn k=1(bk − ak)2

 (2.1.1)Một kết quả khác trong đó bao gồm các biến phân bậc hai khả báo (<M>n)được gọi là bất đẳng thức Freedman [12]

Định lí 2.1.1 (Bất đẳng thức Freedman) Cho (Mn) là martingale địa phươngbình phương khả tích như vậy, với mỗi 1 ≤ k ≤ n, |∆Mk| ≤ c h.c.c với hằng số

Fn−1 là đối xứng, sau đó De la Pe ˜n [8] cho các kết quả tốt nhất.

Định lí 2.1.2 (De la Pe˜n) Cho (Mn) là martingale địa phương bình phươngkhả tích và đối xứng có điều kiện Với mọi x, y > 0,

P(Mn ≥ x, [M ]n ≤ y) ≤ exp−x

2

2y

 (2.1.3)Một số phần mở rộng của sự bất đẳng thức trên trong dạng tổng quát hơnbao gồm martingales thời gian rời rạc cũng có thể được tìm thấy trong [9], [10]trong đó giả định điều kiện đối xứng vẫn còn cần thiết cho (2.1.3) Bằng cáchđọc cẩn thận của [8], ta có thể thấy rằng (2.1.3) là một bất đẳng thức dạng mũhai phía Chính xác hơn, (Mn) đối xứng có điều kiện, với mọi x, y > 0,

P(|Mn| ≥ x, [M ]n ≤ y) ≤ 2 exp−x

2

2y

 (2.1.4)bằng cách so sánh (2.1.4) và (2.1.1), chúng ta chỉ cần một nửa để bất đẳng thứcAzuma-Hoeffding vẫn giữ nguyên mà không cần tổng các biến phân bậc hai[M ]n

Chương 2 Bất đẳng thức dạng mũ với quá trình tự chuẩn hoá

Phần này trình bày bất đẳng thức mũ hai phía của cả <M>n và [M ]n Chúng

ta bắt đầu với bổ đề cơ bản sau đây

Bổ đề 2.2.1 Cho X là biến ngẫu nhiên bình phương khả tích có trung bìnhbằng không và phương sai σ2 > 0 Với mọi t ∈ R, Ta ký hiệu:

Đối với martingale tự chuẩn hoá, chúng ta thu được kết quả sau.

Định lí 2.2.3 Cho (Mn) là một martingale địa phương bình phương khả tích.Với mọi x, y > 0, a ≥ 0 và b > 0,

(2.2.6)Hơn nữa, ta có:

hexp−(p − 1) x



.sau đó, với mọi t ∈ R, (Vn(t)) là một martingale trên dương với E[Vn(t)] ≤ 1

Chứng minh Với mọi t ∈ R và n ≥ 1, ta có

≤ Vn−1(t)

Do đó, với mọi t ∈ R, (Vn(t)) là một martingale trên dương như vậy, với mọi

n ≥ 1, E[Vn(t)] ≤ E[Vn−1(t)] điều đó nghĩa là E[Vn(t)] ≤ E[V0(t)] = 1

Chương 2 Bất đẳng thức dạng mũ với quá trình tự chuẩn hoá

Chúng ta đang chứng minh Bổ đề 2.2.2 và Bổ đề 2.2.3 theo công trình của

De la Pe˜na [8] Trước hết, biểu diễn

i,

2

4Zn − tx

2

1IA+ n

i,

≤ expt

2y

4 − tx2

pE[Vn(t)]P(A+

pP(A+n) (2.2.8)

Chia cả hai vế của (2.2.8) cho pP(A+

n) và chọn giá trị t = x/y, ta được

P(A+n) ≤ exp−x

2

2y



Ta cũng thấy giới hạn trên tương tự P(A−n) điều đó ngay lập tức dẫn đến (2.2.5)

Ta sẽ tiếp tục chứng minh Bổ đề 2.2.3 trường hợp đặc biệt a = 0 và b = 1 Chứngminh sau giống với trường hợp tổng quát với mọi x, y > 0, cho

Bn = {|Mn| ≥ x <M>n, <M>n−[M ]n ≥ y} = Bn+∪ Bn−

ở đó

Bn+ = {Mn ≥ x <M>n, <M>n−[M ]n ≥ y},

Bn− = {Mn ≤ −x <M>n, <M>n−[M ]n ≥ y}

Theo bất đẳng thức Cauchy-Schwarz, ta có với mọi t > 0,

P(Bn+) ≤ Ehexpt

2Mn− tx

2 <M>n

1IB+ n

i,

4(t − 2x) <M>n +

t2

4[M ]n

1IB+ n

i(2.2.9)

Do đó, ta có được từ (2.2.9) với cách chọn đặc biệt t = x nghĩa là

P(Bn+) ≤ exp−x

2y4

pP(Bn+) (2.2.10)

Do đó, nếu ta chia hai vế của (2.2.10) cho pP(B+

n), ta có

P(Bn+) ≤ exp−x

2y2



Cố định giới hạn trên cho P(Bn−) điều này rõ ràng (2.2.6) Hơn nữa, với mọi

i,

1IC+ n

i,

≤

E

hexptp2q(t − 2x + ty) <M>n

hexp−(p − 1) x

Chương 2 Bất đẳng thức dạng mũ với quá trình tự chuẩn hoá

F (−x) − (1 − F (x−)) dx

ở đó F (x−) là đại diện cho giới hạn bên trái của F tại x Do đó, X là nặng vềbên trái nếu E[X] = 0 với mọi a > 0, H(a) ≥ 0 Hơn nữa, H bằng 0 ở vô cực

lim

a→∞H(a) = E[X] = 0

Hơn nữa, người ta có thể thấy rằng một biến ngẫu nhiên X là đối xứng khi vàchỉ khi X là nặng về bên trái và bên phải

Bổ đề sau đây là nền tảng của sự bất đẳng thức mũ một phía

Bổ đề 2.3.3 Đối với một biến ngẫu nhiên X với mọi t ∈ R, cho

L(t) = EhexptX − t

2

2X

2i

1) Nếu X là nặng về bên trái với mọi t ≥ 0,thì L(t) ≤ 1

2) Nếu X là nặng về bên phải với mọi t ≤ 0,thì L(t) ≤ 1

3) Nếu X là đối xứng với t ∈ R,thì L(t) ≤ 1

Chứng minh Cho f là hàm xác định với mọi x ∈ R:

f (x) = expx − x

2

2



i

=Z

f0(tx) dx =



− exptx − t

2x22

+∞

0

= 1,(2.3.1) với mọi t ∈ R, L(t) = 1 − tI(t) khi đó

A(t) =

Z +∞

0

a(tx)(F (−x) − (1 − F (x))) dx,B(t) =

H(a) =

Z a 0

F (−x) − (1 − F (x)) dx