Một số phương pháp giải bài toán bất đẳng thức biến phân

Lời cam đoanTôi xin cam đoan, dưới sự hướng dẫn của TS Nguyễn Thế Vinh, luận văn thạc sĩ chuyên ngành Toán giải tích với đề tài "Một số phương pháp giải bài toán bất đẳng thức biến phân"

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI

LÊ THỊ HUỆ

MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP

GIẢI BÀI TOÁN

BẤT ĐẲNG THỨC BIẾN PHÂN

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Chuyên ngành: Toán giải tích

Mã số: 60460102

Người hướng dẫn khoa học

TS Nguyễn Thế Vinh

HÀ NỘI, 2017

Mục lục

Mở đầu 1

Chương 1 Một số kiến thức chuẩn bị 5

1.1 Các khái niệm 5

1.1.1 Tập lồi và nón pháp tuyến của một tập lồi 5

1.1.2 Siêu phẳng và nửa không gian 6

1.1.3 Phép chiếu metric 8

1.1.4 Sự hội tụ yếu, hội tụ mạnh trong không gian Hilbert 8

1.2 Định lý điểm bất động Banach, Brouwer 9

1.3 Tính đơn điệu 10

1.4 Ánh xạ hemi-liên tục 12

1.5 Bất đẳng thức biến phân và sự tồn tại nghiệm 13

1.5.1 Mô tả bài toán 13

1.5.2 Các bài toán liên quan 14

1.5.3 Sự tồn tại nghiệm của bài toán bất đẳng thức biến phân 17

1.5.4 Phương pháp chiếu gradient 22

Chương 2 Phương pháp extragradient giải bài toán bất đẳng thức biến phân 26

2.1 Giới thiệu phương pháp và minh họa hình học 26

2.2 Sự hội tụ của phương pháp extragradient 27

2.2.1 Kết quả hội tụ mạnh 27

2.2.2 Kết quả hội tụ yếu 34

Chương 3 Các dạng cải tiến của phương pháp extragradient 37

3.1 Phương pháp subgradient extragradient 37

3.1.1 Giới thiệu phương pháp và minh họa hình học 38

3.1.2 Sự hội tụ của thuật toán subgradient extragradient 39

3.2 Phương pháp Popov subgradient extragradient 48

3.3 Phương pháp chiếu gradient đối xứng 52

Kết luận 57

Tài liệu tham khảo 58

Lời cảm ơn

Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới TS Nguyễn Thế Vinh đã định hướngchọn đề tài và tận tình hướng dẫn, giúp đỡ tôi hoàn thành luận văn này Tôi cũngxin chân thành cảm ơn hai Thầy phản biện, TS Lê Anh Dũng và TS Dương ViệtThông đã cho tác giả nhiều nhận xét quý báu và xác đáng

Tôi xin chân thành cảm ơn tới các thầy cô giáo phòng Sau Đại học, các thầy

cô giáo giảng dạy lớp Cao học K25 chuyên ngành Toán giải tích trường Đại học

Sư phạm Hà Nội đã giúp đỡ tôi trong suốt quá trình học tập

Nhân dịp này tôi xin được gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình, bạn bè,đồng nghiệp đã luôn động viên, cổ vũ, tạo mọi điều kiện thuận lợi cho tôi trongquá trình học tập và hoàn thành luận văn này

Do thời gian và khả năng có hạn, chắc chắn bản luận văn không tránh khỏithiếu sót, tác giả mong nhận được sự góp ý sửa chữa của Quý Thầy Cô để có thểnâng cao chất lượng của luận văn này

Hà Nội, tháng 06 năm 2017

Tác giả

Lê Thị Huệ

Lời cam đoan

Tôi xin cam đoan, dưới sự hướng dẫn của TS Nguyễn Thế Vinh, luận văn

thạc sĩ chuyên ngành Toán giải tích với đề tài "Một số phương pháp giải bài toán bất đẳng thức biến phân" được hoàn thành bởi chính sự nhận thức của

Mở đầu

1 Lý do chọn đề tài

Năm 1966, Hartman và Stampacchia [7] đã công bố những nghiên cứu đầutiên của mình về bài toán bất đẳng thức biến phân, liên quan đến việc giải cácbài toán biến phân, bài toán điều khiển tối ưu và các bài toán biên trong lý thuyếtphương trình đạo hàm riêng Năm 1980, trong cuốn sách "An Introduction toVariational Inequalities and Their Applications", Kinderlehrer và Stampacchia[11] đã nghiên cứu bài toán bất đẳng thức biến phân trong không gian vô hạnchiều và ứng dụng của nó Năm 1984, trong cuốn sách "Variational and Quasi-variational Inequalities " của Baiocchi và Capelo [3] đã áp dụng bất đẳng thứcbiến phân và tựa biến phân để giải các bài toán biên tự do

Hiện nay bài toán bất đẳng thức biến phân đã được mở rộng và phát triểncho nhiều dạng khác nhau như bất đẳng thức biến phân véctơ, bất đẳng thức tựabiến phân, bất đẳng thức biến phân ẩn, bất đẳng thức biến phân suy rộng Bàitoán này đã thu hút được sự quan tâm của đông đảo các nhà toán học trên thếgiới vì nó là mô hình hợp nhất của nhiều bài toán quan trọng trong lý thuyết vàthực tiễn như tối ưu hóa, bài toán bù, lí tuyết trò chơi, cân bằng Nash, cân bằngmạng giao thông,

Một trong những hướng nghiên cứu quan trọng của lý thuyết bài toán bấtđẳng thức biến phân là việc xây dựng các phương pháp giải Để hiểu sâu sắc

hơn về vấn đề này, em chọn đề tài nghiên cứu của luận văn là "Một số phương pháp giải bài toán bất đẳng thức biến phân."

2 Mục đích nghiên cứu

Nghiên cứu một số phương pháp chiếu giải bài toán bất đẳng thức biến phân.Đặc biệt đi sâu vào việc tìm hiểu, giới thiệu và trình bày các kết quả hội tụcủa phương pháp chiếu gradient (phương pháp chiếu đạo hàm), phương phápextragradient (phương pháp đạo hàm tăng cường) và các dạng cải tiến của nó

3 Nhiệm vụ nghiên cứu

• Nghiên cứu sự hội tụ của phương pháp chiếu gradient

• Nghiên cứu sự hội tụ yếu và hội tụ mạnh của phương pháp extragradient

và phương pháp subgradient extragradient

• Nghiên cứu sự hội tụ yếu của phương pháp gradient đối xứng và phươngpháp Popov subgradient extragradient

4 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

• Đối tượng nghiên cứu: Bài toán bất đẳng thức biến phân

• Phạm vi nghiên cứu: Sự tồn tại nghiệm và các thuật toán giải bài toán bấtđẳng thức biến phân

5 Phương pháp nghiên cứu

Nghiên cứu tổng quan tài liệu, phân tích, tổng hợp, hệ thống lại các kết quả

lý thuyết về sự tồn tại nghiệm và phương pháp giải bất đẳng thức biến phân

6 Đóng góp của luận văn

• Luận văn đã trình bày một cách hệ thống và chi tiết một số phương phápgiải bài toán bất đẳng thức biến phân

• Luận văn trình bày các thuật toán quan trọng được sử dụng nhiều để giảibài toán bất đẳng thức biến phân trong vòng 50 năm trở lại đây như thuậttoán chiếu gradient, thuật toán extragradient, thuật toán subgradient extra-gradient, thuật toán Popov subgradient extragradient và thuật toán chiếugradient đối xứng cùng với các kết quả hội tụ của chúng

• Luận văn sẽ là tài liệu tham khảo hữu ích cho những ai quan tâm đến cácphương pháp giải bài toán bất đẳng thức biến phân để áp dụng vào các lĩnhvực liên quan như điểm bất động, tối ưu, phương trình đạo hàm riêng,

7 Tổng quan và bố cục của luận văn

Bài toán bất đẳng thức biến phân là bài toán

Tìm x ∈ K sao cho hF (x) , y − xi ≥ 0 với mọi y ∈ K, (VIP(K, F ))trong đó K là tập con lồi, đóng, khác rỗng của không gian Hilbert thực H và F :

K → H là ánh xạ đơn trị

Lý thuyết bài toán bất đẳng thức biến phân đóng vai trò quan trọng trongnhiều lĩnh vực như quy hoạch toán học, nghiên cứu mạng giao thông, lý thuyếttrò chơi, và đã trở thành một lĩnh vực nghiên cứu quan trọng trong vòng 50năm trở lại đây (xem Ansari [2], Giannessi [6], Kinderlehrer và Stampacchia[11], Konnov [12]) Nhờ vào tính chất của phép chiếu, ta biết rằng bài toánVIP(K, F ) tương đương với bài toán điểm bất động sau:

Tìm ¯x sao cho x = PK(x − λF (x)) , (1)trong đó λ > 0

Vấn đề quan tâm trước hết là sự tồn tại nghiệm của bài toán bất đẳng thức biếnphân Khi K compact và F liên tục, sự tồn tại nghiệm của bài toán VIP(K, F )

là hệ quả của định lý điểm bất động Schauder Nếu K compact và F là giảđơn điệu và hemi-liên tục thì sự tồn tại nghiệm của VIP(K, F ) được thiết lậpbằng kỹ thuật KKM Một trong những vấn đề thú vị và quan trọng nhất trong

lý thuyết bất đẳng thức biến phân là nghiên cứu các thuật toán lặp hữu hiệu đểtìm nghiệm xấp xỉ của bài toán Nhiều thuật toán lặp đã được đề xuất để giảibất đẳng thức biến phân ở cả không gian hữu hạn chiều và vô hạn chiều, chẳnghạn xem trong [2, 5, 12, 13, 14, 15, 17, 18] và các tài liệu tham khảo liên quan.Trong các phương pháp lặp giải bài toán VIP(K, F ) thì phương pháp đơn giảnnhất là phương pháp chiếu gradient được bắt nguồn từ phương trình điểm bấtđộng (1):

(

x0 ∈ K,

xm+1 = PK(xm − γF (xm)), m ≥ 0,trong đó PK là phép chiếu metric của H lên K, γ là số thực dương Sự hội tụcủa phương pháp này đòi hỏi F là ánh xạ đơn điệu mạnh (hoặc đơn điệu mạnhngược) và liên tục Lipschitz Để giảm nhẹ tính đơn điệu mạnh, Korpelevich[13] đề xuất phương pháp extragradient, trong đó tại mỗi bước lặp thuật toánđòi hỏi thêm một phép chiếu lên tập chấp nhận được Với điều kiện F đơn điệu

và liên tục Lipschitz, thuật toán extragradient cho sự hội tụ yếu trong khônggian Hilbert Nhiều nhà nghiên cứu đã đề xuất các cải tiến của phương phápextragradient như Popov [19] (1980), Khobotov [10] (1987), Iusem-Svaiter [8](1997), Malitsky và Semenov [14] (2014), Solodov-Svaiter [21] (1999), Censor

và cộng sự [5] (2011), Malitsky [15] (2015), Maingé [17] (2016), Maingé vàGobinddass [18] (2016) Mục đích của luận văn này nhằm trình bày tổng quancác kết quả quan trọng liên quan đến thuật toán chiếu gradient và extragradient.Ngoài phần mở đầu và phần tài liệu tham khảo, luận văn được chia làm 3chương

Chương 1: nhắc lại một số kiến thức cơ bản về giải tích lồi, giới thiệu bài

toán bất đẳng thức biến phân và các ứng dụng, đồng thời trình bày sự tồn tạinghiệm của bài toán và phương pháp chiếu gradient.

Chương 2: trình bày phương pháp extragradient, phân tích sự hội tụ yếu vàhội tụ mạnh của phương pháp này

Chương 3: trình bày các dạng cải tiến của phương pháp extragradient, cụthể trình bày về phương pháp subgradient extragradient, phương pháp Popovsubgradient extragradient, phương pháp chiếu gradient đối xứng, đồng thời xétđến sự hội tụ của các phương pháp trong không gian Hilbert

Chương 1 Một số kiến thức chuẩn bị

Trong chương này, chúng ta nhắc lại khái niệm cũng như các kết quả bổ trợcần thiết được sử dụng ở các chương sau Các kết quả chủ yếu tham khảo trong[1, 2]

1.1 Các khái niệm

1.1.1 Tập lồi và nón pháp tuyến của một tập lồi

Định nghĩa 1.1 Cho H là một không gian Hilbert thực, tập hợp C ⊂ H được

gọi là tập lồi nếu

Hình 1.1: Một tập lồi và nón pháp tuyến tại một điểm của nó.

Hình 1.2: Một tập lồi và nón đối ngẫu của nó

1.1.2 Siêu phẳng và nửa không gian

Định nghĩa 1.4 Cho một véctơ khác không a ∈ H và λ ∈ R, tập hợp

Định nghĩa 1.5 Cho a ∈ H là một vectơ khác không và λ ∈ R.

a) H++ = {x ∈ H : ha, xi > λ} được gọi là nửa không gian mở trên.b) H−− = {x ∈ H : ha, xi < λ} được gọi là nửa không gian mở dưới.c) H+ = {x ∈ H : ha, xi ≥ λ} được gọi là nửa không gian đóng trên.d) H− = {x ∈ H : ha, xi ≤ λ} được gọi là nửa không gian đóng dưới

Hình 1.4: Nửa không gian đóng.

Nhận xét 1.1 a) Một siêu phẳng sẽ chia không gian thành hai nửa không gian.

b) Các nửa không gian là các tập lồi

Định nghĩa 1.6 Cho S ⊂ H khác rỗng và x nằm trên biên của S Siêu phẳng

H = {x ∈ H : ha, x − xi = 0, a 6= 0, a ∈ H}

được gọi là siêu phẳng tựa của S tại x nếu

S ⊆ H+, tức là ha, x − xi ≥ 0 ∀x ∈ S,hoặc

S ⊆ H−, tức là ha, x − xi ≤ 0 ∀x ∈ S

Nhận xét 1.2 Định nghĩa 1.6 có thể phát biểu tương đương như sau: Siêu phẳng

H = {x ∈ H : ha, x − xi = 0}

là siêu phẳng tựa của S tại x nằm trên biên của S nếu

ha, xi = inf {ha, xi : x ∈ S} ,hoặc

ha, xi = sup {ha, xi : x ∈ S}

Nhận xét 1.3 Mỗi điểm biên của một tập lồi đều có một siêu phẳng tựa đi qua.

1.1.3 Phép chiếu metric

Cho H là không gian Hilbert thực và K là tập con lồi, đóng, khác rỗng của

H Với mọi x ∈ H, tồn tại duy nhất một điểm trong K, ký hiệu là PK(x) saocho

kx − PK (x)k = inf {kx − yk : y ∈ K}

Ánh xạ PK: H → K

x 7→ PK(x)được gọi là phép chiếu metric của H lên K

Mệnh đề 1.2 Phép chiếu metric PK có các tính chất sau:

a) hx − PK(x) , y − PK(x)i ≤ 0 ∀x ∈ H và y ∈ K;

b) kPK(x) − PK (y)k ≤ kx − yk ∀x, y ∈ H (tính không giãn);

c) hx − y, PK(x) − PK(y)i ≥ kPK(x) − PK(y)k2 ∀x, y ∈ H (tínhđồng bức);

d) kx − yk2 ≥ kx − PK(x)k2 + ky − PK(x)k2 ∀x ∈ H và y ∈ K

Hình 1.5: Tính không giãn của phép chiếu metric.

1.1.4 Sự hội tụ yếu, hội tụ mạnh trong không gian Hilbert

Định nghĩa 1.7 Cho không gian Hilbert thực H.

a) Dãy xk ⊂ H được gọi là hội tụ yếu tới điểm x ∈ H nếu ∀y ∈ H dãy

k hội tụ tới hy, xi Ta gọi x là giới hạn yếu của dãy xk và viết

xk * x Nếu dãy con {xnk} ⊆ xk hội tụ yếu tới x thì x được gọi là điểm

tụ yếu của dãy xk

b) Ta nói xk hội tụ mạnh tới x nếu lim

Mệnh đề 1.3 Dãy hội tụ yếu có các tính chất sau:

a) Nếu dãy xk ⊂ H hội tụ yếu thì nó có đúng một giới hạn yếu,

b) Nếu dãyxk ⊂ H hội tụ yếu thì nó bị chặn,

c) Nếu dãy xk ⊂ H bị chặn thì nó chứa một dãy con hội tụ yếu,

d) Nếu dãy xk

⊂ H bị chặn và có đúng một điểm tụ yếu x ∈ H thì

xk * x,

e) Nếu dãy xk hội tụ mạnh tới x ∈ H thì nó hội tụ yếu tới x ∈ H,

f) Nếu dãy xk hội tụ yếu trong không gian Hilbert H hữu hạn chiều thì

nó cũng hội tụ mạnh

Chiều ngược lại của e) không đúng Ta xét phản ví dụ sau:

Ví dụ 1.3 Cho H = `2 vàxk ⊂ H sao cho:

xk = (0, 0, 0, · · · , 1, 0, · · · ) ∀k ∈ N

↑

Vị trí thứ kVới mọi y = y1, y2, · · · , yk, · · ·
∈ H∗ = `2, ta có:

k, y = yk

→ 0 khi k → ∞

Do đó xk * 0 khi k → ∞ Tuy nhiên xk không hội tụ mạnh vì xk = 1với mọi k ∈ N

1.2 Định lý điểm bất động Banach, Brouwer

Định lí 1.1 (Banach, 1922) Cho X là một không gian metric đầy đủ và T :

X → X là một ánh xạ co Khi đó T có một điểm bất động duy nhất x∗ ∈ X.

Hơn nữa, với mọi x ∈ X,Tkx → x∗ khi k → ∞.

Định lý Banach đúng với mọi không gian metric đầy đủ do đó trong trườnghợp đặc biệt nó đúng cho tất cả các tập con đóng của một không gian Hilbert.Định lý Banach có những ưu điểm nổi bật: ngoài sự tồn tại, nó còn cho ta tínhduy nhất, phương pháp tìm điểm bất động và đánh giá được độ chính xác tạimỗi bước lặp Tuy nhiên, điều kiện co là khá ngặt Việc nghiên cứu về điểm bấtđộng của ánh xạ không giãn sẽ phức tạp hơn nhiều so với ánh xạ co Nó đòi hỏiphải có những công cụ đặc biệt Dưới đây, chúng tôi xin trình bày một số định

lý điểm bất động cổ điển

Định lí 1.2 (Brouwer, 1912) Cho C là một tập con lồi, compact, khác rỗng của

một không gian Hilbert hữu hạn chiều H và T : C → C là một ánh xạ liên tục Khi đó T có một điểm bất động.

Định lý điểm bất động Brouwer tương đương với nguyên lý ánh xạ KKM sauđây

Định lí 1.3 Cho C là một tập hợp trong không gian véctơ tôpô tách X và F :

Khi đó Tki=1F xi
6= ∅ với mọi x1, x2, x3, · · · , xk ⊂ C Ngoài ra nếu tồn

tại x0 ∈ C sao cho F x0
compact thì T

x∈C

F (x) 6= ∅

Định lý điểm Brouwer được mở rộng cho trường hợp không gian vô hạnchiều như sau

Định lí 1.4 (Schauder, 1930) Cho C là một tập con lồi, compact khác rỗng của

một không gian Banach và T : C → C là một ánh xạ liên tục Khi đó T có một điểm bất động.

Đối với các ánh xạ không giãn trong một không gian Hilbert H, tính compactcủa C ⊂ H trong định lý Schauder có thể thay thế bởi tính bị chặn của C

Định lí 1.5 (Browder–G¨ohde–Kirk, 1965) Cho C là một tập con lồi, đóng, bị

chặn, khác rỗng của không gian Hilbert thực H và T : C → C là một ánh xạ không giãn Khi đó T có một điểm bất động.

Khác với định lý Banach, các định lý Browder–G¨ohde–Kirk, Schauder vàBrouwer chỉ cho ta sự tồn tại của điểm bất động

1.3 Tính đơn điệu

Định nghĩa 1.8 Giả sử K là một tập con lồi, đóng, khác rỗng trong không gian

Hilbert thực H Toán tử F : K → H được gọi là

a) đơn điệu mạnh trên K nếu tồn tại δ > 0 sao cho

Ví dụ 1.5 Cho 0 < r < R, đặt K = B (r) : {x ∈ H : kxk ≤ r} và F được

cho bởi

hF (x) , y − xi := hK (x) , y − xi + (R − kxk) hG (x) , y − xi ,

trong đó K và G thỏa mãn các điều kiện sau:

a) hK (x) , y − xi ≤ 0, ∀x, y ∈ K và G là β− đơn điệu mạnh trên K,b) ∃y0 ∈ K sao cho

K (0) , y0 0
, −y0 = 0,

R 0 + R − y0 0
, −y0 > 0

Giả sử hF (x) , y − xi ≥ 0, do hK (x) , y − xi ≤ 0 nên ta có:

hG (x) , y − xi ≥ 0

Suy ra hG (y) , x − yi ≤ −β ky − xk2 (do G đơn điệu mạnh)

Theo định nghĩa của hF (x) , y − xi ta có: ∀x, y ∈ K,

hF (y) , x − yi = hK (y) , x − yi + (R − kyk) hG (y) , x − yi

≤ − (R − r) β ky − xk2.Suy ra F giả đơn điệu mạnh trên K Hơn nữa, theo (ii) ta có:

+ 0
, −y0 + R − y0 0
, −y0 > 0

Do đó F không đơn điệu

1.4 Ánh xạ hemi-liên tục

Định nghĩa 1.9 Giả sử K là một tập con lồi, đóng, khác rỗng trong không gian

Hilbert thực H và F : K → H là một ánh xạ Khi đó F được gọi là hemi-liêntục nếu với mọi x, y ∈ K và z ∈ H, hàm

λ 7→ hz, F (λx + (1 − λ) y)i

từ [0, 1] vào R là hàm liên tục

Ví dụ 1.6 Cho K = H = R2 và ánh xạ F : K → H xác định bởi F (x, y) =(f1(x, y) , 0) trong đó

Dễ thấy f1(x, y) liên tục khắp nơi trừ gốc tọa độ, tại đó nó liên tục theo bất

kỳ đường thẳng nào đi qua gốc tọa độ Do đó F hemi-liên tục nhưng không liêntục tại gốc tọa độ Hơn nữa dễ thấy F là giả đơn điệu nhưng không đơn điệu Đểthấy F không đơn điệu ta lấy u = (1, 2) và v = (2, 1) khi đó F (1, 2) = 12, 0
,

F (2, 1) = 14, 0
và

F (1, 2)−F (2, 1) =  1

4, 0

, (1, 2)−(2, 1) = (−1, 1) , (2, 1)−(1, 2) = (1, −1)

Suy ra F giả đơn điệu nhưng không đơn điệu.

1.5 Bất đẳng thức biến phân và sự tồn tại nghiệm

1.5.1 Mô tả bài toán

Cho K là một tập con khác rỗng của H và ánh xạ F : K → H Bài toán tìm

x ∈ K sao cho

được gọi là bài toán bất đẳng thức biến phân và được ký hiệu là VIP(K, F )

Về mặt hình học, véctơ x là nghiệm của VIP(K, F ) nếu và chỉ nếu F (x) tạothành một góc không tù với véctơ y − x với mọi y ∈ K

Tập hợp các nghiệm của VIP(K, F ) được kí hiệu là Sol(K, F)

Ví dụ 1.7 Trong R, xét tập K = [1; 5] ⊂ R và ánh xạ F : [1; 5] → R được xác

định bởi:

F (y) = y − 1 ∀y ∈ [1; 5] Khi đó, VIP(K, F ) là bài toán tìm x ∈ [1; 5] sao cho

hx − 1, y − xi ≥ 0 ∀y ∈ [1; 5] (1.2)

Ta chứng tỏ rằng: Sol(K, F) = {1} Thật vậy, hiển nhiên x = 1 là mộtnghiệm Nếu 0 < x < 1 thì (1.2) chỉ thỏa mãn với y ≤ x Ngược lại, nếu x > 1thì (1.2) chỉ thỏa mãn với y ≥ x Điều đó chứng tỏ x = 1 là nghiệm duy nhất.Sau đây chúng ta sẽ trình bày mối quan hệ giữa VIP(K, F ) và nón pháp tuyếncủa một tập lồi

Mệnh đề 1.4 Cho K là một tập con lồi, đóng, khác rỗng của H và cho ánh xạ

F : K → H Khi đó x là nghiệm của bất đẳng thức biến phân VIP(K, F ) khi vàchỉ khi −F (x) ∈ NK(x), trong đó NK(x) là nón pháp tuyến của K tại x

Nói cách khác, x là nghiệm của bất đẳng thức biến phân VIP(K, F ) khi vàchỉ khi:

0 ∈ F (x) + NK(x)

Mệnh đề 1.5 Cho ánh xạ F : H → H Véctơ x ∈ H là nghiệm của bất đẳng

thức biến phân VIP(K, F ) khi và chỉ khi F (x) = 0

Chứng minh. Giả sử F (x) = 0 khi đó

1.5.2 Các bài toán liên quan

Bất đẳng thức biến phân có liên hệ mật thiết với nhiều bài toán khác như: bàitoán bù phi tuyến, bài toán tối ưu, bài toán điểm bất động,

Bài toán bù phi tuyến

Định nghĩa 1.10 Cho K là một nón lồi, đóng trong H và ánh xạ F : K → H.

Bài toán bù phi tuyến (nonlinear complementarity problem) là bài toán sau đây:

Tìm x ∈ K sao cho F (x) ∈ K∗ và hF (x), xi = 0

trong đó K∗ là nón đối ngẫu của K Ký hiệu bài toán là NCP(K, F )

Mệnh đề 1.6 Nếu K là một nón lồi, đóng trong H thì bài toán NCP(K, F )

tương đương với bài toán VIP(K, F ) theo nghĩa tập nghiệm của các bài toánnày trùng nhau

Chứng minh. Giả sử x ∈ K là nghiệm của bài toán VIP(K, F ) Theo định nghĩa

Hay x là nghiệm của bài toán VIP(K, F ).

Bài toán tối ưu

Cho K ⊂ H là tập lồi, đóng, khác rỗng và f : K → R là một ánh xạ khả vi.Bài toán tối ưu được phát biểu như sau:

Tìm x ∈ K sao cho f (x) = min {f (x) : x ∈ K} (1.7)

Mệnh đề 1.7 Nếu x ∈ K là nghiệm của bài toán tối ưu (1.7) thì x là nghiệm

của bài toán VIP(K, F ) với F = ∇f (đạo hàm của f )

Chứng minh. Với y ∈ K bất kỳ, do K lồi nên x + λ (y − x) ∈ K với λ ∈ [0; 1].Xét hàm ϕ: [0; 1] → R xác định bởi

Chứng minh. Giả sử rằng x ∈ K là nghiệm của bài toán VIP(K, F ) nhưngkhông là nghiệm của bài toán tối ưu (1.7) Khi đó tồn tại vectơ y ∈ K sao cho

f (y) < f (x) Do tính giả lồi của f , ta có

h∇f (x), y − xi < 0,mâu thuẫn với giả thiết x là nghiệm của bài toán VIP(K, F )

Bài toán điểm bất động

Cho K ⊂ H là một tập lồi, đóng, khác rỗng và ánh xạ T : K → K Bài toánđiểm bất động được phát biểu như sau:

Tìm x ∈ K sao cho T (x) = x (1.8)Tập hợp tất cả các điểm bất động của ánh xạ T được ký hiệu là F ix(T )

Mối quan hệ giữa bài toán VIP(K, F ) với bài toán điểm bất động (1.8) được

mô tả bởi mệnh đề sau

Mệnh đề 1.9 Giả sử ánh xạ F được xác định bởi

Suy ra

F (x) = x − T (x) = 0Hay

hF (x), x − xi = 0

Suy ra điều phải chứng minh

Mệnh đề 1.10 Cho K ⊂ H là một tập lồi, đóng, khác rỗng Khi đó x ∈ K

là nghiệm của bài toán VIP(K, F ) khi và chỉ khi với mọi γ > 0, x là điểm bấtđộng của ánh xạ PK(I − γF ): K → K, tức là

PK (x − γF (x)) = xtrong đó PK(x − γF (x)) là hình chiếu của x − γF (x) trên K, I là ánh xạ đồngnhất trên H

Chứng minh. Giả sử x là nghiệm của bài toán VIP(K, F ) Theo định nghĩa tacó:

Do đó, x là nghiệm của bài toán VIP(K, F )

1.5.3 Sự tồn tại nghiệm của bài toán bất đẳng thức biến phân

Định lí 1.6 Cho K là một tập lồi, compact, khác rỗng trong H và F : K → H

là ánh xạ liên tục Khi đó, bài toán VIP(K, F ) có ít nhất một nghiệm.

Chứng minh. Vì PK và I − γF là các ánh xạ liên tục với mọi γ > 0 nên

PK ◦ (I − γF ) cũng là một ánh xạ liên tục xác định trên một tập lồi, compact,khác rỗng K Theo định lý điểm bất động Brouwer PK◦ (I − γF ) có một điểmbất động Theo Mệnh đề 1.10, bài toán VIP(K, F ) có ít nhất một nghiệm

Trong trường hợp tập K không bị chặn, định lý về điểm bất động Brouwerkhông áp dụng được Khi đó, sự tồn tại nghiệm của bài toán VIP(K, F ) có thểđược thiết lập theo cách khác Ký hiệu B (0, r) là hình cầu đóng tâm 0 bán kính

r > 0 trong không gian Hilbert H và đặt

Kr = K ∩ B (0, r) Khi đó, Kr bị chặn Bài toán bất đẳng thức biến phân xác định trên Kr, kýhiệu là VIP(Kr, F ) là bài toán

Tìm xr ∈ Kr sao cho hF (xr), y − xri ≥ 0 ∀y ∈ Kr.Nếu Kr 6= ∅ và K là tập con lồi đóng trong H thì Kr

lồi, compact, khácrỗng Hơn nữa, nếu F : K → H là ánh xạ liên tục thì theo Định lý 1.6, bài toánVIP(Kr, F ) luôn có nghiệm

Định lí 1.7 Cho K ⊂ H là một tập lồi, đóng, khác rỗng và F : K → H là ánh

xạ liên tục Khi đó, bài toán VIP(K, F ) có nghiệm khi và chỉ khi tồn tại r > 0

và xr là nghiệm của bài toán VIP(Kr, F ) sao cho kxrk < r

Chứng minh. Giả sử x là nghiệm của bài toán VIP(K, F ) Khi đó lấy r > 0 saocho kxk < r thì x là nghiệm của bài toán VIP(Kr, F )

Ngược lại, giả sử tồn tại r > 0 và xr là nghiệm của bài toán VIP(Kr, F ) saocho kxrk < r Lấy y ∈ K tùy ý Vì kxrk < r nên có thể chọn λ > 0 đủ nhỏ saocho

ω = xr + λ(y − xr) ∈ Kr

Do đó

0 ≤ hF (xr), ω − xri = λ hF (xr), y − xri

Vì y ∈ K tùy ý nên xr là nghiệm của bài toán VIP(K, F )

Định lí 1.8 Cho K là một tập lồi, đóng, khác rỗng trong H và F : K → H là

ánh xạ liên tục thỏa mãn

0), x − x0

kx − x0k → ∞ khi kxk → ∞, x ∈ K, x0 ∈ K (1.9)

Khi đó, bài toán VIP(K, F ) luôn có nghiệm.

Chứng minh. Chọn s > F (x0) và r > x0 sao cho

0

), x − x0 ≥ s x − x0 ∀ kxk ≥ r, x ∈ K

Khi đó

0 ≥ s x − x0 + 0), x − x0

≥ s x − x0 − F (x0) x − x0

≥ s − F (x0)
kxk − x0
> 0 với kxk = r (1.10)Giả sử xr ∈ Kr là nghiệm của bài toán VIP(Kr, F ) Khi đó

r), xr − x0 r), x0 − xr ≤ 0

Từ (1.10) suy ra kxrk 6= r Do đó kxrk < r Theo Định lý 1.7 ta có điều phảichứng minh

Định lí 1.9 Cho K là một tập khác rỗng trong H và F : K → H đơn điệu chặt.

Khi đó, nghiệm của bài toán VIP(K, F ) nếu tồn tại là duy nhất.

Chứng minh. Giả sử x1 và x2, x1 6= x2 lần lượt là hai nghiệm của bài toánVIP(K, F ) Khi đó

1), y − x1 ≥ 0 ∀y ∈ K, (1.11)

2

), y − x2 ≥ 0 ∀y ∈ K (1.12)Thay y = x2 trong (1.11) và y = x1 trong (1.12) rồi cộng hai vế của hai bấtđẳng thức mới ta được:

1) − F (x2), x2 − x1 ≥ 0

Hay

1) − F (x2), x1 − x2 ≤ 0

Điều này trái với định nghĩa về hàm đơn điệu chặt Do đó x1 = x2

Nhận xét 1.4 Tính đơn điệu chặt không đảm bảo sự tồn tại nghiệm của bài toán

VIP(K, F ) Ví dụ, xét K = {x ∈ R : x ≥ 0} và F (x) = −e−x − 1 Khi đó Fđơn điệu chặt nhưng không tồn tại x ∈ K thỏa mãn F (x) ≥ 0 Do đó khôngtồn tại x ∈ K sao cho bài toán VIP(K, F ) được thỏa mãn

Định lí 1.10 Cho K là một tập con lồi, đóng, khác rỗng trong H và ánh xạ liên

tục F : K → H Nếu F đơn điệu mạnh thì bài toán VIP(K, F ) tồn tại duy nhất một nghiệm.

Chứng minh. Do F là ánh xạ đơn điệu mạnh nên với x0 ∈ K, tồn tại σ > 0 saocho

0), x − x0

kx − x0k ≥ σ x − x

0 ∀x ∈ K

Điều này kéo theo rằng F thỏa mãn điều kiện bức (1.9) Theo Định lý 1.8 thìbài toán VIP(K, F ) có nghiệm Vì F đơn điệu mạnh nên F đơn điệu chặt, theođịnh lý (1.9), bài toán VIP(K, F ) có nghiệm duy nhất.

Năm 1962, Minty đã bổ sung thêm tính chất nghiệm của bài toán VIP(K, F )dưới dạng nghiệm của bài toán bất đẳng thức biến phân Minty (MVIP(K, F ))như sau:

Tìm x ∈ K sao cho hF (y), y − xi ≥ 0 ∀y ∈ K,trong đó F : K → H và K là tập con khác rỗng của H

Trong bài toán MVIP(K, F ) điều quan trọng là bất đẳng thức phải được thỏamãn tại F (y) với mọi y ∈ K còn trong bài toán VIP(K, F ), bất đẳng thức chỉcần đúng cho điểm F (x) với x ∈ K là nghiệm của bài toán

Bổ đề 1.1 (Bổ đề Minty) Cho K là một tập con lồi, đóng, khác rỗng của H và

hF (x + λ (y − x)) , y − xi ≥ 0 ∀λ ∈ [0, 1]

Do F hemi-liên tục, ta có

hF (x) , y − xi ≥ 0 ∀y ∈ K

Vì vậy, x ∈ K là một nghiệm của bài toán VIP(K, F )

(b) Rõ ràng mỗi nghiệm của bài toán VIP(K, F ) là một nghiệm của bài toánMVIP(K, F ) bởi tính giả đơn điệu của F

Bổ đề 1.2 Cho K là một tập con lồi, đóng, khác rỗng của H và F : K → H

là một ánh xạ hemi-liên tục và giả đơn điệu Khi đó tập nghiệm của bài toánVIP(K, F ) lồi và đóng

Chứng minh. Theo Bổ đề Minty, tập nghiệm của bài toán VIP(K, F ) trùng vớitập nghiệm của bài toán MVIP(K, F ) Do đó, ta chỉ cần chứng minh tập nghiệmcủa bài toán MVIP(K, F ) lồi và đóng.

Giả sử x vàx là hai nghiệm của bài toán MVIP(K, F ) Khi đó, với mọi y ∈b

K ta có

hF (y) , y − xi ≥ 0 và hF (y) , y −xi ≥ 0.bNhân bất đẳng thức đầu tiên với λ ∈ [0, 1] và nhân bất đẳng thức thứ hai với

1 − λ rồi cộng hai vế của hai bất đẳng thức mới ta được

Vì hF (y) , y − xmi → hF (y) , y − xi khi m → ∞ nên hF (y) , y − xi ≥ 0

và do đó x là nghiệm của bài toán MVIP(K, F ) Suy ra tập nghiệm của bài toánMVIP(K, F ) đóng

Định lí 1.11 Cho K là một tập con lồi, compact, khác rỗng của H và F :

K → H là một ánh xạ hemi-liên tục và giả đơn điệu Khi đó, bài toán VIP(K, F )

có một nghiệm.

Chứng minh. Xây dựng hai ánh xạ đa trị P , Q: K → 2K

P (y) = {x ∈ K : hF (x) , y − xi ≥ 0} ∀y ∈ K,

Q (y) = {x ∈ K : hF (y) , y − xi ≥ 0} ∀y ∈ K

Khi đó P là ánh xạ KKM Thật vậy, giả sử y1, y2, · · · , ym là tập hợp conhữu hạn của K và x ∈ coe y1, y2, · · · , ym
Ta có x =e Pmi=1λiyi trong đó

λi ≥ 0 với mọi i = 1, 2, · · · , m vàPm

i=1λi = 1 Nếux /e∈ ∪m

i=1P yi
thìe

Theo Bổ đề Minty x cũng là nghiệm của bài toán VIP(K, F ).

1.5.4 Phương pháp chiếu gradient

Nhiều phương pháp giải bài toán bất đẳng thức biến phân đã được đề xuấttrong vòng 50 năm trở lại đây, trong đó phương pháp chiếu gradient là phươngpháp nổi tiếng được sử dụng nhiều vì sự đơn giản của nó Các kết quả hội tụ củaphương pháp này là nền tảng cho việc nghiên cứu các phương pháp phức tạphơn

Giả sử K là tập con lồi, đóng, khác rỗng của không gian Hilbert thực H và

Bước 3: Nếu xm+1 = xm thì dừng thuật toán Ngược lại, gán m: = m + 1 và

quay lại Bước 2.

Bổ đề 1.3 Nếu xm+1 = xm thì xm là nghiệm của bài toán VIP(K, F )

Chứng minh. Nếu xm+1 = xm thì xm = PK(xm − γF (xm

)) Theo Mệnh

đề 1.10 ta có xm là nghiệm của bài toán VIP(K, F )

Định nghĩa 1.11 Cho K là tập con lồi, đóng, khác rỗng của không gian Hilbert

thực H Ánh xạ F : K → H được gọi là liên tục Lipschitz trên K nếu tồn tạihằng số L > 0 sao cho

kF (x) − F (y)k ≤ L kx − yk ∀x, y ∈ K

Định lí 1.12 Cho K là tập con lồi, đóng, khác rỗng của không gian Hilbert

thực H và F : K → H là ánh xạ đơn điệu mạnh với hằng số σ > 0 và liên tục Lipschitz với hằng số k > 0 Nếu {xm} là dãy lặp sinh bởi Thuật toán 1.1 với

γ ∈ 0, 2σ/k2
thì nó hội tụ tới nghiệm duy nhất x của bài toán VIP(K, F ).

Chứng minh. Giả sử bài toán VIP(K, F ) có duy nhất nghiệm x ∈ K Khi đó,theo Mệnh đề 1.10 ta có

≤ 1 − 2γσ + γ2k2
kxm− xk2.Suy ra

xm+1 − x ≤ θ kxm− xk ,trong đó θ = p1 − 2γσ + γ2k2 Với γ ∈ 0, 2σ/k2
thì θ ∈ (0, 1) và do đó xm

hội tụ tới x

Định nghĩa 1.12 Cho K là tập con khác rỗng của không gian Hilbert thực H.

Ánh xạ F : K → H được gọi là đơn điệu mạnh ngược với hằng số µ > 0 nếuvới mỗi cặp điểm x, y ∈ K ta có

hF (x) − F (y) , x − yi ≥ µ kF (x) − F (y)k2

Nhận xét 1.5 Ánh xạ đơn điệu mạnh ngược là ánh xạ đơn điệu nhưng chưa

chắc đã là ánh xạ đơn điệu mạnh Tuy nhiên, ánh xạ đơn điệu mạnh và liên tụcLipschitz là ánh xạ đơn điệu mạnh ngược Hơn nữa, F là ánh xạ đơn điệu mạnhngược với hằng số µ tương đương ánh xạ ngược F−1 đơn điệu mạnh và F liêntục Lipschitz với hằng số 1/µ Ngoài ra, nếu F là ánh xạ đơn điệu mạnh vớihằng số σ và liên tục Lipschitz với hằng số k thì F là ánh xạ đơn điệu mạnhngược với hằng số µ = σ/k2 Ánh xạ đơn điệu chưa chắc đã là ánh xạ đơn điệumạnh ngược Ví dụ, xét ánh xạ F : [1, ∞) → R xác định bởi F (x) = x2 Khi

đó, F đơn điệu nhưng không đơn điệu mạnh ngược Tuy nhiên, nếu K = [0, ∞)thì ánh xạ F (x) = x2 đơn điệu mạnh ngược nhưng không đơn điệu mạnh

Bổ đề 1.4 Cho K là tập con lồi, đóng, khác rỗng của không gian Hilbert thực

H và F : K → H là ánh xạ đơn điệu mạnh ngược với hằng số µ khi đó ánh xạ

T (x) = x − PK(x − γF (x)) (1.13)

là ánh xạ đơn điệu mạnh ngược với hằng số µ0 = 1 − 4µγ trong đó γ ∈ (0, 4µ)

Chứng minh. Giả sử x, y ∈ K tùy ý và u = T (x), v = T (y) Khi đó

h(u − γF (x)) − (v − γF (y)) , (x − u) − (y − v)i

Chứng minh. Đặt G = F − µI Với mọi x, y ∈ K ta có

kF (y) − F (x)k2 = kG (y) − G (x) + µy − µxk2

= kG (y) − G (x)k2 + 2µ hG (y) − G (x) , y − xi + µ2ky − xk2

≤ β2 + µ2
ky − xk2

+ 2µ hG (y) − G (x) , y − xi

≤ 2µ h(G (y) + µy) − (G (x) + µx) , y − xi Suy ra

hF (y) − F (x) , y − xi ≥ 1

2µkF (y) − F (x)k2,tức là F − µI liên tục Lipschitz

Định lí 1.13 Cho K là tập con lồi, đóng, khác rỗng của không gian Hilbert

thực H và F : K → H là ánh xạ đơn điệu mạnh ngược với hằng số µ > 0 Giả

sử Sol(K, F) khác rỗng khi đó nếu {xm} là dãy lặp sinh bởi Thuật toán 1.1 với

γ ∈ (0, 2µ) thì nó hội tụ tới x ∈ Sol(K, F).

Chứng minh. Giả sử x ∈ Sol(K, F ) Khi đó, theo Bổ đề 1.4 ánh xạ T xác địnhnhư (1.13) là ánh xạ đơn điệu mạnh ngược với hằng số µ0 = 1 − 4µγ Do đó

lim

m→∞T (xm) = 0

Lấy một điểm giới hạn tùy ý x của {xe m}, do F liên tục ta có T (x) = 0.eTheo Mệnh đề 1.10, x là nghiệm của bài toán VIP(K, F ) Thay x bằngex trongbất đẳng thức trên và từ tính đơn điệu giảm của khoảng cách kxm −xk ta cóe

lim

Chương 2 Phương pháp extragradient giải bài toán

bất đẳng thức biến phân

2.1 Giới thiệu phương pháp và minh họa hình học

Phương pháp extragradient lần đầu tiên được Korpelevich đề xuất để giải bàitoán tìm điểm yên ngựa, sau đó được phát triển cho bài toán bất đẳng thức biếnphân Phương pháp extragradient cho phép giải bài toán bất đẳng thức biến phânkhông cần giả thiết đơn điệu mạnh của hàm F mà chỉ yêu cầu hàm này thỏa mãnđiều kiện giả đơn điệu và liên tục Lipschitz Các kiến thức trong chương này chủyếu được lấy trong tài liệu [14]

Thuật toán 2.1 (Thuật toán extragradient)

Cho u0 ∈ K và {αk} ⊂ [a, b] với 0 < a ≤ b < 1

và gán k := k + 1 rồi quay lại Bước 2.

Hình 2.1: Minh hoạ hình học của phương pháp extragradient

Bổ đề 2.1 Nếu uk = uk trong Thuật toán 2.1 thì uk ∈ Sol(K, F)

2.2 Sự hội tụ của phương pháp extragradient

2.2.1 Kết quả hội tụ mạnh

Chouk là dãy lặp được sinh bởi Thuật toán 2.1 ta có kết quả cơ bản sau:

Bổ đề 2.2 Cho K là tập con lồi, đóng, khác rỗng trong không gian Hilbert thực

H và ánh xạ F : K → H giả đơn điệu và liên tục Lipschitz trên K với hằng số

L > 0 Giả sử u∗ là một nghiệm của bài toán VIP(K, F ) khi đó với mọi k ∈ N

ta có

uk+1 − u∗ 2 ≤ uk − u∗ 2 − 1 − α2kL2 uk − uk 2 (2.2)

Chứng minh. Do tính chất của phép chiếu metric, với mọi u ∈ H ta có

hu − Pk(u) , v − Pk(u)i ≤ 0 ∀v ∈ K (2.3)Vì

ku − vk2 = k(u − Pk(u)) − (v − Pk(u))k2

= ku − Pk(u)k2 + kv − Pk(u)k2 − 2 hu − Pk(u) , v − Pk(u)i