Bài tập toán cơ sở Đại Học Kinh Tế Huế

Điều kiện cần Giải hệ phương trình để tìm các điểm dừng... Điều kiện cần Giải hệ phương trình để tìm các điểm dừng Bước 2.. Điều kiện cần Giải hệ phương trình tìm điểm dừng... Điều kiện

BÀI TẬP CHƯƠNG I ỨNG DỤNG HÀM SỐ MỘT BIẾN TRONG PHÂN TÍCH KINH TẾ

Bài 1 Cho 2

( )

f x  , ( ) 2x x

g x  Hãy tìmf g x ( ) , f f x , g g x   và g f x   Đáp số

Tìm giá cân bằng thị trường của hàng hóa đó?

Bài 4 Cho hàm cung và hàm cầu của một loại hàng hóa là





Chứng tỏ luôn tồn tại giá cân bằng trong khoảng  3;5

Bài 5 Cho hàm doanh thu của một doanh nghiệp là

2

TR Q  Q Q Q Xác định hàm doanh thu bình quân của doanh nghiệp và hàm cầu của hàng hóa đó ? Hướng dẫn

Bài 7 Một dự án đòi hỏi vốn đầu tư ban đầu $6000 và sẽ đem lại $10000 sau 5 năm

Trong điều kiện lãi suất tiền gửi ngân hàng là 9% một năm, có nên đầu tư vào dự án đó hay không? Tính NPV của dự án đó ?

Bài 9 Một công ty đề nghị bạn góp vốn $3500 và đảm bảo sẽ trả cho bạn $750 mỗi năm

liên tiếp trong 7 năm Bạn có chấp nhận góp vốn hay không với lãi suất 9% một năm ? Hướng dẫn

Bài 10 Một dự án đòi hỏi chi phí ban đầu 40 triệu đồng và sẽ đem lại 10 triệu sau 1

năm, 20 triệu sau 2 năm và 30 triệu sau 3 năm Dự án đó có lợi về mặt kinh tế hay không nếu lãi suất hiện hành là 10% một năm ?

Bài 11 Một dự án đòi hỏi phải đầu tư ban đầu $7500 và sau một năm sẽ đem lại cho

bạn $2000 mỗi năm, liên tiếp trong 5 năm Hãy tính giá trị hiện tại ròng của dự án đó trong điều kiện lãi suất 12% một năm Có nên thực hiện dự án đó hay không?

   hay f liên tục tạix 0

2 f không có đạo hàm tại điểm x 0

Theo định nghĩa

1 sin 0

Đặt 2 *

0,

n n

   hay f liên tục tại x 0

2 f có đạo hàm tại điểm x 0

Theo định nghĩa

2

1 sin 0

2 3



Đáp số

a  n x 

y e xn ; b    

  1

1 ! 1

n n

n

n y

x 





Bài 17 Tính vi phân của hàm số y 2





 Hướng dẫn

Bài 21 Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số

a y x 2lnx trên đoạn 1,e b arctan1

1

x y

x





 trên đoạn  0,1 Đáp số

2 2

2 1 1

x y

Bài 25 Tìm hàm lợi nhuận bình quân và hàm lợi nhuận cận biên, cho biết hàm tổng lợi

Bài 29 Cho biết hàm tổng chi phí và hàm tổng doanh thu Hãy xác định mức sản

lượng cho lợi nhuận tối đa:

Bước 1: Lập hàm lợi nhuận

Bước 2: Điều kiện cần

Mức sản lượng cho lợi nhuận tối đa (nếu có) là nghiệm dương của phương trình:

'

0 MR Q( ) MC Q( )

Bước 3: Điều kiện đủ

Tại mức sản lượng Q 0 0thỏa mãn điều kiện cần ta chứng tỏ '' 

CHƯƠNG II HÀM SỐ NHIỀU BIẾN SỐ

Bài 1 Cho hàm số f x y( , ) x2 y2

xy



 Hãy tính f2, 3   và f(1, 0) Đáp số

Bài 5 Tìm miền xác định của các hàm số sau và biểu diễn trên mặt phẳng

lim ( , y)

x y

f x





   không tồn tại Thật vậy,

Dọc theo đường y=x, khi    x y , 0, 0 ta có: 44

0 0

x y

x x

1 1

x y

0

2

x y xy

w x y Hướng dẫn

a

 

2 2

y x x

y z

z y z

Vậy ta có điều phải chứng minh

Bài 18 Cho u arctan y

Vậy ta có điều phải chứng minh

Bài 19 Cho ( , )x y là một hàm số có các đạo hàm riêng và

2 sin 3 sin cos

a Tính dz

Bước 1 Điều kiện cần

Giải hệ phương trình để tìm các điểm dừng

Bước 1 Điều kiện cần

Giải hệ phương trình để tìm các điểm dừng

Bước 2 Điều kiện đủ

Tính các đạo hàm riêng cấp hai:

  nên điểm dừng Q Q 1 , 2 20, 20là điểm cho lợi

nhuận cực đại Lợi nhuận tối đa là:

Bước 1 Xác định hàm lợi nhuận

Hàm cầu ngược của sản phẩm 1: 1 

Bước 2 Điều kiện cần

Giải hệ phương trình tìm điểm dừng

Bước 3 Kiểm tra điều kiện đủ

Tính các đạo hàm riêng cấp hai:

Bước 1 Lập hàm lợi nhuận

Bước 2 Điều kiện cần

Giải hệ phương trình để tìm các điểm dừng

Bước 3 Kiểm tra điều kiện đủ

Bài 28 Tìm cực trị có điều kiện của hàm số theo phương pháp nhân tử Lagrange

a f x y( , )  xy với điều kiện x y 1

Giải hệ phương trình để tìm các điểm dừng

  Bước 3 Kiểm tra điều kiện đủ

Bước 3 Điều kiện đủ

Tại điểm dừng M1 1; 2 ứng với 1 1

nên M1 1; 2 là điểm cực đại

Tại điểm dừng M  2 1; 2 ứng với 2 1

nên M  2 1; 2 là điểm cực tiểu

c f x y( , )  với điều kiện x2 y2 1

x y  Hướng dẫn

  Bước 3 Điều kiện đủ

  :

1 1 0

  Bước 3 Điều kiện đủ

  :

2 2 2 2 0

i f x y z( , , )  x 2y 2z với điều kiện x2   , y2 z2 9

j f x y z( , , )   với điều kiện x2 y2 z2 x22 y22 z22 1

k f x y z( , , )xy z3 3 với điều kiện x 2y 3za (x 0,y 0,z 0,a 0)

Bài 29 Cho biết hàm lợi ích tiêu dùng

Giả sử giá của các mặt hàng tương ứng là p 1 2$,p 2 5$ và thu nhập dành cho tiêu dùng

là51$ Hãy xác định lượng cầu đối với mỗi mặt hàng nếu người tiêu dùng tối đa hoá lợi ích của mình

Hướng dẫn

Tìm cực đại của hàm số U x x 1 , 2x x1 2  x1 x2 với điều kiện 2x15x2 51

Lập hàm Lagrange: L x x 1 , 2 ,x x1 2   x1 x2 51 2  x1  5x2,

: nhân tử Lagrange

Bước 2 Điều kiện cần

Giải hệ phương trình để tìm các điểm dừng

 

Bước 3 Kiểm tra điều kiện đủ

Tính các đạo hàm cấp hai tại điểm dừng 27 24,

2 5

U U 

Bài 30 Cho biết hàm lợi ích tiêu dùng

  0,6 0,25

1 , 2 1 2

Giả sử giá của các mặt hàng tương ứng là p 1 8$,p 2 5$ và thu nhập dành cho tiêu dùng

là 680$ Hãy xác định lượng cầu đối với mỗi mặt hàng nếu người tiêu dùng tối đa hoá lợi ích của mình

Bước 2 Điều kiện cần

Giải hệ phương trình tìm các điểm dừng:

0,15 0,6

Suy ra M60, 40là điểm cực đại Vậy người tiêu dùng đạt lợi ích tối đa khi sử dùng 60

đơn vị hàng hóa thứ nhất, 40 đơn vị hàng hóa thứ hai Giá trị của lợi ích cực đại trong trường hợp này là

  0,6  0,85 max

a Hãy đánh giá hiệu quả của việc tăng quy mô sản xuất

b Giả sử giá thuê tư bản là 6$, giá thuê lao động là 2$ và doanh nghiệp tiến hành sản

xuất ngân sách cố định 384$ Hãy cho biết doanh nghiệp đó sử dụng bao nhiêu đơn vị

tư bản và bao nhiêu đơn vị lao động thì thu được sản lượng tối đa ?

Hướng dẫn

a Doanh nghiệp sản xuất có hiệu quả giảm theo quy mô

b

Bước 1 Xác định bài toán

Tìm giá trị cực đại của hàm số   0,3 0,5

Bước 2 Điều kiện cần

Giải hệ phương trình tìm các điểm dừng

Bước 3 Kiểm tra điều kiện đủ

Bài 32 Một doanh nghiệp có hàm sản xuất

0,7 0,110

Q K L

a Hãy đánh giá hiệu quả của việc tăng quy mô sản xuất

b Giả sử giá thuê tư bản là 28$, giá thuê lao động là 10$ và doanh nghiệp tiến hành sản xuất với ngân sách cố định 4000$ Hãy cho biết doanh nghiệp đó sử dụng bao nhiêu đơn

vị tư bản và bao nhiêu đơn vị lao động thì thu được sản lượng tối đa ?

Hướng dẫn

a Doanh nghiệp sản xuất có hiệu quả giảm theo quy mô

b

Bước 1 Xác định bài toán

Tìm giá trị cực đại của hàm số 0,7 0,1

10

Q K L với điều kiện 28K 10L 4000

Bước 2 Điều kiện cần

Bước 3 Điều kiện đủ

CHƯƠNG III ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN TRONG PHÂN TÍCH KINH TẾ

Bài 31 Sử dụng bảng tích phân cơ bản và phương pháp khai triển, hãy tính các tích phân

1

x dx x

a

3 2

2 3

1

1  2x 1 dx

Đáp số



Đáp số

Bài 42 Cho biết chi phí cận biên ở mỗi mức sản lượng Q

Bài 46 Cho biết xu hướng tiêu dùng cận biên MPC = 0,8 ở mọi mức thu nhập Y và C =

40 khi Y = 0 Xác định hàm tiêu dùng C(Y) ?

Hướng dẫn

Ta có

 2 2

113Q Q 2Q 1 Q    Q 56 0 Q  thỏa mãn yêu cầu 7 Q 0,

Suy ra giá cân bằng là p 0 64

Thặng dư của người tiêu dùng

M  dxdy

BÀI TẬP CHƯƠNG IV PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN Bài 1 Chứng minh rằng hàm số 5

1 12

1 1

y e

2 1

x x

Ce y

b Giải phương trình vi phân tuyến tính thuần nhất cấp 1: y'   y 0 y C e x ;

Nghiệm tổng quát của phương trình không thuần nhất có dạng y C x e ( ) x Ta có,

' '( ) x ( ) x

y C x e C x e , Thay y và y vào phương trình không thuần nhất ta được '

Sử dụng phương pháp biến thiên hằng số,   2

nghiệp tổng quát của phương trình đã cho là: y Cx 2 với C là hằng số tùy ý x

 x 0: thỏa mãn bài toán,

 y 0: thỏa mãn bài toán,

x y

Cx



 với C là hằng số tùy ý

Bài 5 Giải các phương trình vi phân tuyến tính cấp 1 sau

 x 0 không thỏa mãn phương trình

 x 0: ta được phương trình tuyến tính sau

2 2

4 3

4

3 2

a.(2 y dx)   (3 x dy)  0 b.(x y x dy2  ) (xy2y dx)  0

c

2 2

4' 3 14 x

y x

b,c,d,e,f và g Tương tự câu a

Bài 10 Tìm nghiệm của các bài toán Cauchy sau đây

Bài tập a,b,c và d giải tương tự

Bài 11 Tìm nghiệm tổng quát của các phương trình vi phân sau:

 với điều kiện (0)y  3

b Tìm một nghiệm riêng của phương trình y' 3 y   13cos 2x

Ta đươc nghiệm thỏa mãn điều kiện ban đầu y(0)  1 là:

Bước 2 Sử dụng phương pháp biến thiên hằng số

Xem C C là các hàm số theo 1, 2 x, tìm nghiệm tổng quát của phương trình không thuần nhất có dạng:

Vậy nghiệm tổng quát của phương trình đã cho là:

1 2

yC e C e  với C C1, 2là hai hằng số tùy ý

Bài 17 Giải các phương trình vi phân

y  x y Hướng dẫn

a,b Phương trình Bernoulli

Bài 19 Giải các phương trình vi phân

Vậy nghiệm tổng quát là:   ln x 1