Copula và sự tương quan trong rủi ro tín dụng

Mô hình CreditMetrics sử dụng các giá trị của các tài sản và sự tương quan giữa chúng để mô hình hóa sự phụ thuộc về rủi ro vỡ nợ thông qua hàm phân phối đồng thời của chúng giả thiết có

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI

LỜI CẢM ƠN

Lời đầu tiên, tôi xin bày tỏ lòng biết ơn đến PGS.TS Trần Trọng Nguyên, người đã giúp tôi định hướng chọn đề tài và nhiệt tình hướng dẫn để tôi có thể hoàn thành luận văn đúng thời hạn

Tôi cũng xin gửi lời cảm ơn chân thành tới các thầy cô giáo giảng dạy chuyên ngành Lý thuyết Xác suất và Thống kê Toán học, Trường Đại học Sư phạm Hà Nội đã cho tôi những kiến thức chuyên ngành, giúp tôi có được lý thuyết vững vàng và tạo điều kiện giúp đỡ tôi trong quá trình học tập tại trường

Cuối cùng, tôi xin cảm ơn cha mẹ, anh chị và các bạn học đã động viên tôi để tôi có thể hoàn thành luận văn này

Hà Nội, tháng 6 năm 2017

Tác giả luận văn

PHẠM MINH THÚY

LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan bản luận văn này là kết quả nghiên cứu của cá nhân tôi Các số liệu và tài liệu được trích dẫn trong luận văn là trung thực Kết quả nghiên cứu này không trùng với bất cứ công trình nào đã được công bố trước đó

Trong quá trình nghiên cứu và thực hiện luận văn, tác giả đã kế thừa những kết quả của các nhà khoa học với sự trân trọng và biết ơn

Tôi chịu trách nhiệm với lời cam đoan của mình

Hà Nội, tháng 6 năm 2017

Tác giả luận văn

PHẠM MINH THÚY

MỤC LỤC

Trang

MỞ ĐẦU 1

CHƯƠNG 1: KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 3

1.1 Một số khái niệm xác suất 3

1.2 Một số khái niệm tài chính 4

1.2.1 Danh mục đầu tư (portfolio) 4

1.2.2 Chứng khoán 5

1.3 Hợp đồng hoán đổi rủi ro tín dụng 5

1.3.2 Hợp đồng nợ có thế chấp CDO 7

CHƯƠNG 2: COPULA VÀ SỰ PHỤ THUỘC NGẪU NHIÊN 12

2.1 Giới thiệu về Copula 12

2.2 Độ đo sự phụ thuộc 18

2.3 Sự tương quan 22

2.4 Sự phụ thuộc đuôi 29

CHƯƠNG 3: MÔ HÌNH LI CHO SỰ TƯƠNG QUAN PHÁ SẢN 31

3.1 Ý tưởng cơ bản của Mô hình Li 31

3.2 Sự tương quan trong Mô hình Li 34

3.2.1 Định giá tài sản và Sự tương quan 35

3.2.2 Độ đo tương quan cho mô hình Li 38

3.3 Phụ thuộc đuôi trong các mô hình Copula 40

3.4 Định phí bảo lãnh phát hành của các phân ngạch CDO 46

3.4.1 Thuật toán cho việc định phí bảo lãnh phát hành của các phân ngạch CDO 51

3.4.2 Một số kết quả 48

KẾT LUẬN 52

PHỤ LỤC 53

TÀI LIỆU THAM KHẢO 55

Mô hình CreditMetrics sử dụng các giá trị của các tài sản và sự tương quan giữa chúng để mô hình hóa sự phụ thuộc về rủi ro vỡ nợ thông qua hàm phân phối đồng thời của chúng (giả thiết có phân phối Gauss) Tuy nhiên, việc xác định phân phối đồng thời của các tài sản không hề dễ dàng và không phải lúc nào cũng có phân phối Gauss Lý thuyết về copula và cụ thể hơn là công trình toán học của nhà toán học Abe Sklar giúp ta giải quyết vấn đề này

Lý thuyết này đã truyền cảm hứng cho một nhà toán học người Trung Quốc là David Xianglin Li và ông đã thành lập nên một mô hình thống kê vững chắc cho sự phụ thuộc về rủi ro vỡ nợ trong mô hình CreditMetrics Sự thành công

về lý luận của ông trong bài báo với tựa đề “On Default Correlation: A Copula Funtion Approach” đã đưa mô hình CreditMetric vào việc định giá phái sinh tín dụng phức tạp

Với mong muốn làm rõ những vấn đề trên luận văn nghiên cứu về

“Copula và sự tương quan trong Rủi ro tín dụng”

2 MỤC TIÊU NGHIÊN CỨU

Nghiên cứu về mô hình copula của Li và những giả định quan trọng dựa trên nó Đồng thời so sánh mô hình Gauss copula của Li với mô hình

Student t-copula để thấy được những thiếu sót của chúng

2

3 ĐỐI TƯỢNG VÀ PHẠM VI NGHIÊN CỨU

 Nghiên cứu Copula và sự phụ thuộc ngẫu nhiên (stochastic dependence) trong mô hình rủi ro tín dụng

 Ứng dụng mô hình định giá CDO bằng phương pháp copula của

Li dựa trên chỉ số trái phiếu i-Traxx Europe về các hợp đồng hoán đổi rủi ro tín dụng CDS

4 PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU

 Tổng hợp tài liệu: Nghiên cứu tài liệu, tham khảo các bài báo, các giáo trình liên quan đến Copula và sự tương quan trong Rủi ro tín dụng

5 NỘI DUNG

Luận văn được chia thành ba chương:

Chương I: Kiến thức chuẩn bị

Chương II: Copula và Sự phụ thuộc ngẫu nhiên

Chương III: Mô hình của Li cho sự tương quan phá sản

6 ĐÓNG GÓP MỚI

So sánh hai mô hình Gauss copula và Student t, qua đó thấy ưu và

nhược điểm của từng mô hình thông qua việc định giá một công cụ phái sinh tài chính Hợp đồng nợ có thế chấp ( Collateralised Debt Obligation – viết tắt

là CDO)

3

Chương 1: KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

1.1 Một số khái niệm xác suất

Giả sử X là biến ngẫu nhiên xác định trên không gian xác suất  , , P và nhận giá trị trên

Định nghĩa 1.1.1 (Hàm phân phối) Hàm số F X x P X x với x , được

gọi là hàm phân phối của biến ngẫu nhiên X

Định nghĩa 1.1.2 (Hàm mật độ) Một hàm phân phối xác suất F x  của biến

ngẫu nhiên X được gọi là liên tục tuyệt đối nếu có một hàm Borel f x  sao cho

  x  



 với x Hàm f x  thỏa mãn điều kiện như trên được gọi là hàm mật độ của X

Định nghĩa 1.1.3 (Phân phối chuẩn) Biễn ngẫu nhiên X được gọi là có phân

phối chuẩn với các tham số a, 2 

0

   (còn viết  2

,

X a  ), nếu hàm mật độ của nó có dạng

2

2 2

1 2

Phân phối  0,1 còn được gọi là phân phối chuẩn chính tắc

Định nghĩa 1.1.4 (Hàm phân phối đồng thời) Hàm phân phối đồng thời của

biến ngẫu nhiên n chiều X X1 , ,X n được xác định bởi

Định nghĩa 1.1.5 (Hàm phân phối biên) Hàm phân phối biên của biến ngẫu

nhiên n chiều X X1 , ,X n được xác định bởi

Định nghĩa 1.1.6 (Phân phối elliptic) Một biến ngẫu nhiên X d-chiều được

gọi là có phân phối elliptic nếu và chỉ nếu tồn tại một vector   d, một ma trận nửa xác định dương  d d , và một hàm số  :   sao cho hàm đặc trưng t X t của X  tương ứng với mỗi hàm t t' t với t d

Ví dụ: Một số phân phối elliptic mà ta đã biết như phân phối chuẩn hay phân

phối Gauss, phân phối Student t, phân phối Laplace, phân phối Cauchy…

Để tìm hiểu thêm về phân phối elliptic, ta có thể tìm trong Cambanis, Huang

và Simons [1]

1.2 Một số khái niệm tài chính

Để hiểu được việc mô hình hóa các rủi ro tín dụng, ta cần phải hiểu rõ sự quan trọng của mỗi khái niệm tài chính Trong phần này, ta sẽ định nghĩa về các khái niệm Chứng khoán, Hợp đồng nợ có thế chấp (CDO) và Hợp đồng hoán đổi rủi ro tín dụng (CDS)

1.2.1 Danh mục đầu tư (portfolio)

Ta đã biết trong đầu tư tài chính, mỗi đồng vốn bỏ vào kinh doanh phải không ngừng vận động và không ngừng sinh lời Nhà đầu tư bỏ vốn vào kinh doanh ngày hôm nay luôn hy vọng trong tương lai sẽ nhận được những khoản tiền thu nhập cao hơn tương xứng với những khoản tiền họ bỏ ra Do đó, để hạn chế những rủi ro trong kinh doanh, các nhà đầu tư sẽ không chỉ đầu tư chỉ vào một khoản đầu tư duy nhất mà sẽ đầu tư vào nhiều loại tài sản khác nhau ví

dụ như: bất động sản, vàng, ngoại tệ, hay chính những công cụ phái sinh tài chính… tạo thành một danh mục đầu tư

5

Định nghĩa (Danh mục đầu tư) là sự kết hợp của hai hay nhiều chứng khoán

hoặc tài sản trong đầu tư

1.2.2 Chứng khoán

Chứng khoán là những chứng chỉ xác nhận quyền và lợi ích hợp pháp cho việc sở hữu tài sản hoặc phần vốn của tổ chức phát hành Chứng khoán được thể hiện bằng hình thức chứng chỉ, bút toán ghi sổ hoặc dữ liệu điện tử

Chứng khoán bao gồm các loại: cổ phiếu, trái phiếu, chứng chỉ quỹ đầu tư, chứng khoán phái sinh Nơi giao dịch chứng khoán được gọi là thị trường chứng khoán Thị trường chứng khoán được thực hiện chủ yếu tại sở giao dịch chứng khoán và thông qua các công ty môi giới chứng khoán Về mặt hình thức, thị trường chứng khoán là nơi diễn ra các hoạt động mua bán, trao đổi các loại chứng khoán, thị trường chứng khoán là thị trường thứ cấp nên sẽ không có tiền mới phát sinh ra mà chỉ là thay đổi quyền sở hữu giữa người mua và người bán

1.3 Hợp đồng hoán đổi rủi ro tín dụng

Định nghĩa

1.3.1.1

Hợp đồng hoán đổi rủi ro tín dụng (Credit Default Swap – viết tắt là CDS) là một công cụ phái sinh1 nhằm cung cấp một bảo hiểm phòng ngừa rủi ro phá sản

hiểm

Trả một khoản phí hợp đồng

Trả một khoản bồi thường LGD

Định giá CDS

1.3.1.2

Để định giá một hợp đồng CDS ta đƣa ra một loại rủi ro trung tính2

với kỳ

hạn thanh toán M Mô hình định giá này không chỉ đƣợc sử dụng để tính toán

phí CDS phí bảo lãnh phát hành (spread)3 của CDS mà còn để hiệu chuẩn xác suất phá sản cho mô hình của Li [7] Các giả định chính cho mô hình định giá

là: Quá trình lãi suất kết hợp với hệ số chiết khấu phi rủi ro DF và quá trình sống sót S dùng để mô tả xác suất phá sản; hai quá trình này độc lập với nhau

Hơn nữa, các khoản phí bên bán bảo hiểm phải trả cho bên mua đƣợc thanh toán ngay sau khi phá sản Có hai nhánh trong mô hình định giá, một là phí

bảo hiểm (premium leg) và hai là phí bảo đảm (protection leg) Giả sử T là

biến ngẫu nhiên mô tả thời gian phá sản Cho S t : 1  F t P T  1 là hàm

sống sót, là xác suất thực thể phá sản tại thời điểm t, khi đó phí bảo hiểm sẽ

E s DF t S t dT t





với s là phí bảo lãnh phát hành, DF t  là hệ số chiết khấu phi rủi ro tại thời

điểm t và K là số lần thanh toán trong thời hạn hợp đồng Do đó, với

0

0 t , ,t K M là các khoảng chia của giai đoạn tính từ thời điểm bắt đầu tới

tời hạn thanh toán M Hệ số DF t  khấu trừ cho mỗi lần thanh toán trong tương lai vào giá trị hiện tại của nó Hệ số  được gọi là day-count4 và nó phụ thuộc vào việc có bao nhiêu lần thanh toán trong một năm Phí bảo đảm được định nghĩa bởi

   0       

với R là mức bồi thường của bên mua Giá trị phí bảo lãnh phát hành s được

xác định bởi công thức (1.1) và (1.2) như sau

M

K t

t i

R E DF t S t dF t s

Cả phí bảo hiểm Premleg và phí bảo đảm Protleg đều không chứa giá trị gốc

P, bởi vì phí bảo lãnh phát hành s được tính bởi P

4 Nếu việc thanh toán một năm một lần,  =1; nếu là nửa năm  =1/2; nếu là ba tháng một lần,  =1/4

5

Tranche là một từ tiếng Pháp, mang nghĩa là lớp, phân ngạch

8

Những nhà đầu tư ở phân ngạch cơ bản (hay phân ngạch vốn cổ phần) sẽ phải chịu mức lỗ đầu tiên, thêm vào đó sẽ phải chịu mức rủi ro lớn nhất; còn ở phân ngạch cao cấp sẽ chịu mức rủi ro thấp nhất Đổi lại, những lớp rủi ro nhất lại được nhận những khoản thanh toán coupon cao hơn những lớp còn lại, mang lại lợi nhuận cao hơn Điều này cho thấy đầu tư vào các phân ngạch cao cấp không phải lúc nào cũng là sự lựa chọn tốt nhất

Có hai loại CDO cơ bản, đó là CDO tiền mặt (cash) và CDO tổng hợp (synthetic)

 CDO tiền mặt bao hàm một danh mục đầu tư tài sản tiền mặt, chẳng hạn như các khoản vay, trái phiếu công ty, chứng khoán tài sản hay chứng khoán thế chấp Quyền sở hữu các tài sản này được chuyển giao cho pháp nhân (gọi là phương tiện mục đích đặc biệt SPV) phát hành các phân ngạch của CDO Rủi ro mất mát các tài sản này được chia đều cho các phân ngạch theo thứ tự ngược của độ cao cấp

 CDO tổng hợp bao gồm một danh mục đầu tư các tài sản thu nhập cố định mà không sở hữu những tài sản này, thông qua việc sử dụng các hoán đổi rủi ro tín dụng CDS (Trong một hoán đổi như vậy, người bán bảo vệ tín dụng, nhận các thanh toán tiền mặt định kỳ, được gọi là phí bảo hiểm, để đổi lấy thỏa thuận về giả định rủi ro tổn thất trên một tài sản cụ thể trong trường hợp tài sản đó trải qua vỡ nợ hoặc sự kiện tín dụng khác) Như một CDO tiền mặt, nguy cơ tổn thất trên danh mục đầu tư của CDO được chia thành các phân ngạch Các thiệt hại đầu tiên

sẽ ảnh hưởng đến các phân ngạch vốn cổ phần, tiếp theo các phân ngạch cấp thấp, và cuối cùng là các phân ngạch cấp cao

Ví dụ Ngân hàng Goldman Sachs, sau khi ký hợp đồng cho vay với 15 nhà

máy với lãi suất 4%, đã quyết định phát hành CDO dựa trên những khoản vay

9

này để bán lại và từ đó chuyển rủi ro vỡ nợ sang phía người mua CDO được phát hành thành 3 loại gồm an toàn, bình thường và rủi ro Đối với loại an toàn, mức lãi suất nhà đầu tư nhận được chỉ là 1,5% Đối với loại bình thường, mức chi trả là 3% Người mua CDO loại rủi ro sẽ nhận được mức lãi suất 7% như một sự đền bù Nếu một hoặc nhiều nhà máy lâm vào tình trạng phá sản, số tiền thu hồi từ những khoản vay còn lại sẽ được thanh toán lần lượt theo thứ tự ưu tiên: nhóm an toàn, nhóm bình thường rồi mới đến nhóm rủi ro Về phần Goldman, ngân hàng này sẽ nhận được chênh lệch 1,5% từ việc phát hành CDO

Như lịch sử đã cho thấy, lợi thế của CDO có thể trở thành bất lợi trong tình trạng kinh tế đang gặp nhiều khó khăn Những tổn thất có thể đột ngột phát sinh, ẩn giấu sự thay đổi về sự ổn định kinh tế vĩ mô Vì thế, việc tính toán phí bảo lãnh phát hành của các phân ngạch là điều cần thiết và cần phải đánh giá được sự tương quan giữa các loại tài sản trong một danh mục tài sản Nhận xét một cách trực quan, phí bảo lãnh phát hành và mối tương quan phá sản là tương quan dương Mặc dù điều này đúng với các phân ngạch cấp cao, nhưng lại không đúng đối với các phân ngạch cơ sở theo mô hình Gauss copula Tương quan càng cao thì xác suất phá sản đồng thời càng cao (đồng nghĩa với tổn thất càng lớn) nhưng cũng có thể tỉ lệ phá sản thấp, hay tổn thất

ít Một mặt, tổn thất nhỏ không ảnh hưởng đến phí bảo lãnh phát hành của các phân ngạch cao cấp, do những khoản thua lỗ được tính cho các phân ngạch cơ

sở, tuy nhiên, xác suất tổn thất lớn tăng sẽ làm giảm phí bảo lãnh phát hành của các phân ngạch cơ sở Hình 1.2 cho ta thấy được mối quan hệ giữa sự tương quan phá sản và phí bảo lãnh phát hành của các phân ngạch

10

Hình 1.2 Mối quan hệ giữa phí bảo lãnh phát hành của các phân ngạch và tương

quan phá sản trong mô hình Gauss copula Nguồn: Meissner [9]

Định giá CDO

1.3.2.2

Giả sử có N thực thể trong danh mục tài sản Hàm tổn thất tổng L t  của danh

mục tài sản tại thời điểm t được tính bằng



với R i là lãi suất thu hồi, P i là giá trị gốc và T i là thời gian phá sản của thực

thể i Cho   , lần lượt là điểm attachment và detachment6, khi đó hàm tổn thất tích lũy ,  

6 Attachment point và detachment point là hai điểm đại diện cho mức độ tổn thất của mỗi phân ngạch Attachment xác định giới hạn dưới, detachment xác định giới hạn trên

K t

t i

,

1 1

.

i i

M

K t

t i

E DF t dL t s

12

Chương 2: Copula và sự phụ thuộc ngẫu nhiên

Ở chương này, chúng ta sẽ giới thiệu lý thuyết copula và phát biểu những mối liên hệ giữa hàm nối copula và hàm phân phối Ta chứng minh được rằng với mỗi biên liên tục thì chỉ tồn tại duy nhất một hàm nối copula Đây chính nội dụng của định lý Sklar và là trọng tâm trong mô hình Li Hơn nữa, ta xem xét những tính chất phù hợp cho độ đo phụ thuộc và sẽ thấy được một vài tính chất trái ngược nhau Cùng với đó, chúng ta thảo luận về một vài độ đo phụ thuộc, ví dụ như tương quan Pearson hay còn gọi là tương quan tuyến tính, 2

độ đo tương quan hạng và kiểm tra những tính chất mà chúng có Sau cùng, ta

sẽ tìm hiểu về hệ số phụ thuộc đuôi cho các biến ngẫu nhiên và giới thiệu một vài tính chất phù hợp cho mô hình Li copula

2.1 Giới thiệu về Copula

Từ copula bắt nguồn từ nghĩa Latin, có nghĩa là sợi dây, sự liên kết hoặc kết nối Qua đó ta hiểu, thông qua copula, người ta có thể kết nối hoặc ghép đôi những phân phối biên duyên vào cùng một phân phối đa biến Đây là ý tưởng

cơ bản đằng sau hàm nối copula Li [7] sử dụng một số copula, đặc biệt là copula Gauss, để tạo ra một cấu trúc phụ thuộc giữa các phân phối biên duyên Sự tồn tại của các copula này được chỉ ra qua định lý Sklar về copula của các biến ngẫu nhiên liên tục

Định nghĩa 2.1 (Copula của vector X, Joe [5]) Một copula C của một vector

ngẫu nhiên X X1 , ,X nlà một hàm phân phối n chiều của vector ngẫu

nhiên Y F X1 ( 1 ), ,F X n( n), với F i là những hàm phân phối biên của X i với

1, ,

i n

Một ví dụ khác cũng có thể được tìm trong Joe [5], chương 5

 Một hàm copula hay được sử dụng là copula sống sót Cˆ Trong trường hợp hai biến, nó được định nghĩa như sau

 1 2 1 2  1 2

Bổ đề 2.3 Cho X X X1 , 2 là một vector ngẫu nhiễn với hàm phân phối H và

các F F1, 2 lần lượt là các phân phối biên duyên khi đó

Ví dụ sau xem như là một hệ quả của Bổ đề 2.3 cho những hàm phân phối

biên có cùng phân phối chuẩn của một hàm copula n-chiều, miền xác định của

nó là một khối siêu lập phương [0,1]n Do đó, miền xác định và miền giá trị

của một hàm copula n-chiều, hoặc một copula C có dạng

   : 0,1n 0,1

Hơn nữa, phân phối biên đồng dạng có dạng

1, ,1, , ,1i  i 1, ,

14

Định lý 2.4 (Định lý Sklar) Cho F là một hàm phân phối n-chiều cùng với

các hàm phân phối biên F1, ,F n Khi đó tồn tại một hàm copula C sao cho với  x n,

 1 , , n  1 1 , , n n .

Copula C được xác định một cách duy nhất trong (2.2) nếu những phân phối biên F1, ,F n là liên tục Nếu F1, ,F n không liên tục, C chỉ được xác định duy nhất trên Ran F 1 Ran F n , với Ran F i là tập giá trị của hàm số F i Ngược lại, nếu C là một copula và F1, ,F n là hàm phân phối đơn biến, thì hàm phân phối F được định nghĩa trong (2.2) là một hàm phân phối đa biến cùng với các phân phối biên F1 , ,F n

Lưu ý: Trong chứng minh dưới đây chỉ xét tới trường hợp biên liên tục và

chứng minh sự tồn tại và duy nhất của copula Điều ngược lại cũng được chứng minh cho những biên liên tục Chứng minh đầy đủ có thể tìm trong Schweizwer và Sklar [13] và Nelson [11]

Chứng minh Sự tồn tại, Cho X X X1 , 2 , ,X n là một vector ngẫu nhiên cùng

với hàm phân phối F và các biên liên tục F1, ,F n Khi F i liên tục với mọi i, ta

   1  1  

15

Đây là một biểu diễn duy nhất nên C là duy nhất Trái lại, cho C là một copula

và F1, ,F n là những hàm phân phối đơn biến duy nhất Giả sử vector

Để dễ hiểu, trong phần giải thích của định lý Sklar, chúng ta có thể định nghĩa

một copula duy nhất cho một hàm phân phối đa biến F nếu biên là liên tục

Chúng ta cần biết hàm phân phối đồng thời của những rủi ro tín dụng X1, ,X n

để xác định hàm copula Mệnh đề đảo trong định lý Sklar chỉ rõ rằng với một

copula có thể xác định một hàm phân phối đa biến F cùng với các biên

1 , , n

F F thông qua phương trình (2.2) Điều đó có nghĩa rằng hàm phân phối này là một hàm phân phối tùy ý và không phải lúc nào phân phối của bất kỳ biến ngẫu nhiên nào cũng có cùng phân phối biên F1, ,F n Điều này có nghĩa rằng định lý Sklar không đưa ra bất kỳ kết quả nào trong việc mô hình hóa hàm phân phối cho các dữ liệu với hàm phân phối chưa biết

Hệ quả 2.5 Cho X1 , ,X n là một vector ngẫu nhiên với các phân phối biên liên tục F1 , ,F n Hơn nữa cho h1, ,h n là những hàm tăng ngặt Nếu C là một copula của X, thì C cũng phải là copula của một vector ngẫu nhiên

Định lý này cũng đúng trong trường hợp nhiều chiều Để tìm hiểu rộng hơn

có thể tham khảo trong Nelson [11], mục 2.5 Bổ đề dưới đây có thể tìm trong McNeil [8]

Bổ đề 2.7 Cho X X1 , 2 là một vector ngẫu nhiên cùng với hàm phân phối

đồng thời F và các biên liên tục là F 1 và F 2, sao cho

Chú ý : Trong định nghĩa 2.8,  là một ma trận tương quan và chứa những

tham số cho mô hình Gauss copula Ma trận này là một phương pháp để xem

xét tính phụ thuộc giữa các biến, chúng ta sẽ thảo luận trong phần 2.2.2

Theo định lý Sklar, hàm copula Gauss được viết lại như sau

C cho copula Gauss

Định nghĩa 2.9 (t-copula) t-copula t,

với t n là phân phối Student t n-chiều với trung bình không và t1 là hàm

ngược của phân phối Student t đơn biến với  bậc tự do

với t là phân phối Student t đơn biến với  bậc tự do Trường hợp với

t-copula hai biến, ta viết t,

C  Có nhiều vấn đề được thảo luận sâu hơn về copula và cấu trúc phụ thuộc có thể tìm thấy trong Joe [5] Đối với những

và sự phụ thuộc đuôi Với một số tính chất, ta sẽ thấy rằng chúng mâu thuẫn với nhau Ví dụ, một độ đo phụ thuộc  không thể cùng lúc bất biến, với h là

Phần chứng minh cho ví dụ này sẽ được trình bày dưới đây

Định nghĩa 2.10 (Tính đồng đơn điệu – comonotonic) Một vector ngẫu nhiên

n-chiều X X1 , ,X n là đồng đơn điệu nếu tồn tại một biến ngẫu nhiên Z và

hàm tăng ngặt h i với i 1, ,n sao cho

X1, ,X nd h Z1 , ,h Z n   (2.6)

Định nghĩa 2.11 (Tính đơn điệu nghịch – countermonotonic) Vector ngẫu

nhiên X X X1 , 2 là đơn điệu nghịch nếu với mỗi biến ngẫu nhiên Z không

đổi sao cho

X X1 , 2d h Z1   ,h Z2 ,

19

với h1 là hàm tăng ngặt và h2là hàm giảm ngặt, hoặc ngƣợc lại

Bổ đề 2.12 Cho X X1 , ,X n là một vector ngẫu nhiên liên tục n-chiều cùng với hàm phân phối H và những hàm phân phối biên F i với i 1, ,n Vector ngẫu nhiên X là đồng đơn điệu nếu và chỉ nếu

1 1

, , min min

Do các hàm phân phối biên F i là liên tục, chúng ta có (2.6)

Bổ đề 2.13 Cho X X X1 , 2 là một vector ngẫu nhiên liên tục với hàm phân

phối H và các hàm phân phối biên F i với i 1, ,n Biến ngẫu nhiên X1 và X2

là đơn điệu nghịch nếu và chỉ nếu

Để hiểu thêm về đồng đơn điệu và đơn điệu nghịch, có thể tham khảo trong Nelson [11], chương 2.4 và 2.5 và trong McNeil [8], chương 5

Trong bảng dưới đây là một số tính chất cơ bản của độ đo  Phần mở rộng

có thể tìm trong Hutchinson và Lai [4], mục 11.4

Bảng 2.1 Một số tính chất của độ đo tương quan 

Kí hiệu cho độ đo phụ thuộc  trong Bảng 2.1 có thể hiểu nhầm X Y,  là một biến ngẫu nhiên Trong trường hợp này thì không đúng, độ đo phụ thuộc

 là một hàm số chiếu không gian phân phối hai chiều X và Y lên

Trong Bảng 2.1, tính chất P4 và P5 là mâu thuẫn với nhau Ta sẽ làm rõ khẳng định này trong định lý dưới đây Định lý dưới đây được tham khảo trong Embrechts [2]

Định lý 2.14 Nếu  là một độ đo phụ thuộc thì nó không thể thỏa mãn cả hai tính chất P4 và P5 cho tất cả các vector ngẫu nhiên X X1 , 2

Chứng minh Đặt X X1 , 2: cos U ,sin U  với U U0, 2 , sao cho

X X1 , 2 d X X1 , 2 Cho  là một độ đo phụ thuộc và giả sử rằng  thỏa mãn P4 và P5 Ta có

22

Do đó X X1 , 2 0 Mặt khác X1 và X2 là phụ thuộc, mâu thuẫn với P5 Các tính chất trong Bảng 2.1 chỉ là một vài tính chất cơ bản cho các độ đo phụ thuộc Tất cả các loại độ đo phụ thuộc đều thỏa mãn một số đặc tính, có thể hiểu mỗi độ đo đều phục vụ một mục đích khác nhau và cho ta thấy sự khác nhau về sự phụ thuộc ngẫu nhiên giữa các biến ngẫu nhiên

2.3 Sự tương quan

Trong phần này chúng ta sẽ thảo luận về những độ đo phụ thuộc phổ biến đó

là sự tương quan Trong thực tế, sự tương quan thường đại diện cho toàn bộ

cấu trúc phụ thuộc Một điều dễ bị nhầm lẫn đó là những biến ngẫu nhiên là độc lập khi tương quan giữa chúng đều là tương quan không Trong tài chính,

độ đo Pearson thường được sử dụng, nó khá đơn giản và rất dễ áp dụng Ngoài ra còn có hai hệ số tương quan hạng khác được quan tâm là  (rho) của Spearman và  (tau) của Kendall Trong Bảng 2.1 đã liệt kê các tính chất của các độ đo tương quan Với hàm phân phối bất kì, hệ số tương quan Pearson chỉ thỏa mãn 2 tính chất trong Bảng 2.1 Mặc dù trong độ đo Gauss, tương quan Pearson có lợi thế hơn các độ đo khác, nó thỏa mãn hầu hết các tính chất trong Bảng 2.1 và phụ thuộc vào những phân phối biên Ta xác định được rằng hai hệ số tương quan  và  đều thỏa mãn P1 và P4, với biên liên tục Hơn nữa, ta còn chứng minh được rằng độ đo tương quan hạng phụ thuộc vào hàm copula Tính chất này có thể được sử dụng như một công cụ tốt để so sánh các cấu trúc phụ thuộc giữa các họ copula

Lưu ý: Ta xem xét hàm phân phối cho hai biến để nghiên cứu về tính chất của

nhiều độ đo tương quan, vì chỉ sự phụ thuộc của 2 biến là đo được

Định lý 2.16 Nếu H là một hàm phân phối hai biến với phân phối biên F 1 và

F 2, thì tương quan Pearson p thỏa mãn P1 và P2 (Bảng 2.1)

Chứng minh Tính chất P1 pX Y,  pY X,  hiển nhiên có được từ định nghĩa của p Việc chứng minh tính chất P2 dựa vào bất đẳng thức Cauchy-Schwarz

số của phương trình bậc hai và hệ số tự do là những số không âm Do đó, ta

có

2

4Cov X X,  4Var X Var X  0.

Chia cả hai vế cho 4 arV    X V1 ar X2 ta được  

Định lý 2.17 Nếu H là một hàm phân phối hai biến cùng với phân phối biên

F 1 và F 2, khi đó tương quan Pearson p không thỏa mãn P3 và P5

Chứng minh Để chứng minh tính chất P3, ta dựa vào Định lý A.2 (Phụ lục) Với tính chất P4 ta cho một phản ví dụ Giả sử X1 N 0,1 khi đó ta có

Lưu ý Độ đo tương quan tuyến tính p không thỏa mãn P4, mặc dù nó là bất

biến với mọi ánh xạ tuyến tính tăng ngặt Cho X 1 và X 2 là các biến ngẫu nhiên, khi đó

Định lý 2.18 (Hoeffding) Giả sử X X1 , 2 là một vector ngẫu nhiên cùng hàm

phân phối H và phân phối biên F 1 và F 2 Nếu E X X1 2 ,E X1 ,E X2  , khi đó

Hệ quả 2.19 Giả sử X X1 , 2 là một vector ngẫu nhiên cùng một copula duy

nhất C và hàm phân phối biên F 1 và F 2 Nếu E X X1 2 ,E X1 ,E X2  , khi đó

Định nghĩa 2.20 ( Tương quan Spearman p ) Cho X X1 , 2 là một vector

ngẫu nhiên, khi đó tương quan Spearman p được định nghĩa như sau

 1 , 2 3   1 1 2 2 0   1 1 2 2 0 , 

với Y Y1 , 2 và Z Z1 , 2 là những copy độc lập của X X1 , 2

Chú ý: Y 1 và Z 2 là những biến ngẫu nhiên độc lập

Định lý 2.21 Cho X 1 và X 2 là những biến ngẫu nhiên liên tục với copula C

Khi đó tương quan Spearman p cho X X1 , 2 được cho bởi

Chứng minh Tính chất P1 và P2 là hiển nhiên

Với tính chất P3 trước tiên ta chứng minh s   1 X 1 và X 2 là đồng đơn điệu

Theo Định lý 2.21, ta có s   1 C trong (2.10) đạt max Theo Định lý Fréchet Hoeffding’s (Định lý 2.6), C đạt max C x x 1 , 2 minx x1 , 2 Kết hợp

Bổ đề 2.12 ta được điều phải chứng minh Để chứng minh p    1 X 1 và X 2

là đồng đơn điệu ngịch ta chứng minh tương tự như trên

Để chứng minh Spearman p thỏa mãn tính chất P4 ta biểu diễn p, biến đổi

C trong (2.10) và áp dụng hệ quả 2.5 ta được điều phải chứng minh

Định nghĩa 2.3 (Tương quan Kendall k) Cho X X1 , 2 là một biến ngẫu

nhiên độc lập, khi đó Kendall k được xác định bởi

 1 , 2   1 1 2 2 0   1 1 1 2 0 ,

trong đó Y Y1 , 2 là một copy độc lập của X X1 , 2

Định lý 2.24 Cho X 1 và X 2 là hai biến ngẫu nhiên liên tục với copula C Khi

đó Kendall k cho X X1 , 2 được cho bởi