Phương trình lọc tổng quát và ước lượng tuyến tính của quá trình ngẫu nhiên

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘIKHOA TOÁN - TIN ————————–o0o————————– CAO PHƯƠNG NGỌC PHƯƠNG TRÌNH LỌC TỔNG QUÁT VÀƯỚC LƯỢNG TUYẾN TÍNH CỦA QUÁ TRÌNH NGẪU NHIÊN Chuyên ngành : Lý thuyết Xác

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI

KHOA TOÁN - TIN

————————–o0o————————–

CAO PHƯƠNG NGỌC

PHƯƠNG TRÌNH LỌC TỔNG QUÁT VÀƯỚC LƯỢNG TUYẾN TÍNH CỦA QUÁ TRÌNH NGẪU NHIÊN

Chuyên ngành : Lý thuyết Xác suất và Thống kê Toán học

Giảng viên hướng dẫn : PGS.TS Phạm Văn Kiều

HÀ NỘI - 2017

Mục lục

LỜI CẢM ƠN 4

MỞ ĐẦU 6

1 MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 8 1.1 Quá trình ngẫu nhiên 8

1.2 Quá trình Ito, tích phân Ito 9

1.3 Công thức Ito 11

1.4 Điều kiện tồn tại duy nhất nghiệm của phương trình vi phân ngẫu nhiên 11

2 LỌC 13 2.1 Khái niệm lọc 13

2.2 Phương trình lọc tổng quát 14

2.3 Lọc của quá trình Markov khuếch tán 20

2.4 Lọc tuyến tính tối ưu của dãy dừng với phổ hữu tỉ 22

3 ƯỚC LƯỢNG TUYẾN TÍNH CỦA QUÁ TRÌNH NGẪU NHIÊN 31 3.1 Quá trình Wiener theo nghĩa rộng 31

3.2 Ước lượng tuyến tính tối ưu đối với một số lớp của quá trình không dừng 42

3.3 Ước lượng tuyến tính của quá trình dừng yếu theo nghĩa rộng với phổ hữu tỉ 47

3.4 So sánh ước lượng tuyến tính tối ưu và ước lượng phi tuyến 56

PHỤ LỤC 62

KẾT LUẬN 74

TÀI LIỆU THAM KHẢO 75

LỜI CẢM ƠN

Bài toán lọc có vai trò quan trọng trong lý thuyết điều khiển và dự báo Bảnchất của nó là: cho một quá trình ngẫu nhiên hai chiều một phần quan sát được,tại mỗi thời điểm bất kì phải ước lượng được thành phần không quan sát đượctrên cơ sở thành phần quan sát được

Khóa luận này trình bày về phương trình lọc tổng quát và ước lượng tuyến tínhcủa quá trình ngẫu nhiên Nội dung của khóa luận được chia làm 3 chương gồmcác vấn đề sau đây:

Chương 1: Trình bày một số kiến thức chuẩn bị để thực hiện nội dung củachương sau: Quá trình ngẫu nhiên, tích phân Ito, quá trình Ito, phương trình Ito,công thức Ito, điều kiện tồn tại duy nhất nghiệm của phương trình vi phân ngẫunhiên

Chương 2: Trình bày khái niệm lọc, phương trình lọc tổng quát, lọc của quátrình Markov khuếch tán và lọc tuyến tính tối ưu của dãy dừng với phổ hữu tỉ.Chương 3: Trình bày quá trình Wiener theo nghĩa rộng, lọc tuyến tính tối ưuđối với một số lớp của quá trình không dừng, ước lượng tuyến tính của những quátrình ngẫu nhiên dừng theo nghĩa rộng với phổ hữu tỉ

Qua bản khóa luận này, em xin gửi lời cảm ơn đến các thầy cô giáo Khoa Toán

- Tin, Trường Đại học Sư phạm Hà Nội nói chung và các thầy cô giáo ở bộ mônToán ứng dụng nói riêng đã dạy bảo và dìu dắt em trong những năm học vừa qua.Đặc biệt, em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến PGS TS Phạm Văn Kiều, người

đã tận tình chỉ bảo, hướng dẫn và giúp đỡ em trong suốt quá trình làm khóa luận

Em xin cảm ơn gia đình, bạn bè, những người luôn động viên, cổ vũ, giúp đỡ emtrong suốt quá trình học tập để em có thể hoàn thành bản khóa luận này

Do thời gian thực hiện khóa luận không nhiều, kiến thức còn hạn chế nên khilàm khóa luận không tránh khỏi những thiếu sót Em rất mong nhận được sự góp

ý, chỉ bảo tận tình từ thầy cô và bạn bè

Em xin chân thành cảm ơn!

Hà Nội, ngày 29 tháng 05 năm 2017

Tác giả luận văn

Cao Phương Ngọc

MỞ ĐẦU

I LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI

Lý thuyết ước lượng tham số trong thống kê toán học có nhiều phương pháp:phương pháp hợp lý cực trị, phương pháp mômen, phương pháp bình phương tốithiểu hoặc dùng lý thuyết lọc tối ưu Thực chất của lọc tối ưu là dùng kỳ vọngđiều kiện, tức là tìm hàm ước lượngby sao cho E(y − y)b2 → 0 Ta suy raby =E(y/x).Ước lượng này chính là lọc tối ưu Dựa trên cơ sở đó, tác giả tìm ước lượngtham số của quá trình ngẫu nhiên bằng phương pháp sử dụng khái niệm lọc

Vì những lý do trên, đề tài nghiên cứu của luận văn được lựa chọn là: “Phươngtrình lọc tổng quát và ước lượng tuyến tính của quá trình ngẫu nhiên”

II MỤC TIÊU NGHIÊN CỨU

Vận dụng lý thuyết về lọc vào phương trình vi phân ngẫu nhiên và ước lượngtham số của các quá trình ngẫu nhiên

III ĐỐI TƯỢNG NGHIÊN CỨU

• Phương trình lọc tổng quát

• Ước lượng tuyến tính của quá trình ngẫu nhiên

IV PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU

Phương pháp giải tích, lọc tuyến tính tối ưu

V CẤU TRÚC LUẬN VĂN

Nội dung luận văn gồm 75trang trong đó có phần mở đầu, ba chương nội dung,phần kết luận và danh mục tài liệu tham khảo

Chương 1: Trình bày một số kiến thức chuẩn bị để thực hiện nội dung củachương sau: Quá trình ngẫu nhiên, tích phân Ito, quá trình Ito, phương trình Ito,công thức Ito, điều kiện tồn tại duy nhất nghiệm của phương trình vi phân ngẫunhiên

Chương 2: Trình bày khái niệm lọc, phương trình lọc tổng quát, lọc của quátrình Markov khuếch tán và lọc tuyến tính tối ưu của dãy dừng với phổ hữu tỉ.Chương 3: Trình bày quá trình Wiener theo nghĩa rộng, lọc tuyến tính tối ưuđối với một số lớp của quá trình không dừng, ước lượng tuyến tính của những quátrình ngẫu nhiên dừng theo nghĩa rộng với phổ hữu tỉ.

Cuối cùng là phần kết luận trình bày tóm tắt kết quả đạt được

Luận văn được hoàn thành tại Trường Đại học Sư phạm Hà Nội dưới sự hướngdẫn tận tình của PGS TS Phạm Văn Kiều Nhân dịp này em xin cám ơn Thầy

về sự hướng dẫn nhiệt tình và sự truyền thụ những kinh nghiệm trong quá trìnhhọc tập, nghiên cứu và hoàn thành luận văn

Tác giả xin chân thành cảm ơn Phòng Sau Đại học, Ban chủ nhiệm Khoa Toán,các thầy cô giáo Trường Đại học Sư phạm Hà Nội đã giảng dạy và tạo điều kiệnthuận lợi cho em trong quá trình học tập và nghiên cứu khoa học

Xin chân thành cảm ơn các đồng nghiệp đã tạo điều kiện giúp đỡ tôi về mọimặt trong quá trình học tập và hoàn thành bản luận văn này

Bản luận văn chắc chắn không tránh khỏi những khiếm khuyết, vì vậy rất mongđược sự đóng góp ý kiến của các thầy cô giáo và các bạn học viên để luận văn nàyđược hoàn chỉnh hơn

Hà Nội, ngày 10 tháng 06 năm 2017

Tác giả luận văn

Cao Phương Ngọc

Chương 1

MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

1.1 Quá trình ngẫu nhiên

Định nghĩa 1.1.1 (Quá trình ngẫu nhiên)

Quá trình ngẫu nhiên X là một họ các biến ngẫu nhiên X = (X t , t ∈ T ⊂ R)

trong đó T là một tập các chỉ số thực, có thể hữu hạn đếm được hoặc vô hạn khôngđếm được

Nếu T =Z thì X = (Xt) là một dãy biến ngẫu nhiên

Định nghĩa 1.1.2 (Quá trình Wiener)

Cho không gian xác suất(Ω, F ,P) và họ không gian các σ - đại số con{Ft, t ≥ 0}

của σ - đại số F Quá trình ngẫu nhiên W = (Wt, t > 0, Ft) được gọi là quá trìnhWiener tương ứng với họ (Ft, t>0) nếu:

i) Quỹ đạo của W t , t >0 là liên tục với mọi t (hcc)

ii) W = (Wt, Ft)t>0 là martingale bình phương khả tích với W0= 0 và:

E[(Wt − Ws)2/Fs] = t − s, t>s

Định nghĩa 1.1.3 (Quá trình Markov)

Ta nói X = (Xt, t60) là một quá trình Markov nếu với mọi t1 < t2< < tk < t

và với mọi i 1 , , i n ∈ T ta có:

P{Xt= i|Xt1 = i1, Xt2 = i2, , Xtk = ik} =P{Xt = i|Xtk = ik}

Định nghĩa 1.1.4 (Quá trình dừng theo nghĩa hẹp (dừng mạnh))

Quá trình ngẫu nhiên X = (X t , t ∈ T ⊂R1) là quá trình dừng (theo nghĩa hẹp)nếu đối với bất kì sô thực h, phân phối hữu hạn chiều của nó không thay đổi khitịnh tiến một đoạn h, nghĩa là:

φt1, ,tn = φt1+h, ,tn+h

với mọi t1, , tn, t1+ h, , tn+ h ∈ T

Định nghĩa 1.1.5 (Quá trình dừng theo nghĩa rộng (dừng yếu))

Quá trình ngẫu nhiên X = (Xt, t ∈ T ⊂R1) là quá trình dừng (theo nghĩa rộng)nếu tồn tại mômen cấp 1, cấp 2 và nó không thay đổi khi thực hiện phép tịnh tiến,nghĩa là:

Eξt+h =EξtK(t + h, s + h) = K(t, s)

Định nghĩa 1.1.6 (Quá trình Gauss)

Quá trình ngẫu nhiên X = (Xt, t > 0) là một quá trình Gauss nếu mỗi tổ hợptuyến tính có dạng:

1.2 Quá trình Ito, tích phân Ito

Định nghĩa 1.2.1 (Quá trình Ito)

Quá trình ngẫu nhiên liên tục ξ = (ξt, 06t 6T ) được gọi là quá trình Ito (liên

hệ với quá trình Wiener W = (Wt, Ft), t ∈ [0, T ]) nếu tồn tại 2 quá trình không đoánđịnh trước được a = (at, Ft) và b = (bt, Ft), t ∈ [0, T ] sao cho:

Định nghĩa 1.2.2 (Quá trình khuếch tán)

Quá trình Ito ξ = (ξt, t ∈ [0, T ]) được gọi là quá trình khuếch tán (liên quan đếnquá trình Wiener) nếu hàm a(s, ω) và b(s, ω) trong định nghĩa Ito là Ftξ - đo đượcvới hầu tất cả s, 06s 6t

Định nghĩa 1.2.3 (Tích phân Ito)

Giả sử f (t, ω) là quá trình ngẫu nhiên thỏa mãn: Ef2(t, ω) < ∞ và Wt làchuyển động Brown có quỹ đạo xác định trên [a, b]

Xét phân hoạch của [a, b]:

Khi đó, Sn → S∗ trong L2(ω, F ,P) khi n → ∞

Vì vậy, ta có thể định nghĩa tích phân Ito của quá trình ngẫu nhiên f (t, ω) làgiới hạn theo nghĩa bình phương trung bình sau (nếu giới hạn đó tồn tại):

Công thức (1.1) còn được gọi là công thức Ito.

1.4 Điều kiện tồn tại duy nhất nghiệm của phương trình vi phân

Giả sử tồn tại 2 hằng số dương K và K sao cho:

i) (Điều kiện Lipschitz) Với mọi x, y ∈Rd và t ∈ [t0, T ]:

|f (x, t) − f (y, t)|2∨ |g(x, t) − g(y, t)|26K|x − y|2

ii) (Điều kiện tăng tuyến tính) Với mọi x, y ∈Rd× [t0, T ] :

|f (x, t)|2∨ |g(x, t)|2 6K(1 + |x|2)

Khi đó phương trình vi phân (1.2) có nghiệm duy nhất thỏa mãn:

Giả sử (θ, ξ) là quá trình ngẫu nhiên hai chiều, quan sát được bộ phận, trong

đó θ = (θt, Ft) là thành phần không quan sát được, còn ξ = (ξt, Ft) là thành phầnquan sát được

Bài toán lọc tối ưu đối với quá trình quan sát được bộ phận (θ, ξ) được hiểu làxây dựng đối với mỗi thời điểm t, (0 6 t 6 T ) ước lượng bình phương trung bìnhtốt nhất đối với hàm Ft - đo được h của (θ, ξ) trên cơ sở kết quả quan sát được

ξs, s 6t.

Nếu Eh2t < ∞ thì ước lượng tối ưu dĩ nhiên là πt(h) = E(ht/Ftξ) Không có giảthiết gì đặc biệt về cấu trúc của quá trình (h, ξ), πt(h) xác định rất khó Song dướimột số giả thiết nhất định, thành phần của quá trình (h, ξ) là quá trình loại (2.1)

và(2.2) Ta có thể đặc trưngπ t (h)với phương trình vi phân ngẫu nhiên cho ở(2.11)

và được gọi là phương trình lọc phi tuyến tối ưu

Giả sử h = (ht, Ft) được cho bởi phương trình:

Do Ft liên tục phải và theo định lý 4 (phần phụ lục), X = (xt, Ft) có bản saoliên tục phải Quá trình ξ = (ξt, Ft) được giả thiết là:

D t = dhx, W it

Phương trình (2.11) được gọi là phương trình lọc tổng quát

Chứng minh Từ (2.9) và (2.10) suy ra:

có một biến thể liên tục cho phép biểu diễn:

Bổ đề 2.2.5 Quá trình ngẫu nhiên:

E

Cho s6t Khi đó, theo bổ đề 2.2.4:

Từ (2.24) - (2.26) ta suy ra quá trình cho bởi (2.21) là martingale

Ta trở lại chứng minh định lý từ (2.17), bổ đề 2.2.2, 2.2.3, 2.2.5, ta nhận thấy:

lý 2.2.1 được chứng minh.

2.3 Lọc của quá trình Markov khuếch tán

Xét bài toán ước lượng thành phần không quan sát được θt của quá trìnhMarkov khuếch tán 2 chiều(θt, ξt), 0 6t6T trên cơ sở các quan sát ξs, s6t

Trên không gian xác suất (Ω, F ,P) cho quá trình Wiener độc lập, xác định

Wi = (Wi(t)); i = 1, 2; 06 t6T, và vector ngẫu nhiên ( θb0, ξb0) độc lập với W1, W2

Định lí 2.3.1 Nếu các giả thiết cho ở (2.54), (2.55), (2.58) - (2.61), (2.63) và(2.64) được thỏa mãn, khi đó (hcc):

2.4 Lọc tuyến tính tối ưu của dãy dừng với phổ hữu tỉ

Cho η(t), t = 0, ±1, ±2 là quá trình ngẫu nhiên dừng theo nghĩa rộng (thựchoặc phức) cho phép biểu diễn phổ:

Qn(e iλ )

với δ(t, s) là kí hiệu của hàm Kronecker

Từ (2.76) ta có chuỗi giá trị ε(t), t = 0, ±1, là chuỗi không tương quan lẫnnhau

Để thêm vào quá trìnhη(t) cho phép biểu diễn phổ cho bởi (2.73), ta định nghĩacác quá trình mới η1(t), , ηn(t) bởi công thức:

là một bộ phận của quá trình n chiều dừng yếu (theo nghĩa rộng) (η1(t), , ηn(t));

η1(t) = η(t) thỏa mãn hệ phương trình truy hồi:

Eηj (s).ε(t) = 0; s < t; j = 1, , n (2.89)

và hệ số β1, , βn được cho bởi (2.80)

Chứng minh Chú ý rằng từ (2.84) và (2.85), mọi cực trị của hàm Wj(z) đều nằmtrên đường tròn đơn vị

Sử dụng kết quả (2.77) và (2.78), (2.79), ta nhận thấy quá trình η1(t), , ηn(t)

thỏa mãn hệ phương trình cho ở (2.87) − (2.88)

Ta thiết lập tính hiệu lực của (2.89)

Pn−1(j) (eiλ)

Qn(e iλ )

2

dλ 2π





1 2

khi các giá trị riêng của ma trận A nằm trên đường chéo chính của ma trận J Cho

bλlà một giá trị riêng của ma trận A Khi đó, từ|bλ| < 1, không thành phần nào của

ma trận JN vượt quá giá trị N |λ|N −1 Tuy nhiên, AN = CJNC−1 và N |bλ|N −1 −→ 0

khi N −→ ∞

Chú ý 1 : Nếu ηt, t = 0, ±1 là quá trình thực, và mỗi quá trình η1(t), , ηn(t)

cũng là thực Khi đó, phương sai của ma trận Γ =EY t Yt∗ thỏa mãn phương trình:

2π Giả sử các nghiệm của phương trình

Q(r,q)nr,q (z) = 0 nằm trên đường tròn đường tròn đơn vị

Áp dụng định lý 2.4.1 cho mỗi quá trình:

Qua phép biến đổi đơn giản cho vector ξt = (ξ1(t), , ξl(t)) và các vector bθt (baogồm vectorθt = (θ1(t), , θk(t))và mọi thành phần thêm vào củaη1(t), , ηk(t), đượcxuất hiện ở định lý 2.4.1 trong hệ phương trình cho bởi (2.87) − (2.88), ta thu được

Nếu vt, t = 0, 1, là quá trình Gauss, khi đó theo định lý 29 và hệ quả 30 (phầnphụ lục), mct =E( θbt/Ftξ) và γbt =E([ θbt− mbt][bθt− mbt]∗) có thể xác định từ hệ phươngtrình:

γ0 = cov(bθ0, θb0)−cov(bθ0, ξ0)cov+(ξ0, ξ0)cov(bθ0, ξ0) (2.104)

Từ mbt = E( θbt/Ftξ) phụ thuộc tuyến tính vào ξ0, , ξt cho quá trình Gauss γt = [θt, ξt], lời giải bài toán xây dựng ước lượng tuyến tính của θt từ ξ0, , ξt được chobởi phương trình (2.101) và (2.102)

Trong trường hợp tổng quát, ước lượng tuyến tính tối ưu (theo nghĩa bìnhphương) có thể xác định bởi những phương trình giống nhau Điều này được khẳng

Việc áp dụng bổ đề 2.4.2 để chứng minh ước lượng tuyến tính của θt từ ξ0, , ξt

được xác định bởi hệ phương trình cho ở (2.101) − (2.102)

Để minh họa sự áp dụng định lý trên với bài toán ước lượng thành phần quátrình dừng, ta xét ví dụ sau:

Ví dụ 2.4.3 Cho θt và ζt, t = 0, ±1, là các dãy dừng không tương quan lẫn nhau(theo nghĩa rông) với Eθ t =Eζ t = 0 và mật độ phổ:

Theo (2.100) và (2.101) ước lượng tuyến tính tối ưu mt, t = 0, 1, của giá trị θt

và sai số lọc theo nghĩa bình phương γ t =E(θ t − m t )2 thỏa mãn hệ gồm các phươngtrình:

Ta tìm điều kiện đầu m0, γ0 cho hệ phương trình trên

Quá trình(θt, ξt), t = 0, ±1 là quá trình dừng (theo nghĩa rộng) với Eθt=Eξt= 0

và các phương sai: d11 = Eθ12, d12 = Eθtξt và d22 = Eξt2 thỏa mãn, từ (2.108) −

d 22

1 − c21 − 1 − c

2 2

m0 = 1 − c

2 2

Chương 3

ƯỚC LƯỢNG TUYẾN TÍNH CỦA QUÁ TRÌNH NGẪU NHIÊN

3.1 Quá trình Wiener theo nghĩa rộng

Định nghĩa 3.1.1 Quá trình ngẫu nhiên đo được W = (Wt), t>0 được cho trongkhông gian xác suất (Ω, F , P ) gọi là quá trình Wiener theo nghĩa rộng nếu:

với π = (πt), t>0 là quá trình Poisson với P(π0 = 0) = 1 và P(πt = k) = e−t(tk/k!).

ChoFt, t>0là một dãy không giảm cácσ- đại số củaF Đặtz = (zt, Ft), t>0làquá trình Wiener và đặt a = (a t (ω), F t ), t>0là quá trình với Ea2t(ω) > 0, 0 < t < T.Khi đó quá trình:

là một quá trình Wiener theo nghĩa rộng.

Chứng minh Ta chỉ cần chứng minh EWsWt = s ∧ t Để kiểm tra, ta lấy 2 khoảngkhông giao nhau ∆ = (t 1 , t 2 ) và ∆0 = (s 1 , s 2 ) Khi đó:

E(Wt 2 − W t 1 ).(W s 2 − W s 1 )

=E(Wt2 − Wt1).(Ws2 − Ws1)

= 12π

Tương tự, có thể biểu diễn dưới dạng:

Chú ý rằng, nếu quá trình Wiener theo nghĩa rộng Wt, t > 0 là Gauss thì nó

có một biến thể liên tục, đó là quá trình chuyển động Brown Thật vậy, ta có

E(Wt − Ws)4 = 3[E(Wt− Ws)2]2= 3|t − s|2 Do đó, theo tiêu chuẩn Kolmogorov, quátrình đã cho có một biến thể liên tục là một quá trình chuyển động Brown

Định nghĩa 3.1.3 Lấy f (.) ∈ L 2 [0; T ] Sử dụng một quá trình Wiener theo nghĩarộng W = (Wt), t > 0, ta có thể định nghĩa tích phân Ito ngẫu nhiên theo nghĩarộng:

− Wt(n) k

(với χ(u,t)(s) là hàm đặc trưng của hệ, u < s 6 t) Quá trình It(t) =

t

R

0

f (s)dWs làliên tục theot với nghĩa bình phương:

Định nghĩa 3.1.4 Cho a(t), b(t), f (t), t 6T là các hàm đo được sao cho:

với Ws, s >0 là quá trình Wiener theo nghĩa rộng

Với quá trình này, tích phân

Định nghĩa 3.1.5 Cho ν = (νt), t > 0 là một quá trình với số gia trực giao, với

− νs(n) k

Chứng minh Nhận thấy EWt = 0,EWt2 = t Cuối cùng, theo (3.31) thì:

s

R

0

dνua(u)

t∨s

R

0

χ(v6s) dνva(v)

Nếu W = (Ws), s > 0 là quá trình Wiener thì theo định lý 9 (phần phụ lục),phương trình (3.34) là nghiệm liên tục duy nhất (hcc) cho bởi công thức:

là một quá trình Wiener theo nghĩa rộng và được chứng minh dựa trên sự tồn tạicủa nghiệm phương trình (3.34) với một quá trình Wiener theo nghĩa rộng cho bởi(3.35) Sử dụng (3.20), ta thấy quá trìnhxt (06t 6T )là liên tục theo nghĩa bìnhphương Giả sử yt (0 6 t 6 T ) là một nghiệm khác của phương trình (3.34) Khi

Cho vector ngẫu nhiênx0 = (x1(0), , xn(0))không tương quan với W và

Chương 3

ƯỚC LƯỢNG TUYẾN TÍNH CỦA Q TRÌNH NGẪU NHIÊN

3.1 Q trình Wiener theo nghĩa rộng

Định nghĩa 3.1.1 Quá trình ngẫu nhiên đo W = (Wt),... dựng ước lượng tuyến tính θt từ ξ0, , ξt chobởi phương trình (2.101) (2.102)

Trong trường hợp tổng quát, ước lượng. .. (2.100) (2.101) ước lượng tuyến tính tối ưu mt, t = 0, 1, giá trị θt

và sai số lọc theo nghĩa bình phương γ t