Về tập xác định duy nhất cho hàm phân hình và đạo hàm của chúng

Với giả thiết nào của P hoặc về số các điểm chung, ta có thểkết luận f = g hoặc ít nhất f và g có một quan hệ mật thiết nào đó.Theo hướng nghiên cứu này, các kết quả về sự duy nhất của c

TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH

TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH

PHAN ĐỨC TUẤN

VỀ TẬP XÁC ĐỊNH DUY NHẤT

CHO HÀM PHÂN HÌNH

VÀ ĐẠO HÀM CỦA CHÚNG

LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC

Chuyên ngành: Đại số và Lý thuyết số

Mã số: 62 46 01 04

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:

PGS.TS NGUYỄN THÀNH QUANG

NGHỆ AN - 2017

LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu củariêng tôi Các kết quả trình bày trong luận án là hoàntoàn trung thực, được đồng tác giả cho phép sử dụng

và chưa từng được ai công bố trong bất kỳ công trìnhnào khác

Tác giả

Phan Đức Tuấn

Tác giả cũng xin bày tỏ sự kính trọng và lòng biết ơn sâu sắc tới

GS TSKH Hà Huy Khoái, người đã quan tâm, giúp đỡ tác giả trong quátrình học tập và nghiên cứu

Tác giả xin được gửi lời cảm ơn tới:

- Tập thể các Thầy Cô giáo ngành Toán thuộc Viện Sư phạm Tựnhiên, Phòng Đào tạo Sau đại học, Trường Đại học Vinh, về những hỗtrợ và tạo mọi điều kiện thuận lợi để tác giả hoàn thành nhiệm vụ củamột nghiên cứu sinh

- Tập thể các Thầy Cô giáo Khoa Toán - Ứng dụng, Trường Đại họcSài Gòn, nơi tác giả công tác, đặc biệt là PGS TS Phạm Hoàng Quân,

đã giúp đỡ, động viên và tạo mọi điều kiện thuận lợi trong suốt quá trìnhtác giả thực hiện luận án

Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn tới những thành viên trong gia đìnhcủa tác giả và những người bạn thân thiết đã luôn giúp đỡ và động viêntrong suốt quá trình học tập

Phan Đức Tuấn

MỤC LỤC

Một số ký hiệu thường dùng trong luận án 1

Mở đầu 2Chương 1 Tập xác định duy nhất cho hàm phân hình

1.1 Một số khái niệm cơ sở 111.2 Bổ đề Borel trong trường hợp p-adic 181.3 Tập xác định duy nhất cho hàm phân hình p-adic 27Chương 2 Giá trị Picard và sự xác định duy nhất củahàm phân hình p-adic cùng với đạo hàm của chúng 332.1 Giá trị Picard cho hàm phân hình p-adic cùng với đạo hàm

của chúng 332.2 Sự xác định duy nhất của hàm phân hình p-adic cùng với

đạo hàm của chúng 37Chương 3 Đa thức vi phân và bài toán chia sẻ giá trị 583.1 Đa thức vi phân chia sẻ một giá trị 583.2 Đa thức vi phân chia sẻ một giá trị không tính bội 71Kết luận và kiến nghị 79Danh mục các công trình của tác giả liên quan đến luận án 81Tài liệu tham khảo 82

Ef(S) Tập ảnh ngược của S qua f, tính cả bội 8

Ef(S) Tập ảnh ngược của S qua f, không tính bội 9

gcd(a, b) Ước chung lớn nhất của a và b 29

Tf(r) Hàm đặc trưng của hàm phân hình f 14

Nf(0, r) Hàm đếm không điểm của hàm phân hình f 14

Nf(∞, r) Hàm đếm cực điểm của hàm phân hình f 14

mf(∞, r) Hàm xấp xỉ của hàm phân hình f 14

δf(a) Số khuyết của hàm phân hình f tại a 16

M [f1, , fn] Đa thức vi phân của các hàm phân hình 39

MỞ ĐẦU

1 Lý do chọn đề tài

Lý thuyết phân bố giá trị được xây dựng bởi R Nevanlinna [72] vàonăm 1925 Sự ra đời của lý thuyết này được đánh giá là một trong những

sự kiện toán học vĩ đại của thế kỷ 20 Bằng cách áp dụng lý thuyết phân

bố giá trị, R Nevanlinna [73] đã chứng minh định lý nổi tiếng sau: Vớihai hàm phân hình phức khác hằng số f và g, nếu có năm giá trị phânbiệtai (i = 1, 2, 3, 4, 5) thỏa mãn f−1(ai) = g−1(ai) ( không tính bội) với

i = 1, 2, 3, 4, 5 thì f = g Hơn nữa, nếu f−1(ai) = g−1(ai) (tính cả bội)với i = 1, 2, 3, 4 thì f = ag+bcg+d với a, b, c, d là các hằng số phức thỏa mãn

ad − bc 6= 0 Từ đây, lý thuyết về sự xác định duy nhất hàm phân hìnhđược phát triển mạnh mẽ theo nhiều hướng mở rộng khác nhau

Vào năm 1976, F Gross [29] bắt đầu nghiên cứu vấn đề tương tự chohai hàm phân hình có ảnh ngược của các tập hợp điểm trùng nhau Ông

đã đưa ra câu hỏi sau: Tồn tại hay không một tập S ⊂ C∪ ∞ sao chovới mọi hàm phân hình khác hằng số f và g thỏa mãn f−1(S) = g−1(S)

(tính cả bội) thì f = g? Tập S có tính chất như vậy được gọi là tập xácđịnh duy nhất cho hàm phân hình Ví dụ đầu tiên về tập xác định duynhất được đưa ra bởi F Gross và C.C Yang [30] vào năm 1982 Hai ông

đã chứng minh tập S = {z : z + ez = 0} là tập xác định duy nhất chocác hàm nguyên Chú ý rằng tập hợp này có vô hạn phần tử Tập xácđịnh duy nhất đầu tiên cho hàm nguyên có hữu hạn phần tử được đưa

ra bởi H Yi [66] vào năm 1995 với 15 phần tử và tập xác định duy nhấtcho hàm phân hình có số phần tử ít nhất với 11 phần tử được xây dựngbởi G Frank và M Reinders [24] vào năm 1998 Sau đó, vào năm 2000,

H Fujimoto [27] đã đưa ra các điều kiện đủ cho một tập hữu hạn là tậpxác định duy nhất

Lý thuyết về sự duy nhất cho hàm phân hình cũng được khảo sáttrên trường số p-adic Kết quả đầu tiên thuộc về W W Adam và E G.Strauss [5] Vào năm 1971, các tác giả này đã chứng minh rằng hai hàmphân hình p-adic khác hằng số có cùng ảnh ngược của 4 điểm phân biệtthì trùng nhau Kết quả này đã được mở rộng cho các đường cong chỉnhhình p-adic trong các công trình của P C Hu và C C Yang [34], M Ru[59], V H An và T D Duc [10] cùng một số tác giả khác Các tập xácđịnh duy nhất cho các hàm phân hình p-adic cũng được xây dựng bởi P.

C Hu và C C Yang [34], A Escassut và A Boutabaa [13] Năm 1999, P

C Hu và P C Yang [36] đã đưa ra tập xác định duy nhất cho các hàmphân hình p-adic với 10 phần tử và vào năm 2003, H H Khoai và T T

H An [40] đã đưa ra các điều kiện đủ cho một tập hữu hạn là tập xácđịnh duy nhất cho hàm phân hình p-adic

Một hướng phát triển khác của bài toán xác định duy nhất hàm phânhình là tìm đặc trưng cho các hàm phân hình có cùng ảnh ngược của mộthay nhiều tập hợp điểm cùng với đạo hàm của chúng Vào năm 1977, L

A Rubel và C C Yang [52] đã chứng minh kết quả sau: Nếu hàm nguyênkhác hằng số f và đạo hàm bậc nhất của nó f0 có cùng ảnh ngược củahai giá trị phân biệt a1 và a2 (tính cả bội), nghĩa là f−1(ai) = (f0)−1(ai)

(tính cả bội) với i = 1, 2, thì f = f0 Vào năm 1997, C C Yang và X

A Hua [65] đã nghiên cứu bài toán xác định duy nhất cho các hàm phânhình và các đơn thức vi phân dạng fnf0, khi chúng có cùng tập ảnh ngượccủa một điểm tính cả bội và họ đã thu được kết quả sau: Giả sử f và g làcác hàm phân hình khác hằng số, n> 11là một số nguyên và a ∈ C\{0}.Nếu (fnf0)−1(a) = (gng0)−1(a) (tính cả bội) thì hoặc f = dg với d là cănbậc (n + 1) nào đó của đơn vị hoặc g(z) = c1ecz và f (z) = c2e−cz với

c, c1 và c2 là các hằng số thỏa mãn (c1c2)n+1c2 = −a2 Bài toán tổngquát theo hướng nghiên cứu này được phát biểu dưới dạng: Giả sử f và

g là các hàm phân hình khác hằng số và P là một đa thức vi phân sao

cho P [f ] và P [g] có cùng tập ảnh ngược của một hay có thể nhiều điểmphân biệt Với giả thiết nào của P hoặc về số các điểm chung, ta có thểkết luận f = g hoặc ít nhất f và g có một quan hệ mật thiết nào đó.Theo hướng nghiên cứu này, các kết quả về sự duy nhất của các hàmphân hình phức lần lượt được khảo sát cho các đa thức vi phân dạng

(fn)(k), (fn(f − 1))(k), fn(f − 1)2f0,

trong các công trình của M L Fang [23], W C Lin và H X Yi [50].Bài toán duy nhất cho các hàm phân hình và đạo hàm của chúngtrên trường số p-adic cũng được khảo sát bởi các tác giả H H Khoai

và V H An [42]; J Ojeda [54] cho các đơn thức vi phân dạng fnf0; K.Boussaf, A Escassut và J Ojeda [12] cho đa thức vi phân dạng f0P0(f ),với P là một đa thức duy nhất cho hàm phân hình; H H Khoai, V H

An và N X Lai [44] cho đa thức vi phân dạng (fn)(k)

Một trong những đặc điểm của các đa thức vi phân được đề cập ởtrên là chúng có thể lấy tích phân về dạng P (f ), với P là đa thức trêntrường số phức hoặc p-adic Từ đó, nhiều tác giả đã ứng dụng các kết quảtrong lý thuyết phân bố giá trị và lý thuyết đa thức duy nhất cho hàmphân hình để giải quyết các vấn đề đặt ra Gần đây, các dạng đa thức viphân không thuộc dạng trên cũng bắt đầu được khảo sát Chẳng hạn, vàonăm 2011, J Grahl và S Nevo [28] đã khảo sát bài toán duy nhất chohàm phân hình và đa thức vi phân dạng P [f ] = fn + af(k) Việc khảosát các dạng đa thức vi phân này đòi hỏi các tác giả phải đưa ra các kỹthuật và phương pháp chứng minh mới Điều này cho thấy bài toán duynhất cho hàm phân hình và đạo hàm của chúng là rất đa dạng và việckhảo sát chúng là rất đáng quan tâm và cần thiết

Với những lý do trên, chúng tôi chọn đề tài nghiên cứu cho luận án

là "Về tập xác định duy nhất cho hàm phân hình và đạo hàm củachúng"

2 Mục đích nghiên cứu

Chúng tôi nghiên cứu tập xác định duy nhất của hàm phân hình vàđạo hàm của chúng với các mục đích sau:

(a) Xây dựng các tập xác định duy nhất cho các hàm phân hình

(b) Khảo sát bài toán duy nhất cho các hàm phân hình và đạo hàm củachúng bằng cách xét các đa thức vi phân có cùng ảnh ngược của mộthay nhiều điểm

3 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

3.1 Đối tượng nghiên cứu

Hàm phân hình, đa thức vi phân và tập xác định duy nhất cho cáchàm phân hình

3.2 Phạm vi nghiên cứu

Luận án chủ yếu tập trung nghiên cứu các đặc trưng của các hàmphân hình và đạo hàm của chúng có cùng ảnh ngược của một hay nhiềutập hợp điểm trong các trường hợp tính bội và không tính bội

4 Phương pháp nghiên cứu

Chúng tôi sử dụng lý thuyết phân bố giá trị trong trường hợp phứccủa Nevanlinna và trong trường hợp p-adic được xây dựng bởi Hà HuyKhoái cùng với lý thuyết phân bố giá trị cho đa thức vi phân và các bổ

vi phân Do đó, việc nghiên cứu các đặc trưng về tập xác định duy nhất

của các hàm phân hình và đạo hàm của chúng là có ý nghĩa khoa học vàcần thiết, góp phần làm phong phú thêm hiểu biết về lý thuyết duy nhấtcho các hàm phân hình.

5.2 Ý nghĩa thực tiễn

Lý thuyết Nevanlinna trong các trường hợp phức cũng như p-adic vàcác ứng dụng của lý thuyết này đang thu hút được sự quan tâm của cácnhà toán học trong và ngoài nước Các kết quả trong luận án là tài liệutham khảo cho các nhóm nghiên cứu về giải tích p-adic, lý thuyết số vàcác vấn đề liên quan, đồng thời là cầu nối cho sự hợp tác giữa tác giả vàcác nhà toán học khác trong và ngoài nước

6 Tổng quan và cấu trúc luận án

p-adic Trước hết, bằng cách áp dụng Định lý Nevanlinna - Cartan p-adiccủa H H Khoai và M V Tu [45] và lý thuyết Nevanlinna p-adic, chúngtôi chứng minh các tương tự của Bổ đề Y T Siu và S K Yeung trongtrường hợp p-adic Cụ thể, trong Mục 1.2, chúng tôi phát biểu và chứngminh Mệnh đề 1.2.3 và Định lý 1.2.5 Trong Định lý 1.2.5, chúng tôi chỉ rarằng giả thiết các hàmfk−δ1

1 g1(f0, , fn), , fk−δn

n gn(f0, , fn)không

có không điểm chung trong Mệnh đề 1.2.3 có thể bỏ đi

Tiếp theo, chúng tôi sử dụng các kết quả này để xây dựng các tậpxác định duy nhất cho hàm phân hình p-adic (Định lý 1.3.2) Ngoài ra,chúng tôi chỉ ra ví dụ về tập xác định duy nhất cho hàm phân hình p-adicthỏa mãn Định lý 1.3.2 với 12 phần tử Các kết quả của Chương 1 là sựtiếp nối của một hướng nghiên cứu trong lý thuyết về tập xác định duy

nhất cho hàm phân hình, đó là xây dựng các tập xác định duy nhất với sốphần tử bé nhất có thể Các kết quả của chúng tôi góp phần làm phongphú thêm lý thuyết này Nội dung chính của Chương 1 đã được chúng tôicông bố trong hai bài báo [57, 58].

Một trong những vấn đề liên kết với bài toán tập xác định duy nhất

là xem xét giá trị Picard của các hàm phân hình Định lý cơ bản củađại số nói rằng một đa thức khác hằng số một biến phức luôn nhận mọigiá trị phức Sử dụng định lý cơ bản của đại số, W W Adam và E G.Strauss [5] đã chứng minh: Nếu các đa thức khác hằng sốf vàg thoả mãn

f−1(0) = g−1(0) và f−1(1) = g−1(1) thì f = g Hơn nữa, W W Adam

và E G Strauss cũng đưa ra kết quả tương tự cho các hàm phân hình

p-adic Đối với các hàm phân hình phức, chúng ta có định nghĩa: Cho f

là một hàm phân hình, giá trị a ∈ C được gọi là giá trị Picard của f

nếu f (z) 6= a, ∀z ∈ C Một tương tự của định lý cơ bản của đại số cho

hàm phân hình phức là Định lý Picard nói rằng mỗi hàm phân hình kháchằng số f trên mặt phẳng phức có nhiều nhất hai giá trị Picard, nghĩa là

f nhận mọi giá trị phức w trừ ra nhiều nhất hai giá trị Vào năm 1958,

W K Hayman [32] bắt đầu xét mối liên hệ giữa giá trị Picard của cáchàm phân hình và đạo hàm của chúng Ông đã chứng minh được kết quảquan trọng sau: Mỗi hàm phân hình phức f thỏa mãn fn(z) + af0(z) 6= b

với mọi z ∈ C là hằng số nếu n ≥ 5 và a, b ∈C, a 6= 0 Hơn nữa, nếu f làhàm nguyên thì chỉ cần n ≥ 3 hoặc n = 2, b = 0 Năm 1982, W D¨oringer[20] chỉ ra kết quả này vẫn đúng với fn+ af(k) thay cho fn+ af0 với điềukiện n ≥ k + 4; nếu f là hàm nguyên thì chỉ cần n ≥ 3, không phụ thuộc

k Sử dụng kết quả này, vào năm 2011, J Grahl và S Nevo [28] đã xétbài toán chia sẻ giá trị cho các đa thức vi phân dạng fn + af(k) Cho f

là một hàm phân hình khác hằng số và S ⊂ C∪ {∞}, ta định nghĩa

Ef(S) = [

a∈S

{(z, m) | f (z) = a với bội m},

Ef(S) = [

a∈S

{z | f (z) = a}

Giả sử F là một tập hợp khác rỗng các hàm phân hình Hai hàm f

và g của họ F được gọi là chia sẻ S (tính cả bội) nếu Ef(S) = Eg(S).Tương tự, hai hàm f và g của tập F được gọi là chia sẻ S (không tínhbội) nếu Ef(S) = Eg(S)

Sử dụng khái niệm này, J Grahl và S Nevo [28] đã đưa ra các đặctrưng cho các hàm phân hình phức có các đa thức vi phân dạngfn+af(k)

chia sẻ một giá trị tính cả bội Trong Chương 2, chúng tôi xét bài toánnày trên trường các số p-adic Trước hết, chúng tôi xét các giá trị Picardcho đa thức vi phân dạng fn+ af(k) và thu được Định lý 2.1.5 và Định lý2.1.6 Sử dụng các kết quả này, chúng tôi thiết lập các định lý duy nhấtcho hàm nguyên và hàm phân hình p-adic cùng với các đa thức vi phân

có dạng trên có cùng ảnh ngược của một điểm tính cả bội Kết quả chínhcủa mục này là Định lý 2.2.3 và Định lý 2.2.4

Trong Định lý 2.2.3, điều kiện bị chặn của chúng tôi trong trườnghợp p-adic cho n và k là n ≥ 4, không phụ thuộc vào k, trong khi kết quảtrong trường hợp phức của J Grahl và S Nevo [28] làn ≥ 11và n ≥ k +2.Trong Định lý 2.2.4, điều kiện bị chặn cho n và k là n ≥ 5k + 14, còntrong trường hợp phức, điều kiện bị chặn cho n và k đưa ra bởi J Grahl

và S Nevo [28] là n ≥ 5k + 17

Phương pháp chứng minh của chúng tôi là sử dụng Định lý cơ bảnthứ hai cho hàm phân hình p-adic được xây dựng bởi H H Khoai [38] và

Bổ đề Borel cho hàm phân hình p-adic được xây dựng bởi P C Hu và C

C Yang [34] Nội dung chính của Chương 2 đã được chúng tôi công bốtrong công trình [62]

Trong Chương 3, chúng tôi xét bài toán duy nhất cho đa thức viphân dạng fn+ afm(f(k))l, với n, m, l, k là các số nguyên dương Trong

[20], W D¨oringer đã chỉ ra rằng: Mỗi hàm phân hình phức f thỏa mãn

nguyên dương Trong Mục 3.1, chúng tôi nghiên cứu trường hợp tính cảbội Kết quả chính của mục này là Định lý 3.1.10 và Định lý 3.1.11 Tiếptheo, trong Mục 3.2, chúng tôi đưa ra các đặc trưng cho các hàm phânhình có các đa thức vi phân dạng trên chia sẻ một giá trị không tính bội

và thu đươc Định lý 3.2.1 và Định lý 3.2.2

Phương pháp chứng minh của chúng tôi là sử dụng lý thuyết linna và các bổ đề trong lý thuyết duy nhất của các hàm phân hình phức

Nevan-Cụ thể chúng tôi sử dụng Bổ đề 3.1.8 được xây dựng bởi C C Yang và

X A Hua [65] và Bổ đề 3.1.9 được xây dựng bởi H X Yi [67] Các kếtquả của chúng tôi góp phần làm phong phú lý thuyết về sự xác định duynhất của các hàm phân hình, đặc biệt là hướng nghiên cứu tìm đặc trưngcủa các hàm phân hình chia sẻ một hay nhiều tập hợp cùng với đạo hàmcủa chúng Nội dung chính của Chương 3 đã được chúng tôi công bố trongcông trình [63]

6.2 Cấu trúc luận án

Nội dung của luận án được trình bày trong 3 chương như sau:

Chương 1 Tập xác định duy nhất cho hàm phân hình p-adic

Chương 2 Giá trị Picard và sự xác định duy nhất của hàm phânhình p-adic cùng với đạo hàm của chúng

Chương 3 Đa thức vi phân và bài toán chia sẻ giá trị

Luận án được viết dựa trên 5 công trình của tác giả, trong đó 4 côngtrình đã đăng trong các tạp chí: East - West Journal of Mathemat-

ics, Vietnam Journal of Mathematics, Acta Mathematica ica, Annales Universitatis Scientarium Budapestinensis de RolandoE¨otv¨os Nominatae Sectio Mathematica và một công trình đã gửi đăng([57], [58], [62], [63], [64]).

Vietnam-Các kết quả trong luận án đã được báo cáo tại:

1 Seminar của Bộ môn Đại số, Khoa Sư phạm Toán học, Trường Đạihọc Vinh

2 Seminar của Bộ môn Đại số, Khoa Toán - Ứng dụng, Trường Đạihọc Sài Gòn

3 Đại hội Toán học Toàn quốc lần thứ 8 tại Nha Trang, 10-14/8/2013

4 Hội Nghị Toán học Miền Trung - Tây Nguyên tại Trường Đại họcQuy Nhơn, 12-14/8/2015

Chương 1

TẬP XÁC ĐỊNH DUY NHẤT CHO HÀM

PHÂN HÌNH P -ADIC

Trong chương này, trước hết, chúng tôi nghiên cứu các tương tự của

Bổ đề Borel trong trường hợp p-adic Sau đó, chúng tôi ứng dụng các kếtquả này trong việc nghiên cứu bài toán về tập xác định duy nhất cho hàmphân hình p-adic

1.1 Một số khái niệm cơ sở

Cho p là một số nguyên tố cố định, Qp là bổ sung đầy đủ của trườnghữu tỉ Q theo chuẩn p-adic Ký hiệu Qp là bao đóng đại số của Qp Khácvới trường hợp phức, Qp là trường không đầy đủ Ký hiệu Cp = Qˆp là

bổ sung đầy đủ của bao đóng đại số của Qp Ta gọi Cp là trường các sốphức p-adic

Giả sử f là một hàm nguyên trên Cp và b ∈ Cp Viết f dưới dạng

f (z) =

∞Xn=q

bn(z − b)n

với bq 6= 0 và ta đặt ωf0(b) = q

Cho a ∈ Cp, ta định nghĩa hàm ωaf : Cp −→ N bởi ωaf(b) = ωf −a0 (b)

Cố định một số thựcρ0 với 0 < ρ0 ≤ r Lấya ∈ Cp và ta ký hiệu hàmđếm không điểm củaf −a, tính cả bội, trong đĩaDr = {z ∈ Cp : |z| ≤ r}

ở đây nl,f(a, x) = P|z|≤xmin{ωfa(z), l}.

Giả sử k là một số nguyên dương Định nghĩa hàm ω≤kf từ Cp vào Nbởi

anzn,

với mỗi r > 0, ta định nghĩa

Tương tự cho hàm phân hình f trên Cp, ta định nghĩa

Nf<k(a, r), Nl,f<k(a, r), Nf>k(a, r),

Nf≥k(a, r), Nl,f≥k(a, r), Nl,f>k(a, r)

Ta định nghĩa hàm xấp xỉ của hàm phân hình f bởi

Bổ đề 1.1.1 ([34]) Giả sử f và g là các hàm nguyên trên Cp Khi

đó, với mọi r > 0, ta có

log |f + g|r ≤ max{log |f |r, log |g|r}

Bổ đề 1.1.2 ([34]) Giả sử f = f1

f 2 là một hàm phân hình trên Cp,trong đó f1, f2 là các hàm nguyên không có không điểm chung trên

Cp Khi đó, với mọi r > 0, ta có

Tf(r) = T1

f(r) + O(1),

Tf(r) = max

1≤i≤2log |fi|r + O(1),

ở đây O(1) là đại lượng bị chặn không phụ thuộc vào r

Bổ đề 1.1.3 ([34]) Giả sử f là một hàm phân hình khác hằng số trên

Cp Khi đó, với mọi số nguyên dương k và r > 0, ta có

|f(k)|r ≤ |f |r

rk .

Bổ đề 1.1.4 ([34]) Giả sử f là một hàm nguyên khác hằng số trên

Cp Khi đó, với mọi r > 0, ta có

Nf(a, r) + mf(a, r) = Tf(r) + O(1)

Bổ đề 1.1.7 (Định lý cơ bản thứ hai) ([34]) Giả sử f là một hàmphân hình trên Cp và a1, a2, , aq là các giá trị phân biệt thuộc Cp.Khi đó

(q − 1)Tf(r) ≤ N1,f(∞, r) +

qXi=1

N1,f(ai, r) − log r + O(1)

Hơn nữa,

Xa∈Cp ∪∞

Ký hiệu Pn(Cp) là không gian xạ ảnh n chiều trên trường số phức

p-adic Cp Một đường cong chỉnh hình

f : Cp → Pn(Cp)

là một lớp tương đương gồm(n+1)-thành phần các hàm nguyên(f0, , fn)

sao cho f0, , fn không có không điểm chung, ở đây hai (n + 1)-thànhphần (f0, , fn) và (g0, , gn) là tương đương nếu tồn tại hằng số c saocho fi = cgi với mọi i = 0, , n Ta đồng nhất f với một biểu diễn:

Giả sử H là một siêu phẳng của Pn(Cp) xác định bởi phương trình

F = 0 sao cho ảnh của f không chứa trong H Ta đặt

Nf(H, r) = Nf ◦F(r), Nm,f(H, r) = Nm,f ◦F(r)

Định nghĩa 1.1.8 Họ các siêu phẳng phân biệt{H1, , Hq, q ≥ n+1}

trong không gian xạ ảnh n chiều Pn(Cp) được gọi là ở vị trí tổng quátnếu n + 1 siêu phẳng bất kỳ của chúng có giao bằng rỗng

Định nghĩa 1.1.9 Một đường cong chỉnh hình f :Cp →Pn(Cp) đượcgọi là không suy biến tuyến tính nếu ảnh của f không bị chứa trongkhông gian con tuyến tính với số chiều nhỏ hơn n của Pn(Cp)

Định lý 1.1.10 ([45]) Giả sử H1, , Hq là q siêu phẳng ở vị trí tổngquát và f là một đường cong chỉnh hình không suy biến tuyến tínhtrong Pn(Cp) Khi đó, ta có

(q − n − 1)Tf(r) ≤

qXj=1

Nn,f(Hj, r) − n(n + 1)

2 log r + O(1).

Bổ đề 1.1.11 Giả sử g(x0, , xn) là đa thức thuần nhất bậc d và

f0, , fn là các hàm nguyên p-adic Khi đó

Giả sử a ∈ Cp và f là một hàm phân hình p-adic trên Cp, ta viết f

của f tại a, ký hiệu bởi ordaf và để đơn giản, ta đặt µaf = ordaf Ta cũngđịnh nghĩa µaf,k = min(k, µaf) Ta có các tính chất của hàm µaf sau đây.

Bổ đề 1.1.12 Giả sử f và g là các hàm phân hình trên Cp và a ∈ Cp.Khi đó, ta có

Bằng quy nạp theo k ta có điều phải chứng minh

Bổ đề 1.1.13 Giả sử f, g là các hàm nguyên trên Cp và k là một

số nguyên dương sao cho (f g)(k) 6≡ 0 Khi đó, với mỗi a ∈ Cp ta có

µa

(f g)(k) ≥ µaf − k

Chứng minh Giả sử µaf = δ1, µag = δ2 Khi đó, tồn tại các hàm nguyên

p-adic f1, g1 sao cho

f (z) = (z − a)δ1f1(z), g(z) = (z − a)δ2g1(z)

và

f1(a)g1(a) 6= 0

Ta xét các trường hợp:

(1) Nếu δ1+ δ2 ≤ k, thì µa

(f g)(k) ≥ 0 ≥ µaf − k.(2) Nếu δ1+ δ2 ≥ k + 1, thì

1.2 Bổ đề Borel trong trường hợp p-adic

Bổ đề Borel trong trường hợp phức được phát biểu dưới dạng đơngiản như sau

Định lý 1.2.1 Giả sử f1, f2, , fn là các hàm chỉnh hình không cókhông điểm trên C sao cho

f1 + f2 + · · · + fn = 0

Khi đó, các hàm f1, , fn−1 phụ thuộc tuyến tính

Bổ đề Borel đóng vai trò quan trọng trong việc nghiên cứu các khônggian hyperbolic Với các mục đích khác nhau, một số mở rộng của Bổ đềnày đã được đưa ra Năm 1997, Y T Siu và S K Yeung đã đưa ra một

mở rộng của Bổ đề Borel như sau

Bổ đề 1.2.2 ([60]) Giả sử gj(x0, , xn) là các đa thức thuần nhấtbậc δj với 0 ≤ j ≤ n Giả sử rằng tồn tại một đường cong chỉnh hình

f : C → Pn(C) sao cho ảnh của f nằm trong một siêu mặt xác địnhbởi

nXj=0

xk−δj

j gj(x0, , xn),

với 0 ≤ j ≤ n Giả sử rằng tồn tại một đường cong chỉnh hình p-adic

f : Cp → Pn(Cp) có biểu diễn f = (f0, , fn) sao cho ảnh của f nằmtrong siêu mặt xác định bởi

nXj=0

Hn+1 = {x1 + · · · + xn = 0}.

Theo Định lý 1.1.10, ta có

Tg(r) ≤

n+1Xj=1

Nn−1(Hj, r) − (n − 1)n

2 log r + O(1). (1.2.1)Với j ∈ {1, , n}, ta có

với j0 ∈ {0, , n} Khi đó, ta có

Nfk−δ0

j0 gj0(f 0 , ,f n )(0, r) = N

fk−δj0 j0

j=0 j6=j 0

j=0 j6=j 0

Chú ý rằng, trong chứng minh Mệnh đề 1.2.3, chúng ta cần sử dụnggiả thiết các hàm

Bổ đề 1.2.4 Giả sử f0, , fn+1 là các hàm nguyên không có khôngđiểm chung và g0, , gn+1 là các hàm nguyên sao cho f0g0, , fngn

độc lập tuyến tính trên Cp Giả sử rằng

N1,fj(0, r)+

n+1Xj=0

Ngj(0, r) + O(1) (1.2.3)

Giả sử rằngαlà một không điểm củaf0f1· · · fn+1 Bởi giả thiếtf0, , fn+1

không có không điểm chung, tồn tại ν, 0 ≤ ν ≤ n + 1 sao cho fν(α) 6= 0

µαf

j − µαW (f

0 g 0 , ,f ν−1 g ν−1 ,f ν+1 g ν+1 , ,f n+1 g n+1 )

W (f0g0, , fν−1gν−1, fν+1gν+1, , fn+1gn+1)là tổng của các số hạngsau

Vẫn từ Bổ đề 1.1.12, ta có

µαW (f

0 g 0 , ,f ν−1 g ν−1 ,f ν+1 g ν+1 , f n+1 g n+1 ) ≥

n+1Xj=0

N1,fj(0, r) (1.2.4)Mặt khác, theo Bổ đề 1.1.4, ta suy ra

Từ các bất đẳng thức (1.2.2), (1.2.3), (1.2.4) và (1.2.7), ta suy ra

Tfn+1gn+1(r) ≤ n

n+1Xj=0

N1,fj(r) +

n+1Xj=0

Định lý 1.2.5 Giả sử gj(x0, , xn) là các đa thức thuần nhất bậc

δj với 0 ≤ j ≤ n Giả sử rằng tồn tại một đường cong chỉnh hình

f :Cp → Pn(Cp) sao cho ảnh của f nằm trong một siêu mặt xác địnhbởi

nXj=0

fk−δj

j gj(f0, , fn) = 0

Giả sử ngược lại rằng

N

1,fjk−δj(0, r) +

nXj=0

Ngj(f0, ,fn)(0, r) − n(n − 1)

2 log r + 0(1)

= (n − 1)

nXj=0

N1,fj(0, r) +

nXj=0

Ngj(f0, ,fn)(0, r) − n(n − 1)

2 log r + 0(1)

≤ (n − 1)

nXj=0

Nfj(0, r) +

nXj=0

Nfj(0, r) +

nXj=0

Nfj(0, r) +

nXj=0

Ngj(f0, ,fn)(0, r)

−n(n − 1)

2 log r + 0(1).

Định nghĩa 1.3.1 Giả sử f là một hàm phân hình khác hằng số trên

Định lý 1.3.2 Giả sử q và m là hai số nguyên dương sao cho

f 2, g = l1

l 2, ởđây (f1, f2) và (l1, l2) là các cặp hàm nguyên không có không điểm chungtrên Cp Khi đó tồn tại một hằng số β sao cho

(f1 − a1f2) · · · (f1− anf2) = β(l1 − a1l2) · · · (l1 − anl2)

Đặt g1 = λl1, g2 = λl2, với λq = β Từ đẳng thức trên ta suy ra

f1q−2m(f12m+af1mf2m+bf22m)+cf2q−g1q−2m(g12m+ag1mg2m+bg22m)−cg2q = 0

(1.3.8)

Từ q ≥ 8 + 4m, suy ra các giả thiết của Định lý 1.2.5 được thoả mãn (với

k = q, n = 3, δ0 = δ2 = 2m, δ1 = δ3 = 0) Không mất tính tổng quát, giả

sử có các hằng số α1, α2, α3 không đồng thời bằng không sao cho

α1f1q−2m(f12m+ af1mf2m + bf22m) + α2f2q − α3gq2 = 0 (1.3.9)

Ta xét các trường hợp có thể xảy ra sau đây

Trường hợp 1 α1α2α3 6= 0 Tiếp tục sử dụng Định lý 1.2.5 (với

k = q, n = 2, δ0 = 2m, δ1 = δ3 = 0), ta nhận được

α01f1q−2m(f12m+ af1mf2m + bf22m) + α02f2q = 0,

ở đây α01, α02 không đồng thời bằng 0 Điều này suy ra f là hằng số Tagặp một mâu thuẫn.

Trường hợp 2 α3 = 0 Khi đó f là hằng số Vì vậy, trường hợp nàykhông xảy ra

Trường hợp 4 α1 = 0 Khi đó rõ ràng α2α3 6= 0 Hơn nữa

Mặt khác, do g khác hằng số, từ phương trình (1.3.11) ta nhận được

hq − 1 = 0 và hq−m − 1 = 0 Từ đây và giả thiết gcd(q, m) = 1 ta suy ra

h = 1 và do đó f = g Vì vậy, S là tập xác định duy nhất cho hàm phânhình p-adic

Ví dụ 1.3.3 Giả sửP là đa thức bậc 12 cho bởiP (z) = z1212+3z1111+z510+1.Xét tập S := {z ∈ Cp : P (z) = 0}

Ta có P0(z) = z9(z2 + 3z + 2) Do đó P0 có tập 3 nghiệm là

{0, −1, −2} Tuy nhiên đa thứcP không nhận các giá trị này làm nghiệm

Vì vậy P chỉ có các nghiệm đơn, hay tập S có 12 phần tử Theo Định lý1.3.2 ta có S là tập xác định duy nhất cho hàm phân hình p-adic

KẾT LUẬN CỦA CHƯƠNG 1

Trong chương này, chúng tôi giải quyết được các vấn đề sau đây

1 Đưa ra các tương tự của Bổ đề Y T Siu và S K Yeung trong trườnghợp p-adic Đó là các Mệnh đề 1.2.3 và Định lý 1.2.5

2 Xây dựng các tập xác định duy nhất cho hàm phân hìnhp-adic (Định

lý 1.3.2) và đưa ra ví dụ chứng tỏ tồn tại tập xác định duy nhất chohàm phân hình p-adic với 12 phần tử

Nội dung chính của Chương 1 đã được chúng tôi công bố trên haibài báo [57, 58]

Chương 2

GIÁ TRỊ PICARD VÀ SỰ XÁC ĐỊNH DUY NHẤT CỦA HÀM PHÂN HÌNH P -ADIC CÙNG VỚI ĐẠO HÀM CỦA CHÚNG

Trong chương này, chúng tôi nghiên cứu các giá trị Picard cho hàmphân hìnhp-adic và đạo hàm của chúng Sau đó, chúng tôi nghiên cứu bàitoán duy nhất cho hàm phân hình p-adic cùng với đạo hàm của chúng cócùng ảnh ngược của một hay nhiều điểm tính cả bội

2.1 Giá trị Picard cho hàm phân hình p-adic cùng

với đạo hàm của chúng

Một trong những vấn đề liên kết với bài toán tập xác định duy nhất

là xem xét các giá trị Picard của các hàm phân hình Cho f là mộthàm phân hình, giá trị a ∈ C được gọi là giá trị Picard của f nếu

f (z) 6= a, ∀z ∈ C Định lý Picard nói rằng mỗi hàm phân hình khác

hằng số f trên mặt phẳng phức có nhiều nhất hai giá trị Picard, nghĩa là

f nhận mọi giá trị phức w trừ ra nhiều nhất hai giá trị Vào năm 1958,

W K Hayman [32] bắt đầu xét mối liên hệ giữa giá trị Picard của hàmphân hình và đạo hàm của chúng, ông đã chứng minh được kết quả quantrọng sau:

Định lý 2.1.1 (Định lý Hayman, [32]) Mỗi hàm phân hình phức f

thỏa mãn fn(z) + af0(z) 6= b với mọi z ∈ C là hằng số nếu n ≥ 5 và

a, b ∈ C, a 6= 0 Hơn nữa, nếu f là hàm nguyên thì chỉ cần n ≥ 3 hoặc

n = 2, b = 0

Như một hệ quả, ta có nếu n ≥ 3 thì fnf0 nhận mọi giá trị hữu hạn(trừ giá trị 0) vô hạn lần, trừ khi f là một hàm hữu tỉ Nếu f là một hàmnguyên, điều này cũng đúng với điều kiện là n ≥ 1 và kết quả này được

chứng minh bởi J Cluine [19].

Năm 1979, E Mues [71] chứng minh rằng nếu f là một hàm siêuviệt, thì f0+ afn có vô hạn không điểm trong trường hợp n = 4 Kết quảtương ứng cho trường hợp n = 3 được chứng minh bởi W Bergweiler và

A Eremenko [11] Hơn nữa, E Mues [71] chỉ ra rằng nếu n = 3 hoặc 4

và b 6= 0, thì tồn tại các hàm siêu việt f sao cho f0+ afn − b không cókhông điểm

Năm 1982, W D¨oringer [20] chỉ ra rằng Định lý Hayman vẫn đúngvới fn + af(k) thay cho fn + af0 với điều kiện n ≥ k + 4; nếu f là hàmnguyên thì chỉ cần n ≥ 3, không phụ thuộc vào k

Trong mục này chúng tôi nghiên cứu bài toán giá trị Picard cho hàmphân hình p-adic và đạo hàm của chúng Trước hết, chúng ta có các bổ

đề sau đây

Bổ đề 2.1.2 ([34]) Giả sử f là một hàm phân hình p-adic khác hằng

số Khi đó, với mọi số nguyên dương k, ta có

f1 + · · · + fk = 1 (k ≥ 2)

Khi đó, bất đẳng thức

Tfj(r) ≤

kX

i=1

Nk−1,fi(0, r) + ϑk

kXi=1

N1,fi(∞, r) − k(k − 1)

2 log r + O(1),