NGHIỆM TUẦN HOÀN CỦA PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN BẬC CAO VỚI ĐỐI SỐ LỆCH

NGHIỆM TUẦN HOÀN CỦA PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN BẬC CAO VỚI ĐỐI SỐ LỆCH .... NGHIỆM TUẦN HOÀN CỦA PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN BẬC CAO ĐỐI SỐ LỆCH VỚI ĐỘ LỆCH KHẢ NGHỊCH .... Nghiệm tuần hoàn của phươ

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH

Lương Hoàng Khương

Thành phố Hồ Chí Minh – 2014

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH

Lương Hoàng Khương

Chuyên ngành : Toán gi ải tích

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:

PGS.TS LÊ HOÀN HÓA

Thành phố Hồ Chí Minh – 2014

Footer Page 2 of 185

Tôi gửi lời cảm ơn đến các thầy cô phòng KHCN-SĐH trường ĐHSP TP

Hồ Chí Minh đã tạo điều kiện thuận lợi để tôi hoàn thành tốt khóa học

TP.HCM, ngày 29 tháng 12 năm 2014

Lương Hoàng Khương

MỤC LỤC

Trang phụ bìa

Lời cảm ơn

Mục lục

LỜI MỞ ĐẦU 1

Chương 1 KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 3

1.1 Ánh xạ Fredholm 3

1.2 Bất đẳng thức Holder 3

1.3 Bậc trùng 3

1.4 Lí thuyết trùng bậc của Mawhin 4

Chương 2 NGHIỆM TUẦN HOÀN CỦA PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN BẬC CAO VỚI ĐỐI SỐ LỆCH 5

2.1 Các bổ đề 5

2.2 Các định lý 12

2.3 Ví dụ 33

Chương 3 NGHIỆM TUẦN HOÀN CỦA PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN

BẬC CAO ĐỐI SỐ LỆCH VỚI ĐỘ LỆCH KHẢ NGHỊCH 34

3.1 Các bổ đề 34

3.2 Các định lý 38

3.3 Các ví dụ 49

TÀI LIỆU THAM KHẢO 51

Footer Page 4 of 185

i i

n

j j

n

i i

1

1 1

Chương 2 Nghiệm tuần hoàn của phương trình vi phân bậc cao đối số lệch

Sử dụng lý thuyết trùng bậc của Mawhin để chứng minh một số định lý về sự

tồn tại nghiệm tuần hoàn của phương trình (I)

Chương 3 Nghiệm tuần hoàn của phương trình vi phân bậc cao đối số lệch, với độ lệch khả nghịch

Sử dụng lý thuyết trùng bậc của Mawhin để chứng minh một số định lý về sự

tồn tại nghiệm tuần hoàn của phương trình (II)

Luận văn dựa trên hai bài báo khoa học là:

Lijun Pan, “Periodic solutions for higher order diferential equations with

deviating argumen”t J.Math Anal Appl.343 (2008) 904-918

Y.J.Liu, P.H.Yang, W.G.Ge, “Periodic solution of high-order delay

diferential equations” Nonlinear Anal 63 (2005) 136-152

Footer Page 6 of 185

Chương 1 KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Ánh xạ Fredholm

Định nghĩa 1.1.1 Cho ,X Y là hai không gian định chuẩn Ánh xạ tuyến tính

( )

:

L D L ⊂ X → Y là ánh xạ Fredholm nếu

i dim KerL < ∞

ii Im L đóng, dim Co ker L < ∞

Định nghĩa 1.1.2 Chỉ số của ánh xạ Fredholm L được kí hiệu là Ind L ( )

Ind L = KerL − Co L

1.2 Bất đẳng thức Holder

Cho X là tập đo được Lebesgue trong n

R , p( )

L X là K − không gian vecto tất

cả các hàm đo được f từ X vào K sao cho f p khả tích Lebesgue

Bất đẳng thức Holder: Cho p > 1, q > 1 là các số thực thoả mãn 1 1 1.

Cho X, Y là hai không gian Banach, L D L : ( ) ⊂ X → Y là ánh xạ Fredholm

chỉ số 0 Cho Ω là tập con, mở, bị chặn của X , D L( )∩ Ω ≠ ∅ Giả sử rằng

( )

F= +L N : D L ∩ Ω →Ylà ánh xạ với N là L-compact trên Ω Cũng giả sử

rằng 0∉F D L( ( )∩ ∂Ω) Cho J : Im Q → KerL là một đẳng cấu tuyến tính Đặt H PQ J = JQ+K PQ

Ta có thể kiểm tra được rằng

Do đó 0∉F D( ( )L ∩ ∂Ω).

Thật vậy nếu 0∈H PQ J F D( ( )L ∩ ∂Ω) Khi đó, K PQ(Lx+Nx)+JQNx=0vớix∈D L( )∩ ∂Ω

Vì vậy QTx=0 và (I−Q)(Lx+Nx)=0 Do đó Lx+Nx= 0, điều này mâu thuẩn

Bởi tính chất L-compact của N dẫn đến:

Bậc Laray Shauder deg(I− +P (JQ+K PQ)N, , 0 Ω ) là định nghĩa tốt

Bây giờ chúng ta định nghĩa một bậc bởi:

( , , 0) deg( ( ) , , 0 )

Biểu thức này được gọi là bậc trùng của L và −N trên Ω ∩D L( ) Chúng ta có thể

kiểm tra được rằng định nghĩa này không phụ thuộc vào việc chọn P Q, Nó thì có nghĩa rằng D J(L+N, , 0Ω )là một hằng số đối với một vài Jphụ thuộc vào định hướng trên Ker L( )và Coker L( ) Định nghĩa đưa ra trên đây phụ thuộc vào J.

1.4 L í thuyết trùng bậc của Mawhin Định lý Cho ,X Y là hai không gian Banach, L D L : ( ) ⊂ X → Y là toán tử

Chương 2 NGHIỆM TUẦN HOÀN CỦA PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN

BẬC CAO VỚI ĐỐI SỐ LỆCH

Trong chương này, bằng việc sử dụng lý thuyết trùng bậc của Mawhin, chúng ta sẽ đưa ra một số định lý về sự tồn tại nghiệm tuần hoàn của phương trình

vi phân bậc cao với đối số lệch

0 0

0 2

0

2 0

0 0

T T

0

2 0

T T

α α

T T

Bổ đề 2.1.3 Cho Llà toán tử Fredholm chỉ số 0 và N là L-compact trên Ω Giả

sử các điều sau đây thỏa mãn:

Chứng minh L là toán tử Fredholm chỉ số 0

Trước tiên chứng minh nếu x ∈ K L er thì ( )i ( ) ( )i ( )

n n

T n

Có thể chứng minh được rằng tồn tại t1∈[ ]0, T sao cho x t( )1 ≤c

Thật vậy, từ ( )2.7 có t0 ∈[ ]0,T sao cho

f t x t x t t x t t p t

p t dt p t T

Do đó, tồn tại i∈{1, 2, , m}sao cho x t( 0 −ti( )t0 ) ≤c Vì x t( )liên tục với mọi

t∈Rvà x t( +T)=x t( )nên phải có một số nguyên kvà t1 ∈[ ]0,T sao cho

Chọn t1 sao cho ξ =kT +t1 Khi đó x t( )1 = <0 c

Tương tự cho trường hợp x t ( )0 < − c

Vậy tồn tại t1∈[ ]0, T sao cho x t( )1 <c

t T

(2.10)

Với mỗi số nguyên dương i, ta có:

( ) 2 ( ) ( )0

=

Do đó, áp dụng bổ đề 2.1.1 ,ta được:

( )( ) 2 ( ( ) ) ( ) ( ( ( ) ) ) ( ( ) ) ( )

2 1 1

T k

T m

( ) ( ) ( )( )

2 1 2

1 2

T m

( ) ( )( ) ( ) ( )( )

1 1 2

( ) ( ) ( )( )

1

2 2

f t d d d dt p t dt

µµµµ

Cho Ω là tập mở, bị chặn, khác rỗng là tập con của Xsao cho Ω ⊃ Ω ∪ Ω ∪ Ω( 1 2 3)

Ta thấy rằng Llà toán tử Fredholm với chỉ số 0 và Nlà L compact− trên Ω Khi đó,

Sau cùng, ta chứng minh ( )iii của bổ đề 2.1.3 thỏa mãn

( )

1 2

Tương tự định lý 2.2.1 Tuy nhiên do n=4k+ nên trong 3 (2.13) ta thay B1=B2

Định lý 2.2.3: Giả sử n=4k là một số nguyên dương, các điều kiện sau đây thỏa mãn:

( )H1 Tồn tại hằng số c> sao cho 0

( )

1 2

( ) ( ) ( )( )

1

2 2 2

1 2

T m

1 0

1 2

T m

Tương tự như định lý 2.2.3 Tuy nhiên lần lượt thay B B b3, 4 ằng B B 4, 5.

Định lý 2.2.5 Giả sử n=4k là một số nguyên dương, các điều kiện sau đây thỏa mãn:

( )H1 Tồn tại hằng số c> sao cho 0

( , 0 , 1 , , m) ( ) , , i ( 0,1, , )

∞

> ∀ ∈ > =( , 0 , 1 , , m) ( ) , , i ( 0,1, , )

Tương tự như định lý 2.2.3 Tuy nhiên lần lượt thay B B b3, 4 ằng B B 4, 6.

Định lý 2.2.6 Giả sử n=4k là một số nguyên dương, các điều kiện sau đây thỏa mãn:

( )H1 Tồn tại hằng số c> sao cho 0

( , 0 , 1 , , m) ( ) , , i ( 0,1, , )

∞

> ∀ ∈ > =( , 0 , 1 , , m) ( ) , , i ( 0,1, , )

( ), 1 2

g t x ≤β β+ x

Footer Page 32 of 185

( ), ( ), y , 1, ,

h t x −h t ≤α x−y i= m

( ), lim i i, 1, ,

Tương tự như định lý 2.2.3 Tuy nhiên lần lượt thay B B b3, 4 ằng B B 4, 7

Định lý 2.2.7 Giả sử n=4k+ là một số nguyên dương, các điều kiện sau đây 2

( ), lim i i, 1, ,

Tương tự như định lý 2.2.3 Tuy nhiên lần lượt thay B B b3, 4 ằng B B 8, 9

Định lý 2.2.8 Giả sử n=4k+ là một số nguyên dương, các điều kiện sau đây 2

( ), lim i i, 1, ,

Tương tự như định lý 2.2.3 Tuy nhiên lần lượt thay B B b3, 4 ằng B B 9, 10

Định lý 2.2.9 Giả sử n=4k+ là một số nguyên dương, các điều kiện sau đây 2thỏa mãn:

( )H1 Tồn tại hằng số c> sao cho 0

( , 0 , 1 , , m) ( ) , , i ( 0,1, , )

∞

> ∀ ∈ > =( , 0 , 1 , , m) ( ) , , i ( 0,1, , )

( ), lim i i, 1, ,

Tương tự như định lý 2.2.3 Tuy nhiên lần lượt thay B B b3, 4 ằng B B 9, 11

Định lý 2.2.10 Giả sử n=4k+ là một số nguyên dương, các điều kiện sau đây 2

Chương 3 NGHIỆM TUẦN HOÀN CỦA PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN BẬC CAO ĐỐI SỐ LỆCH VỚI ĐỘ LỆCH KHẢ NGHỊCH

Trong chương này, bằng việc sử dụng lý thuyết trùng bậc của Marwhin, chúng ta nghiên cứu về sự tồn tại nghiệm tuần hoàn của phương trình vi phân bậc n

( )iii Llà ánh xạ Fredholm với chỉ số 0

( )iv Tồn tại các ánh xạ chiếu P X: →X Q Y, : →Y sao cho KerL=Im ,P KerQ=ImL Hơn nữa, cho Ω ⊂ X là tập con, mở, bị chặn với Ω ∩D L( )≠ ∅ Khi đó, Nlà

L compact− trên Ω

( )v x t( )là một nghiệm tuần hoàn chu kỳ T của phương trình (3.1) nếu và chỉ nếu

xlà một nghiệm của phương trình Lx=Nx trong D L( )

Ch ứng minh

( ) i Ta chứng minh nếu x ∈ K L er thì ( )i ( ) ( )i ( )

x t+T = x t ( i = 1, 2, , n ) Thật vậy

x ∈ K L ⇒ x t + T = x t ∀ ∈ t R

Footer Page 38 of 185

n n

T n

dim Y / Im L = ⇒ 1 dim Co ker L = = 1 dim KerL ⇒ ind L ( ) = 0

Vậy L là toán tử Fredholm với chỉ số 0

( ) ( )( ) ( ) ( )

0 0

Cho L là một toán tử Fredholm với chỉ số 0 và N là L compact− trên Ω Giả sử

rằng các điều kiện sau đây được thỏa mãn:

( )i Lx≠λNx, ∀(x,λ)∈ (D L( )\K Ler )∩ ∂Ω ×  ( )0,1

( )ii Nx∉Im ,L ∀ ∈x K Ler ∩ ∂Ω

( )iii deg(LQN|K Ler Ω ∩K Ler , 0)≠0 trong đó L:Y / ImL→K Ler là một phép đẳng

cấu

Khi đó, phương trình Lx=Nxcó ít nhất một nghiệm trong D L( )∩ Ω

Trong đó, không gian Banach cổ điển 0

T

C là tập hợp tất cả hàm số liên tục tuần hoàn

với chu kỳ T được định nghĩa trên R với chuẩn x = maxt∈[ ]0,T x t( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ( ) ( ( ) ) ( ( ) ) )

1

1 1

n

( )A3 g h, là các hàm số liên tục sao cho f t x( , 0, ,x m)=g t x( , 0, ,x m) (+h t x, 0, ,x m)

và có các số dương β, m sao cho ( ) 1

i m x

h t x x g t x e t i m

g t x

p t i m t R x

Áp dụng bổ đề 3.1.2, chúng ta nên định nghĩa một tập con, mở, bị chặn Ω của

X sao cho ( ) ( ) ( )i , ii , iii của bổ đề 3.1.2 thỏa mãn Dựa trên ba bước để thu được Ω

Chứng minh định lý này được chia làm bốn bước

Footer Page 42 of 185

Từ đó, tồn tại ξi∈[ ]0,T sao cho x( )i ( )ξi =0với mỗi i=1, ,n−1

Đủ để chứng minh có hằng số B> 0sao cho { ( 1) }

1 0

1 0

1 0

0 1

0 1

0

1 0

, 0

m

i m

i T

, 0

/ 1

,

T m

i i

m

m

m m

i i

/ 1

1 '

/ 1

,

/ 1 1

m

m

m m

i i

m m T

m

m m

+

=

+ +

/ 1

,

m T

m

m

m m

i i

+

+ +

1/ 1 1

/ 1

0

1/ 1 1

i

m T

m

m m

m T

m

m

m m

i i

+

∞

+ +

Với mỗi t∈R, đặt k0 =max{k∈Z kT: +ξn−1≥t t}, 0 =k T0 +ξn−1

Lấy tích phân nó trên [ ]t t, 0 , ta được ( )1 ( )

1 0

n n

x − ξ

− = và

Footer Page 46 of 185

1 1

Giả sử x∈Ω2, khi đóx t( )= ∈c R, chúng ta chứng minh c ≤M

Thật vậy, nếu c>M, khi đó từ ( )A2 thu được

Vì λ có dãy con hội tụ, không mất tính tổng quát, giả sử n λn →λ0

Vì c n → +∞nên có hai trường hợp

Trường hợp thứ nhất, có dãy con của c n hội tụ về +∞(không mất tính tổng quát, giả

λ = − −λ ∫ < xảy ra mâu thuẩn

Nếu c n → −∞ khi n→ +∞ Khi đó, với n đủ lớn , ta có c n < −M

Do đó, theo tính chất của bậc đồng luân, ta có

m

i i

i m x

Chứng minh

Tương tự định lý 3.2.1 Tuy nhiên do n = 4 k nên đòi hỏi các điều kiện

( ) ( )A2 , A 3 được thay bằng các điều kiện ( ) ( )A4 , A5

Định lý 3.2.3 Giả sử n là số nguyên lẻ và các điều kiện sau đây thoả mãn

( )A1 ticó đạo hàm trên R với '( )

n

( )A3 g h, là các hàm số liên tục sao cho f t x( , 0, ,x m)=g t x( , 0, ,x m) (+h t x, 0, ,x m)

và có các số dương β, m sao cho ( ) 1

i m x

h t x x g t x e t i m

g t x

p t i m t R x

Chứng minh

Tương tự định lý 3.2.1 Tuy nhiên do n là số nguyên lẻ nên đòi hỏi điều kiện

( )A2 được thay bằng điều kiện ( )A4

Định lý 3.2.4 Giả sử n là số nguyên lẻ và các điều kiện sau đây thoả mãn

( )A1 ticó đạo hàm trên R với '( )

m

i i

i m x

, , ,, , ,, , ,

m

i k m

Nếu b0 >0 thì từ định lý 3.2.1, với mỗi p , phương trình (II) có ít nhất một nghiệm

tuần hoàn với chu kỳ 2 π nếu

tuần hoàn với chu kỳ 2 π

Ví dụ 3.3.2 Xét phương trình vi phân đối số

Trong đó b i∈Rvới mọi ( ) 1

TÀI LIỆU THAM KHẢO

Tiếng Việt

1 PGS.TS Lê Hoàn Hoá(2010), Đề tài nghiên cứu khoa học “Định lý điểm bất động

và ứng dụng để nghiên cứu sự tồn tại nghiệm của phương trình”

Ti ếng Anh

2 Lijun Pan, “Periodic solutions for higher order diferential equations with

deviating argument” J.Math Anal Appl.343 (2008) 904-918

3 Y.J.Liu, P.H.Yang, W.G.Ge, “Periodic solution of high-order delay diferential

equations” Nonlinear Anal 63 (2005) 136-152