Bài 14 Sai số và xử lý số liệu thí nghiệm

14.1 Các loại sai số và đặc điểm của chúng14.1.1 Nguồn gốc sai số • Sai số do đặc tính phi tuyến của cảm biến, do sự già hóa của cảm biến đo • Sai số do dụng cụ đo gồm: - độ nhạy của dụn

Sai số và xử lý số liệu thí nghiệm

Trình bày: Đỗ Tiến Minh

14.1 Các loại sai số và đặc điểm của chúng

14.1.1 Nguồn gốc sai số

• Sai số do đặc tính phi tuyến của cảm biến, do sự già hóa của cảm biến đo

• Sai số do dụng cụ đo gồm:

- độ nhạy của dụng cụ đo

- đặc tính phi tuyến của dụng cụ đo

- độ không chính xác của thang dụng cụ đo

- độ không chính xác khi lấy chuẩn 0

- do mòn

• Sai số do tính không ổn định khi thí nghiệm gồm:

- điều kiện thực tế của thí nghiệm khác với điều kiện chuẩn

- nhiễu bên ngoài (điện từ, điện dung ký sinh, điện trở…)

- môi trường thí nghiệm (nhiệt độ, độ ẩm, …)

• Trình độ thành thạo của người làm thí nghiệm

14.1.2 Phân loại các sai số và đặc trưng của chúng

a Theo đặc tính các sai số được chia ra thành 3 nhóm:

• Sai số hệ thống

• Sai số do nhiễu

• Sai số ngẫu nhiên

b Theo cách chọn đơn vị đo sai số ta chia ra:

• Sai số tuyệt đối

• Sai số tương đối

• Sai số hệ thống:

- là sai khác giữa giá trị thực của đại lượng cần đo và kết quả phép đo

- luôn tồn tại với bất kỳ phép đo nào

- trị số của sai số hệ thống có thể là hằng số hoặc biến đổi theo qui luật nhất định

- gây ra bởi sai số của dụng cụ đo, thiết bị đo, lấy chuẩn đo, phương pháp đo, phương pháp xử lý và gia công số liệu Sai số dụng cụ đo gồm sai số chính (theo cấp chính xác của dụng cụ đo) và sai số phụ (phát sinh do thay đổi điều kiện đo)

- có thành phần có thể loại trừ được nhờ phương pháp đo hoặc cách xử lý trong quá trình đo

Tóm lại: sai số hệ thống có trị số khác 0 và là như nhau

trong các phép đo có cùng phương pháp và sử dụng cùng một dụng cụ đo

- là sai số có tính đột biến, tức thời, vượt xa giới hạn theo khả năng của sai số

- gây ra do sự bất thường của dụng cụ đo, sự thay đổi đột ngột của điều kiện thí nghiệm

- được loại trừ khi kiểm tra số liệu thí nghiệm

• Sai số ngẫu nhiên:

- là sai số mà người ta không biết được trị số và qui luật biến đổi của nó

- do tác động của các yếu tố ngẫu nhiên trong quá trình thí nghiệm ảnh hưởng tới kết quả thí nghiệm và dụng cụ đo

- trị số của sai số ngẫu nhiên đặc trưng cho độ chính xác của phép đo Vi vậy, để tăng độ chính xác của phép đo cần giảm trị số của sai số ngẫu nhiên thông qua:

+ tăng tính ổn định của các điều kiện bên ngoài (đồng nhất khi lấy chuẩn, đồng nhất của đối tượng đo, vv)

+giảm tính không đồng nhất của các yếu tố khác (người quan sát, dụng cụ đo, trạng thái của đối tượng đo, vv)

- không thể khắc phục được sai số ngẫu nhiên nhưng có thể đánh giá chúng bằng phương pháp toán thống kê

- khi lập lại các phép đo đồng nhất nhiều lần (cùng phương pháp đo, dụng cụ đo và cùng điều kiện thí nghiệm) thì giá trị trung bình của sai số ngẫu nhiên của các phép đo đồng nhất sẽ giảm dần và tiến về 0

• Một số kết luận:

- Trị số của sai số hệ thống là không đổi ở mỗi phép đo và không phụ thuộc vào số lần đo

- Trị số của sai số ngẫu nhiên khác nhau ở mỗi lần đo và giá trị trung bình của sai số ngẫu nhiên sẽ giảm đi nếu tăng số lần đo

- Nếu sai số của phép đo được xác định là sai số hệ thống, nghĩa là nếu trị số của nó lớn hơn so với trị số của sai số ngẫu nhiên kèm theo phương pháp này thì phép đo chỉ cần thực hiện một lần

- Nếu sai số được xác định là ngẫu nhiên thì phép đo phải được tiến hành một số lần Số lần đo được chọn sao cho giá trị trung bình của sai số ngẫu nhiên trở lên nhỏ hơn

so với sai số hệ thống Sai số cuối cùng của kết quả chính là sai số hệ thống

- Số lần đo cần thiết được xác định bởi quan hệ giữa sai

số ngẫu nhiên và sai số hệ thống Với việc tăng dần số lần đo, trị số của sai số ngẫu nhiên sẽ tiến về sai số hệ thống nhưng không bao giờ nhỏ hơn sai số hệ thống Trị

số sai số hệ thống nhỏ nhất chính là sai số chính của dụng cụ đo

- Sự thay đổi điều kiện ngoài ảnh hưởng rất lớn đến sai số của phép đo, đặc biệt là khi tiến hành thí nghiệm liên tục Trong thí nghiệm này ta coi các điều kiện vận hành ô tô (nhiệt độ, tốc độ chế độ tải động cơ, tải trọng, góc đánh lửa, phun sớm, vv) là không đổi

• Sai số tuyệt đối ( ký hiệu là Δ)

- là sai số mà trị số của nó được so sánh với đơn vị đo

- công thức biểu diễn:

Trong đó: là giá trị thực của đại lượng cần đo

- sai số tuyệt đối trong phép đo một đại lượng nào đó không nhỏ hơn sai số của dụng cụ đo, vi vậy một trong các biện pháp tăng độ chính xác của phép đo là chọn dụng cụ đo có cấp

chính xác cao Tuy nhiên phải tùy thuộc vào độ chính xác cần thiết của thí nghiệm để chọn dụng cụ phù hợp để tránh sự

phức tạp không cần thiết.

Vi dụ: Để đo lực cản lăn trong phạm vi 200-300 N thì dùng

dụng cụ đo cấp chính xác 1,5 thang đo 500 sẽ cho kết quả

chính xác hơn dụng cụ đo có cấp chính xác 1,5 thang đo 1000











_

x

• Sai số tương đối (Ký hiệu α)

- là sai số mà trị số của nó được so sánh với chính trị số nhận được của đại lượng cần do

- công thức biểu diễn sai số tương đối là: x100%

Trong đó:

x- trị số của đại lượng đo được

Δ – trị số của sai số tuyệt đối

Có thể biểu diễn sai số tương đối theo biểu thức

hoặc

- trong đo lường, sử dụng sai số tương đối sẽ phản ánh về mức độ chính xác của phép đo tốt hơn so với dùng sai số

tuyệt đối

x







_

) 1

( )

1

14.2.1 Các đặc trưng của phân bố chuẩn

Đường cong phân bố chuẩn của các sai số ngẫu nhiên

- Trục hoành biểu thị trị số của các sai số ngẫu nhiên (δ)

- Trục tung biểu diễn tần suất p(δ) của sai số ngẫu nhiên xuất hiện trong quá trình đo

• Một số đặc trưng quan trọng của phân bố chuẩn:

- Hàm phân bố mật độ xác suất có dạng:

(với n>30)

2

2

2

2

1 )







n

n

i

i





2





δ – trị số của sai số ngẫu nhiên

p(δ) – tần suất của các sai số ngẫu nhiên nhận được qua các lần đo

σ – sai lệch trung bình bình phương của các sai số ngẫu

nhiên

δ i – trị số sai số ngẫu nhiên ở lần đo lập lại thứ i

n – số lần lặp lại

- Trên đường cong phân bố, các trị số của sai số ngẫu nhiên phân bố đối xứng qua trục tung và nhận các giá trị dương

và âm như nhau (trị số ±δ)

- Các sai số ngẫu nhiên có giá trị nhỏ xuất hiện nhiều hơn,

các sai số ngẫu nhiên có giá trị lớn xuất hiện ít hơn Đường cong phân bố chuẩn có giá trị cực đại trên trục tung ứng với sai số ngẫu nhiên có trị số 0

- Tùy thuộc vào giá trị σ mà đường cong có các hình dạng

khác nhau (xem hình dưới)

Dạng đường cong phân bố phụ thuộc vào tham số σ

- Tương ứng với trị số σ càng nhỏ, đường cong càng nhọn tức

là độ chính xác của phép đo càng cao thể hiện ở có các sai số

có trị số nhỏ xuất hiện nhiều

- Ngược lại, với σ càng lớn đường cong càng tù, tức là độ

chính xác của phép đo càng thấp thể hiện ở các sai số lớn xuất hiện nhiều

- Đường cong phân bố chẩn xác định trong khoảng (-∞, +∞) vì vậy:

 p (  ) d   1

- Tích phân hàm p(δ) trong khoảng (δ 1 , δ 2 ) sẽ cho xác suất xuất hiện sai số trong khoảng (δ 1 , δ 2 ) trong mỗi lần đo Giá trị của xác suất này được ký hiệu bằng biểu thức P(δ 1 ≤ δ ≤ δ 2 ) Kêt

quả xác suât này trong các khoảng sai số có giá trị đặc biệt là:

P(-σ ≤ δ ≤ +σ) = 0,68 P(-2σ ≤ δ ≤ +2σ) = 0,955 P(-3σ ≤ δ ≤ +3σ) = 0,997 P(-ρ ≤ δ ≤ +ρ) = 0,5

Trong đó ρ = 2σ/3 Trị số ρ = 2σ/3 gọi là sai số xác suất và chia đường cong phân bố chuẩn ra hai phần có diện tích bằng nhau

- Xác suất xuất hiện kết quả đo với sai số trong khoảng ±3σ đã

là rất lớn (99.7% số lần đo có sai số nằm trong giới hạn này) Vì vậy trong lý thuyết thống kê sai số ứng với giá trị 3σ được gọi

là sai số giới hạn (δ lim = ±3σ)

14.2.2 Cách tính sai số ngãu nhiên trong kết quả đo

Để ứng dụng các kêt quả nhận được từ đường cong phân bố chuẩn vào xử lý các kết quả thí nghiệm thực tế cần chú ý các đặc điểm sau:

- Giá trị thực của đại lượng cần đo ( ) là không thể biết được vì vậy sai số ngẫu nhiên của lần đo thứ i không tính

được bằng công thức lý thuyết:

δ i = x i –

mà phải sử dụng công thức:

δ i = x i – x tb Trong đó x tb là giá trị trung bình số học của giá trị đo thực hiên trong các lần thí nghiệm

_

x

_

x

n

x x

n i

i tb





 1

- Đường cong phân bố chuẩn xác định trong khoảng (-∞, +∞) nhưng trong thực tế thí nghiệm, số lần đo là có giới hạn Các tính toán thống kê cho thấy khi số lần đo n < 30 thì giá trị sai lệch trung bình bình phương của các sai số ngẫu nhiên được tính theo công thức:

- Khoảng kích thước (x tb - δ ٭ ) ÷ (x tb + δ ٭ ) trong kết quả đo được gọi là khoảng tin cậy của kết quả đo δ ٭ gọi là sai số tin cậy tương ứng với xác suất tin cậy β để xuất hiện kết quả đo này Đại lượng β = P(- δ ٭ ≤ δ ≤ + δ ٭ ) là xác suất xuất hiện sai số δ có giá trị trong khoảng (- δ ٭ ÷ + δ ٭ )

- Sai số tin cậy, xác suất tin cậy của kết quả đo phụ thuộc vào

số lần đo Các kết quả tính toán thống kê cho thấy công thức liên hệ giữa các đại lượng này như sau:

1

1

2









n

n

i

i x





Trong đó

t β – hệ số xét đến ảnh hưởng của số lần đo đến sai số tin cậy, gọi là hệ số Student - Fischer (xem bảng dưới đây)

- Tính ước lượng khoảng tin cậy và xác suât tin cậy của kết quả đo theo trình tự:

+ Từ kết quả nhận được từ n lần đo x 1 , x 2 , …, x n tính các giá trị x tb , δ i và σ (khi n≥ 30) hoặc σ x khi n< 30

+ Tra bảng Student – Fischer để tìm giá trị t β tương ứng với số lần đo trong thí nghiệm và xác suất tin cậy tương ứng

+ Tính giá trị δ ٭ theo các giá trị t β và σ x

) 1 (

1

2

*











n n

t n

t

n

i

i x





Bảng 14.1: Bảng tra hệ số Student-Fischer

Số lần

thí

nghiệm

n

Xác suất tin cậy, β Số lần

thí nghiệm n

Xác suất tin cậy, β 0,7 0,9 0,95 0,7 0,9 0,95

2 2,0 6,3 12,7 9 1,1 1,9 2,3

3 1,3 2,9 4,3 10 1,1 1,8 2,3

4 1,3 2,4 3,2 11-14 1,1 1,8 2,2

5 1,2 2,1 2,8 15-16 1,1 1,8 2,1

6 1,2 2,0 2,6 17-27 1,1 1,7 2,1 7-8 1,1 1,9 2,4 28-40 1,1 1,7 2,0

14.2.3 Tính số lần đo để đảm bảo sai số và xác suất tin cậy cho

trước

Nếu đã biết giá trị của σ hoặc σ x qua một số lần đo và xác suất tin cậy β thì có thể sử dụng bảng 14.2 để xác định số lần thí nghiệm cần thiết nhằm đạt sai số mong muốn.

Hệ số

Bảng 14.2 Xác định số lần thí nghiệm

t ’

β Xác suất tin cậy

0,5 0,7 0,9 0,95 0,99 1,0 2 3 5 8 11

0,5 3 6 13 18 31

0,4 4 8 19 27 46

0,3 6 13 32 46 78

0,2 13 29 70 100 170

0,1 47 110 270 390 700

x

n

t t















'