Luận văn Về số giá trị riêng âm của toán tử Schrodinger hai chiều có từ trường

Möc löc PH†N MÐ †U 1 1.1 Mët sè to¡n tû trong khæng gian Hilbert . . . . . . . . . . . 4 1.1.1 To¡n tû bà ch°n v  to¡n tû khæng bà ch°n. . . . . . . 4 1.1.2 To¡n tû li¶n hñp, to¡n tû tü li¶n hñp. . . . . . . . . 5 1.1.3 To¡n tû d÷ìng, to¡n tû unita. . . . . . . . . . . . . 6 1.1.4 To¡n tû compact. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.1.5 To¡n tû kh£ âng. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.2 Phê cõa to¡n tû . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.2.1 Phê iºm. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.2.2 Phê cèt y¸u, phê ríi r¤c. . . . . . . . . . . . . . . . 10 1.3 Mët sè ành ngh¾a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 1.3.1 Khæng gian C1 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 1.3.2 Ph²p chi¸u trüc giao. . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 1.3.3 Væ còng b² cõa mët h m. . . . . . . . . . . . . . . . 12 MÖC LÖC iii 1.3.4 Khæng gian Sobolev. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 1.3.5 Nûa nhâm. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 2.1 K¸t qu£ ch½nh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 2.2 Chùng minh ành lþ 2.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 2.3 B§t ¯ng thùc Hardy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 2.4 Chùng minh ành lþ 2.4 v  ành lþ 2.5 . . . . . . . . . . . 23 2.4.1 Chùng minh ành lþ 2.4. . . . . . . . . . . . . . . . 24 2.4.2 Chùng minh ành lþ 2.5. . . . . . . . . . . . . . . . 29

có thể hoàn thành nhiệm vụ của mình.

Mặc dù đã có nhiều cố gắng, song do thời gian và trình độ còn hạnchế nên bản luận văn khó tránh khỏi những thiếu sót nhất định Tác giảrất mong nhận được ý kiến đóng góp của quý độc giả để luận văn nàyđược hoàn thiện hơn

Hà Nội, tháng 10 năm 2015

Học viên

Nguyễn Kim Hưng

Mục lục

1.1 Một số toán tử trong không gian Hilbert 4

1.1.1 Toán tử bị chặn và toán tử không bị chặn 4

1.1.2 Toán tử liên hợp, toán tử tự liên hợp 5

1.1.3 Toán tử dương, toán tử unita 6

1.1.4 Toán tử compact 7

1.1.5 Toán tử khả đóng 8

1.2 Phổ của toán tử 9

1.2.1 Phổ điểm 9

1.2.2 Phổ cốt yếu, phổ rời rạc 10

1.3 Một số định nghĩa 11

1.3.1 Không gian C0∞ 11

1.3.2 Phép chiếu trực giao 11

1.3.3 Vô cùng bé của một hàm 12

MỤC LỤC iii

1.3.4 Không gian Sobolev 12

1.3.5 Nửa nhóm 13

2.1 Kết quả chính 15

2.2 Chứng minh Định lý 2.3 16

2.3 Bất đẳng thức Hardy 20

2.4 Chứng minh Định lý 2.4 và Định lý 2.5 23

2.4.1 Chứng minh Định lý 2.4 24

2.4.2 Chứng minh Định lý 2.5 29

N (H0 − V, 0) = N (−∆ − V, 0) ≤ Cd

Z

Rd

V+(x)d/2dx, (0.2)trong đó, V+ = max(V, 0) và Cd là một hằng số độc lập đối với V Hơnnữa, kết quả trong [2] chỉ ra rằng bất đẳng thức (0.2) vẫn đúng với giảthiết trên V tương đối tổng quát và −∆ được thay bởi HB

Tuy nhiên, trong trường hợp hai chiều, người ta đã chỉ ra rằng bất đẳngthức (0.2) không còn đúng nữa Thật vậy, toán tử −∆ − V trong trườnghợp hai chiều luôn có các giá trị riêng ngắt yếu, cụ thể nếu R

R2V dx ≥ 0,

V 6≡ 0 thì toán tử −∆ − λV luôn có ít nhất một giá trị riêng âm với mọi

λ > 0

Đối với toán tử Schr¨odinger hai có từ trường, người ta đã chỉ ra rằng,nói chung, nó không có các giá trị riêng yếu, (xem [21]) Do đó, người ta

hy vọng rằng, đối với toán tử Schr¨odinger có từ trường, chúng ta có thểthiết lập được một bất đẳng thức kiểu (0.2) cho số các giá trị riêng âm

Vì vậy, trong luận văn này, chúng tôi chọn đề tài " Về số giá trị riêng âmcủa toán tử Schr¨odinger hai chiều có từ trường" dựa trên kết quả nghiêncứu của H.Kovarik (xem [16])

2 Mục đích nghiên cứu và đối tượng nghiên cứu

Mục đích của luận văn là nghiên cứu cận trên của N (HB − V, 0)

3 Phương pháp nghiên cứu

Phương pháp được sử dụng ở đây dựa trên phương pháp được phát triểnbởi Lieb kết hợp với một số bất đẳng thức kiểu Hardy

4 Cấu trúc luận văn

Ngoài phần mở đầu, kết luận và tài liệu tham khảo, luận văn gồm cácchương sau:

Chương 1: Kiến thức chuẩn bị

Trình bày một số kết quả cơ bản về toán tử compact, toán tử dương,toán tử unita

Chương 2: Về số giá trị riêng âm của toán tử Schr¨odinger

Chương 1 KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

Trong chương này, chúng tôi trình bày các khái niệm và các kết quả về

lý thuyết phổ của toán tử tuyến tính

1.1 Một số toán tử trong không gian Hilbert

1.1.1 Toán tử bị chặn và toán tử không bị chặn

Toán tử tuyến tính (nói chung là không bị chặn) trên H là ánh xạ tuyếntính T : D(T ) ⊂ H −→ H, ở đó D(T ) trù mật trong H

là toán tử bị chặn với chuẩn

< ∞

2 Xét toán tử T : L2[0, 1] −→ L2[0, 1] cho bởi

T f (x) = f0(x), f ∈ L2[0, 1],D(T ) = {f ∈ L2[0, 1] : f0 ∈ L2[0, 1]},

1 2

= √ 12n + 1,

kT fn(x)k =

Z 1 0

1.1.2 Toán tử liên hợp, toán tử tự liên hợp

Định nghĩa 1.1 Giả sửHlà không gian Hilbert tách được vàT : D(T ) ⊂

H −→ H là toán tử không bị chặn với miền xác định trù mật D(T ) Khi

đó tồn tại toán tử không bị chặn T∗ : D(T∗) ⊂ H −→ H cho bởi

D(T∗) = {v ∈ H : tồn tại C(v) ≥ 0 sao cho |hT u, vi| ≤ C(v)kuk, u ∈D(T )}

hT u, vi = hu, T∗vi, với mọi u ∈ D(T ), với mọi v ∈ D(T∗)

Toán tử T∗ gọi là toán tử liên hợp của T

Định nghĩa 1.2 Giả sử A, B : H −→ H là các toán tử không bị chặn,

ta nói A ⊂ B nếu D(A) ⊂ D(B) và Bu = Au với mọi u ∈ D(A)

Ta nói A = B nếu D(A) = D(B) và Au = Bu với mọi u ∈ D(A)

Định nghĩa 1.3 Giả sử T : H −→ H là toán tử không bị chặn có miềnxác định trù mật, ta nói T là toán tử đối xứng nếu T ⊂ T∗ và T là toán

tử tự liên hợp nếu T = T∗

Như vậy, nếuT là toán tử tự liên hợp thìhT u, vi = hu, T vi, u, v ∈ D(T )

Định nghĩa 1.4 Toán tử đối xứng T gọi là tự liên hợp cốt yếu nếu T làtoán tử tự liên hợp.

Ví dụ 1.2 Cho J là khoảng và J ⊂ R Giả sử V (x) là hàm đo được giátrị thực hữu hạn và A là toán tử nhân xác định bởi

Af (x) = V (x)f (x),D(A) = {f ∈ L2(J ) : V f ∈ L2(J )}

Khi đó A là toán tử tự liên hợp

1.1.3 Toán tử dương, toán tử unita

Định nghĩa 1.5 Giả sử H là không gian Hilbert và A ∈ L(H) Ta nói A

là toán tử dương và viết A ≥ 0 nếu (Ax, x) ≥ 0, với mọi x ∈ H

Ví dụ 1.3 Phép chiếu trực giao P lên không gian đóng M của khônggian Hilbert H là một toán tử dương

Chứng minh Ta có P là toán tử tuyến tính liên tục Mặt khác, với mỗi

x ∈ H thì x = x1 + x2 Với x1 ∈ M, x2 ∈ M⊥, khi đó

hP x, xi = hx1, x1 + x2i = kx1k2 ≥ 0 Suy ra P là toán tử dương

Định nghĩa 1.6 Giả sử H là không gian Hilbert, toán tử U ∈ L(H) làtoán tử unita nếu nó giữ nguyên tích vô hướng

hU x, U yi = hx, yi, ∀x, y ∈ H

Định lí 1.1 Giả sử H là không gian Hilbert và U ∈ L(H) khi đó cáckhẳng định sau là tương đương

(i) U là đẳng cấu unita.

(ii) U∗U = U U∗ = 1E

(iii) U là song ánh tuyến tính liên tục và U∗ = U−1

Nhận xét 1.1 Nếu U là toán tử unita thì kU k = 1

Ví dụ 1.4 (i) Toán tử đồng nhất trên không gian Hilbert H là toán tửunita

(ii) Toán tử A : l2(N) −→ l2(N) xác định bởi

Ta ký hiệu S∞ là lớp các toán tử compact

Định lí 1.2 Nếu fn ∈ L(E, F ) là dãy các toán tử compact giữa các khônggian Hilbert hội tụ tới f trong L(E, F ) thì f cũng là toán tử compact

Ví dụ 1.5 (i) Mọi toán tử tuyến tính hữu hạn chiều đều là toán tửcompact

Chứng minh Giả sử f : E −→ F là toán tử tuyến tính hữu hạnchiều, khi đó Imf là không gian hữu hạn chiều của F

Do đó f (BE) compact tương đối trong F (Định lý Reisz).

(ii) Giả sửH là không gian Hilbert {en}n≥1 là hệ trực chuẩn trongH, λi

là dãy số bị chặn Toán tử A ∈ L(H) cho bởi

Định nghĩa 1.8 Giả sử T là toán tử tuyến tính trên không gian Hilbert

H, D(T ) ⊂ H là miền xác định của T.Khi đó T là khả đóng nếu tùy ý

x ∈ H là điểm giới hạn của D, với mọi dãy xấp xỉ {xn}∞n=1 trong D của

x ∈ H sao cho T xn → T x

Định nghĩa 1.9 Nếu T là khả đóng, tập đóng của T là toán tử T mà

(i) D(T ) := {x ∈ H\ tồn tại y ∈ H sao cho, bất kỳ dãy {xn}∞

n=1 trong

D(T ) với xn → x, T xn → y}

(ii) T x := y với bất kỳ x ∈ D(T )

Định nghĩa 1.10 T là đóng nếu T = T Hơn nữaT là đóng khi điều kiệnsau là đúng: Nếux ∈ Hlà điểm giới hạn của D(T )sao choD(T ) 3 xn → x

và T xn → y cho mọi y ∈ H Khi đó, x ∈ D(T ) và T x = y

Định nghĩa 1.11 Giả sử H là không gian Hilbert, T là toán tử tuyếntính trên H và I là toán tử đồng nhất trên H Ta nói λ ∈ C là giá trị

chính quy của T nếu (T − λI) là khả nghịch Trong trường hợp ngược lại,

(T − λI) không khả nghịch ta gọi λ là giá trị phổ của T

Kí hiệu ρ(T ) là tập các giá trị chính quy của T còn σ(T )là tập các giá trịphổ của T, ta có: σ(T ) = C\ρ(T )

Định nghĩa 1.12 Giả sử H là không gian Hilbert và T là toán tử tuyếntính trên H Số λ ∈ C được gọi là giá trị riêng của T nếu tồn tại x ∈

H, x 6= 0 để Ax = λx Vectơ x như vậy gọi là vectơ riêng của T ứng vớigiá trị riêng λ Không gian Nλ = Ker(T − λ) được gọi là không gian riêngứng với giá trị riêng λ

1.2.1 Phổ điểm

Định nghĩa 1.13 Tập các giá trị λ ∈ C sao cho (T − λI) không là đơnánh được gọi là phổ điểm của T

Như vậy phổ điểm của T bao gồm các giá trị riêng của T

Ví dụ 1.6 Toán tử dịch chuyển phải và trái trên l2 cho bởi

L(x) = (x2, x3, ), x = (x1, x2, ) R(x) = (0, x1, x2, )

cho λ là giá trị riêng có bội hữu hạn.

Định nghĩa 1.15 Giá của một hàm

Cho f là hàm liên tục trên Rn Giá của hàm f, ký hiệu suppf là bao đóngcủa tập {x : f (x) 6= 0}

Giả sử Ω là một tập mở trong Rn Ký hiệu

C0(Ω): Tập các hàm liên tục có giá compact trên Ω

Ví dụ 1.8 |x|4 = O(x3) = o(x2) khi x → 0.

Nhận xét 1.3 O(f (x))O(g(x)) = O(f (x)g(x))

Định nghĩa 1.18 Cho Ω ⊂ Rn là tập mở và 0 ≤ α ≤ 1 Hàm số

u : Ω −→ Rn gọi là liên tục H¨older bậc α nếu tồn tại hằng số C > 0 saocho

|u(x) − u(y)| ≤ C|x − y|α, x, y ∈ Ω

Khi α = 1 hàm số u gọi là liên tục Lipschitz

1.3.4 Không gian Sobolev

Cố định 1 ≤ p ≤ ∞ và cho k là một số nguyên không âm Bây giờ ta địnhnghĩa các không gian hàm mà thành phần của nó có đạo hàm yếu nằmtrong không gian Lp

Định nghĩa 1.19 Không gian Sobolev Wpk(Ω) là tập gồm tất cả nhữnghàm khả tổng địa phương u : U −→R sao cho với mỗi đa chỉ sốα, |α| ≤ k,đạo hàm yếu Dαu tồn tại và thuộc Lp(Ω)

Nếu p = 2 ta có: Hk(Ω) = W2k(Ω), (k = 0, 1, )

là không gian Hilbert Chú ý rằng H0(Ω) = L2(Ω)

Định nghĩa 1.20 Nếu u ∈ Wpk(Ω), ta định nghĩa chuẩn của nó là

Định nghĩa 1.21 Giả sử X- không gian Banach Họ {S(t)}t≥0 ⊂ L(X)

gọi là một nửa nhóm trên X nếu







S(t + s) = S(t)S(s), ∀t, s ≥ 0S(0) = I

{S(t)}t≥0 gọi là C0- nửa nhóm nếu có thêm tính chất

lim

t→0 +S(t)x = x, ∀x ∈ X

Ví dụ 1.9 X = Cb(0, +∞) với S(t)f(s) = f (t + s) là nửa nhóm thậtvậy

Định nghĩa 1.22 Ta gọi toán tử sinh của một nửa nhóm {S(t)}t≥0 làmột toán tử tuyến tính A : D(A) ⊂ X −→ X định nghĩa bởi

D(A) = {x ∈ X,tồn tại lim

Định nghĩa 1.23 Cho (X, d) là một không gian metric Ánh xạ f :

X −→ X gọi là ánh xạ co nếu tồn tại q ∈ [0, 1) sao cho

Ở đó, hàmK gọi là nhân Một số nhân có nghịch đảo tương ứng K−1(u, t)

có nghĩa là tồn tại phép biến đổi ngược

và V ∈ L1loc(R2) Với kí hiệu HB − V, ta hiểu là mở rộng Friedrichs củatoán tử sinh bởi dạng toàn phương

Z

R2

|(i∇ + A)u|2 − V |u|2

dx, u ∈ C0∞(R2) (2.2)Định lí 2.3 Giả sử A ∈ L2loc(R2) sinh ra từ trường B 6= 0 và 0 ≤ V ∈

L1loc(R2) sao cho vế phải của (2.3) hữu hạn với a > 0 nào đó Khi đó dạngtoàn phương (2.2) là khả đóng và tồn tại hằng số C(B, a) không phụ thuộcvào V sao cho

Kí hiệu Bs = {x ∈ R2; |x| < s}, Φ(r) = 2π1 |x|≤rB(x)dx và Φ =lim

r→+∞Φ(r) Ta xét giả thiết sau

Giả thiết H: B ∈ L1(R+, (1 + r)dr) là hàm thực thỏa B(x) = B(|x|).Định lí 2.4 Giả sử B thỏa mãn giả thiết (H) và Φ 6∈ Z Giả sử thêm

rằng V ∈ L1loc(R2, | log |x||dx) và V ∈ L1(R+, L∞(S1)) Khi đó dạng toànphương (2.2) là khả đóng và tồn tại C1(B) không phụ thuộc V sao cho

N (HB − V, 0) ≤ C1 kV log |x|kL1 (B 1 )+ kV kL1 (R + ,L ∞ (S 1 ))

(2.4)

Định lí 2.5 Giả sử B thỏa mãn giả thiết (H) và Φ ∈ Z Giả sử thêm

rằng V ∈ L1loc(R2, | log |x||dx) và V ∈ L1(R+, L∞(S1)) Khi đó dạng toànphương (2.2) là khả đóng và tồn tại C2(B) không phụ thuộc V sao cho

là một hàm xuyên tâm từ C1(R2) với giá trong B1 Một họ của hàm thếnăng Uβ cho bởi

Tiếp theo ta định nghĩa toán tử Schr¨odinger

Aβ(x) = −∆ + Uβ trong L2(R2)

Theo tiêu chuẩn Beurling- Deny, toán tửAβ sinh ra nửa nhóm coe−tAβ trên

L2(R2) với nhân tích phân dương hầu khắp nơi e−tAβ(x, y) =: kβ(t, x, y)

Bổ đề 2.1 Với mọi x ∈ R2 và t > 0 ta có

kβ(t, x, x) = e−tAβ(x, x) ≤ Cmin{t−1, (1 + |x|)2βt−1−β} β > 0, (2.7)và

Do thế năng Uβ là liên tục H¨older, từ tính chính quy elliptic nên ta có

uβ ∈ C2(R2) Hàm xuyên tâm hβ cho bởi

hβ(|x|) =

Z 2π 0

uβ(|x|, θ)dθ,

thỏa mãn Aβhβ = 0 Do đó toán tử trọng lượng

− ∆β = h−1β Aβhβ trong L2(R2, h2βdx), (2.9)

sinh ra bởi dạng toàn phương

Z

R2

|∇u|2h2β(x)dx, u ∈ H1(R2, h2βdx),

là unita tương đương tới Aβ và nhân nhiệt lượng của nó thỏa mãn

e−tAβ(x, y) = hβ(x)hβ(y)et∆β(x, y), x, y ∈R2 (2.10)

hβ(2r) ≤ Mβhβ(r), ∀r ∈ R+ (2.13)

Ký hiệu Vβ(x, s) là thể tích của hình cầu tâm x bán kính s trong độ đo

h2βdx Từ (2.11) và (2.12) ta dễ dàng thấy đa tạp (R2, h2βdx) thỏa mãntính chất nhân đôi thể tích

bởi công thức tích Trotter kéo theo bất đẳng thức (2.7) và (2.8).

Chứng minh Định lý 2.3 Đặt χ1 là hàm đặc trưng của B1 Từ [21] tabiết rằng bất đẳng thức kiểu Hardy

c1(1 − ε)

ε χ1 ≥ U0,

ta có

N (HB − V, 0) ≤ N (HB + U0 − ε−1V, 0)

Với mỗi β ≥ 0 toán tử HB + Uβ sinh ra nửa nhóm co e−s(HB +U β ) trong

1t

k0(t, x, x)V (x)dtdx (2.19)Tiếp theo, ta đặt t0(x) = e + V (x)1 và sử dụng đánh giá ta có

k0(t, x, x) ≤ c

t, 0 < t < t0(x), k0(t, x, x) ≤

c(1 + |log|xk)1+at(logt)1+a , t0(x) ≤ t,

từ đó ta có (2.3) Hơn nữa, toán tử HB − V chỉ có hữu hạn các giá trịriêng do đó dạng toàn phương (2.2) là bị chặn và khả đóng

Trong mục này, ta sẽ chứng minh những bất đẳng thức kiểu Hardy chotoán tử HB Những bất đẳng thức này sẽ được sử dụng trong chứng minhcủa Định lý 2.4 và 2.5

Bổ đề 2.2 Giả sử rằng A ∈ L2loc(R2) sinh ra một từ trường khác không.Khi đó tồn tại một hằng số C(A) > 0 sao cho

Z ∞

0

|f0(r)|2rdr + c0

Z 3 0

|f (r)|2rdr ≥ C

Z ∞ 3

|f (r)|2

r(logr)2dr (2.22)đúng cho mọi f ∈ C0∞(R+) và hằng số C > 0 Định nghĩa hàm φ như sau:

|(φf )0(r)|2rdr + c0(1 − c0)

Z 3 0

|f (r)|2rdr

≤

Z ∞ 0

|f0(r)|2rdr + c0

Z 3 0

|(φf )0(r)|2rdr −

Z ∞ 2

|(φf )(r)|2

4r(logr)2 dr

Cùng với hai đẳng thức cuối chứng minh được (2.22) và do đó chứng minhđược (2.20)

Bổ đề 2.3 Giả sử từ trường thỏa mãn điều kiện của Định lý 2.4 Khi đótồn tại một hằng số κ > 0 sao cho bất kỳ u ∈ C0∞(R2) ta có

Z 2π 0

ta có thể phân tích u thành chuỗi Fourier

1

√2π



|u0m(r)|2+(Φ(r) + m)

2

r2 |um(r)|2rdr, (2.24)xem (2.31) Từ Φ(r) là bị chặn, tồn tại c > 0 và M0 ∈ N sao cho

(Φ(r) + m)2 ≥ c > 0 ∀r > 0, ∀m : |m| ≥ M0 (2.25)Mặt khác, Φ(r) → 0 khi r → 0 và Φ /∈ Z, cho bất kỳ m 6= 0 ta tìm được

Nếu tổng thông lượng Φ là một số nguyên, khi đó ta có

Bổ đề 2.4 Giả sử từ trường thỏa điều kiện của Định lý 2.5 Khi đó tồntại một hằng số κ0 sao cho với bất kỳ u ∈ C0∞(R2) biểu diễn dưới đâyđúng: Nếu

Z 2π

0

u(r, θ)dθ =

Z 2π 0

Z 2π 0

(|∂ru|2+r−2|i∂θu + Φ(r)u|2)rdrdθ, (2.28)

u ∈ H1(R+ × (0, 2π))

Bằng mở rộng một hàm u ∈ L2(R+× (0, 2π)) thành một chuỗi Fourier với

cơ sở trực chuẩn {(2π)−1/2eimθ}m∈Z của L2(0, 2π), ta được

L2(R2) = X

m∈Z

ở đó Lm = {g ∈ L2(R2) : g(x) = f (r)eimθ, R0∞|f (r)|2rdr < ∞} Vì từtrường B là xuyên tâm, toán tử HB có khai triển



|f0|2 + (Φ(r) + m)

2

r2 |f |2rdr (2.31)được định nghĩa unita trên C0∞(R+), và Πm : L2(R2) −→ Lm là phépchiếu

(Πmu)(r, θ) = 1

2π

Z 2π 0

eim(θ−θ0)u(r, θ0)dθ0 (2.32)Toán tử H0 = −∆

Qu = u − Π0u, u ∈ L2(R2)

Từ Π0 và Q kết hợp với HB, nguyên lý biến phân và bất đẳng thức

|(u, (Π0V Q + QV Π0)u| ≤ (u, QV Qu) + (u, Π0V Π0u), ∀u ∈ C0∞(R2),

kéo theo ước lượng

HB − V ≥ Π0(HB − 2V )Π0 + Q(HB − 2V )Q (2.34)đúng theo nghĩa của dạng toàn phương trên C0∞(R2) Do đó

N (HB − V, 0) ≤ N (Π0(HB − 2V )Π0, 0) + N (Q(HB − 2V )Q, 0) (2.35)Đặt

b

V (r) = 1

2π

Z 2π 0

V (r, θ)dθ (2.36)Giả sử ta ký hiệu P0a,b giới hạn của toán tử P0 trên L2((a, b), rdr) với điềukiện biên Neumann tại điểm cuối a và b

Bổ đề 2.5 Đặt 0 ≤ a < b ≤ ∞ Giả sử rằng W ≥ 0 là liên tục và giácompact Khi đó tồn tại một hằng số L0, không phụ thuộc a và b, sao chovới bất kỳ δ > 0 ta có

W (r)rdr (2.37)

Chứng minh Xét ánh xạ U : L2((a, b), rdr) 7→ L2(a, b) định nghĩa bởi

(U f )(r) = r1/2f (r) Tính toán trực tiếp ta có toán tử

r2 u(r), u0(a) = u(a)

2b , u

0(b) = u(b)

2b ,

0 < a < b < ∞,

ở đó điều kiện biên u(a) = 0 nếu a = 0 và u ∈ L2(a, ∞) nếu b = ∞ Đặt

Ga,bδ (r, r0, κ) là nhân tích phân của giải thức của Tδa,b tại điểm κ2 tức là

Ga,bδ (r, r0, κ) = (Tδa,b + κ2)−1(r, r0)

Từ định lý Sturm-Liouville của toán tử vi phân thông thường ta tính được

Ga,bδ (r, r, κ) = r

ωδ(a) + ωδ(b)(Iδ(rκ)+ωδ(a)Kδ(rκ))(Iδ(rκ)+ωδ(b)Kδ(rκ)),

ở đó Iδ và Kδ là hàm Bessel thay đổi, và

Ga,bδ (r, r, κ)W (r)dr ≤ c

δ

Z b a

W (r)rdr

Vì U là unita, bổ đề được chứng minh

Bổ đề 2.6 Giả sử V ∈ L1(R+, L∞(S1)) Khi đó bất kỳ ε > 0 tồn tại một

Cε sao cho

NHB + ε

|x|2 − V, 0 ≤ CεkV kL1 (R + ,L ∞ (S 1 )) (2.40)Chứng minh Theo tính trù mật, nó thỏa mãn chứng minh đánh giá đốivới V liên tục và có giá compact Theo (2.30) ta có