Một số vấn đề về điểm bất động của ánh xạ không giãn

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2NGUYỄN THỊ BÍCH NGỌC MỘT SỐ VẤN ĐỀ VỀ ĐIỂM BẤT ĐỘNG CỦA ÁNH XẠ KHÔNG GIÃN Chuyên ngành: Toán giải tích Mã số: 60 46 01 02 LUẬN VĂN T

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

NGUYỄN THỊ BÍCH NGỌC

MỘT SỐ VẤN ĐỀ VỀ ĐIỂM BẤT ĐỘNG

CỦA ÁNH XẠ KHÔNG GIÃN

Chuyên ngành: Toán giải tích

Mã số: 60 46 01 02

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học: TS Nguyễn Văn Khải

Hà Nội - 2016

Header Page 1 of 132.

LỜI CẢM ƠN

Tôi xin gửi lời cảm ơn sâu sắc tới thầy hướng dẫn khoa học TS.Nguyễn Văn Khải Thầy đã tận tình và nghiêm khắc hướng dẫn tôi trongquá trình hoàn thành luận văn này

Nhân dịp này tôi xin gửi lời cảm ơn chân thành của mình tới toàn

bộ các thầy cô giáo trong khoa Toán và phòng Sau Đại học trường Đạihọc Sư phạm Hà Nội 2 đã giảng dạy và giúp đỡ tôi trong quá trình họctập tại đây Tôi xin cảm ơn gia đình và bạn bè đã luôn bên tôi, ủng hộtôi trong suốt quá trình học tập và thực hiện luận văn

Một lần nữa tôi xin chân thành cảm ơn

Hà Nội, ngày tháng năm 2016

Tác giả luận văn

Nguyễn Thị Bích Ngọc

Header Page 2 of 132.

LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan luận văn này là kết quả nghiên cứu của riêng tôidưới sự hướng dẫn của TS Nguyễn Văn Khải

Trong quá trình nghiên cứu, tôi đã kế thừa thành quả khoa học củacác nhà khoa học với sự trân trọng và biết ơn Các kết quả trích dẫntrong luận văn này đã được chỉ rõ nguồn gốc

Hà Nội, ngày tháng năm 2016

Tác giả luận văn

Nguyễn Thị Bích Ngọc

Header Page 3 of 132.

Mục lục

1.1 Không gian metric 6

1.2 Không gian tuyến tính 8

1.3 Không gian tuyến tính định chuẩn 9

1.4 Không gian Banach 13

1.5 Không gian Hilbert 13

1.6 Toán tử tuyến tính 14

1.7 Không gian liên hợp và tính phản xạ 16

1.8 Cấu trúc hình học của không gian Banach 17

2 Một số vấn đề về điểm bất động của ánh xạ không giãn 26 2.1 Ánh xạ không giãn và điểm bất động của nó 26

2.2 Ánh xạ không giãn mở rộng 32

Header Page 4 of 132.

Mở đầu

1 Lý do chọn đề tài

Ánh xạ không giãn là một phần quan trọng của giải tích hàmphi tuyến - một lĩnh vực quan trọng của giải tích - một môn học vừamang tính lý thuyết vừa mang tính ứng dụng rộng rãi Ánh xạ khônggiãn và điểm bất động của nó là một nội dung quan trọng của toánhọc hiện đại và có nhiều ứng dụng chẳng hạn như để chứng minh sựtồn tại nghiệm của phương trình vi phân, phương trình và hệ phươngtrình phi tuyến, phương trình tích phân, Với lý do đó, với sự hướngdẫn của TS Nguyễn Văn Khải tôi đã lựa chọn luận văn với đề tài

“Một số vấn đề về điểm bất động của ánh xạ không giãn.”

Để hoàn thành luận văn, tôi đã sử dụng một số tài liệu tham khảo

cụ thể như sau: Kiến thức chuẩn bị cũng như mục 2.1 của Chương 2được dựa trên tài liệu [1] và [2], phần còn lại của luận văn được dựa trêntài liệu [3]

2 Mục đích nghiên cứu

Nghiên cứu một số vấn đề về ánh xạ không giãn và điểm bất độngcủa nó trong không gian Banach và ánh xạ không giãn mở rộng

Header Page 5 of 132.

3 Nhiệm vụ nghiên cứu

Nghiên cứu ánh xạ không giãn, điểm bất động của ánh xạ khônggiãn, ánh xạ không giãn mở rộng và một số vấn đề liên quan

4 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

Ánh xạ không giãn và vấn đề liên quan

Ánh xạ không giãn mở rộng và vấn đề liên quan

5 Phương pháp nghiên cứu

Luận văn dùng phương pháp của giải tích toán học

6 Đóng góp của luận văn:

Trình bày một số vấn đề về ánh xạ không giãn và ánh xạ khônggiãn mở rộng

Hà Nội, ngày tháng năm 2016

Tác giả luận văn

Nguyễn Thị Bích Ngọc

Header Page 6 of 132.

Chương 1

Kiến thức chuẩn bị

Định nghĩa 1.1 Cho X 6= ∅ là một tập hợp tùy ý Một metric trong

X là một ánh xạ

d : X × X → Rthỏa mãn các điều kiện sau:

1) d(x, y) ≥ 0, ∀x, y ∈ X; d(x, y) = 0 ⇔ x = y;

2) d(x, y) = d(y, x), ∀x, y ∈ X;

3) d(x, y) ≤ d(x, z) + d(z, y), ∀x, y, z ∈ X

Tập hợp X và một metric trong X gọi là một không gian metric, ký hiệu

là (X, d) Số d(x, y) gọi là khoảng cách giữa các điểm x và y

Ví dụ 1.1 Với hai phần tử bất kỳ x, y ∈ R ta đặt:

thì d là một metric và R là không gian metric với khoảng cách nêu trên

Header Page 7 of 132.

Ví dụ 1.2 Ta ký hiệu C[a,b] là tập tất cả các hàm số giá trị thực xácđịnh và liên tục trên [a, b], (−∞ < a < b < +∞) Với hai hàm số bất kỳx(t), y(t) ∈ C[a,b] ta đặt

d(x, y) = max

a≤t≤b|x(t) − y(t)| (1.2)

Vì các hàm số x(t), y(t) liên tục trên [a, b] nên hàm số |x(t) − y(t)| cũngliên tục trên [a, b] Hệ thức (1.2) xác định một ánh xạ từ C[a,b]× C[a,b] vàtập số thực R Ánh xạ (1.2) thỏa mãn các điều kiện về metric Khônggian metric tương ứng vẫn được ký hiệu là C[a,b]

Định nghĩa 1.2 Dãy điểm {xn} trong không gian metric (X, d) được gọi

là hội tụ tới điểm x ∈ X nếu lim

n→∞(xn, x) = 0.Khi đó ký hiệu lim

n→∞xn = xhay xn → x khi n → ∞

Định nghĩa 1.3 Một dãy điểm {xn} trong không gian metric (X, d)được gọi là dãy cơ bản (hay dãy Cauchy) nếu lim

b) Xét tập Q các số hữu tỷ với khoảng cách

d(x, y) = |x − y|; ∀x, y ∈ Qthì Q không phải là không gian metric đầy đủ

Định nghĩa 1.5 Cho không gian metric M = (X, d) Tập K ⊂ X gọi

là tập hợp compact trong không gian M nếu mọi dãy vô hạn phần tử củatập K đều chứa dãy con hội tụ tới một phần tử thuộc K Khi K = Xthì M gọi là không gian compact

Header Page 8 of 132.

Định nghĩa 1.6 Trong không gian metric M = (X, d), A là tập concủa M Đường kính của tập A kí hiệu là diam A và được xác định bởi:

diam A = sup{d(x, y) : x, y ∈ A}

Định nghĩa 1.7 Xét R là trường số thực, tập hợp X 6= ∅ cùng với haiphép tính cộng và nhân vô hướng:

+ Phép cộng:

X × X → X(x, y) 7→ x + y+ Phép nhân vô hướng:

R × X → X(λ, x) 7→ λx

X được gọi là không gian tuyến tính trên R nếu các điều kiện sau đượcthỏa mãn:

8) ∀x ∈ X : 1.x = x.

Khi đó ta cũng nói rằng X là một không gian vectơ trên R hoặc nói ngắngọn X là không gian tuyến tính nếu không sợ nhầm lẫn, mỗi phần tử

x ∈ X được gọi là một vectơ

Định nghĩa 1.8 Cho X là không gian vectơ trên trường số thực R.Hàm số k.k : E → R+ được gọi là một chuẩn trên X nếu các tính chấtsau thỏa mãn:

i) kxk ≥ 0 với mọi x ∈ X, kxk = 0 ⇔ x = θ;

ii) kλxk = |λ|kxk với mọi λ ∈ R và với mọi x, y ∈ X;

iii) kx + yk ≤ kxk + kyk với mọi x, y ∈ X

Không gian vectơ X trên đó xác định một chuẩn được gọi là không giantuyến tính định chuẩn

Ví dụ 1.4 (Không gian Euclide n - chiều)

Ví dụ 1.5 Xét không gian C[a;b] các hàm liên tục trên đoạn [a; b] vớiphép cộng, phép nhân thông thường Xét f ∈ C[a;b], kf k =

Ví dụ 1.6 (Không gian các dãy bị chặn)

Nhận xét 1.2 Từ định nghĩa suy ra nếu X là một không gian tuyếntính định chuẩn thì nó là một không gian metric, với metric được địnhnghĩa bởi d(x, y) = kx − yk với mọi x, y ∈ X Khi đó d là một khoảngcách cảm sinh bởi chuẩn trong X Vì vậy, lý thuyết các không gian metric

áp dụng được cho các không gian tuyến tính định chuẩn

Định nghĩa 1.9 Giả sử {xn}∞n=1 là một dãy trong không gian tuyếntính định chuẩn X Ta nói dãy {xn}∞n=1 hội tụ đến điểm x ∈ X nếu

lim

n→∞kxn − xk = 0,nghĩa là, với mọi số ε > 0 tồn tại số tự nhiên nε sao cho kxn − xk < εvới mọi n ≥ nε

Khi đó, điểm x ∈ X được gọi là giới hạn của dãy {xn}∞n=1 và taviết

lim

n→∞xn = x hoặc xn → x

Một dãy được gọi là hội tụ nếu nó có một giới hạn nào đó

Mệnh đề 1.1 Giả sử trong không gian tuyến tính định chuẩn X, xn →

x0, yn → y0 và λn → λ0 Khi đó xn + yn → x0 + y0 và λnxn → λ0x0 với

xn, yn, x0, y0 ∈ X, λn, λ0 ∈ R

Header Page 11 of 132.

Định nghĩa 1.10 Dãy {xn} trong không gian tuyến tính định chuẩn Xđược gọi là dãy Cauchy, nếu

lim

n,m→∞kxn− xmk = 0

Định nghĩa 1.11 Giả sử X là không gian tuyến tính định chuẩn, R làtập số thực Khi đó A ⊂ X được gọi là lồi, nếu với mọi x1, x2 ∈ A, λ ∈ Rsao cho 0 ≤ λ ≤ 1 ta có

λx1 + (1 − λ)x2 ∈ A

Tập hợp các điểm z = λx1+ (1 − λ)x2 với x1, x2 ∈ X, λ ∈ [0, 1] được gọi

là đoạn thẳng nối x1, x2 trong X

A được gọi là bao lồi của A:

coA = ∩{K ⊂ X : K ⊃ A}; với K lồi

coA được gọi là bao lồi đóng của A được xác định bởi

coA ∩ {K ⊂ X : K ⊃ A}; K là đóng và lồi

Định nghĩa 1.13 Giả sử D là một tập lồi trong không gian tuyến tínhX

• Hàm f : D → R được gọi là lồi trên D nếu

f (λx + (1 − λ)y ≤ λf (x) + (1 − λ)f (y)với mọi λ ∈ [0, 1] và ∀x, y ∈ X

• Hàm f : D → R được gọi là lồi chặt nếu với mọi x, y ∈ D ta có

f (z) < max{f (x), f (y), ∀z ∈ [x, y] = đoạn thẳng nối hai điểm x, y}

Header Page 13 of 132.

1.4 Không gian Banach

Định nghĩa 1.14 Nếu không gian định chuẩn X là một không gianmetric đầy đủ với khoảng cách d(x, y) = kx − yk thì X được gọi là khônggian Banach

Ví dụ 1.9 C[a;b] - Không gian các hàm số liên tục trên đoạn [a; b] làkhông gian Banach với chuẩn

Định nghĩa 1.15 Cho X là một không gian tuyến tính trên R Ta gọi

là tích vô hướng trên X là một ánh xạ đi từ X × X → R, kí hiệu (., )thỏa mãn các tiên đề sau với ∀x, y, z ∈ X, ∀λ ∈ R:

1) (x, y) = (y, x);

2) (x + y, z) = (x, z) + (y, z);

3) (λx, y) = λ(x, y);

Header Page 14 of 132.

4) ∀x ∈ X thì (x, x) ≥ 0, (x, x) = 0 ⇔ x = θ.

Số (x, y) được gọi là tích vô hướng của hai phần tử x, y

Định nghĩa 1.16 Xét H 6= ∅ gồm các phần tử x, y, z, là không gianHilbert nếu thỏa mãn các điều kiện sau:

1) H là không gian tuyến tính trên trường R2) H được trang bị một tích vô hướng (., )3) H là một không gian Banach với khoảng cách

kxk = p(x, x) =

vuut

Header Page 15 of 132.

1) A(x1 + x2) = A(x1) + A(x2) ∀x1, x2 ∈ X2) A(αx) = αA(x), ∀x ∈ X, ∀α ∈ R.

Sau đây để cho gọn ta thường viết Ax thay cho A(x)

Khi toán tử A chỉ thỏa mãn điều kiện 1) thì A gọi là toán tử cộng tính,còn khi toán tử A chỉ thỏa mãn điều kiện 2) thì A gọi là toán tử thuầnnhất

Khi X = Y thì ta cũng nói A là một toán tử trong X

Khi Y = R thì toán tử A thường gọi là phiếm hàm tuyến tính

Định nghĩa 1.18 Xét X, Y là hai không gian tuyến tính định chuẩn,toán tử A : X → Y gọi là liên tục nếu

xn → x0(n → ∞) luôn kéo theo Axn → Ax0(n → ∞)

Một toán tử tuyến tính từ Rk vào Rm bao giờ cũng liên tục Nhưngvới các không gian tuyến tính định chuẩn bất kỳ thì toán tử tuyến tínhkhông luôn luôn liên tục Điều kiên liên tục tương đương với tính bị chặn

Cho toán tử tuyến tính giới nội A : X → Y , ta gọi chuẩn của A là một

số, kí hiệu kAk, xác định bởi:

kAk = inf{M > 0 : kAxk ≤ M kxk, ∀x ∈ X}

Định lý 1.1 Mọi phiếm hàm tuyến tính liên tục trong không gian Hilbert

H đều có thể biểu diễn duy nhất dưới dạng

f (x) = (x, a), x ∈ H

Header Page 16 of 132.

trong đó phần tử a ∈ H được xác định bởi phiếm hàm f và

kf k = kak

Xét X, Y là hai không gian Banach và L(X, Y ) là tập hợp tất cảcác toán tử tuyến tính giới nội từ X và Y

Trong L(X, Y ) trang bị phép toán cộng như sau:

A, B ∈ L(X, Y ) thì (A + B)(x) = A(x) + B(x), ∀A, B ∈ L(X, Y ),

∀x ∈ X Ngoài ra, xét phép nhân ngoài xác định bởi

(λA)(x) = λ.Ax, ∀λ ∈ R, ∀A ∈ L(X, Y ), ∀x ∈ X

Khi đó, dễ thấy kA + Bk ≤ kAk + kBk và kλAk = |λ|kAk nên rút

ra L(X, Y ) là không gian tuyến tính trên R

Định lý 1.2 L(X, Y ) là không gian tuyến tính định chuẩn

Định nghĩa 1.20 Không gian L(X, R) các phiếm hàm tuyến tính liêntục từ X vào R được gọi là không gian liên hợp của X và ký hiệu X∗.Định nghĩa 1.21 Không gian L(X∗, R) các phiếm hàm tuyến tính liêntục từ X∗ vào R được gọi là không gian liên hợp thứ hai của X, ký hiệu

Header Page 17 of 132.

Định nghĩa 1.23 Môt dãy các phần tử xn của không gian Banach Xhội tụ mạnh đến phần tử x0 khi (n → ∞) nếu kxn − x0k → ∞ Hội tụtheo chuẩn được gọi là hội tụ mạnh.

Dãy xn hội tụ yếu đến x0 nếu:

Xét ϕ ∈ l2 : ϕ = (ϕ1, ϕ2, , ϕn, ) ta có (ej, ϕ) = ϕj nên lim

j→∞(ej, ϕ) =

0 Tức là dãy {ej} hội tụ yếu đến phần tử 0, tuy nhiên dãy {ej}∞1 thỏamãn kei− ejk = √2, ∀i 6= j nên nó không hội tụ mạnh tới 0

Định nghĩa 1.24 Không gian Banach (X, k.k) được gọi là lồi chặt nếuvới mọi x 6= y mà kxk ≤ 1, kyk ≤ 1, ta có kx + y

Khi đó X là không gian lồi chặt

Thật vậy, với mọi x, y ∈ R, x 6= y mà:

Thật vậy,Lấy x = (1, 0, , 0), y = (0, 1, , 0) Khi đó, x 6= y, kxk1 = 1,kyk1 = 1, x + y = (1, 1, 0, , 0),

kx + y

2 k ≤ 1 − δ(ε)

Ví dụ 1.17 Mọi không gian Hilbert H đều lồi đều

Thật vậy, với mọi x, y ∈ H thỏa mãn: kxk ≤ 1, kyk ≤ 1,

kx − yk ≥ ε

Header Page 19 of 132.

Trong không gian Hilbert với chuẩn sinh bởi tích vô hướng, ta có đẳngthức hình bình hành

Vậy không gian Hilbert H là không gian lồi đều

Ví dụ 1.18 Không gian C[0,1] không phải là lồi đều

Vậy C[0,1] không phải là lồi đều

Định nghĩa 1.26 Môđun lồi của không gian Banach X là hàm số

Header Page 20 of 132.

Định nghĩa 1.27 Đặc trưng lồi của không gian Banach X được xácđịnh bởi

0(X) = sup{ ∈ [0, 2] : δX() = 0}

Hai đại lượng này cho ta nhiều thông tin về tính chất của khônggian Chẳng hạn, X lồi đều khi và chỉ khi 0(X) = 0; X lồi chặt khi vàchỉ khi δX(2) = 1; nếu 0(X) < 2 thì X là không gian phản xạ Hiểnnhiên mọi không gian lồi đều thì lồi chặt và phản xạ

Định nghĩa 1.28 Không gian Banach X được gọi là lồi đều theo mọihướng nếu δX(ε) > 0 và x − y = tz với mọi z ∈ SX, ε ∈ [0, 2], t ≥ 0

Bổ đề 1.1 Không gian Banach X là lồi đều theo mọi hướng nếu vàchỉ nếu lim

n→∞kxn − ynk = 0, với (xn) ⊂ X, (yn) ⊂ X mà lim

n→∞kxnk = 1,lim

n→∞kynk = 1, lim

n→∞kxn + ynk = 2 và với z ∈ Sx, xn − yn ∈ Span({z})với mọi n, ở đây Span(A) là không gian con tuyến tính sinh bởi A, với

n→∞inf kxn − ynk > c > 0 và z ∈ Sx sao cho

xn − yn ∈ Span({z}) với mọi nLấy γ > 0 ta có thể giả thiết rằng (xn), (yn) ∈ (1 + γ)BX,

δX(z, c) = 0 (trái với giả thiết)

Header Page 21 of 132.

Bây giờ ta giả sử rằng X không lồi đều theo mọi hướng thì δX(z, ε) = 0với z ∈ SX và ε > 0.

Từ định nghĩa của δX(z, ε) ta có dãy (xn), (yn) trong BX sao cho

(i) X là lồi đều theo mọi hướng;

(ii) Nếu {xn} là dãy bị chặn trong X thì một hàm f trên X định nghĩabởi f (x) = limsupnkxn− xk là tựa lồi chặt, tức là:

f (λx + (1 − λ)y) < max{f (x), f (y)}, (1.3)với ∀ λ ∈ (0, 1) và x, y ∈ X, x 6= y

• f (x) = f (y) và λ 6= 1

2.Trong trường hợp đầu tiên ta có:

λf (x) + (1 − λ)f (y) < max{f (x), f (y)}

Trong trường hợp 2, bằng phản chứng, ta giả sử (1.3) không xảy ra thì

Trong trường hợp 3, nếu 0 < λ < 1

Do đó, f tựa lồi chặt, điều này mâu thuẫn với (ii)

Vậy ta có limnkun − vnk = 0 Theo bổ đề 1.1 thì X là lồi đều theo mọi

với y 6= z, y ∈ X.

Định nghĩa 1.30 Tập hợp K trong không gian định chuẩn X được gọi

là có cấu trúc chuẩn tắc nếu mọi tập hợp con lồi, đóng, bị chặn H của

nó với diam H > 0 đều chứa một điểm x ∈ H sao cho

Khi đó tập K lồi, đóng, bị chặn nhưng không có cấu trúc chuẩn tắc

Thật vậy, hiển nhiên tập K là lồi đóng, bị chặn Ta có:

diamK = sup{kx − yk : x, y ∈ K}

= sup

x,y∈K

max

Chương 2

Một số vấn đề về điểm bất động

của ánh xạ không giãn

Định nghĩa 2.1 Cho C là tập con khác rỗng của không gian Banach X.Ánh xạ T : C → X được gọi là ánh xạ không giãn nếu với mọi x, y ∈ C,

Sau đây, kí hiệu F (T ) là tập hợp các điểm bất động của toán tử T

Ví dụ 2.4 Cho X = l1 và cho {en} = (0, , 0, 1, 0, ) (tọa độ thứ nbằng 1 và các tọa độ khác bằng 0) với n ∈ N∗

Xét K = co{en, n ∈ N∗}, từ đó

K = {x ∈ l1, x = (x1, , xn, ) với kxk = 1}

Dễ thấy diam K = 2

Xét toán tử S : K → K xác định bởi: Sx = S(x1, x2, ) = (0, x1, x2, )thì S là một phép đẳng cự từ K vào K, hơn nữa S không có điểm bấtđộng Thật vậy, Sx = x ⇒ x1 = 0 từ đó xi = 0 ∀i nên x = θ trái vớiđiều kiện kxk =

Nhưng khi đó ta có x∗i = 1 với mọi i nên x∗ không thuộc c0

Điểm bất động của ánh xạ không giãn có thể không duy nhất(chẳng hạn, xét ánh xạ đồng nhất)

Ví dụ 2.6 Cho X = C[−1; 1] ánh xạ T xác định bởi:

(T x)(t) = min{1, max{−1, x(t) + 2t}},

là ánh xạ không giãn biến hình cầu đơn vị lên biên của nó Hơn nữa vì(T x)(t) > x(t) với t > 0 hoặc (T x)(t) < x(t) với t < 0 nên T không cóđiểm bất động

Header Page 28 of 132.