Đề thi học kì 2 môn Toán lớp 12 trường THPT Yên Lạc 2, Vĩnh Phúc năm học 2015 2016

ABCD đáy ABCD là hình vuông cạnh a, tam giác SAB đều.. Gọi I, F lần lượt là trung điểm của ABvà AD, đường thẳngSIvuông góc với đáy ABCD.. ABCDvà khoảng cách từ điểm I đến mặt phẳng SFC.

SỞ GD&ĐT VĨNH PHÚC

TRƯỜNG THPT YÊN LẠC 2

-ĐỀ KIỂM TRA HỌC KÌ 2 LỚP 12 MÔN TOÁN NĂM HỌC 2015 – 2016

Thời gian làm bài 90 phút, không kể thời gian giao đề

(Đề thi gồm 01 trang)

-Câu 1: (2,5 điểm)

a) Khảo sát và vẽ đồ thị (C)của hàm số

2

1 2







x

x

b) Tìm m để đồ thị của hàm số yx3 3x2 mx1 có hai điểm cực trị

Câu 2: (1,0 điểm) Giải phương trình: log ( 3) log ( 1) log (3 7)

2

1

3

3 27

3 x  x  x

Câu 3: (2,0 điểm)

a) Tính thể tích khối tròn xoay được tạo bởi phép quay quanh trục Oxhình phẳng giới hạn bởi các đường yx2 2x, y0, x 0 và x 1

b) Tính tích phân : 1 

0

) 1 ( e dx x

Câu 4: (1,0 điểm) Tính môđun của số phức wzi z, biết z (12i)2

Câu 5: (1,0 điểm) Cho hình chóp S ABCD đáy ABCD là hình vuông cạnh a, tam giác

SAB đều Gọi I, F lần lượt là trung điểm của ABvà AD, đường thẳngSIvuông góc với đáy( ABCD) Tính thể tích khối chóp S ABCDvà khoảng cách từ điểm I đến mặt phẳng )

(SFC

Câu 6: (1,5 điểm) Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng  có phương trình:

1

3 2

3

1











y

x

và mặt phẳng ( có phương trình:) x2y2z40 a) Tìm tọa độ giao điểm của đường thẳng  với mặt phẳng ( )

b) Viết phương trình mặt cầu(S)có tâm D(3; 2; 1) và bán kính là 5 Chứng minh mặt cầu(S) giao với mặt phẳng( bởi một đường tròn, tìm bán kính của đường tròn giao) đó

Câu 7: (1,0 điểm) Giải hệ phương trình sau:



























0 2 2

27 ) 1 1 9 )(

2 4

1 (

2

3 2 2

2 2

x y x

y x y

y x x

, (xR)

-Hết -SỞ GD&ĐT VĨNH PHÚC

TRƯỜNG THPT YÊN LẠC 2

-ĐÁP ÁN ĐỀ KIỂM TRA HỌC KÌ 2 LỚP 12

MÔN TOÁN

NĂM HỌC 2015 - 2016

-I LƯU Ý CHUNG

- Hướng dẫn chấm chỉ trình bày một cách giải với những ý cơ bản phải có Khi chấm bài, học sinh làm theo cách khác nếu đúng và đủ ý thì vẫn cho điểm tối đa

- Điểm toàn bài tính đến 0,25 và không làm tròn

- Với bài 5 học sinh không vẽ hình phần nào thì không cho điểm phân đó

II ĐÁP ÁN

1 a  TXĐ: D R\ 2

 Sự biến thiên

x





) 2 (

5

0,25

- Hàm số nghịch biến trên các khoảng (;2) và (2;)

- Tiệm cận lim  lim 2







x

x nên tiệm cận ngang là: y 2

2 lim

, lim

2

2    



x

của đồ thị

0,25

Bảng biến thiên:

'









2

0,25

Đồ thị

- Đồ thị cắt trục Oxtại ;0)

2

1 (

A cắt trụcOytại )

2

1

; 0 ( 

B , nhận (2;2)là tâm đối xứng

0,5

Để đồ thị hàm số có hai điểm cực trị thì y'0có hai nghiệm phân biệt 0,25

3



 m

Vậy với m 3 thì đồ thị hàm số đã cho có hai điểm cực trị 0,25

Phương trình đã cho tương đương với:

) 7 3 ( log ) 1 ( log ) 3 (

7 3 ) 1 )(

3

0 4 5

2   













4

1

x x

Kết hợp với điều kiện phương trình có nghiệm là: x 4

0,25

Thể tích cần tìm là  1 

0

2

2 2 ) (x x dx

 1 0

2 3

4 4 4 )

0

1 ) 3

4 5

(

3 4

x

x





15

8

b









0

1 0

2 1

0

1 0

1

1 0

1 2 )

1

x

0,25

Tính 1

0

1 xe dx



















x

x dx v e e

dv

dx du x u







0 1

1

dx e o xe

1 1 0

1 0 1













e e

e

0,25

Vậy

2

3 2

1

1 



0,25

4 Ta có z(12i)2 14i4i2 4i3 0,25

i

z 34

7 7 4 3 3 4 ) 4 3 ( 3



5

Vì tam giác ABClà tam giác đều nên

2

3

a

Thể tích của khối chóp là:

6

3

3

2 a a SI

0,5

Gọi K FCID

+ Vì SI (ABCD)SIFC(*) + Mặt khác, Xét hai tam giác vuông AID và DFC có:

DC AD DF

AI  ,  Suy ra, AIDDFC AID DFC

mà AID  ADI 900 DFC  ADI 900 hay FC ID(**) + Từ (*) và (**) ta có: FC(SID) IH FC (2) Từ (1) và (2) suy ra:IH (SFC) hay khoảng cách d(I,(SFC)) IH

Ta có:

10

5 3

5

5 5

1 1

1 , 2

5

2 2 2

2

a DK ID IK

a DK a

DF DC

DK

a ID





















Do đó,

8

2 3 9

32 1

1 1

2 2 2 2

a IH a

IK SI

Vậy

8

2 3 )) ( ,

0,25

6 a Gọi M là giao của  và mp() , vì M nên ta có

) 3

; 2

; 1 3 ( t t t

1 7

7 0 4 6 2 4 2 1

Vậy giao điểm của  và mặt phẳng ( là) M(2;1;2) 0,25

b Phương trình mặt cầu (S)có tâm Dvà bán kính R 5là:

25 ) 1 ( ) 2 ( ) 3

Ta có khoảng cách từ Dđến ( là:) 3

2 2 1

4 2 4 3

2 2













h

Vì h Rnên mặt cầu (S)giao với mặt phẳng ( bởi một đường tròn)

0,25

Gọi Ilà tâm của đường tròn giao tuyến thì DI(),DI 3 Vậy bán kính của đường tròn giao tuyến là: r  R2 h2  259 4 0,25

 



























2 0 2 2

1 27 ) 1 1 9 )(

2 4

1 (

2

3 2 2

2 2

x y x

y x y

y x x

+) Với y0 ta có VT(1) 0 và VP(1) 0 nên không thỏa mãn hệ 0,25

phương trình

+) Với y0thì từ (2)  x2x2y22 x2

Từ (1) x2 14x2y23x2y( 9y2 11)

 3 1

9 3 2



Rút từ (2)ra 2x2x2ythay vào phương trình (3)ta được:

y x y

y x x x

y x y

y x y x x

x

2 2

2 2

2 2

2 2

2

3 1 9 3 1

1 9 3 2

1

























Với x 2chia cả hai vế chox2 ta được:

 * ) 3 ( )

1

(

3 1 9 3

1 1

)

1

(

y f

x

f

y y

y x x

x















0,25

Xét hàm số f(t)t t2 1t ta được 1 0

1 1

) ( '

2

2









t

t t

t f

với tR

Suy ra hàm số đồng biến trên R

0,25

Nên từ phương trình

3

1 3

1 (*)  y xy

x thay vào phương trình )

2

( ta được

18

1

6 

x thỏa mãn hệ phương trình

Vậy hệ phương trình có nghiêm là: )

18

1

; 6 ( )

; (x y 

0,25