a Khảo sát và vễ đồ thị C của hàm số đã cho.. b Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị C và trục Ox.. Xác định tâm và tính bán kính của đường tròn C.
Trang 1SỞ GIÁO DỤC ĐÀO TẠO ĐỀ KIỂM TRA HK2 – NĂM HỌC 2015 - 2016
THPT NGUYỄN CHÍ THANH Thời gian làm bài: 120 phút
ĐỀ CHÍNH THỨC
Bài 1 (2,5đ) Cho hàm số y x = 4− 2x2− 3
a) Khảo sát và vễ đồ thị (C) của hàm số đã cho
b) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị (C) và trục Ox
Bài 2 (2đ) Tính các tích phân sau:
0
I sin x cos x dx
π
= ∫
b)
1
e
J = ∫ 2x ln x d x
0 Bài 3 (0,5đ) Giải phương trình sau trên tập số phức: z2− 3z 3 + =
Bài 4 (1đ) Tìm tập hợp các điểm trong mặt phẳng phức biểu diễn số phức z thỏa:
z 2 5i 1 − + =
Bài 5 (4đ) Trong hệ tọa độ Oxyz cho 2 điểm A(3;1;1) B(4; 3; 4), ; đường thẳng
x 7 y 3 z 9
(d) :
1 2
− = − = −
− 1 và mặt cầu
(S) : x + − (y 1) + + (z 2) = 9 a) Viết phương trình đường thẳng AB Chứng minh AB ⊥ (d)
b) Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua A và vuông góc với (d)
c) Chứng minh mặt phẳng (P) cắt mặt cầu (S) theo một đường tròn (C) Xác định tâm và tính bán kính của đường tròn (C)
d) Tìm điểm M trên đường thẳng (d) sao cho (MA + MB) nhỏ nhất
Trang 2ĐÁP ÁN TOÁN 12
1a (1.5đ) y x= 4−2x2− 3
Tập xác định: D= \
3
y ' 4x= −4x
x 0; y 3 y' 0
x 1; y 4
= = −
⎡
= ⇔ ⎢ = ± = −
⎣
xlim y
→ ± ∞ = +∞
x –∞ –1 0 1 +∞
y +∞
–4
–3
–4 +∞
Hàm đồng biến trên (–1; 0), (1;+ ∞); nghịch biến trên (–∞;–1), (0; 1)
Hàm đạt cực đại tại x = 0, yCÑ = −3; đạt cực tiểu tại x= ± , y1 CT = −4
y 0
⎡ = −
= ⇔ ⎢
=
⎢⎣
Đồ thị (Vẽ đồ thị bằng bút chì: không cho điểm phần đồ thị.)
0.25 0.25
0.25
0.25
0.50 1b (1đ) Dựa vào đồ thị ,ta có:
3
3
3x
−
= −⎜⎜ − − ⎟⎟ =
0.25 + 0.25
0.25 + 0.25 2a (1đ)
0
I sin x cos x dx
π
0
(1 cos x)cos x.sin x dx
π
=∫ − Đặt t cos x= ⇒ dt= −sin xdx
x 0 π
t 1 –1
⇒ 1( )2 4 =
1
I 1 t t d
−
= −∫ − t
1
1
t t
5 7
−
−
4 35
0.25
0.25 0.25 + 0.25 2b (1đ)
1
e
J=∫2x ln x dx
Đặt
2
1
u ln x du dx
x
dv 2xdx v x
⎪
⎨
1 1
e e
J x ln x= −∫xdx
1
e
+
0.25 0.25
0.25 + 0.25
Trang 33 (0.5đ) z2−3z 3 0+ =
∆ = –3 = 3i2
Phương trình cĩ 2 nghiệm phức:
3 i 3 z
2
3 i 3 z
2
=
⎢
⎢
=
⎢
⎣
0.25 0.25
4 (1đ) Gọi M(x; y) là điểm biểu diễn số phức z x yi= + (x, y ∈ \) ⇒ z x yi= −
z 2 5i (x 2) (y 5)i− + = − − −
z 2 5i 1− + = ⇔ (x 2)− 2+(y 5)− 2=1 Vậy tập hợp các điểm M là đường trịn tâm I(2; 5), bán kính R = 1
0.25 0.25 0.25 0.25 5a (1đ) A(3; 1; 1) ; B(4; 3; 4)
qua A(3;1;1) AB
vtcp AB (1; 2; 3)
⎧⎪
⎨
=
⎪⎩ JJJG
x 3 t
AB : y 1 2t
z 1 3t
= +
⎧
⎪ = +
⎨
⎪ = +
⎩
x 7 y 3 z 9 (d) :
− ; vtcp ud =(1; 2;1)−
JJG
d
AB.u =0
JJJG JJG
⇒ AB ⊥ (d)
0.25 0.25
0.25 0.25 5b (0.5đ)
P
qua A(3;1;1) (P)
(d) vtpt n (1; 2;1)
⎧⎪
⎨
(P) : x 2y z 2 0− + − =
0.25 0.25
(S) : x +(y 1)− + +(z 2) = 9 I(0;1; 2)
R 3
−
⎧
⎩
tâm bán kính
d I;(P) = 6 ⇒ d I;(P)( )<R
⇒ (P) cắt (S) theo đường trịn (C) H
r 3
⎧⎪
⎨
=
⎪⎩
tâm bán kính
Ta cĩ H là hình chiếu của I trên mp(P)
qua I(0;1; 2) (IH)
(P) vtcp u (1; 2;1)
−
⎧⎪
⎨
x t
IH : y 1 2t
z 2 t
=
⎧
⎪ = −
⎨
⎪ = − +
⎩
H IH= ∩(P) ⇒ H(t;1 2t; 2 t) ⇒
t 2 4t 2 t 2 0
− − +
⎧
⎨ − + − + − =
⎩
t 1 H(1; 1; 1)
=
⎧
⎨ − −
⎩
0.25 0.25 0.25
0.25
0.25 + 0.25 5d (1đ) qua A
AB (d)
⎧
⎨⊥
⎩ và ⇒ AB ⊂ (P)
qua A (P)
(d)
⎧
⎨⊥
⎩
Gọi K (d) (P)= ∩ ⇒ K(7 t; 3 2t; 9 t) ⇒
7 t 6 4t 9 t 2 0
⎧
⎨ + − + + + − =
⎩
4 t 3
17 17 23
3 3 3
⎧ = −
⎪⎪
⎩
⇒ MA + MB ≥ KA + KB khơng đổi
⇒ (MA + MB) nhỏ nhất bằng (KA + KB) khi M ≡ K
0.50
0.50
A
B K
P
(d)
M