Một số phương pháp làm bài trắc nghiệm môn Toán

Nhận thấy các véc tơ chỉ phương trong các đáp án B, C, D giống nhau nên ta đi xác định đường thẳng đi qua I là xong.. Do đó nếu xét bất phương trình f x  thì nghiệm của bất 1 phương

MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP LÀM BÀI THI TRẮC NGHIỆM MÔN TOÁN

1/ Phương pháp thử

2/ Đặc biệt hóa

4/ Sử dụng tính chất chung để suy luận kết quả

5/ Phương pháp loại trừ

6/ Sử dụng máy tính cầm tay

1 Phương pháp thử

Ý tưởng của phương pháp này là từ các kết quả của các phương án, ta thay ngược lại vào các điều kiện để kiểm tra xem thỏa mãn hết không ?

Ví dụ 1: Phương trình 4x2x 2x2 x 1  có nghiệm là: 3

















 



 



 



Việc thay trực tiếp trong trường hợp giải phương trình, nhất là các phương trình phức tạp là khá

hiệu quả Đáp án là A

7

x

 có tập nghiệm là

A (;2] B (2;7) C [2; 7) D [7;)

HD: Đáp án D loại vì không thỏa mãn điều kiện xác định

Thử ta thấy 2 là nghiệm, do đó đáp án là A hoặc C Thử x  1 không là nghiệm

Do đó đáp án là C

Ví dụ 3: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho A(3;0;0), (0; 6;0), (0;0;6)B  C và mặt phẳng ( ) :P x    y z 4 0 Tọa độ hình chiếu vuông góc của trọng tâm tam giác ABC lên mặt phẳng (P) là

A H(2; 1; 3) B H(2;1;1) C H  ( 2; 1; 7) D H(2; 1; 3) 

HD: Trọng tâm G(1; 2;2) Do GH cùng phương với n  (1;1;1) nên đáp án là A

Trường hợp đầy đủ hơn có thể dùng cả dữ kiện H thuộc mặt phẳng (P)

Ví dụ 4: Cho đường thẳng 1 1 2

:

  Hình chiếu vuông góc của d trên mặt phẳng

(Oxy là )

A

0

1

0

x

z

 



   



 



1 0

z

  



   



 



1 0

z

   



  



 



D

1 0

z

   



   



 



HD: Việc làm theo cách truyền thống trong trường hợp này khá mất thời gian

Ta tìm cách làm phù hợp hơn với những kết quả đã cho Giao điểm của d và (Oxy) là I  ( 3; 3; 0)

Do đó đáp án A sai Nhận thấy các véc tơ chỉ phương trong các đáp án B, C, D giống nhau nên ta đi xác định đường thẳng đi qua I là xong Thử trực tiếp tọa độ ,x y ta đi đến đáp án B là đúng

Ví dụ 5: Cho số phức z thay đổi thỏa mãn: tập hợp các điểm biểu diễn số phức w (1i z) 2i trong mặt phẳng phức là đường tròn tâm O(0; 0) bán kính R 8. Chọn khẳng định đúng

A Số phức z có điểm biểu diễn thuộc đường tròn (x 1)2 (y1)2  4

B Số phức z có điểm biểu diễn thuộc đường tròn (x 1)2 (y1)2  8

C Số phức z có điểm biểu diễn thuộc đường tròn (x1)2 (y1)2  4

C Số phức z có điểm biểu diễn thuộc đường tròn (x1)2 (y1)2  8

HD: Đáp án đưa ra tập hợp điểm biểu diễn của z là đường tròn khi w thay đổi

1

i

 Do đó đáp án là A hoặc C

Chọn w  2 2 i Khi đó z   Do đó đáp án là C 3 i

Ví dụ 6: Giá trị nhỏ nhất của hàm số

x

x y





 1

1 2 trên đoạn [ 2 ; 3 ] bằng Chọn đáp án đúng

HD: Đoạn [ 2 ; 3 ] xét làm cho hàm có nghĩa, hàm phân thức bậc nhất luôn đồng biến hoặc nghịch biến

trên đoạn đó Thử hai giá trị ta đi đến đáp án đúng là D

Ví dụ 7: ( Câu 16 đề minh họa )

Cho hàm số f x ( ) 2 7x x2 Khẳng định nào sau đây là khẳng định sai ?

A f x( )  1 x x2log 72  0 B f x( ) 1 xln 2x2ln 7 0

C f x( ) 1 xlog 27 x2  0 D f x( )  1 1 xlog 72 0

HD: Cách làm truyền thống là kiểm tra từng đáp án

Để ý hàm f x giả thiết là hàm liên tục Do đó nếu xét bất phương trình ( )( ) f x  thì nghiệm của bất 1 phương trình này cũng phải là nghiệm của bất phương trình ở các đáp án (nếu đúng) khi đã bổ sung dấu bằng Nhận thấy x  là nghiệm bất phương trình ( )0 f x  nhưng không là nghiệm bất phương trình 1

2

1xlog 7 Do đó đáp án D là khẳng định sai cần tìm 0

Ví dụ 8: Tìm số phức z thỏa mãn: z2i  10 và z z  25

A z 3 4i hoặc z 5 B z  3 4i hoặc z  5

C z 3 4i hoặc z 5 D z 4 5i hoặc z 3

HD: Thử trực tiếp, đáp án là A

2 Đặc biệt hóa

Ý tưởng của phương pháp này là nếu các công thức, tính chất đúng với mọi giá trị của

x D thì cũng đúng với x0  do đó chỉ cần thay D xx0 vào các kết quả để kiểm chứng

M x   x   x

1

.

2

2

HD: Cho x  ta suy ra đáp án là C 0

Ví dụ 2: ( Đề minh họa )

Cho hai số thực a b, với 1 a b Khẳng định nào dưới đây là khẳng định đúng ?

A loga b  1 logb a B 1loga blogb a

C logb aloga b 1 D logb a  1 log a b

HD: Chọn a 2,b4 ta đi đến kết luận đáp án D là đúng

Ví dụ 3 Đơn giản biểu thức

1 2

2





ta thu được kết quả nào dưới đây?

A

2 3 2

2 3 2

x y

Hướng dẫn giải

Thay x  y 1 ta được kết quả P 2 Khi đó, chỉ có phương án C là phù hợp

Lưu ý: Khi ra đề, để tạo các phương án nhiễu ta nên tính một vài khả năng thử để kết quả trùng

với đáp án

1

x y x





 Tiếp tuyến của đồ thị tại điểm M x y( ; )0 0 thỏa mãn

7 ( )

3

x y x  cắt hai đường tiệm cận của đồ thị hàm số tại A và B Gọi I là giao điểm của hai đường tiệm cận Khi đó diện tích tam giác IAB là

A S IAB 5 B S IAB 6 C S IAB 7 D S IAB 8

HD:

Ta biết diện tích tam giác tạo bởi tiếp tuyến bất kì của đồ thị hàm số với hai đường tiệm cận của

đồ thị phân thức bậc nhất luôn không đổi Do đó ta chọn tiếp điểm là K(0; 2).

Từ đó dễ dàng xác định được diện tích tam giác là 6 Đáp án B là đúng

Ví dụ 5 Đường thẳng :d y   x m cắt đồ thị hàm số

2 3 1

y x





 tại mấy điểm?

Hướng dẫn giải

Thử với m 3 thấy ngay PT hoành độ giao điểm có hai nghiệm phân biệt Do đó, đáp án là B

4

x   

  Khi đó, thứ

tự các số a a a1, ,2 3 là:

A a1 a2 a3 B a2 a1 a3 C a3 a2 a1 D a3 a1 a2

Hướng dẫn giải

Cách 1

2

2

1 log sin 2 log

sin 2 1

2 sin 1

2 sin

x

x

x

Khi 0;

4

x   

  thì sinx cosx suy ra

2

2 sin x 2 sin 2x a a Dễ thấy a2 a1 Vậy a2 a1 a3

Cách 2

Vì kết quả đúng với mọi 0;

4

x   

  nên cũng đúng với x 8



 Thay

8

x  

vào suy ra kết quả

3 Tổng quát hóa

Ý tưởng của phương pháp này là xây dựng công thức tổng quát cho một số dạng toán, từ

đó áp dụng cho các trường hợp cụ thể

Theo quan điểm cá nhân thì phương pháp này thường có ý nghĩa với hình học không gian khi mà mô hình các hình khối khá tương đồng, hay bài toán mang tính mô hình (chẳng hạn bài toán kinh tế) Và hiểu rộng ra là khái quát một phương pháp giải với dạng toán nào đó

Ví dụ 1: ( Đề minh họa )

Tìm tất cả các giá trị thực của tham số msao cho hàm số tan 2

tan

x y





 đồng biến trên khoảng 0;

4



 

 

A m 0 hoặc 1m2 B m 0 C.1m2 D.m 2

HD: Nhận xét hàm y  tanx đồng biến trên 0;

4



 

  và nhận giá trị trên miền (0;1).

Đặt t tan x Khi đó ycbt tương đương tìm m sao cho hàm t 2

y





 đồng biến trên (0;1). 2

2

( )

m

y t



 do đó đáp án đúng là A

Như vậy ta có thể khái quát dạng toán này với việc khảo sát sự đồng biến và nghịch biến của một hàm hợp nào đó

Ví dụ 2: Tìm tất cả các giá trị thực của m để hàm số 2

2

log

x y





 đồng biến trên [ ]

2 1;2

A m  2 B m  2 C m  hoặc 20 m  2 D 0m  2

Ví dụ 3: Tìm tất cả các giá trị thực của m để hàm số y  cos x4 mcos x2 3 đồng biến trên (0; )

2



A m  2 B m  1 D m 0 D m 2

Ví dụ 4: Cho hai điểm A(1; 4;2), ( 1;2; 4)B  và đường thẳng 1 2

:

thuộc  mà MA2 MB2 nhỏ nhất có tọa độ là:

A M ( 1; 0; 4) B M(0; 1; 4) C M(1; 0; 4) D M(1; 0; 4)

HD: Ta biết điểm M thuộc  thỏa mãn MA2 MB2 nhỏ nhất là hình chiếu của trung điểm I của

AB lên đường thẳng  Từ đó đáp án là A

Ví dụ 5: Trong không gian Oxyz, cho 3 điểm A(3;1;1), (4;8; 3), (2;9; 7)B  C  và mặt phẳng

( ) :Q x 2y  z 6 0 Điểm M thuộc ( )Q sao cho MA2 MB2 MC2 nhỏ nhất là

A M(1;2;1) B M(1; 2; 1)  C M   ( 1; 2; 1) D M(1;2; 1)

Đáp án là D

Ví dụ 6: Xét

2

lim

x

I





  Giá trị của I là

2

Đáp án là B

4 Sử dụng tính chất chung để suy luận kết quả

Ví dụ 1: Cho hàm số y  f x( ) xác định, liên tục trên  và có bảng biến thiên dưới đây

Hàm số thỏa mãn là

A y | |x x 2 B y |x2 2 |x C y x x| 2 | D y x22x

HD: Nhìn vào giới giạn của hàm số ta thấy ngay đáp án không là B và D

Nhìn vào sự xác định của đạo hàm tại điểm 0 ta có đáp án cần tìm là A

Ví dụ 2: Cho hàm số xác định trên ( ; )a b và có đạo hàm trên khoảng đó Mệnh đề nào sau đây đúng:

A Nếu x0 là nghiệm của phương trình f x( )0 0 thì x0 là một điểm cực tiểu của hàm số

B Nếu x0 là nghiệm của phương trình f x( )0 0 thì x0 là một điểm cực đại của hàm số

C Nếu x0 là nghiệm của phương trình f x( )0 0 thì x0 là một điểm cực trị của hàm số

D Tất cả đều sai

Đáp án là D

Ví dụ 3: Cho hàm số bậc ba y ax3 bx2cxd có đồ thì như hình vẽ

Khi đó, các hệ số , , ,a b c d thỏa mãn

A a 0,b0,c 0,d  0

B a 0,b0,c 0,d  0

C a 0,b0,c 0,d  0

D a 0,b0,c 0,d  0

Hướng dẫn giải

Hình dạng đồ thị suy ra a  0

Gọi x x là các điểm cực trị thì 1, 2 x1 x2 0 b 0 b 0

a

a

Phương án đúng là A

Ví dụ 4: Trong không gian Oxyz, vị trí tương đối của hai đường thẳng

1

1

:

  



 



   



và 2

1

3

   







có thể là:

A Chéo nhau B Song song C Cắt nhau D Cắt nhau hoặc chéo nhau

HD: Hai đường thẳng này không thể song song

Chọn được m để cho cắt nhau

Hai đường thẳng này không thể song song hoặc trùng nhau, có thể chọn m sao cho không cắt nhau, tức là có thể chéo nhau

Đáp án là D

y

x O

Ví dụ 5: Cho số phức  0 Tập hợp điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn   z 1 là

A Đường thẳng B Parabol C Đường tròn D Đáp án khác

Đáp án đúng là C

Ví dụ 6: Tập nghiệm của bất phương trình 3x 2x 5 0 là

A  B (;2) C (2;) D Đáp án khác

Đáp án đúng là D

5 Phương pháp loại trừ

Trong nhiều bài toán, việc giải trực tiếp gặp khó khăn hoặc những tính chất được đưa ra ta chưa biết hoặc chưa thực sự chắc chắn Khi đó, việc dựa vào những tính chất đã biết để loại trừ những phương án còn lại cũng là phương án giải quyết tốt

Ví dụ 1: Hàm số nào sau đây đồng biến trên  ?

A y  tanx B

1

x y x



y  x   x  D

2 1

x y

x





HD:

Loại A và B vì tập xác định không là 

Loại C vì là hàm số bậc 4

Đáp án là D

Ví dụ 2: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số 1 3 2 1

y  x mx  m x đồng biến trên một đoạn có độ dài bằng 4

A  3 m 2 B m    ( ; 3) (2;)

C  3 m 2 D m  { 3;2}

HD:

Hàm số bậc 3 có hệ số 1

3

a   đồng biến trên đoạn có độ dài bằng 4 nên |x CT x CD | 4 0

y  là phương trình bậc 2 ẩn m, nếu có nghiệm thì có tối đa 2 nghiệm

Do đó đáp án là D

Ví dụ 3: Trong các hàm sau đây, hàm số nào tồn tại giá trị nhỏ nhất trên tập xác định của nó:

A y x32x 1 B 2 1

x y





2

x y x





1 2x y

x



HD: Nhận thấy không thể là đáp án A, C, D Nên đáp án là B

1

x y x





 Đồ thị hàm số tiếp xúc với đường thẳng y 2x m khi và chỉ khi

A m  2 2 B   m C m 1 D m 2 2

HD:

Hai đồ thị không thể tiếp xúc tại vô hạn giá trị của m được, loại B và C

Nếu tiếp xúc được thì sẽ tiếp xúc tại hai giá trị của m. Đáp án là A

Ví dụ 5 Với giá trị nào của m thì hàm số m 1x 2m 2

y



 nghịch biến trên khoảng

 1; :

2

m m

 



 

Hướng dẫn giải

y

cx d





 với c  thì luôn đơn điệu trên hai khoảng 0 ; d , d;

    

số nghịch biến trên  1;  thì    m 1 m 1 nên ta loại đáp án A, C

Thay với m 3 ta được hàm số 4 8

3

x y x





 là hàm đồng biến vậy đáp án đúng là D

Ví dụ 6 Cho hàm số y  x33x 1 Tìm mệnh đề sai trong các mệnh đề sau:

A

0;3

 

 

 

0;3

 

 

 



C Hàm số có GTLN và GTNN trên 0; 3

  D Hàm số đạt GTLN trên 0; 3 khi x  3

Hướng dẫn giải

Cho x  3 giá trị của hàm số là 19 B và D không thể cùng sai

Hàm số liên tục trên một đoạn luôn có giá trị min, max

Mệnh đề sai là A

6 Sử dụng máy tính cầm tay