Phương pháp giải một số bài toán thường gặp về phương trình lôgarit (LV tốt nghiệp)

Phương pháp giải một số bài toán thường gặp về phương trình lôgarit (LV tốt nghiệp)Phương pháp giải một số bài toán thường gặp về phương trình lôgarit (LV tốt nghiệp)Phương pháp giải một số bài toán thường gặp về phương trình lôgarit (LV tốt nghiệp)Phương pháp giải một số bài toán thường gặp về phương trình lôgarit (LV tốt nghiệp)Phương pháp giải một số bài toán thường gặp về phương trình lôgarit (LV tốt nghiệp)Phương pháp giải một số bài toán thường gặp về phương trình lôgarit (LV tốt nghiệp)Phương pháp giải một số bài toán thường gặp về phương trình lôgarit (LV tốt nghiệp)Phương pháp giải một số bài toán thường gặp về phương trình lôgarit (LV tốt nghiệp)Phương pháp giải một số bài toán thường gặp về phương trình lôgarit (LV tốt nghiệp)Phương pháp giải một số bài toán thường gặp về phương trình lôgarit (LV tốt nghiệp)Phương pháp giải một số bài toán thường gặp về phương trình lôgarit (LV tốt nghiệp)Phương pháp giải một số bài toán thường gặp về phương trình lôgarit (LV tốt nghiệp)Phương pháp giải một số bài toán thường gặp về phương trình lôgarit (LV tốt nghiệp)

đã dạy bảo em tận tình trong suốt thời gian học tập tại trường

Nhân dịp này, em cũng xin được gửi lời cảm ơn tới gia đình, bạn bè và tập thể lớp QH – 2013 Sư phạm Toán, cảm ơn vì mọi người đã luôn bên em, động viên, khích lệ em và tạo mọi điều kiện thuận lợi giúp em học tập và thực hiện khóa luận tốt nghiệp

Tuy đã cố gắng rất nhiều trong suốt quá trình làm khóa luận nhưng do thời gian và kiến thức có những hạn chế nhất định nên khóa luận không tránh khỏi những thiếu sót Kính mong nhận được những góp ý quý báu từ thầy cô và các bạn

để khóa luận được hoàn thiện hơn

Em xin chân thành cảm ơn

Hà Nội, ngày 12 tháng 5 năm 2017

Sinh viên

Lương Thị Duyên

DANH MỤC CÁC KÍ HIỆU

BĐT : Bất đẳng thức

GTLN: Giá trị lớn nhất Nxb : Nhà xuất bản THPT : Trung học phổ thông

TXĐ : Tập xác định

MỤC LỤC

LỜI MỞ ĐẦU 1

CHƯƠNG 1: MỘT SỐ KIẾN THỨC CƠ BẢN VỀ LÔGARIT 3

1.1 Lôgarit 3

1.2 Hàm số lôgarit 4

1.3 Phương trình lôgarit 5

CHƯƠNG 2: MỘT SỐ BÀI TOÁN THƯỜNG GẶP VỀ PHƯƠNG TRÌNH LÔGARIT VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI 6

2.1 Bài toán 1: Giải phương trình lôgarit bằng phương pháp mũ hóa và đưa về cùng cơ số 6

2.1.1 Phương pháp giải 6

2.1.2 Ví dụ 7

2.2 Bài toán 2: Giải phương trình lôgarit bằng phương pháp đặt ẩn phụ 14

2.2.1 Phương pháp giải 14

2.2.2 Ví dụ 15

2.3 Bài toán 3: Giải phương trình lôgarit bằng cách sử dụng tính chất đơn điệu của hàm số 25

2.3.1 Phương pháp giải 25

2.3.2 Ví dụ 28

2.4 Bài toán 4: Giải phương trình lôgarit bằng phương pháp đánh giá 38

2.4.1 Phương pháp giải 38

2.4.2 Ví dụ 39

CHƯƠNG 3: PHƯƠNG TRÌNH LÔGARIT CÓ CHỨA THAM SỐ 43

3.1 Phương pháp giải 43

3.1.2 Ứng dụng của đạo hàm 44

3.2 Ví dụ 44

KẾT LUẬN 50

TÀI LIỆU THAM KHẢO 51

LỜI MỞ ĐẦU

1 Lý do chọn đề tài

Toán học là môn khoa học có vị trí quan trọng trong trường phổ thông Nó là công cụ để học các môn học khác, đặc biệt là những môn khoa học tự nhiên, kỹ thuật và có nhiều ứng dụng vào thực tiễn

Phương trình là một trong những nội dung cơ bản và quan trọng của chương trình toán bậc trung học phổ thông Đặc biệt phương trình lôgarit là một nội dung hay nhưng cũng khá khó đối với học sinh và thường xuất hiện trong các đề thi đại học, thi học sinh giỏi Khi tìm hiểu phần kiến thức này đòi hỏi chúng ta phải vận dụng rất nhiều kiến thức có liên quan để giải quyết các dạng toán

Là sinh viên ngành Toán, tôi nhận thức được cái khó của lôgarit và thông qua tiểu luận này tôi muốn tìm hiểu thêm để phục vụ cho việc giảng dạy ở trường THPT

sau này Do đó, tôi chọn đề tài “Phương pháp giải một số bài toán thường gặp về phương trình lôgarit” cho khóa luận của mình

2 Mục đích và nhiệm vụ nghiên cứu

Mục đích nghiên cứu

Qua việc tìm hiểu, phân tích các bài toán phương trình lôgarit, đề tài phân loại một số dạng bài toán thường gặp và đưa ra phương pháp giải của từng dạng bài nhằm giúp học sinh giải được các bài toán phương trình lôgarit dễ dàng và hiệu quả

Nhiệm vụ nghiên cứu

Xây dựng và hệ thống hóa kiến thức liên quan, các dạng bài tập và phương pháp giải từng dạng về phương trình lôgarit

Tìm hiểu về kỹ năng sử dụng máy tính cầm tay để giải toán trắc nghiệm phương trình lôgarit

Đối tượng nghiên cứu: Phương pháp giải phương trình lôgarit

Phạm vi nghiên cứu: Một số dạng bài toán thường gặp về phương trình lôgarit

trong chương trình toán học ở bậc trung học phổ thông

4 Phương pháp nghiên cứu

Phương pháp nghiên cứu lí luận: Đọc các giáo trình, tài liệu liên quan đến

phương trình lôgarit; tài liệu về kỹ năng sử dụng máy tính casio để giải trắc nghiệm

toán phương trình lôgarit

Phương pháp tổng kết kinh nghiệm: Từ việc nghiên cứu tài liệu, giáo trình rút ra

được kinh nghiệm để giải các bài toán phương trình lôgarit

5 Đóng góp mới của đề tài

Đề tài đi vào cụ thể, chi tiết phương pháp giải một số dạng bài toán thường gặp

về phương trình lôgarit

Ngoài ra, đề tài cũng hướng dẫn cách sử dụng máy tính cầm tay để giải toán trắc nghiệm phương trình lôgarit để bắt kịp xu hướng thi trắc nghiệm hiện nay

6 Cấu trúc khóa luận

Ngoài phần mở đầu, phần kết thúc, lời cảm ơn, mục lục, phần danh mục tài liệu tham khảo, đề tài gồm 3 chương:

Chương 1: Một số kiến thức cơ bản về lôgarit

Chương 2: Một số bài toán thường gặp về phương trình lôgarit và phương pháp

giải

Chương 3: Hướng dẫn giải toán trắc nghiệm phương trình lôgarit bằng máy

tính cầm tay

CHƯƠNG 1: MỘT SỐ KIẾN THỨC CƠ BẢN VỀ LÔGARIT

Cho 3 số dương a, b 1 , b 2 với a ≠ 1, ta có:

loga (b1b2) = loga b1 + loga b2

Cho n+1 số dương a, b 1 , b 2 ,…, b n với a ≠ 1, ta có:

loga (b1b2 b n) = loga b1 + loga b2 + … + loga bn

d) Lôgarit của một thương

Cho 3 số dương a, b 1 , b 2 với a ≠ 1, ta có:

e) Lôgarit của lũy thừa

Cho 2 số dương a, b, a ≠ 1, với mọi α, ta có:

f) Công thức đổi cơ số

Cho 3 số dương a, b, c với a ≠ 1, c ≠ 1, ta có:

log

c a

c

b b

g) Lôgarit thập phân và lôgarit tự nhiên

 Lôgarit thập phân là lôgarit cơ số 10: log10blogblgb

 Lôgarit tự nhiên là lôgarit cơ số e: log e blnb

1.2 Hàm số lôgarit

Hàm số lôgarit là hàm số có dạng yloga x (a > 0, a ≠ 1)

a) Tập xác định: D = (0 ; +∞)

b) Tập giá trị: T = ℝ, nghĩa là khi giải phương trình lôgarit mà đặt t = log a x thì t

không có điều kiện

Phương trình lôgarit cơ bản có dạng: loga f x( )b (a > 0, a ≠ 1)

Phương trình loga f x( )b (a > 0, a ≠ 1) luôn có nghiệm duy nhất xa b,b

CHƯƠNG 2: MỘT SỐ BÀI TOÁN THƯỜNG GẶP VỀ PHƯƠNG

TRÌNH LÔGARIT VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI

2.1 Bài toán 1: Giải phương trình lôgarit bằng phương pháp mũ hóa và đưa

- Khi cơ số a là một hằng số thỏa mãn 0 < a ≠ 1 thì không cần kiểm tra điều

kiện mà biến đổi tương đương luôn

  2 1  

loga f x( ) n  2n1 loga f x( ), f x( )0

 loga f x( ) log a g x( )logaf x g x( ) ( ) , f x( )0, ( )g x 0

 log ( ) log ( ) log ( ), ( ) 0, ( ) 0

2 2

x x x x x

Kết hợp điều kiện, phương trình đã cho vô nghiệm

Ví Dụ 4 Giải phương trình 2log (325 x11) log ( 5 x27) 3 log 85 (1)

27 0

27

x x

x x

3

23

27

x x

Kết hợp điều kiện, phương trình có nghiệm là x25

Ví Dụ 6 Giải phương trình log (log4 2x) log (log 2 4x)2 (1)

  

Kết hợp điều kiện, phương trình có hai nghiệm là x 1

Ví Dụ 8 Giải phương trình 3log 3 3log27 2 log3

3 3

2 3

41log

21log

2313

x x

x x x x x

x x

c

x x

log 51

1 log 2 log 2log

x x x

15

x x

Kết hợp điều kiện, phương trình có ba nghiệm là

x



2 3

2 3

x x

x x

x

x

x x x x

Phương pháp này thường được sử dụng đối với những phương trình khi lựa chọn

ẩn phụ cho 1 biểu thức thì các biểu thức còn lại không biểu diễn được triệt để qua

ẩn phụ đó hoặc nếu biểu diễn được thì công thức biểu diễn lại quá phức tạp

Khi đó thường ta được 1 phương trình bậc hai theo ẩn phụ (hoặc vẫn theo ẩn x)

có biệt số ∆ là 1 số chính phương

 Dạng 3

Phương pháp đặt ẩn phụ dạng 3 là là việc sử dụng 2 ẩn phụ u, v cho 2 biểu thức

lôgarit trong phương trình và biến đổi phương trình ban đầu thành phương trình tích

Phương pháp đặt ẩn phụ dạng 5 là phương pháp đặt ẩn phụ liên tiếp, sử dụng ẩn

phụ u chuyển phương trình ban đầu thành 1 phương trình ẩn u, tiếp tục sử dụng ẩn phụ v chuyển phương trình ẩn u thành 1 phương trình ẩn v Từ 2 phương trình ẩn u

và ẩn v vừa tìm được ta biến đổi thành hệ 2 phương trình với ẩn u, v

x x x x

Kết hợp điều kiện, phương trình có hai nghiệm là x2;x8

23

Kết hợp điều kiện, phương trình có hai nghiệm là x100;x1000

Ví dụ 3 Giải phương trình log 2 log4 7 0

   

2

233

t t t

2log

3

12

48

x x x x

x x

x x

4 1 2

x x x

Ví dụ 7 Giải phương trình log 2 log4 7 0

t t t

2log

3

12

48

x x x x

x

x x x x

2 log ( ) log log log ( ) 2 0

Đặt  2 

2 2

loglog

2

2 0124

1214

x x x

x x x

x x x

2 2

2

2

11

112

1 2

u v

2 2

2 2

Định lý 1: Nếu hàm số y f x  luôn đồng biến (hoặc luôn nghịch biến) và liên

lục trên D thì số nghiệm trên D của phương trình f x a không nhiều hơn một và

   

u v D f u f v u v

Định lý 2: Nếu hàm số f x  và g x  đơn điệu ngược chiều và liên tục trên D thì

số nghiệm trên D của phương trình f x g x  không nhiều hơn một

Định lý 3: Nếu hàm số f x  luôn đồng biến trên D thì

f x  f a   x a x aD Nếu hàm số f x  luôn nghịch biến trên D thì

f x  f a   x a x aD

Định lý 4: Nếu f x  có đạo hàm đến cấp k và liên tục trên D, đồng thời  k  

Biến đổi về phương trình dạng f t A tB t 1 (2)

Bước 3: Giải phương trình (2) theo t bằng phương pháp đoán nghiệm và chứng

minh đó là nghiêm duy nhất (Định lý 1)

b

a b

f x

b

g x

logb f x loga blogb g x 

logb f x loga g x  ⟶ Đây là dạng toán 2 ở trên đã biết cách giải

 Dạng 4: a x plogaxqx r (1)

 Đặt ẩn phụ để đưa về hệ phương trình đối xứng loại II và sử dụng phương pháp hàm số để tìm được x y

Chú ý: Một số bài toán, sau khi đặt ẩn phụ, vẫn còn biến x (dạng đặt ẩn phụ không

hoán toàn) Lúc đó, ta xem đó là phương trình bậc hai theo t, còn x là hằng số

 Giải phương trình bậc hai theo t bằng cách lập 

30,

Kết hợp điều kiện, phương trình có hai nghiệm là x   1 3

Ví dụ 7 Giải phương trình log5xlog7x2 (1)



  

Đặt log5xlog7x2t

5

2 75

t t t

x x x x x

4

6 4

Kết hợp điều kiện, phương trình có nghiệm là x16

Ví dụ 9 Giải phương trình log7xlog3 x2 (1)

t t

x x

x y

Dựa vào bảng biến thiên, ta thấy phương trình có tối đa hai nghiệm

Ta có: f(0) f(1)  0 x 0 và x1 là hai nghiệm của (7)

Kết hợp điều kiện, phương trình có hai nghiệm là x0;x1

Ví dụ 11 Giải phương trình (x1) log23x4 logx 3x160 (1)

2 2( 2)

41

x x t

x

x x t

Nhận thấy x = 3 là một nghiệm của phương trình (2)

Hàm số f x( )log3x đồng biến trên 0;

  là nghiệm duy nhất của phương trình (2)

Kết hợp điều kiện, phương trình có hai nghiệm là 1 ; 3

32

x x t

( )

f x

 đồng biến trên 0;

Ta lại có: f x( ) f(2)  0 x 2

Kết hợp điều kiện, phương trình có hai nghiệm là x2;x16

2.4 Bài toán 4: Giải phương trình lôgarit bằng phương pháp đánh giá

x x

2 nên phương trình (1) vô nghiệm

2

 phương trình (1) vô nghiệm

Vậy phương trình (1) vô nghiệm

Ví dụ 4 Giải phương trình log2 2 2 1 log2 3 2 2 3

Bảng biến thiên:

1

CHƯƠNG 3: PHƯƠNG TRÌNH LÔGARIT CÓ CHỨA THAM SỐ

3.1 Phương pháp giải

Phương pháp giải bài toán có tham số thường ứng dụng kiến thức của tam thức bậc hai (rất ít) hoặc ứng dụng của đạo hàm (phổ biến) sau khi chuyển về phương trình đại số

 Điều kiện f x( )0 có hai nghiệm trái dấu  P 0

 Điều kiện f x( )0 có hai nghiệm phân biệt cùng dấu 0

S P

S P

 x1  x2 x1x20

3.1.2 Ứng dụng của đạo hàm

Bài toán: Tìm m để phương trình f x m( ; )  0 có nghiệm trên D ?

Các bước giải

Bước 1: Độc lập (tách) m ra khỏi biến số x và đưa về dạng f x( ) A m( )

Bước 2: Lập bảng biến thiên của hàm số f x( ) trên D

Bước 3: Dựa vào bảng biến thiên xác định giá trị của tham số m để đường thẳng

- Nếu bài toán yêu cầu tìm tham số để phương trình có k nghiệm phân biệt,

ta chỉ cần dựa vào bảng biến thiên để xác định sao cho đường thẳng

( )

y A m nằm ngang cắt đồ thị hàm số y f x( ) tại k điểm phân biệt

3.2 Ví dụ

Ví dụ 1 Giải và biện luận phương trình sau theo tham số m

2log3xlog3 x 1 log3m0 (1)

Lời giải

Điều kiện: 0

0

x m

42

Ví dụ 3 Tìm m để phương trình sau luôn có nghiệm trong đoạn  1;9

3

t m

t m

  thì phương trình có nghiệm trong đoạn  1;9

Ví dụ 4 Tìm m để phương trình sau luôn có nghiệm thuộc 32;

Vậy với m 0;2 thì phương trình có nghiệm thuộc 32;

Ví dụ 5 Tìm m để phương trình sau có nghiệm thực trong đoạn 5; 4

2 2 2

Dựa vào bảng biến thiên, phương trình có nghiệm thực khi 7

3;3

m  

21

KẾT LUẬN

Khóa luận đã đạt được những kết quả chính sau:

 Đưa ra phương pháp giải một số bài toán thường gặp về phương trình lôgarit trong chương trình toán THPT

- Phương pháp mũ hóa và đưa về cùng cơ số

 Hệ thống các bài ví dụ từ dễ đến khó và cách giải chi tiết cho từng bài

Do thời gian và năng lực có hạn nên khóa luận khó tránh khỏi những sai sót, nội dung chưa đầy đủ Rất mong nhận được những ý kiến đóng góp của thầy cô và bạn đọc để khóa luận được hoàn thiện hơn

TÀI LIỆU THAM KHẢO

1 Nguyễn Huy Đoan, Sách bài tập giải tích 12 (Nâng cao), Nxb Giáo dục, 2008

2 Lê Văn Đoàn, Chuyên đề Mũ – Lôgarit, Nxb Hà Nội, 2013

3 Lê Hồng Đức – Lê Hữu Trí, Phương pháp giải toán Mũ – Lôgarit, Nxb Đại học

Quốc gia Hà Nội, 2010

4 Nguyễn Vũ Lương – Nguyễn Ngọc Thắng, Các bài giảng về hàm số mũ và lôgarit, Nxb Đại học Quốc gia Hà Nội, 2009

5 Đoàn Quỳnh, Sách giáo khoa giải tích 12 (Nâng cao), Nxb Giáo dục, 2008

6 https://www.slideshare.net/Truonghocso/phng-trnh-bt-phng-trnh-m-v-logarit