Phát triển tư duy sáng tạo cho học sinh phổ thông trong dạy học bất đẳng thức trung bình cộng trung bình nhân

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC GIÁO DỤC THÂN THẾ LUÂN PHÁT TRIỂN TƯ DUY SÁNG TẠO CHO HỌC SINH TRUNG HỌC PHỔ THÔNGTRONG DẠY HỌC BẤT ĐẲNG THỨC TRUNG BÌNH CỘNG - TRUNG BÌNH NHÂN

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI

TRƯỜNG ĐẠI HỌC GIÁO DỤC

THÂN THẾ LUÂN

PHÁT TRIỂN TƯ DUY SÁNG TẠO CHO HỌC SINH TRUNG HỌC

PHỔ THÔNGTRONG DẠY HỌC BẤT ĐẲNG THỨC

TRUNG BÌNH CỘNG - TRUNG BÌNH NHÂN

LUẬN VĂN THẠC SĨ SƯ PHẠM TOÁN

HÀ NỘI – 2016

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI

TRUNG BÌNH CỘNG - TRUNG BÌNH NHÂN

LUẬN VĂN THẠC SĨ SƯ PHẠM TOÁN Chuyên ngành: LÝ LUẬN VÀ PHƯƠNG PHÁP DẠY HỌC

(BỘ MÔN TOÁN)

Mã số: 60 14 01 11

Hướng dẫn khoa học: PGS.TS Nguyễn Minh Tuấn

HÀ NỘI – 2016

i

LỜI CẢM ƠN

Tác giả xin chân thành cảm ơn tập thể cán bộ, giảng viên trường Đại học Giáo dục, Đại học Quốc gia Hà Nội đã tạo mọi điều kiện, giúp đỡ tác giả trong khoá học và suốt quá trình hoàn thành luận văn

Trong thời gian qua, ngoài sự nỗ lực của bản thân, đề tài luận văn được hoàn thành với sự hướng dẫn tận tình, chu đáo của PGS.TS Nguyễn Minh Tuấn Xin trân trọng gửi tới thầy lời biết ơn chân thành và sâu sắc của tác giả

Tác giả cũng xin cảm ơn các thầy giáo, cô giáo trong Ban giám hiệu, tổ Toán - Tin trường Trung học phổ thông Lạng Giang số 3, Bắc Giang đã tạo điều kiện thuận lợi nhất cho tác giả trong quá trình thực hiện đề tài

Lời cảm ơn chân thành của tác giả cũng xin được dành cho người thân, gia đình và bạn bè, đặc biệt là lớp Cao học Lý luận và Phương pháp dạy học bộ môn Toán khóa 10 trường Đại học Giáo dục, Đại học Quốc gia Hà Nội, trong suốt thời gian qua đã cổ vũ động viên, tiếp thêm sức mạnh cho tác giả hoàn thành nhiệm vụ của mình

Xin trân trọng cảm ơn!

Hà Nội, tháng 9 năm 2016

Tác giả

Thân Thế Luân

ii

MỤC LỤC

Lời cảm ơn i

Mục lục ii

Danh mục các bảng v

Mở đầu 1

1 Lý do chọn đề tài 1

2 Mục đích nghiên cứu 3

3 Nhiệm vụ nghiên cứu 3

4 Giả thuyết nghiên cứu 3

5 Phương pháp nghiên cứu 4

6 Phạm vi nghiên cứu 4

7 Cấu trúc luận văn 4

Chương 1 Cơ sở lý luận và thực tiễn 5

1.1 Tư duy 5

1.2 Tư duy sáng tạo 6

1.2.1 Khái niệm về sáng tạo 6

1.2.2 Đặc trưng của tư duy sáng tạo 8

1.3 Dạy học Bất đẳng thức trong chương trình phổ thông 11

1.3.1 Chương trình sách giáo khoa 11

1.3.2 Thực trạng việc học Bất đẳng thức ở trường Trung học phổ thông 11

1.3.3 Một số nhận xét của giáo viên khi dạy học chủ đề bất đẳng thức trung bình cộng – trung bình nhân 12

1.4 Một số biện pháp phát triển tư duy sáng tạo cho học sinh 13

1.4.1 Chú trọng bồi dưỡng các thao tác duy và trang bị cho học sinh những tri thức về phương pháp của hoạt động nhận thức 13

1.4.2 Bồi dưỡng từng yếu tố cụ thể của tư duy sáng tạo cho học sinh 13

1.4.3 Rèn luyện và bồi dưỡng năng lực phát hiện vấn đề mới cho học sinh 14

iii

1.4.4 Phát triển năng lực tư duy sáng tạo cho học sinh là một quá trình

lâu dài cần tiến hành trong tất cả các khâu của quá trình dạy học 15

Kết luận chương 1 16

Chương 2 Rèn luyện tư duy và sáng tạo cho học sinh thông qua dạy học chủ đề bất đẳng thức trung bình cộng, trung bình nhân 17

2.1 Bất đẳng thức trung bình cộng – trung bình nhân 17

2.2 Một số kĩ thuật thường sử dụng 19

2.2.1 Kĩ thuật chọn điểm rơi trong bất đẳng thức AM-GM 19

2.2.2 Kỹ thuật đánh giá từ trung bình nhân sang trung bình cộng 24

2.2.3 Kỹ thuật nhân thêm hằng số trong đánh giá trung bình nhân sang trung bình cộng 27

2.2.4 Kỹ thuật ghép đối xứng 30

2.2.5 Kỹ thuật ghép cặp nghịch đảo 32

2.2.6 Kĩ thuật đổi biến số 34

2.2.7 Kĩ thuật Cauchy ngược dấu 40

2.3 Phát triển tư duy sáng tạo ở học sinh thông qua việc rèn luyện các thao tác tư duy cơ bản 46

2.4 Phát triển tư duy sáng tạo cho học sinh thông qua việc phát triển các yếu tố của tư duy sáng tạo 50

2.4.1 Phát triển tính mềm dẻo thông qua việc giải bất đẳng thức 50

2.4.2 Phát triển tính nhuần nhuyễn thông qua việc giải bất đẳng thức 54 2.4.3 Phát triển tính độc đáo thông qua việc giải bất đẳng thức 56

2.4.4 Phát triển tính trau chuốt thông qua việc giải bất đẳng thức 59

2.5 Phát triển tư duy sáng tạo ở học sinh thông qua việc vận dụng bất đẳng thức AM-GM để giải các bài toán khác 62

2.5.1 Ứng dụng bất đẳng thức trung bình cộng – trung bình nhân để giải phương trình 62

2.5.2 Ứng dụng bất đẳng thức trung bình cộng – trung bình nhân để giải hệ phương trình 63

iv

Kết luận chương 2 68

Chương 3 Thực nghiệm sư phạm 69

3.1 Mục đích và nhiệm vụ của thực nghiệm 69

3.2 Tổ chức và nội dung thực nghiệm 69

3.4 Đánh giá thực nghiệm 79

3.5 Kết luận chung về thực nghiệm sư phạm 82

Kết luận chương 3 83

Kết luận và kiến nghị 84

Tài liệu tham khảo 85

v

DANH MỤC CÁC BẢNG

Bảng 3.1 Kết quả kiểm tra sau thực nghiệm 80

Bảng 3.2 Xử lí số liệu 80

Bảng 3.3 Tỉ lệ bài kiểm tra 81

Biểu đồ 3.1 Biểu đồ kết quả tỉ lệ bài kiểm tra 81

1

MỞ ĐẦU

1 Lý do chọn đề tài

Chúng ta đang sống và làm việc ở thế kỷ XXI, cùng với sự phát triển như

vũ bão của khoa học và công nghệ Có được những thành tựu đó, là sự phấn đấu học hỏi không ngừng của mỗi cá thể cùng với sự lãnh đạo, quản lý định hướng đúng đắn của các cấp lãnh đạo Tri thức là thành tố quan trọng quyết định nề kinh tế của một đất nước Con người là yếu tố trung tâm trong xã hội tri thức, là chủ thể kiến tạo không ngừng Giáo dục đóng vai trò thên chốt trong việc đào tạo con người và sự phát triển của xã hội Trong hiến pháp nước Cộng hòa xã hội chủ nghĩa Việt Nam đã khẳng định: “Giáo dục là quốc sách hàng đầu”

Bất đẳng thức trong các kì thi tuyển sinh vào lớp 10, tuyển sinh Đại học, Cao đẳng, chọn Học sinh giỏi Tỉnh, Học sinh giỏi Quốc gia, Học sinh giỏi khu vực và Quốc tế có thể coi là “điểm nóng”, thường trở thành đề tài giành được nhiều lời giải nhất và được thảo luận nhiều nhất trên các diễn đàn cũng như các tạp chí về Toán học

Bất đẳng thức trung bình cộng - trung bình nhân (Arithmetic Geometric Means (AM-GM)), là một phần kiến thức quan trọng không thể thiếu trong nhiều bài toán đại số cũng như bất đẳng thức Nó thực sự là một công cụ hiệu quả và có ứng dụng rộng rãi trong giải toán, cũng là một phương pháp chuẩn mực nhất khi ta gặp phải các bất đẳng thức thông thường

Các tài liệu viết về Bất đẳng thức hiện nay rất nhiều, tuy nhiên một số chuyên đề viết riêng về việc vận dụng đạo hàm vào chứng minh bất đẳng thức

và giải các bài toán tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất có tính hệ thống và tính phân loại cũng như tính sát thực phù hợp cho việc giảng dạy, bồi dưỡng học sinh giỏi và ôn luyện cho học sinh thi Đại học và cao đẳng là rất cần thiết

Do vậy tôi chọn chuyên đề này nhằm phần nào đáp ứng được những yêu cầu trên cũng như góp phần nâng cao chất lượng bồi dưỡng Học sinh giỏi của tỉnh

2

nhà

Hiê ̣n nay vấn đề “Rèn luyện và phát triển năng lực tư duy sáng tạo” đang là một lĩnh vực nghiên cứu mới mẻ và mang tính thực tiễn cao Nó nhằm tìm ra các phương án, biện pháp thích hợp để kích hoạt khả năng sáng tạo và để rèn luyện, tăng cường khả năng tư duy của một cá nhân hay một tập thể cộng đồng làm việc chung về một vấn đề hay lĩnh vực Do đó, một yêu cầu cấp thiết được đặt ra trong hoạt động giáo dục phổ thông là phải đổi mới phương pháp dạy học, trong đó đổi mới phương pháp dạy học Toán là một trong những vấn đề được quan tâm nhiều Sư phạm học hiện đại đề cao nguyên lý học là công việc của từng cá thể, thực chất quá trình tiếp nhận tri thức phải là quá trình tư duy bên trong của bản thân chủ thể Vì thế nhiệm vụ của người giáo viên là mở rộng trí tuệ, hình thành năng lực, kỹ năng cho học sinh chứ không phải làm đầy trí tuệ của các em bằng cách truyền thụ các tri thức đã có Việc mở rộng trí tuệ đòi hỏi giáo viên phải biết cách dạy cho học sinh tự suy nghĩ, phát huy hết khả năng, năng lực của bản thân mình để giải quyết vấn đề

mà học sinh gặp phải trong quá trình học tập và trong cuộc sống Hơn thế nữa trong thời đại bùng nổ công nghệ thông tin theo hướng ngày càng hiện đại hóa, con người ngày càng sử dụng nhiều phương tiện khoa học kĩ thuật hiện đại thì năng lực suy luận, tư duy và sáng tạo giải quyết vấn đề càng trở nên khẩn thiết hơn trước đây Không có một nhà giáo dục nào lại từ chối việc dạy cho học sinh chúng ta tư duy Nhưng làm thế nào để đạt được điều đó? Do vậy, rèn luyện và phát triển năng lực tư duy sáng tạo cho học sinh là một mục tiêu mà các nhà giáo dục phải lưu tâm và hướng đến Bên cạnh đó, thực tiễn còn cho thấy trong quá trình học Toán, rất nhiều học sinh còn bộc lộ những yếu kém, hạn chế về năng lực tư duy sáng tạo: Nhìn các đối tượng toán học một cách rời rạc, chưa thấy được mối liên hệ giữa các yếu tố toán học, không linh hoạt trong điều chỉnh hướng suy nghĩ khi gặp trở ngại, quen với kiểu suy nghĩ rập khuôn, áp dụng một cách máy móc những kinh nghiệm đã có vào hoàn cảnh mới, điều kiện mới đã chứa đựng những yếu tố thay đổi, học sinh

Từ trước đến nay đã có nhiều tác giả trong và ngoài nước quan tâm đến vấn

đề bồi dưỡng tư duy sáng tạo cho học sinh Nhà toán học nổi tiếng Polya đã đi sâu nghiên cứu bản chất của quá trình giải toán, quá trình sáng tạo toán học và cho ra mắt tác phẩm Sáng tạo toán học Vì vậy, tôi chọn đề tài nghiên cứu của

luận văn này là “Phát triển tư duy sáng tạo cho học sinh Trung học phổ thông

trong dạy học bất đẳng thức trung bình cộng – trung bình nhân”

2 Mục đích nghiên cứu

Đề xuất phương án dạy và học bất đẳng thức trung bình cộng – trung bình nhân theo định hướng sáng tạo nhằm bồi dưỡng tư duy sáng tạo cho học sinh, nâng cao hiệu quả quá trình dạy và học

3 Nhiệm vụ nghiên cứu

- Làm rõ cơ sở lí luận về tư duy, tư duy sáng tạo và rèn tư duy

- Nghiên cứu nội dung dạy học về chủ đề bất đẳng thức trung bình cộng – trung bình nhân

- Đề xuất biện pháp dạy học giải bài tập bất đẳng thức theo định hướng bồi dưỡng tư duy sáng tạo cho học sinh

- Thực nghiệm sư phạm để tìm hiểu những khó khăn của giáo viên và học sinh trong dạy học giải bài tập bất đẳng thức, kiểm chứng giả thuyết khoa học

về dạy và học giải bài tập toán bất đẳng thức theo định hướng sáng tạo ở trường Trung học phổ thông

4 Giả thuyết nghiên cứu

Khi tổ chức được hoạt động dạy và hoạt động học bất đẳng thức trung bình

4

cộng trung bình nhân cho học sinh Trung học phổ thông theo định hướng sáng tạo của luận văn thì sẽ rèn luyện được tính sáng tạo của học sinh, qua đó nâng cao chất lượng dạy và học ở trường Trung học phổ thông

5 Phương pháp nghiên cứu

5.1 Nghiên cứu lí luận

Nghiên cứu tài liệu lí luận về tư duy, tư duy sáng tạo và tư duy toán học Nghiên cứu sách giáo khoa, sách giáo viên, sách nâng cao, sách chuẩn kiến thức có liên quan đến bất đẳng thức trung bình cộng – trung bình nhân

5.2 Nghiên cứu thực tiễn

Dự giờ, tổng kết, rút kinh nghiệm khi dạy theo chủ đề này

Phỏng vấn, điều tra ý kiến của học sinh, giáo viên về việc dạy và học phần này

7 Cấu trúc luận văn

Ngoài phần mở đầu, kết luận và tài liệu tham khảo, luận văn gồm 3 chương Chương 1 Cơ sở lí luận và thực tiễn

Chương 2 Rèn luyện tư duy sáng tạo cho học sinh thông qua dạy học chủ

đề bất đẳng thức trung bình cộng – trung bình nhân

Chương 3 Thực nghiệm sư phạm

5

Chương 1 CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN

1.1 Tư duy

Tư duy là một quá trình tâm lý phản ánh những thuộc tính, bản chất mối liên

hệ và quan hệ bên trong có tính quy luật của sự vật hiện tượng trong hiện thực khách quan mà trước đó ta chưa biết [29]

Theo từ điển triết học “Tư duy, sản phẩm cao nhất của vật chất được tổ chức một cách đặc biệt là bộ não, là quá trình phản ánh tích cực thế giới khách quan trong các khái niệm, phán đoán, lý luận Tư duy xuất hiện trong quá trình hoạt động sản xuất xã hội của con người và đảm bảo phản ánh thực tại một cách gián tiếp, phát hiện những mối liên hệ hợp quy luật Tư duy chỉ tồn tại trong mối liên hệ không thể tách rời khỏi hoạt động lao động và lời nói, là hoạt động chỉ tiêu biểu cho xã hội loài người cho nên tư duy của con người được thực hiện trong mối liên hệ chặt chẽ với lời nói và kết quả của tư duy được ghi nhận trong ngôn ngữ Tiêu biểu cho tư duy là những quá trình như trừu tượng hoá, phân tích và tổng hợp, việc nêu lên là những vấn đề nhất định và tìm cách giải quyết chúng, việc đề xuất những giả thiết, những ý niệm Kết quả cuối cùng của tư duy bao giờ cũng là một ý nghĩ nào đó”

Từ đó chúng ta có thể rút ra những đặc điểm của tư duy

- Tư duy là sản phẩm của bộ não con người và là một quá trình phản ánh tích cực thế giới khách quan

- Kết quả của quá trình tư duy bao giờ cũng là một ý nghĩ và được thể hiện qua ngôn ngữ

- Bản chất của tư duy là ở sự phân biệt, sự tồn tại độc lập của đối tượng đuợc phản ánh với hình ảnh nhận thức được qua khả năng hoạt động của con người nhằm phản ánh đối tượng

- Tư duy là quá trình phát triển năng động và sáng tạo

- Khách thể trong tư duy được phản ánh với nhiều góc độ khác nhau từ thuộc tính này đến thuộc tính khác, nó phụ thuộc vào chủ thể là con người

6

Tư duy là một hình thức nhận thức lí tính của con người Về mặt tâm lí thì

tư duy là một quá trình tâm lí phản ánh những thuộc tính bản chất, những mối liên hệ và quan hệ bên trong có tính chất quy luật của sự vật hiện tượng trong hiện thực khác quan mà trước đó con người chưa biết

1.2 Tƣ duy sáng tạo

1.2.1 Khái niệm về sáng tạo

Các nhà nghiên cứu đã đưa ra nhiều quan điểm khác nhau về tư duy sáng tạo Theo tác giả [12] “Tính linh hoạt, tính độc lập, tính phê phán là những điều kiện cần thiết của tư duy sáng tạo, là những đặc điểm về những mặt khác sáng tạo của tư duy sáng tạo Tính sáng tạo của tư duy thể hiện rõ nét ở khả năng tạo ra cái mới, phát hiện vấn đề mới, tìm ra hướng đi mới, tạo ra kết quả mới Nhấn mạnh cái mới không có nghĩa là coi nhẹ cái cũ”

Tư duy sáng tạo là một dạng tư duy độc lập, tạo ra ý tưởng mới độc đáo và

có hiệu quả giải quyết vấn đề cao Ý tưởng mới thề hiện ở chỗ phát hiện ra vấn đề mới, tìm ra hướng đi mới, tạo ra kết quả mới Tính độc đáo của ý tưởng thể hiện ở giải pháp lạ, hiếm, không quen thuộc hoặc duy nhất

Tùy theo mức độ của tư duy, người ta đã chia thành ba loại hình: Tư duy tích cực, tư duy độc lập, tư duy sáng tạo, mỗi mức độ tư duy đi trước là tiền

đề tạo nên mức độ tư duy đi sau

Có thể biểu thị mối quan hệ giữa ba loại hình tư duy như sau:

Tư duy sáng ta ̣otạo tạo

Tư duy độc lập

Tư duy tích cực

7

Các nhà nghiên cứu đưa ra nhiều quan điểm khác nhau về tư duy sáng tạo Theo [20] “Tính linh hoạt, tính độc lập và tính phê phán là những điều kiện cần thiết cho tư duy sáng tạo, là những đặc điểm về những mặt khác nhau của của tư duy sáng tạo Tính sáng tạo của tư duy thể hiện rõ nét ở khả năng tạo ra cái mới, phát hiện vấn đề mới, tìm ra hướng đi mới, tạo ra kết quả mới Nhấn mạnh cái mới không có nghĩa là coi nhẹ cái cũ”

Theo [10] Tư duy sáng tạo là một kiểu tư duy, đặc trưng bởi sự sản sinh ra sản phẩm mới và xác lập các thành phần mới của hoạt động nhận thức nhằm tạo ra nó Các thành phần mới này có lên quan đến miền động cơ, mục đích, đánh giá, các ý tưởng của chủ thể sáng tạo

Tư duy sáng tạo được phân biệt với áp dụng các tri thức và kỹ năng sẵn có Tâm lý học người Đức Mehlhowcho rằng “Tư duy sáng tạo là hạt nhân của

sự sáng tạo cá nhân, đồng thời là mục tiêu cơ bản của giáo dục” Theo ông, tư duy sáng tạo được đặc trưng bởi mức độ cao của chất lượng, hoạt động trí tuệ như tính mềm dẻo, tính nhạy cảm, tính kế hoạch, tính chính xác

Trong khi đó, Tác giả [24] lại cho rằng “Tư duy sáng tạo đó là những năng lực tìm thấy những ý nghĩa mới, tìm thấy những mối quan hệ, là một chức năng của kiến thức, trí tưởng tượng và sự đánh giá, là một quá trình, một cách dạy và học bao gồm những chuỗi phiêu lưu, chứa đựng những điều như: sự khám phá, sự phát sinh, sự đổi mới, trí tưởng tượng, sự thí nghiệm, sự thám hiểm”

Trong cuốn “Sáng tạo Toán học”, G.Polya [26] cho rằng: “Một tư duy gọi

là có hiệu quả nếu tư duy đó dẫn đến lời giải một bài toán cụ thể nào đó Có thể coi là sáng tạo nếu tư duy đó tạo ra những tư liệu, phương tiện giải các bài toán sau này Các bài toán vận dụng những tư liệu phương tiện này có số lượng càng lớn, có dạng muôn màu muôn vẻ, thì mức độ sáng tạo của tư duy càng cao, thí dụ: Lúc những cố gắng của người giải vạch ra được những phương thức giải áp dụng cho những bài toán khác Việc làm của người giải

có thể là sáng tạo một cách gián tiếp, chẳng hạn lúc ta để lại một bài toán tuy

- Bất cứ cái gì: ở bất cứ lĩnh vực nào của thế giới vật chất và tinh thần

- Tính mới: là sự khác biệt của đối tượng cho trước so với đối tượng cùng loại

ra đời trước đó về mặt thời gian

- Tính ích lợi: như tăng năng suất, tăng hiệu quả, tiết kiệm, giảm giá thành, thuận tiện khi sử dụng, thân thiện với môi trường…, tính ích lợi có thể mang đến cho bản thân, cho gia đình, cho cộng đồng, cho nhân loại

- Phạm vi áp dụng: chỉ đúng trong không gian, thời gian, hoàn cảnh , điều kiện… cụ thể, nếu vượt ra ngoài thì có thể biến lợi thành hại

Như vậy, để biết bất cứ cái gì có sáng tạo hay không, bạn phải so sánh cái đó với cái trước nó, nếu cái đã thay đổi nghĩa là nó mới hơn so với cái cũ đồng thời mang lại tính ích lợi cho bạn, cho cộng đồng hay cho nhân loại trong phạm vị áp dụng cụ thể thì bất cứ cái gì đó đã là sáng tạo

Như vậy có thể có nhiều cách định nghĩa khác nhau về về tư duy sáng tạo, nhưng đều có một điểm chung cốt lõi đó là: Tư duy sáng tạo là một dạng tư duy của cá nhân, nó phân biệt và khác với tư duy tái tạo về bản chất, tư duy sáng tạo là sự mới mẻ của tư duy (đồng thời đây cũng là điểm phân biệt giữa

tư duy sáng tạo với tư duy tái tạo) Sự khác biệt giữa tư duy sáng tạo với tư duy tái tạo là sự sản sinh ra cái mới

1.2.2 Đặc trưng của tư duy sáng tạo

9

mối quan hệ mới hoặc chuyển đổi quan hệ, nhận ra bản chất của sự vật và nhiều phán đoán Tính mềm dẻo của tư duy còn làm thay đổi một cách dễ dàng các thái độ đã cố hữu trong hoạt động trí tuệ của con người

Tính mềm dẻo của tư duy có các đặc trưng nổi bật sau:

- Dễ dàng chuyển từ hoạt động trí tuệ này sang hoạt động trí tuệ khác, vận dụng linh hoạt các hoạt động phân tích, tổng hợp, so sánh, trừu tượng hoá, khái quát hoá và các phương pháp suy luận như: quy nạp, suy diễn tương tự

Dễ dàng chuyển từ giải pháp này sang giải pháp khác Điều chỉnh kịp thời hướng suy nghĩ nếu gặp trở ngại

- Suy nghĩ không dập khuôn, không máy móc áp dụng những kinh nghiệm, kiến thức, kỹ năng đã có vào hoàn cảnh mới, điều kiện mới đã có những yếu

tố thay đổi Có khả năng thoát khỏi ảnh hưởng của những kinh nghiệm, những phương pháp, những cách nghĩ đã có từ trước

- Nhận ra vấn đề mới trong điều kiện quen thuộc, nhìn thấy chức năng mới của đối tượng quen biết

b) Tính nhuần nhuyễn

Đó là năng lực tạo ra một cách nhanh chóng sự tổ hợp giữa các yếu tố riêng

lẻ của tình huống hoàn cảnh, đưa ra giả thuyết mới và ý tưởng mới Là khả năng tìm được nhiều giải pháp trên nhiều góc độ và tình huống khác nhau Tính nhuần nhuyễn được đặc trưng bởi khả năng tạo ra một số lượng nhất định các ý tưởng Số ý tưởng càng nhiều thì càng có nhiều khả năng xuất hiện

ý tưởng độc đáo Trong trường hợp này có thể nói số lượng làm nảy sinh chất lượng

Tính nhuần nhuyễn có các đặc trưng sau:

- Tính đa dạng của các cách sử lý khi giải toán, khả năng tìm được nhiều giải pháp trên nhiều góc độ và tình huống khác nhau Đứng trước một vấn đề cần được giải quyết, người có tư duy nhuần nhuyễn nhanh chóng tìm và đề xuất được nhiều phương án khác nhau và từ đó có thể tìm được phương án tối

ưu

10

- Khả năng xem xét đối tượng trên nhiều khía cạnh khác nhau, có cái nhìn sinh động từ nhiều phía đối với các sự vật hiện tượng chứ không phải cái nhìn bất biến, phiến diện, cứng nhắc

c) Tính độc đáo

Là khả năng tìm kiếm và giải quyết bằng phương thức lạ hoặc duy nhất Các đặc trưng của tính độc đáo:

- Khả năng tìm ra những liên tưởng và những kết hợp mới

- Khả năng tìm ra những mối quan hệ bên trong những sự kiện bên ngoài tưởng như không có mối liên hệ với nhau

- Khả năng tìm ra những giải pháp lạ tuy đã biết những giải pháp khác

động trí tuệ này sang hoạt động trí tuệ khác (tính mềm dẻo) tạo điều kiện cho việc tìm nhiều giải pháp trên nhiều góc độ và tình huống khác nhau (tính

nhuần nhuyễn) và nhờ đề xuất được nhiều phương án khác nhau mà có thể

tìm được phương án lạ, đặc sắc (tính độc đáo) Các yếu tố cơ bản này lại có

mối quan hệ khăng khít với các yếu tố khác như: Tính chính xác, tính hoàn thiện, tính nhạy cảm vấn đề Tất cả các yếu tố đặc trưng nói trên cùng góp phần tạo nên tư duy sáng tạo, đỉnh cao nhất trong các hoạt động trí tuệ của con người

11

1.3 Dạy học Bất đẳng thức trong chương trình phổ thông

1.3.1 Chương trình sách giáo khoa

Sách chỉnh lí hợp nhất năm 2000, nội dung bất đẳng thức được dạy trong 3 tiết gồm 2 tiết lí thuyết và 1 tiết bài tập

Bài tập chính trong sách gồm có 8 bài, không có bài tập ứng dụng vào thực tiễn Bài tập làm thêm gồm 4 bài 14, 15, 16, 17 trang 42 sách bài tập

Sách giáo khoa nâng cao năm 2007, nội dung bất đẳng thức được dạy trong

5 tiết gồm 2 tiết lí thuyết và 3 tiết bài tập Bài tập trong sách gồm có 20 bài tập chính thức và 10 bài tập làm thêm

Bài tập đã có tính ứng dụng vào thực tiễn nhưng không có nhiều

Sách giáo khoa năm 2007 có nhiều ví dụ hơn, trình bày dễ hiểu hơn nhằm khuyến khích học sinh tự học, tuy nhiên có vất vả hơn

1.3.2 Thực trạng việc học Bất đẳng thức ở trường Trung học phổ thông

- Trong chương trình toán Trung học phổ thông, bất đẳng thức là một chuyên đề khó Tuy nhiên nội dung đưa vào giảng dạy rất cơ bản, học sinh cơ bản mới chỉ tiếp cận với khái niệm bất đẳng thức và những tính chất cơ bản của bất đẳng thức Ngoài ra học sinh được giới thiệu thêm bất đẳng thức AM-

GM và bất đẳng thức Cauchy – Schwarz Với lí thuyết như vậy học sinh lớp

10 khó có thể vận dụng linh hoạt để giải các bài toán về bất đẳng thức

- Để tìm hiểu cụ thể thực trạng việc học bất đẳng thức của học sinh trong trường Trung học phổ thông, trong quá trình giảng dạy tôi đã sử dụng phương pháp điều tra bằng phiếu để biết được những thuận lợi và khó khăn từ phía học sinh từ đó điều chỉnh phương pháp cho phù hợp với đối tượng

- Theo bộ sách giáo khoa đưa vào sử dụng năm 2007 theo chương trình cải cách giáo dục, phần bất đẳng thức được đưa vào chương IV Đại số lớp 10 Đây là phần kiến thức khó đối với học sinh thường xuất hiện trong các đề thi tuyển sinh và chọn học sinh giỏi Chính vì vậy mà dạy nội dung này trở nên khó khăn hơn một số nội dung khác, người giáo viên cần cố gắng giúp học

1.3.3 Một số nhận xét của giáo viên khi dạy học chủ đề bất đẳng thức

trung bình cộng – trung bình nhân

Nhìn chung bất đẳng thức là một phần rất khó đối với học sinh Thời gian dành cho việc luyện tập bất đẳng thức còn ít

Đối với những lớp học sinh đại trà, sức học yếu có khi giáo viên dạy cho có chứ không hy vọng học sinh làm được loại bài này

Bất đẳng thức được dạy cho học sinh từ các lớp Trung học cơ sở, nhưng nó được dạy tập chung nhất ở chương trình đại số lớp 10 Trung học phổ thông Các bài tập trong sách giáo khoa chỉ nhằm mục đích giới thiệu một số dạng toán điển hình trong việc chứng minh bất đẳng thức vì vậy bài tập thì ít nhưng mỗi bài một dạng gây khó khăn cho học sinh khi làm bài

Phần bài tập, học sinh chuẩn bị ở nhà hoặc chuẩn bị một ít phút trước khi lên lớp sau đó giáo viên gọi học sinh khá lên chữa bài

Như vậy mô hình chung giáo viên đã bỏ qua lớp học sinh có lực học trung bình và yếu Do đó học sinh yếu ngày càng sợ học hơn, ngày càng bị bỏ rơi Một số bài toán được phát triển theo hướng khái quát hoá và đặc biệt hoá cho đối tượng học sinh khá và học sinh giỏi

Việc rèn luyện tư duy lôgic cho học sinh chưa đầy đủ, thường các thầy cô chú ý đến việc rèn luyện khả năng suy diễn, chưa chú ý đến khả năng quy nạp cho học sinh Thời gian không cho phép dạy học toán nói chung và dạy học bất đẳng thức nói riêng bằng cách tổ chức các tình huống có vấn đề đòi hỏi có

dự đoán, nêu giả thuyết, tranh luận giữa các ý kiến trái ngược hay các tình huống có chứa một số điều kiện xuất phát rồi yêu cầu học sinh đề xuất các

13

giải pháp

Hình thức học nói chung còn chưa đa dạng, phong phú, cách truyền đạt đôi lúc chưa cuốn hút học sinh vào bài học Học sinh tiếp nhận kiến thức còn thụ động

Vai trò của giáo viên chủ yếu vẫn là thông báo kiến thức, cao hơn nữa cũng chỉ là dạy cách chứng minh, cách phán đoán và một số kĩ năng nhất định chứ chưa làm được vai trò của người khơi nguồn sáng tạo, kích thích học sinh tìm tòi

Thuận lợi cho việc dạy học bất đẳng thức là ở chỗ đây là một bài toán có mặt rất thường xuyên trong các đề thi đại học vì vậy một phần lớn học sinh vẫn muốn tìm hiểu và nắm chắc kiến thức về bất đẳng thức

1.4 Một số biện pháp phát triển tƣ duy sáng tạo cho học sinh

1.4.1 Chú trọng bồi dưỡng các thao tác duy và trang bị cho học sinh

những tri thức về phương pháp của hoạt động nhận thức

Quan điểm này cho rằng để phát triển năng lực tư duy sáng tạo cho học sinh, giáo viên cần dạy cho học sinh thành thạo các tư duy, phân tích, tổng hợp, so sánh, quy nạp, tương tự, trừu tượng hóa, đặc biệt hóa, khái quát hóa,…

Trong đó phân tích và tổng hợp đóng vai trò trọng tâm

Quan điểm trên chỉ rõ trong quá trình dạy học giáo viên phải cung cấp cho học sinh những tri thức về phương pháp để học sinh có thể tìm tòi, tự mình phát hiện và phát biểu vấn đề, dự đoán được các kết quả, tìm được hướng giải của một bài toán, hướng chứng minh một định lý, giúp học sinh hiểu sâu sắc các khái niệm các mệnh đề, ý nghĩa và nội dung các công thức, các chứng minh, từ đó mà nhớ lâu các công thức toán học và nếu quên thì có thể tìm lại được

1.4.2 Bồi dưỡng từng yếu tố cụ thể của tư duy sáng tạo cho học sinh

Các nhà nghiên cứu đã đưa ra nhiều yếu tố đặc trưng cho tư duy sáng tạo

Để phát triển tư duy sáng tạo cho học sinh, trong quá trình dạy học giáo viên cần sử dụng từng loại câu hỏi và bài tập tác động đến từng yếu tố của tư duy sáng tạo như: những bài tập có cách giải riêng đơn giản hơn là áp dụng công thức tổng quát để khắc phục hành động máy móc, không thay đổi phù hợp với điều kiện mới; những bài có nhiều lời giải khác nhau đòi hỏi học sinh phải biết chuyển từ phương pháp này sang phương pháp khác; những bài tập trong đó có những vấn đề thuận nghịch đi liền với nhau, song song nhau, giúp cho việc hình thành các liên tưởng ngược được xảy ra đồng thời với việc hình thành các liên tưởng thuận

1.4.3 Rèn luyện và bồi dưỡng năng lực phát hiện vấn đề mới cho học sinh

Về giảng dạy lí thuyết, cần tận dụng phương pháp tập dượt nghiên cứu trong đó giáo viên tạo ra các tình huống gợi vấn đề để dẫn dắt học sinh tìm tòi, khám phá kiến thức mới Nói cách khác là vận dụng tối đa phương pháp dạy học giải quyết vấn đề qua các giờ lên lớp

Về thực hành giải toán, cần coi trọng các bài tập trong đó chưa rõ điều phải chứng minh, bài tập mở, học sinh phải tự lập, tìm tòi để phát hiện vấn đề và giải quyết vấn đề Cần hướng dẫn học sinh khai thác, khám phá những kết quả mới từ các bài toán đã giải

16

Kết luận chương 1

Luận văn đã nêu ra được các khái niệm về tư duy, tư duy sáng tạo Đưa ra thực trạng về việc học bất đẳng thức ở trường Trung học phổ thông, từ đó luận văn đưa ra một số biện pháp phát triển tư duy sáng tạo cho học sinh

17

Chương 2 RÈN LUYỆN TƯ DUY VÀ SÁNG TẠO CHO HỌC SINH THÔNG QUA DẠY HỌC CHỦ ĐỀ BẤT ĐẲNG THỨC

TRUNG BÌNH CỘNG TRUNG BÌNH NHÂN

2.1 Bất đẳng thức trung bình cộng – trung bình nhân

a) Các đại lượng trung bình của hai số không âm

Với hai số không âm , a b Kí hiệu

Dấu “=” trong các bất đẳng thức này đều xảy ra khi a b .

- Mở rộng ra cho n số không âm a a a1, , , ,2 3 a ta cũng có n



    

là trung bình điều hòa của n số dương a a a1, , , , 2 3 a n

Ta cũng có bất đẳng thức Q A G H   Dấu “=” xảy ra khi

1 2 3 n

a a   a a Chú ý , , , A G Q H theo thứ tự là viết tắt của các từ arithmetic mean (trung bình cộng), geometric mean (trung bình nhân), quadratic mean (trung bình toàn phương) và harmonic mean (trung bình điều hòa)

b) Bất đẳng thức trung bình cộng – trung bình nhân

Cho n số thực không âm a a a1, , , , ,2 3 a n n ,n2 ta luôn có

2.2.1 Kĩ thuật chọn điểm rơi trong bất đẳng thức AM-GM

Trong kĩ thuật chọn điểm rơi, việc sử dụng dấu “=” trong bất đẳng thức AM-GM và các quy tắc về tính đồng thời của dấu “=”, quy tắc biên và quy tắc đối xứng sẽ được sử dụng để tìm điểm rơi của biến

Ví dụ 2.2.1 Cho a  Tìm giá trị nhỏ nhất của 2

1

 hay a 1, nhưng điều này vô lí vì giả thiết là a  2

Phân tích Chọn điểm rơi, ta phải tách hạng tử a hoặc hạng tử 1

20

Dấu “=” xảy ra khi a  2

Bình luận Ta sử dụng điều kiện dấu “=” và điểm rơi là a  dựa trên quy tắc 2biên để tìm ra   Ở đây ta thấy tính đồng thời của dấu “=” trong việc áp 4.dụng bất đẳng thức AM-GM cho 2 số ,1

4

a

a và

34

a

đạt giá trị lớn nhất khi 2,

a  tức là chúng có điểm rơi a  2

Ví dụ 2.2.2 Cho a  Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 2

2

1

Nguyên nhân sai lầm

minS  Khi và chỉ khi 6 a b c 1 1 1 1

2

a b c    trái với giả thiết

Do S là một biểu thức đối xứng với , , a b c nên dự đoán min S đạt tại điểm

2

a b c   Sơ đồ điểm rơi

12

12

22

Hoặc ta có sơ đồ điểm rơi sau

12

Tìm tòi lời giải Do S là một biểu thức đối xứng với , ,a b c nên dự đoán min S

đạt tại điểm rơi 1

đắn về mặt toán học nhưng cách làm trên tương đối cồng kềnh Nếu chúng áp dụng việc chọn điểm rơi cho bất đẳng thức Cauchy-Schwarz thì bài toán sẽ

nhanh gọn hơn, đẹp hơn

Trong bài toán trên chúng ta đã dùng một kĩ thuật đánh giá từ trung bình nhân sang trung bình cộng, chiều của dấu của dấu bất đẳng thức không chỉ phụ thuộc vào chiều đánh giá mà nó còn phụ thuộc vào biểu thức đánh giá nằm ở

mẫu số hay ở tử số

2.2.2 Kỹ thuật đánh giá từ trung bình nhân sang trung bình cộng

Nếu như đánh giá từ trung bình cộng sang trung bình nhân là đánh giá với dấu a b  , đánh giá từ tổng sang tích, có thể hiểu là thay dấu a b  bằng dấu

.

a b thì ngược lại đánh giá từ trung bình nhân sang trung bình cộng là thay dấu a b bằng dấu a b  Và cũng cần phải chú ý làm sao khi biến tích thành tổng, thì tổng cũng phải triệt tiêu hết biến, chỉ còn lại hằng số

Bình luận Nếu giữ nguyên vế trái thì khi biến tích thành tổng ta không thể

triệt tiêu ẩn số Suy ra ta có phép biến đổi tương đương (1) sau đó biến tích

thành tổng ta sẽ được các phân thức có cùng mẫu số

Dấu “” gợi ý cho ta nếu sử dụng bất đẳng thức AM-GM thì ta phải đánh giá

từ trung bình nhân sang trung bình cộng

26

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi a b c   0

Ta có bài toán tổng quát Chứng minh rằng

Hướng dẫn Sơ đồ điểm rơi

Ta nhận thấy biểu thức có tính chất đối xứng do đó dấu “=” của bất đẳng thức

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi b 1 1; a  hay 1 1 a2,b 2.

Bình luận Ta nhận thấy việc nhân thêm hằng số “1” vào biểu thức không

hoàn toàn tự nhiên, tai sao lại nhân thêm “1” mà không phải là “2” Thực chất của vấn đề là chúng ta chọn điểm rơi của bất đẳng thức theo quy tắc biên là

Nguyên nhân sai lầm

Dấu “=” xảy ra khi a b b c c a     hay a b c   trái với giả thiết 2

Tìm tòi lời giải Do vai trò của , , a b c trong các biểu thức là như nhau do đó

điểm của bất đẳng thức sẽ là 1

3

a b c   từ đó ta dự đoán maxS  6 khi

23

a b b c c a      , suy ra hằng số cần nhân thêm là 2

3 Vậy ta có lời giải đúng sau:

29

hướng tốt hơn Cho , ,a b c0,a b c   Chứng minh rằng 1

6

S  a b  b c  c a Tuy nhiên nếu nắm được kỹ thuật điểm rơi thì việc viết đầu bài theo hướng nào cũng có thể giải quyết được

Ví dụ 2.2.12 Cho , , a b c0,a b c   Tìm giá trị lớn nhất của 1

2.3