Sử dụng bổ đề trội chứng minh các bất đẳng thức trong tam giác

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC THĂNG LONG --- VŨ VĂN THƯỞNG SỬ DỤNG BỔ ĐỀ TRỘI CHỨNG MINH CÁC BẤT ĐẲNG THỨC TRONG TAM GIÁC LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Hà Nội – Năm 2016... ỨNG D

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC THĂNG LONG -

VŨ VĂN THƯỞNG

SỬ DỤNG BỔ ĐỀ TRỘI CHỨNG MINH CÁC BẤT ĐẲNG THỨC TRONG TAM GIÁC

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Hà Nội – Năm 2016

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC THĂNG LONG -

VŨ VĂN THƯỞNG – C00458

SỬ DỤNG BỔ ĐỀ TRỘI CHỨNG MINH CÁC BẤT ĐẲNG THỨC TRONG TAM GIÁC

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC CHUYÊN NGÀNH: PHƯƠNG PHÁP TOÁN SƠ CẤP

MÃ SỐ: 60 46 01 13

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: PGS TS TẠ DUY PHƯỢNG

Hà Nội – Năm 2016

MỤC LỤC

Trang

Trang phụ bìa 01

Mục lục 02

Lời cam đoan 04

Tóm tắt luận văn 05

MỞ ĐẦU 06

Chương 1 KHÁI NIỆM TRỘI VÀ ỨNG DỤNG TRONG CHỨNG MINH MỘT SỐ BẤT ĐẲNG THỨC 1.1 KHÁI NIỆM TRỘI 08

1.1.1 Định nghĩa 1.1.1 08

1.2 HÀM LỒI SHUR 08

1.2.1 Định nghĩa 1.2.1 08

1.2.2 Định nghĩa 1.2.2 08

1.2.3 Một số tính chất cơ bản của hàm lồi, hàm lõm 09

1.2.3.1 Tính chất 1 09

1.2.3.2 Tính chất 2 09

1.2.4 Định nghĩa 1.2.3 10

1.2.4.1 Bất đẳng thức trội (Bổ đề trội, Shur, 1923) 10

1.2.4.2 Một số hệ quả của bất đẳng thức trội 12

1.3 ỨNG DỤNG CỦA KHÁI NIỆM TRỘI TRONG CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC 14

Kết luận Chương 1 24

Chương 2 ỨNG DỤNG CỦA BỔ ĐỀ TRỘI TRONG CHỨNG MINH CÁC BẤT ĐẲNG THỨC TRONG TAM GIÁC

2.1 THÍ DỤ MINH HỌA 25

Nhận xét 2.1.1 26

2.2 CÁC BẤT ĐẲNG THỨC LIÊN QUAN ĐẾN CÁC GÓC TRONG CỦA TAM GIÁC 26

Nhận xét 2.2.1 26

2.2.1 Hàm sin 28

Nhận xét 2.2.2 28

2.2.2 Hàm cosin 53

Nhận xét 2.2.3 53

2.2.3 Hàm tan 65

Nhận xét 2.2.4 65

2.3 MỘT SỐ BẤT ĐẲNG THỨC LIÊN QUAN ĐẾN CÁC CẠNH CỦA TAM GIÁC 71

Nhận xét 2.3.1 71

2.4 MỘT SỐ HỆ THỨC KHÁC TRONG TAM GIÁC 77

Kết luận Chương 2 86

KẾT LUẬN VÀ KHUYẾN NGHỊ 1 Kết luận 87

2 Khuyến nghị 87

TÀI LIỆU TRÍCH DẪN 88

LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan dưới sự giúp đỡ, hướng dẫn, chỉ bảo tận tình của

PGS TS Tạ Duy Phượng, luận văn cao học chuyên nghành phương pháp Toán

sơ cấp với đề tài “Sử dụng Bổ đề trội chứng minh các bất đẳng thức trong tam giác” là công trình nghiên cứu của riêng tôi trong thời gian học tập và

nghiên cứu tại trường Đại học Thăng Long

Trong quá trình nghiên cứu và thực hiện luận văn, tác giả đã kế thừa và phát huy những kết quả của các nhà khoa học với sự trân trọng và biết ơn

Hà Nội, tháng 05 năm 2016

Tác giả

Vũ Văn Thưởng

TÓM TẮT LUẬN VĂN

Luận văn gồm ba phần:

PHẦN 1 Mở đầu

PHẦN 2 Nội dung

Phần này gồm hai chương

Chương 1 KHÁI NIỆM TRỘI VÀ ỨNG DỤNG TRONG CHỨNG MINH MỘT SỐ BẤT ĐẲNG THỨC

1.1 KHÁI NIỆM TRỘI

MỞ ĐẦU

Khái niệm trội được đưa ra nhằm mục đích so sánh hai phần tử (hai

vectơ) trong không gian n. Khái niệm này là cơ sở của lý thuyết trội, được

áp dụng rộng rãi trong nhiều lĩnh vực, xem, thí dụ [8]

Khái niệm trội được áp dụng khá thành công trong chứng minh các bất đẳng thức, đặc biệt là bất đẳng thức trong tam giác, xem, thí dụ, [7], [8] Có

thể nói, bất đẳng thức Karamata (xem, thí dụ, [3]) cũng chính là bất đẳng thức trội Khái niệm trội cũng khá gần với một số ý tưởng về sắp thứ tự tam

giác, xem, thí dụ, [2]

Tuy vậy, hình như chưa có một cuốn sách tiếng Việt hoặc một luận văn

cao học nào trình bày ứng dụng khái niệm trội, đặc biệt là trong chứng minh

bất đẳng thức trong tam giác

Luận văn Sử dụng Bổ đề trội chứng minh các bất đẳng thức trong tam

giác có mục đích minh họa khả năng sử dụng khái niệm trội và bất đẳng thức

trội (Bổ đề trội) trong chứng minh, cải tiến và làm mới các bất đẳng thức trong tam giác Đây là một vấn đề còn mới mẻ nhưng có ý nghĩa khoa học và ứng dụng thực tiễn cao trong giảng dạy toán sơ cấp, vì vậy tôi chọn đề tài này làm đề tài luận văn cao học của mình

Luận văn gồm Mở đầu, hai Chương, Kết luận và Tài liệu tham khảo Chương 1: Trình bày các khái niệm cơ bản như khái niệm trội, hàm lồi Shur, đặc biệt là bất đẳng thức trội (Bổ đề trội, Shur, 1923) và hệ quả của nó, đồng thời trình bày ứng dụng của bất đẳng thức trội trong việc chứng minh một số bất đẳng thức

Chương 2: Trình bày ứng dụng của bổ đề trội và hệ quả của nó trong việc chứng minh các bất đẳng thức trong tam giác Qua đây ta thấy được thế mạnh của bất đẳng thức trội và hệ quả của nó ứng dụng vào việc chứng minh

nhiều bài toán liên quan đến các bất đẳng thức trong tam giác như: Bất đẳng thức liên quan đến các góc trong của tam giác, bất đẳng thức liên quan đến các cạnh của tam giác và một số hệ thức khác trong tam giác Ngoài ra, trong Chương 2 còn trình bày ứng dụng hiệu quả của bất đẳng thức trội so với một

số phương pháp chứng minh bất đẳng thức thông thường khác cho một số bất đẳng thức trong tam giác

Luận văn được hoàn thành tại trường Đại học Thăng Long dưới sự hướng dẫn khoa học và chỉ bảo tận tình của PGS TS Tạ Duy Phượng, Viện Toán học Là người học trò đã tiếp thu được nhiều điều bổ ích, quý báu từ Thầy, tôi xin được bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đối với sự quan tâm, động viên kịp thời và sự nghiêm khắc chỉ bảo, hướng dẫn của Thầy

Tôi xin cảm ơn tới các thầy cô giáo trong Trường Đại học Thăng Long, phòng Sau đại học và Quản lý khoa học - Trường Đại học Thăng Long Đồng thời tôi xin gửi lời cảm ơn tới tập thể lớp CTM3-BG (Cao học toán Bắc Giang) khóa 2014 – 2016 của Trường Đại học Thăng Long đã động viên giúp

đỡ tôi trong quá trình học tập và thực hiện luận văn này

Tôi xin cảm ơn tới Ban Giám hiệu, tổ chuyên môn Toán – tin, các đồng nghiệp Trường THPT Yên Dũng số 3, Bắc Giang đã tạo điều kiện giúp đỡ, góp ý cho tác giả trong thời gian học tập và thực hiện luận văn này

Mặc dù tác giả đã hết sức cố gắng nhưng do vấn đề nghiên cứu tương đối phức tạp và khó, kinh nghiệm nghiên cứu và viết luận văn còn hạn chế nên không tránh khỏi những thiếu sót Tác giả rất mong nhận được những ý kiến đóng góp của quý thầy cô và bạn đọc để luận văn được hoàn thiện hơn

Hà Nội, tháng 05 năm 2016

Tác giả

Vũ Văn Thưởng

Chương 1

KHÁI NIỆM TRỘI VÀ ỨNG DỤNG TRONG CHỨNG MINH MỘT SỐ BẤT ĐẲNG THỨC

1.1 KHÁI NIỆM TRỘI

1.1.1 Định nghĩa 1.1.1 Cho aa1, ,a n và bb1, ,b n là hai vectơ trong không gian hữu hạn chiều n Các tọa độ a i và b i, i1,2, ,n được sắp thứ

tự như sau: a1a2   a n, b1 b2   b n Nếu:

thì ta nói a trội hơn b (a majorizes b) và viết a b

Ta cũng nói b bị trội bởi a (b majorized by a) và viết b a

1.2 HÀM LỒI SHUR

1.2.1 Định nghĩa 1.2.1 Tập X  n được gọi là tập lồi nếu với mọi  0;1

và x1X x, 2X ta có x x1 1 x2X

Nghĩa là, tập lồi X chứa mọi đoạn thẳng nối hai điểm của nó

1.2.2 Định nghĩa 1.2.2 Hàm f X:  n được gọi là hàm lồi nếu X là tập lồi và với mọi  0;1 và x1X x, 2X ta có

(1.2.1)

Nếu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x1  x2 thì f được gọi là lồi chặt trên X

Hàm f được gọi là hàm lõm nếu - f là hàm lồi, hay ta có bất đẳng thức ngược lại

Nếu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x1 x2 thì hàm f được gọi là lõm chặt

trên X

1.2.3 Một số tính chất cơ bản của hàm lồi, hàm lõm

Tính chất 1.2.3.1 Nếu f : a b;   là hàm lồi khả vi liên tục trên

Trường hợp x y, Î [a b x, ,]  y chứng minh hoàn toàn tương tự

Tính chất 1.2.3.2 Cho hàm số y f x  xác định trên tập X và có đạo hàm

cấp hai tại mọi xÎ X

Nếu f x ³ 0 với mọi xÎ X thì f x là hàm lồi trên   X

Nếu f x 0 với mọi xÎ X thì f x là hàm lõm trên   X

1.2.4 Định nghĩa 1.2.3 Hàm :  n 

F X được gọi là hàm lồi Shur

(Shur-convex function) nếu x y trên X suy ra F x F y .

Một bất đẳng thức cho hàm lồi được sử dụng hiệu quả trong chứng minh các

bất đẳng thức là Bất đẳng thức trội dưới đây

1.2.4.1 Bất đẳng thức trội (Bổ đề trội, Shur, 1923)

Chứng minh Trước tiên ta chứng minh Bổ đề trội cho trường hợp n2

Không hạn chế tổng quát, coi xx x1, 2với x1  x2 và yy y1, 2 với

Vậy bất đẳng thức (1.2.2) đúng trong trường hợp này

Trong trường hợp n bất kì, để đơn giản hóa chứng minh, ta giả thiết thêm f

là hàm lồi hai lần khả vi trên  a b ;

Áp dụng tính chất 1.2.3.1 của hàm lồi cho các cặp số x y i, iÎ [a b, ] ta được

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi x i  y i,  i 1, n

Chứng minh tương tự cho bất đẳng thức (1.2.3)

Nhận xét Nhiều sách (thí dụ, [1], [3]) gọi bất đẳng thức (1.2.2) và (1.2.3) là

bất đẳng thức Karamata (Karamata inequality) Bổ đề trội được Shur chứng

minh năm 1923 và Karamata chứng minh năm 1932 Hơn nữa, Bổ đề trội có

rất nhiều ứng dụng khác, không chỉ trong chứng minh bất đẳng thức (xem

[8]) Do đó, chúng tôi gọi (theo [8]), các đẳng thức (1.2.2) và (1.2.3) là bất

đẳng thức trội hay bất đẳng thức Shur

1.2.4.2 Một số hệ quả của bất đẳng thức trội

Hệ quả 1 (Bất đẳng thức Jensen) Với mọi hàm lồi ( )f x trên I a b( , ) và với mọi x iI a b( , ) (i 1, 2, , ),n ta luôn có bất đẳng thức:

n n

Vậy bất đẳng thức (1.2.4) được chứng minh

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x1= x2 = = x n

Hệ quả 2 (Bất đẳng thức T Popoviciu) Với mọi hàm lồi trên I a b và với  ;mọi x y z, , I a b ; , ta đều có bất đẳng thức:

Vậy bất đẳng thức (1.2.5) được chứng minh

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x= y= z

1.3 ỨNG DỤNG KHÁI NIỆM TRỘI TRONG CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC

Khái niệm trội, thậm chí chỉ riêng bất đẳng thức trội, đặc biệt có lợi trong đánh giá (và tìm cực trị) các đại lượng Các thí dụ dưới đây minh họa điều này

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi a b c.

Vậy bất đẳng thức (1.3.1) được chứng minh

Thí dụ 1.3.2 ([7], IMO 2000, Problem 2) Cho các số dương a,b,c thỏa mãn

điều kiện a b c 1 Khi ấy

x y zy z x z  x yxyz (1.3.2.1) Không hạn chế tổng quát, coi x y z Khi ấy x  y z 0; z  x y 0 Nếu y  z x 0 thì (1.3.2.1) hiển nhiên đúng

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x  y z hay a   b c 1

Vậy bất đẳng thức (1.3.2) được chứng minh

Thí dụ 1.3.3 Cho 2n số thực dương a b i i, i  1,2, ,n thỏa mãn các điều kiện

1 2 n; 1 2 n; 1 1; 1 2 1 ; ;2 1 .2 n 1 .2 n

Khi ấy

a1a2   a n    b1 b2 b n (1.3.3)

Chứng minh Đặt x i lna ; y i i lnb i=1,2, ,n i  

Với các điều kiện đã cho, ta có: x1 x2   x n; y1  y2    y n và

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a i b , i=1,n i 

Vậy bất đẳng thức (1.3.3) được chứng minh

Thí dụ 1.3.4 Cho a b, là các số thực dương Khi ấy

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi ab

Vậy bất đẳng thức (1.3.4) được chứng minh



  Khi ấy

1

4 sin sin

n

i i

2 2 2 2 2

n

π a

Thí dụ 1.3.6 ([7]) Cho a i i, 1, 2, ,n là những số nguyên dương Kí hiệu

 

1

n i i

Không làm mất tính tổng quát, giả sử a1³ a2³ ³ a n³ 1.

a, Từ giả thiết bài toán, ta có:

-ìïï

ï - + ³ïï

ïï - + + ³ +ïïï

íïï

ï - + + + + ³ + + +ïï

ïï

ïï - + + + + = + + +ïî

Khi đó

Thí dụ 1.3.7 (Đề thi kết thúc học phần cao học, chuyên đề bất đẳng thức, Đại

Vậy maxM = 93đạt được khi a= 8, b= 5, c= 2

Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki cho bộ số (a b c và (1,1,1) ta được: , , )

Vậy minM = 75 đạt được khi a  b c 5.

Thí dụ 1.3.8 Cho a,b,c là ba số thực thỏa mãn:  1 a,b,c1 và

12

a   b c Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức 12 12 12

Giải Không mất tính tổng quát, giả sử a b c Khi đó:

21

Kết luận Chương 1 Chương 1 trình bày các kiến thức cơ bản về khái niệm

trội, hàm lồi, hàm lõm, dấu hiệu nhận biết hàm lồi, hàm lõm, đặc biệt là khái

niệm hàm lồi Shur cho ta bất đẳng thức trội Ngoài ra, trong Chương 1 cũng

giới thiệu một số ứng dụng của bất đẳng thức trội vào việc chứng minh một số bất đẳng thức Qua đó cho thấy thế mạnh của bất đẳng trội trong chứng minh các bất đẳng thức là rất đa dạng và hiệu quả, áp dụng bất đẳng thức trội một

cách hợp lý cho ta ngay kết quả cần đạt được

Chương 2

ỨNG DỤNG CỦA BỔ ĐỀ TRỘI TRONG CHỨNG MINH CÁC BẤT ĐẲNG THỨC TRONG TAM GIÁC

2.1 THÍ DỤ MINH HỌA

Thí dụ 2.1.1 ([7], Asian Pacific Mathematical Competition; Olympic châu Á

– Thái Bình Dương lần thứ 8, 1996) Cho a,b,c là ba cạnh của một tam giác

Như vậy, phép biến đổi a y z b,  x z c,  x y cho một tương

ứng giữa ba cạnh , ,a b c của tam giác và ba số dương x y z, , Điều này cho phép tạo các đẳng thức và bất đẳng thức mới trong tam giác từ các các đẳng thức và bất đẳng thức giữa ba số dương

2.2 CÁC BẤT ĐẲNG THỨC LIÊN QUAN ĐẾN CÁC GÓC TRONG CỦA TAM GIÁC

Nhận xét 2.2.1 Cho   1, 2, 3 lần lượt là ba góc trong một tam giác

   1 2  3   Khi đó:

với mọi tam giác

b, Tam giác có ba góc nhọn (tam giác nhọn)

cho tam giác có ba góc nhọn

c, Tam giác tù với góc 1

      với mọi xÎ  0;

Bài 2.2.1.1 Cho tam giác ABC có ba góc trong lần lượt là   1, 2, 3 Khi ấy

1) 0 sin 1 sin 2 sin 3 3 3

2

2)

1 4

1) 0 sin 1 sin 2 sin 3 3 3.

Cách 2 Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC, bán kính R, ta có:

Vậy bất đẳng thức (2.2.1.1.1) được chứng minh

Cách 3 Trước tiên ta chứng minh 2 2 2

9sin sin sin

9 2 sin 2 sin 2 sin

9 4 sin sin sin

9sin sin sin

1 2 3

3sin sin sin

sin sin sin 0 (1.8)

Từ (1.7) và (1.8) ta có: 0 sin 1 sin 2 sin 3 3 3

2

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi

 tam giác ABC đều

Vậy bất đẳng thức (2.2.1.1.1) được chứng minh

2)

1 4

Dấu bằng xảy ra ở bất đẳng thức vế trái khi và chỉ khi  1 ,  2 0,  3 0

(vô lý) Suy ra

1 4

3) 0 sin 1.sin 2.sin 3 3 3

8

    £ (2.2.1.1.3)

sin sin sin 0 (3.2)

Từ (3.1) và (3.2) ta có 0 sin 1.sin 2.sin 3 3 3

Cách 2 Do   1, 2, 3 là ba góc trong tam giác ABC nên ta có

 

1, 2, 3 0;

    Suy ra: sin1 0, sin2 0, sin3 0 Do đó

sin sin sin 0. (3.3)

Theo bất đẳng thức Cauchy cho ba số dương sin1, sin2, sin3, ta có:

 

3

3 3

sin sin sin sin sin sin

3 32

Dấu bằng xảy ra ở bất đẳng thức vế phải khi và chỉ khi  1 ,  2 0,  3 0

(vô lý) Suy ra:

3sin sin sin 1

2 1 2 2 2 3 1 cos 1 1 cos 2 1 cos 3

sin sin sin

3sin sin sin

Bài 2.2.1.2 Cho tam giác ABC nhọn, có ba góc trong lần lượt là   1, 2, 3 Khi ấy

1) 2 sin 1 sin 2 sin 3 3 3

2

2)

1 4

Dấu bằng xảy ra ở bất đẳng thức vế trái khi và chỉ khi

Vậy bất đẳng thức (2.2.1.2.1) được chứng minh

Cách 2: Chứng minh sin 1 sin 2 sin 3 3 3

Theo bất đẳng thức Bunhiacopxki ta có:

  2   2 2 2 

9 27sin sin sin 1 1 1 sin sin sin 3

4 4

3 3sin sin sin (1)

4

      )

2)

1 4

Dấu bằng xảy ra ở bất đẳng thức vế trái khi và chỉ khi

sin sin sin 3.2

Cách 2 Do   1, 2, 3 là ba góc trong tam giác ABC nên ta có sin 1 0,

hay tam giác ABC là tam giác đều

Vậy bất đẳng thức (2.2.1.2.3) được chứng minh

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi 1 , 2 , 3 0

Dấu bằng xảy ra ở bất đẳng thức vế phải khi và chỉ khi 1 2 3

3

  

   hay ABC là tam giác đều

Vậy bất đẳng thức (2.2.1.2.4) được chứng minh

Bài 2.2.1.3 Cho tam giác ABC tù, có ba góc trong lần lượt là   1, 2, 3 Khi

0 sin  sin  sin <1 2

3) 0 sin 1.sin 2.sin 3 1

Chứng minh Kí hiệu 1  BAC; 2  ABC; 3  ACB lần lượt là các góc

và a BC b,  AC c, AB lần lượt là ba cạnh của tam giác tù ABC

1) 0sin1 sin2 sin3<1 2 (2.2.1.3.1)

sin sin 0 sin 0 sin sin sin