Dáng điệu nghiệm của các phương trình vi phân hàm bị nhiễu

BÙI TRỌNG QUYDÁNG ĐIỆU NGHIỆM CỦA CÁC PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN HÀM BỊ NHIỄU LUẬN VĂN THẠC SỸ KHOA HỌC Chuyên ngành: Toán giải tích Mã số: 60 46 01 02... Mushkic nhà toán học Nganghiên cứu từ

BÙI TRỌNG QUY

DÁNG ĐIỆU NGHIỆM CỦA CÁC PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN HÀM BỊ NHIỄU

LUẬN VĂN THẠC SỸ KHOA HỌC Chuyên ngành: Toán giải tích

Mã số: 60 46 01 02

BÙI TRỌNG QUY

DÁNG ĐIỆU NGHIỆM CỦA CÁC PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN HÀM BỊ NHIỄU

LUẬN VĂN THẠC SỸ KHOA HỌC

Chuyên ngành: Toán giải tích

Mã số: 60 46 01 02

Giảng viên hướng dẫn:

PGS.TS Đặng Đình Châu

HÀ NỘI - 2015

Luận văn này được hoàn thành dưới sự hướng dẫn trực tiếp và chỉ bảo tận tìnhcủa thầy PGS.TS Đặng Đình Châu Trước tiên, tôi xin được bày tỏ lòng biết ơn tớithầy, người đã tận tình chỉ bảo, giúp đỡ và tạo điều kiện về nhiều mặt để tôi có thểhoàn thành luận văn này.

Nhân dịp này, tôi cũng xin bày tỏ lòng biết ơn tới toàn thể thầy giáo, cô giáo

đã và đang công tác tại khoa Toán - Cơ - Tin học, trường Đại học Khoa học Tự nhiên

Hà Nội, những người đã giảng dạy và cung cấp những kiến thức khoa học quý báutrong suốt những năm học vừa qua để tôi có nền tảng kiến thức thực hiện luận vănnày

Cuối cùng, tôi xin cảm ơn gia đình và bạn bè đã luôn ở bên cạnh, động viên,nhiệt tình giúp đỡ và chia sẻ những khó khăn trong quãng thời gian tôi làm luận văncũng như trong suốt các năm học tập tại trường

Hà Nội, ngày 16 tháng 11 năm 2015

Học viên

Bùi Trọng Quy

Phương trình vi phân hàm lần đầu tiên được A.D Mushkic (nhà toán học Nga)nghiên cứu từ năm 1950, cho đến nay đã được phát triển một cách khá hoàn thiện.Phương trình vi phân hàm có thể được xem là các phương trình vi phân trong khônggian Banach với các không gian pha là những không gian các hàm liên tục trên mộtmiền J của trục thựcR Các kết quả về lý thuyết định tính của phương trình vi phân

hàm có rất nhiều ứng dụng trong thực tiễn (xem tài liệu [3], [7], [9],[12]) Nội dungluận văn chủ yếu tập trung nghiên cứu tính chất nghiệm của phương trình vi phân

có chậm Phương pháp được sử dụng chủ yếu là các phương pháp thông dụng trong

lý thuyết định tính của phương trình vi phân tuyến tính Trong phần cuối có áp dụngthêm phương pháp nửa nhóm và phương pháp họ toán tử tiến hóa trong không gianBanach

Bố cục của luận văn bao gồm 3 chương:

• Chương 1: Kiến thức chuẩn bị

• Chương 2: Phương trình vi phân tuyến tính có chậm

• Chương 3: Dáng điệu tiệm cận nghiệm của phương trình vi phân hàm bị nhiễu.Mặc dù có nhiều cố gắng nhưng bản luận văn khó tránh khỏi những hạn chế vàthiếu sót Chúng tôi rất mong nhận được sự góp ý và những ý kiến phản biện củaquý thầy cô và các bạn Tôi xin chân thành cảm ơn!

Hà Nội, ngày 16 tháng 11 năm 2015

Học viên: Bùi Trọng Quy

1 Kiến thức chuẩn bị 6

1.1 Một số khái niệm cơ bản về nửa nhóm liên tục mạnh trong không gian

Banach và toán tử sinh của nó 6

1.2 Ứng dụng của phương pháp toán tử Laplace đối với phương trình vi phân có chậm 8

1.3 Khái niệm về họ toán tử tiến hóa liên tục mạnh trong không gian Banach 10 1.4 Tính chất nghiệm của các phương trình vi phân so sánh tích phân được trong không gian Banach 13

1.4.1 Tính ổn định phải và tính ổn định trái theo Lyapunov 13

1.4.2 Các phương trình so sánh tích phân được 15

1.4.3 Sự tương đương tiệm cận của các phương trình so sánh tích phân được 15

2 Phương trình vi phân tuyến tính có chậm 17 2.1 Khái niệm về phương trình vi phân hàm và phương pháp tìm nghiệm của nó 17

2.1.1 Sự tồn tại và duy nhất nghiệm 17

2.1.2 Phương pháp giải phương trình vi phân hàm 19

2.2 Phương trình vi phân tuyến tính có chậm 21

2.3 Phương pháp nửa nhóm cho phương trình vi phân có chậm 24

3 Dáng điệu tiệm cận nghiệm của phương trình vi phân hàm bị nhiễu 26

3.1 Họ toán tử tiến hóa phi tuyến U(t, s) và sự tồn tại duy nhất nghiệmcủa phương trình tích phân Volterra có chậm 263.2 Các tính chất của họ toán tử tiến hóa U(t, s) 283.3 Sự tương đương tiệm cận của phương trình vi phân hàm bị nhiễu 31

X- Không gian Banach

L(X)- Không gian Banach của tất cả toán tử tuyến tính bị chặn trên X

C(ω)- Không gian các hàm liên tục trên ω

C(X, Y)- Không gian các hàm liên tục từ X đến Y

D(A)- Miền xác định của A

Ck(J)- Không gian các hàm khả vi liên tục cấp k trên J

(T(t))t≥0 - Nửa nhóm một tham số các toán tử tuyến tính

R(λ, A)- Giải của A

ρ(A)- Tập giải của A

U(t, s)- Họ hai tham số của các toán tử tuyến tính

Mn(R)- Không gian các ma trận (thực) vuông cấp n: A = (aij)n.n

l2 - Không gian các dãy số(ξn)được xác định bởi:

Kiến thức chuẩn bị

Trong chương 1 này chúng tôi sẽ trình bày một số kết quả cơ bản được sử dụngtrong các chương sau Các kết quả trong chương này không có chứng minh và đượctrích dẫn trong các tài liệu [2],[4],[8], [10]

1.1 Một số khái niệm cơ bản về nửa nhóm liên tục mạnh

trong không gian Banach và toán tử sinh của nó

Định nghĩa 1.1 Họ các toán tử tuyến tính bị chặn (T(t))t≥0 trên không gian Banach X được gọi là nửa nhóm liên tục mạnh nếu nó thỏa mãn:

Mệnh đề 1.2 Cho nửa nhóm liên tục mạnh(T(t))t≥0, tồn tại hằng số w ∈ R và M ≥ 1 sao chokT(t)k ≤ Mewt với mọi t ≥0.

Định nghĩa 1.2 Cho nửa nhóm liên tục mạnh(T(t))t≥0, gọi

w0(T) = in f{w ∈ R : ∃Mw ≥ 1,kT(t)k ≤ Mwewt∀t ≥ 0}

là cận tăng trưởng hoặc kiểu tăng trưởng của nửa nhóm.

Trong định nghĩa (1.2), nửa nhóm gọi là bị chặn nếu w = 0, nửa nhóm co nếu cóthể lấy w = 0 và M = 1, nửa nhóm đẳng cự nếu kT(t)xk = kxk với mọi t ≥ 0 và

x ∈ X

Định nghĩa 1.3 Toán tử sinh A : D(A) ⊆ X → X của nửa nhóm liên tục mạnh(T(t))t≥0

trên không gian Banach X là toán tử

(a) Nếu λ ∈ C sao cho R(λ)x = R+∞

0 e−λsT(s)xds tồn tại với mọi x ∈ X thì λ ∈ ρ(A) và

R(λ, A) = R(λ).

(b) Nếu Reλ> w thì λ ∈ ρ(A)và giải thức R(λ, A)xác định trong phần (a).

(c)kR(λ, A)k ≤ Reλ−M w ∀λ : Reλ >w.

Khi đó R(λ, A)x =R+∞

0 e−λsT(s)xds gọi là biểu diễn tích phân của giải thức.

Định lý 1.1 (Xem tài liệu [10])( Định lý Hille- Yosida về toán tử sinh)

Đối với toán tử(A, D(A)) trên không gian Banach X các tính chất sau là tương đương: (a) (A,D(A)) sinh nửa nhóm co liên tục mạnh.

(b) (A,D(A)) là đóng, xác định trù mật và với mỗi λ >0 ta có λ∈ ρ(A)và

(c) (A,D(A)) là đóng, xác định trù mật và với mỗi λ∈ C với Reλ >0 ta có λ ∈ ρ(A)và

kR(λ, A)k ≤ 1

Reλ

1.2 Ứng dụng của phương pháp toán tử Laplace đối với phương

trình vi phân có chậm

( Xem tài liệu [2])

Định nghĩa 1.4 Hàm giá trị phức f(t) = u(t) +iv(t)của biến thực t được gọi là hàm gốc nếu nó thỏa mãn 3 điều kiện sau:

Tức là hàm|f(t)|tăng không nhanh hơn hàm mũ.

Định nghĩa 1.5 Giả sử f(t)là hàm gốc Khi đó hàm biến phức F(p)được xác định bởi công thức:

trong đó t0 là số dương bất kì và Rep >α0.

Trong quá trình áp dụng phương pháp Laplace để giải các phương trình vi phân,ngoài việc sử dụng các tính chất cơ bản của phép biến đổi Laplace, chúng ta còn phảidựa vào định lý về sự tồn tại phép biến đổi ngược của phép biến đổi Laplace sau đây

Nếu f : [0,∞) → R là đo được và thỏa mãn:

|f(t)| ≤ aebt, t ∈ [0,∞)

với a và b là hằng số nào đó, thì biến đổi Laplace L(f)định nghĩa:

L(f)(λ) =

∞ Z

0

e−λtf(t)dt

tồn tại và giải tích trên miền Repλ >b.

c − iT, trong đó c là số thực.

( Xem trang 313 tài liệu [2])

Bổ đề 1.1 (Biến đổi Laplace ngược)

Giả sử f : [0,∞) → R là hàm cho trước, b >0 là một hằng số sao cho f có biến phân bị chặn trên tập compact bất kì, t 7→ f(t)e−bt là khả tích Lebesgue trên[0,∞) Khi đó, với c > b bất kì,

2f(0+) t =0

1.3 Khái niệm về họ toán tử tiến hóa liên tục mạnh trong

không gian Banach

(xem tài liệu [8])

Giả sử X là không gian Banach và J = [0, T] ⊂ R Với mỗi t ∈ J trong không gianBanach X ta xét toán tử tuyến tính A(t) : D(A(t)) ⊂ X → X, ta giả sử f(t) là mộthàm xác định trên J nhận giá trị trong không gian Banach X Ta xét bài toán với giátrị ban đầu

(

du ( t )

dt = A(t)u(t) + f(t) với 0≤ s< t ≤ T

Bài toán với giá trị ban đầu (1.1) được gọi là bài toán tiến hóa Giả sử u : [s, T] → X

là hàm xác định trên J nhận giá trị trong không gian Banach X, khi đó ta nói u :

[s, T] → X là nghiệm "cổ điển" của bài toán tiến hóa nếu u là hàm liên tục trên [s, T],

u(t) ∈ D(A(t))với s < t ≤ Tvà u là khả vi liên tục trên s < t ≤ Tthỏa mãn phươngtrình (1.1)

Việc nghiên cứu sự tồn tại duy nhất nghiệm của bài toán tiến hóa thường liên quanđến phương trình Volterra Xét phương trình Volterra có dạng:

x(t) = g(t) +

Z t

t A(τ)x(τ)dτ (1.2)

với g(t) là hàm vectơ liên tục trên I và chỉ ra nó có một nghiệm liên tục trên đoạn

Bây giờ ta xét bài toán giá trị ban đầu thuần nhất:

Định lý 1.6 Cho X là không gian Banach và giả sử với mỗi t, 0 ≤ s< t ≤ T toán tử tuyến

tính A(t) bị chặn trên X Khi đó nếu hàm t → A(t) là liên tục theo chuẩn toán tử thì với mỗi x ∈ X bài toán giá trị ban dầu thuần nhất (1.4) có duy nhất một nghiệm "cổ điển" u.

Để thuận tiện cho việc biểu diễn nghiệm và nghiên cứu tính chất nghiệm của bàitoán giá trị ban đầu ta xác định một toán tử tuyến tính U(t, s) từ X vào X mà ta gọi

Dựa vào bổ đề này ta có thể chứng minh định lý sau:

Định lý 1.7 Họ toán tử tiến hóa U(t, s)tương ứng với phương trình (1.4) có các tính chất sau đây:

Việc chứng minh các tính chất ta có thể xem trong [8] phần định lý 5.2 trang 128

Định nghĩa 1.6 Một họ hai tham số của toán tử tuyến tính bị chặn U(t, s), 0 ≤ s≤ t ≤ T

trên X gọi là một họ tiến hóa liên tục mạnh nếu thỏa mãn hai điều kiện sau:

(a) U(s, s) = I, U(t, r)U(r, s) = U(t, s)với 0 ≤s ≤r ≤t ≤ T.

(b)(t, s) → U(t, s)là liên tục mạnh với 0 ≤s ≤t ≤ T.

1.4 Tính chất nghiệm của các phương trình vi phân so sánh

tích phân được trong không gian Banach

1.4.1 Tính ổn định phải và tính ổn định trái theo Lyapunov.

(Xem tài liệu [8])

Cho X là không gian Banach Ta giới thiệu vài khái niệm về dáng điệu nghiệm củaphương trình vi phân tuyến tính:

dx

Giả sử với mỗi t, 0 ≤ s < t ≤ T, toán tử tuyến tính A(t) : D(A(t)) ⊂ X → X là bịchặn trong X, tức là A(t) ∈ L(X) và hàm t → A(t) là liên tục theo tô pô đều Vớitoán tử tiến hóa U(t, s)của phương trình (1.5), kí hiệu U(t, 0) = U(t)và U(t) gọi làtoán tử Cauchy của phương trình (1.5)

Chúng ta nhắc lại rằng phương trình (1.5) là phương trình tuyến tính nên nó ổn định(chính xác hơn là ổn định phải) nếu mọi nghiệm của nó bị chặn trên[0,∞)

Bổ đề 1.4 Điều kiện cần và đủ đối với tính ổn định của phương trình (1.5) là tính bị chặn đều của toán tử Cauchy của nó:

sup

t ≥ 0

||U(t)|| < ∞

Nhận xét 1.1 Ta có thể nói rõ hơn điều kiện của bổ đề, là điều kiện cần và đủ của ổn định

phải là sự tồn tại hằng số q >0 sao cho nghiệm x(t) của phương trình (1.5) thỏa mãn

Có thể chứng tỏ rằng tính ổn định phải đều tương đương với điều kiện sau:

N = sup

t ≥ s ≥ 0

Giá trị của N là tốt nhất có thể đối với đánh giá (1.7)

Nhận xét 1.2 Giả sử A(t) = A là toán tử hằng Trong trường hợp U(t, s) = eA(t−s) dễ thấy điều kiện ổn định:

sup

t ≥ 0

||eAt|| < ∞ (1.9)

trùng với điều kiện ổn định đều.

Phương trình (1.5) là ổn đinh trái nếu tồn tại hằng số q0 > 0 sao cho nghiệm x(t)

bất kỳ của phương trình này thỏa mãn đánh giá:

||x(0)|| ≤ q0||x(t)|| t ≥ 0Trong tài liệu [8] đã chứng minh được rằng: Ổn định trái là tương đương với tính bịchặn đều của toán tử U−1(t)

Tính ổn định trái đều tương đương với điều kiện:

sup

t ≥ s ≥ 0

kU(t, s)k < ∞ (1.10)

Ta nói phương trình (1.5) là song ổn định trên nửa[0,∞)nếu nó là vừa là ổn định trái

và vừa là ổn định phải Hay phương trình (1.5) là song ổn định nếu và chỉ nếu:

So sánh điều kiện này với (1.8) và (1.10) chứng tỏ rằng một phương trình là song ổnđịnh thì ổn định trái và ổn định phải đều Nói cách khác là một phương trình là song

ổn định nếu tồn tại hằng số q >0 sao cho nghiệm x(t)thỏa mãn đánh giá:

||x(t)|| ≤q||x(s)|| (0≤ s, t≤ ∞)

1.4.2 Các phương trình so sánh tích phân được

Giả sử trên nửa khoảng[0,∞)chúng ta xét 2 phương trình:

chúng có thể xác lập duy nhất một quan hệ đơn trị x1(t) ←→ x2(t)qua đánh giá sau:

||x2(t) −x1(t)|| =O





∞ Z

Phương trình vi phân tuyến tính có chậm

2.1 Khái niệm về phương trình vi phân hàm và phương pháp

tìm nghiệm của nó

(Xem tài liệu[7])

2.1.1 Sự tồn tại và duy nhất nghiệm

• ChoRnlà không gian Euclid, x ∈ Rn,|x| = qx21 +x22+ +x2

n gọi là chuẩn của

xtrongRn

• Với h > 0 ta kí hiệu C là không gian các ánh xạ liên tục từ [−h, 0] vàoRn Với

ϕ ∈ C thì chuẩn của ϕ được định nghĩa là:

xt(θ) = x(t+θ), −h ≤θ ≤ 0Giả sử x.(t) là đạo hàm phải của x(u) tại u = t và chúng ta xét phương trình viphân:

.

Ở đây f(t,Φ) ∈ Rn xác định trênΩ ⊂ [0, δ] ×CH

f : [0, δ] ×CH → Rn

Ta gọi phương trình (2.1) là phương trình vi phân hàm trênΩ

Sau đây ta xét bài toán với giá trị ban đầu: Tìm nghiệm x(t)của phương trình vi phân(2.1) thỏa mãn điều kiện cho trước: x(t) = ϕ(t), −h+t0 ≤ t ≤ t0

Hoặc:

(dx

dt = f(t, xt) t ≥t0

x(t) = ϕ(t) t0 −h≤ t ≤ t0Hoặc:

Định nghĩa 2.1 Một hàm xt(t0, ϕ)(hoặc x(t0, ϕ)(t)) được gọi là nghiệm của phương trình

vi phân (2.1) với điều kiện ban đầu ϕ ∈ CH tại t = t0, t ≥ 0 , nếu tồn tại số A > 0 sao cho

xt(t0, ϕ)xác định trên[t0 −h, t0+A]nhận giá trị trongRn thỏa mãn các tính chất sau: (i) xt(t0, ϕ) ∈ CH với t0 ≤ t ≤ t0 +A

(ii) xt0(t0, ϕ) = ϕ

(iii) xt(t0, ϕ)thỏa mãn phương trình (2.1) với t0 ≤ t < t0 +A.

Bằng cách sử dụng nguyên lí ánh xạ co (hoặc bằng phương pháp xấp xỉ liên tiếp)

ta có thể chứng minh các kết quả sau đây

Bổ đề 2.1 (Tồn tại nghiệm) (Xem tài liệu [7])

Giả sử Ω là tập mở trong R×C, f là hàm liên tục trên Ω Nếu (t0, ϕ) ∈ Ω, thì tồn tại nghiệm của phương trình (2.1) đi qua (t0, ϕ)

Chúng ta gọi f(t, φ)là Lipschitz với φ trong tập compact K củaR×C nếu tồn tại số dương

k >0 sao cho, với mỗi(t, φi) ∈ K, i = 1, 2,

|f(t, φ1) − f(t, φ2)| ≤ k|φ1−φ2|

Bổ đề 2.2 (Duy nhất nghiệm) Giả sử Ω là tập mở trong R×C, f : Ω → Rn liên tục và

f(t, φ) là Lipschitz với φ trên mỗi tập compact trong Ω Nếu (t0, ϕ) ∈ Ω thì có duy nhất nghiệm của phương trình (2.1) đi qua t0, ϕ.

2.1.2 Phương pháp giải phương trình vi phân hàm

Ta có thể đi tìm nghiệm của phương trình vi phân hàm (2.1) bằng hai phươngpháp là phương pháp từng bước và phương pháp toán tử Laplace

(a) Phương pháp từng bước

Theo phương pháp này, công thức nghiệm tìm được bằng cách lấy tích phân trêntừng đoạn có độ dài thích hợp Nói chung không nêu được một công thức giải tíchtrên cả bán trục R+

Ví dụ 2.1.Xét phương trình vi phân có chậm sau:

x0(t) = 6x(t−1)

ϕ(t) = t, 0 ≤t ≤1

Ta sẽ tìm nghiệm x(t0, ϕ), t0 =1 của phương trình vi phân trên [0, 3]

Nghiệm của phương trình vi phân có dạng:

x(t) = ϕ(t) 0≤ t ≤1Trên đoạn [1,2] ta có:

x(t) = ϕ(t) 0 ≤t ≤1Trên đoạn [2,3] ta có:

(b) Phương pháp toán tử Laplace

Khi đó so sánh với bảng đối chiếu gốc ảnh (xem [2]) ta có:

Trong đó η(t)là hàm đơn vị thỏa mãn:

η(t) = 1 khi t ≥0

0 khi t <0

2.2 Phương trình vi phân tuyến tính có chậm

Trong phần này chúng tôi sẽ trình bày một số kết quả đối với phương trình viphân hàm đơn giản nhất, nội dung của phần này được trích dẫn từ tài liệu [7]

Xét phương trình thuần nhất:

˙x(t) = Ax(t) +Bx(t−r), (A, B ∈ R, x(t) ∈ R) (2.2)Sau đây chúng ta sẽ trình bày một vài kết quả về phương trình đặc trưng và nghiệm

cơ bản của phương trình (2.2) Trước hết chúng ta thấy rằng phương trình (2.2)

có nghiệm không tầm thường dạng eλtc khi và chỉ khi phương trình đặc trưng cónghiệm

h(λ) de f:= λ−A−Be−λr = 0 (2.3)Các bổ đề sau đây cho ta biết các dạng nghiệm của phương trình đặc trưng và cácnghiệm tương ứng của phương trình thuần nhất (2.2)

Bổ đề 2.3 (Xem tài liệu [7] trang 18)

a) Nếu tồn tại một dãy λj của các nghiệm của phương trình (2.3) sao cho |λj| → ∞ khi

j → ∞, thì Repλj → −∞.

b) Vì vậy tồn tại một số thực α sao cho tất cả các nghiệm của (2.3) thỏa mãn Repλ < α và

chỉ có một số hữu hạn các nghiệm của (2.3) nằm trên trục thẳng đứng bất kỳ của mặt phẳng phức.

Chứng minh Giả sử λ là nghiệm của phương trình (2.2),