Bài toán biên hilbert và các phương trình tích phân liên quan

Tương tự như vậy, David Hilbert đã xây dựng một bài toán như sau: Tìm hàm Fz = uz +ivz là hàm giải tích trong miền đơn liên D+ giới hạn bởi chu tuyến L và liên tục trên D+∪L, với điều ki

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

HOÀNG QUẾ HƯỜNG

BÀI TOÁN BIÊN HILBERT

VÀ CÁC PHƯƠNG TRÌNH TÍCH PHÂN LIÊN QUAN

LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC

HÀ NỘI - NĂM 2016

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

HOÀNG QUẾ HƯỜNG

BÀI TOÁN BIÊN HILBERT

VÀ CÁC PHƯƠNG TRÌNH TÍCH PHÂN LIÊN QUAN

LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC

Chuyên ngành: Giải tích

Mã số: 60.46.01.02

Người hướng dẫn khoa học

GS TSKH NGUYỄN VĂN MẬU

HÀ NỘI - NĂM 2016

Mục lục

1.1 Các khái niệm cơ bản 6

1.1.1 Điều kiện H ¨older 6

1.1.2 Chỉ số của hàm số 7

1.1.3 Bậc của hàm số 9

1.1.4 Định nghĩa tích phân dạng Cauchy 9

1.2 Bài toán biên Riemann 10

1.3 Toán tử Schwarz 11

1.3.1 Định nghĩa 12

1.3.2 Bài toán xác định một hàm giải tích có một cực điểm với điều kiện giá trị thực nằm trên chu tuyến 13

2 Bài toán biên Hilbert 17 2.1 Thừa số chính quy hóa 17

2.1.1 Khái niệm 17

2.1.2 Cách xác định các loại thừa số chính quy hóa 18

2.2 Các dạng bài toán biên Hilbert 23

2.2.1 Bài toán thuần nhất 23

2.2.2 Bài toán không thuần nhất 24

2.2.3 Bài toán trên đường tròn đơn vị 26

2.2.4 Bài toán cho miền ngoài đường tròn đơn vị 27

2.3 Mối liên hệ giữa bài toán biên Hilbert và bài toán biên Rie-mann 30

3 Một số dạng phương trình tích phân kỳ dị liên quan 35

3.1 Mối quan hệ của phương trình tích phân kỳ dị đặc trưng với

nhân Hilbert và bài toán biên Hilbert 353.2 Các dạng phương trình tích phân kỳ dị với nhân Hilbert 373.2.1 Phương trình thuần nhất 373.2.2 Phương trình không thuần nhất 403.2.3 Phương trình với hệ số hằng 43

Lời mở đầu

Bài toán tìm một hàm giải tích trong một miền xác định từ hệ thức liên hệgiữa phần thực và phần ảo của giá trị biên của hàm, lần đầu tiên được đưa rabởi G F B Riemann vào năm 1857, được gọi là bài toán biên Riemann Tương

tự như vậy, David Hilbert đã xây dựng một bài toán như sau: Tìm hàm F(z) =

u(z) +iv(z) là hàm giải tích trong miền đơn liên D+ giới hạn bởi chu tuyến L và liên tục trên D+∪L, với điều kiện biên

a(t)u(t) +b(t)v(t) = c(t)

trong đó a(t), b(t)và c(t)là những hàm thực liên tục H¨older trên L.

Bài toán trên cũng thuộc vào nhóm những bài toán giá trị biên cơ bản củahàm giải tích, một trong những bài toán lâu đời nhất của dạng này và thườngđược gọi là bài toán biên Hilbert

Mục đích chính của luận văn là nghiên cứu dạng cơ bản thứ hai này củabài toán biên của hàm giải tích và lớp phương trình tích phân kỳ dị với nhânHilbert tương ứng Tiếp theo, khảo sát một số vấn đề liên quan hỗ trợ cho việcgiải bài toán biên Hilbert như toán tử Schwarz, thừa số chính quy hóa,

Nội dung chính của khóa luận được chia làm bốn chương

 Chương 1: Một số khái niệm và kiến thức bổ trợ

 Chương 2: Bài toán giá trị biên Hilbert cho miền đơn liên, khảo sát nghiệmcủa bài toán thuần nhất, bài toán không thuần nhất, bài toán cho miềntrong và miền ngoài đường tròn đơn vị thông qua thừa số chính quy hóa

và chỉ số của hàm số

 Chương 3: Phương trình tích phân kỳ dị với nhân Hilbert Từ nghiệm củacác bài toán giá trị biên Hilbert suy ra nghiệm của các phương trình tíchphân kỳ dị tương ứng và tính chất cơ bản của phương trình với nhânHilbert

 Chương 4: Áp dụng bài toán biên Hilbert giải một số phương trình tíchphân liên quan.

LỜI CẢM ƠN

Trước khi trình bày nội dung chính của luận văn, em xin bày tỏ lòng biết

ơn sâu sắc tới GS.TSKH Nguyễn Văn Mậu người đã tận tình hướng dẫn để em

có thể hoàn thành luận văn này

Em cũng xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới toàn thể các thầy cô giáotrong khoa Toán - Cơ - Tin học, Trường Đại học Khoa Học Tự Nhiên, Đại HọcQuốc Gia Hà Nội đã dạy bảo em tận tình trong suốt quá trình học tập tại khoa.Nhân dịp này em cũng xin được gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình,bạn bè đã luôn bên em, cổ vũ, động viên, giúp đỡ em trong suốt quá trình họctập và thực hiện luận văn tốt nghiệp

Em xin chân thành cảm ơn!

Hà Nội, ngày 14 tháng 08 năm 2016

Học viên

Hoàng Quế Hường

Chương 1

Một số khái niệm cơ bản

Trong chương này, lí thuyết về bài toán biên Riemann được trình bày với

đa số các kí hiệu được dùng trong sách của F D Gakhov [1] Dưới đây là một sốkiến thức chuẩn bị

1.1 Các khái niệm cơ bản

1.1.1 Điều kiện H ¨older

Giả sử L là chu tuyến trơn và ϕ(t)là tham số hóa tọa độ của L Ta có địnhnghĩa cơ bản dưới đây

Định nghĩa 1.1 Hàm ϕ(t) được gọi là thỏa mãn điều kiện H¨older nếu với mọi cặp điểm phân biệt tùy ý trên L đều có

lấy giới hạn hai vế khi t1 → t2ta được ϕ0(t2) = 0 với mọi t2 thuộc miền xác định

Khi đó, ϕ(t)là hằng số (tức là chu tuyến L suy biến thành 1 điểm) Do đó, trongluận văn này, ta luôn xét trường hợp 0<λ ≤1.

Với λ = 1 điều kiện này được gọi là điều kiện Lipschitz

Ví dụ 1.1 Xét hàm ϕ(t) = sin t (với t ≥0) Ta có

|sin√t1 −sin√t2| =

≤ |√t1−√t2|

=

... data-page="25">

2.2 Các dạng toán biên Hilbert< /b>

2.2.1 Bài toán nhất

Định lý 2.2 Bài toán biên nhất

Chỉ sốκ hàm a(s) +ib(s)được gọi số toán Hilbert Chứng... data-page="19">

Chương 2

Bài tốn biên Hilbert< /b>

Mục đích chương nghiên cứu toán biên Hilbert cho cáctrường hợp biên biên không Từ đó, kết

mở rộng cho tốn... f(z)là hàm giải tích D+ liên tục D+∪L, theo cơng thứctích phân Cauchy lý thuyết hàm biến phức, ta có

Tích phân vế trái công thức (1.2) (1.3) gọi tích phân Cauchy Mở