sáng kiến Một số dạng toán về dãy số và ứng dụng”.PDF

Điều kiện, hoàn cảnh tạo ra sáng kiến Trong chương trình Toán phổ thông nói chung, trong các dạng bài tập, đề thi chọn học sinh giỏi nói riêng thì các bài tập liên quan đến dãy số rất p

TRƯỜNG THPT TRỰC NINH

BÁO CÁO SÁNG KIẾN

ĐỀ TÀI: “MỘT SỐ DẠNG TOÁN VỀ DÃY SỐ

Thông tin chung về sáng kiến 1

1.2 Một vài dãy số trong chương trình Toán phổ thông 7

2.3 Dạng bài dãy truy hồi liên quan số chính phương 33

2.4.3 Ứng dụng tính chất của dãy số trong chứng minh bất đẳng thức 45

V Cam kết không sao chép hoặc vi phạm bản quyền 61

THÔNG TIN CHUNG VỀ SÁNG KIẾN 1.Tên sáng kiến: “ Một số dạng toán về dãy số và ứng dụng”

2 Lĩnh vực áp dụng sáng kiến: Toán học

3.Thời gian áp dụng sáng kiến:

Từ ngày 10 tháng 10 năm 2014 đến ngày 10 tháng 05 năm 2016

4 Tác giả:

Họ và tên: NGUYỄN ĐÌNH DÙNG

Ngày sinh: 12/08/1975

Nơi thường trú: Trực Thanh, Trực Ninh, Nam Định

Trình độ chuyên môn: Thạc sỹ toán học

Chức vụ công tác: Phó hiệu trưởng

Nơi làm việc: Trường THPT Trực Ninh

Địa chỉ liên hệ: Nguyễn Đình Dùng xã Trực Thanh,Trực Ninh, Nam Định Điện thoại: 0917493236

Tỷ lệ đóng góp tạo ra sáng kiến 100%

5 Đồng tác giả (nếu có): không

Họ và tên………

Năm sinh: ………

Nơi thường trú: ………

Trình độ chuyên môn: ………

Chức vụ công tác: ………

Nơi làm việc: ………

Địa chỉ liên hệ: ………

6.Đơn vị áp dụng sáng kiến:

Tên đơn vị: Trường THPT Trực Ninh

Địa chỉ: TT Cát Thành – huyện Trực Ninh – tỉnh Nam Định

Điện thoại: 03503883099

BÁO CÁO SÁNG KIẾN

I Điều kiện, hoàn cảnh tạo ra sáng kiến

Trong chương trình Toán phổ thông nói chung, trong các dạng bài tập, đề thi chọn học sinh giỏi nói riêng thì các bài tập liên quan đến dãy số rất phong phú, đa dạng Hiện nay trong các trường THPT nói chung nhiều giáo viên bộ môn Toán đã khai thác có hiệu quả các vấn đề liên quan đến dãy số, tuy nhiên việc đi sâu tìm hiểu để dạy, bồi dưỡng, học sinh giỏi các cấp về dạng bài tập cho học sinh khá, giỏi liên quan đến dãy số trong chương trình Toán phổ thông còn hạn chế Đặc biệt việc bổ sung nguồn tài liệu cho giáo viên tổ Toán của nhà trường để tham khảo và ôn thi cho học sinh lớp 11,12 nhằm mục đích cho học sinh tham dự kì thi học sinh giỏi tỉnh và kì thi học sinh giỏi quốc gia

Với mong muốn tìm hiểu, học hỏi và tích lũy thêm kinh nghiệm để phục

vụ ngay chính công tác giảng dạy Toán ở trường THPT , tôi chọn hướng

nghiên cứu để viết báo cáo sáng kiến với đề tài: "Một số dạng toán về dãy số

và ứng dụng" với mục đích: Hệ thống và đưa ra lời giải một cách chi tiết cho

một số dạng bài toán về dãy số và ứng dụng trong bồi dưỡng học sinh giỏi Toán ở THPT

Nhiệm vụ chính của sáng kiến bao hàm:

(1) Hệ thống hóa các kiến thức cơ sở về dãy số, một số tính chất về dãy số và một số ứng dụng của dãy số được giới thiệu trong chương trình phổ thông (2) Chọn lọc một số dạng bài tập liên quan đến dãy số thường xuất hiện trong các đề thi chọn học sinh giỏi tỉnh, học sinh giỏi quốc gia và cố gắng đưa ra lời giải tường minh cho những bài tập mà tài liệu tham khảo chưa đưa ra lời giải chi tiết

II Mô tả giải pháp

1.Trước khi tạo ra sáng kiến

Trong chương trình toán THPT dạng toán dãy số là khá mới mẻ với học sinh, trong các kì thi chất lượng của nhà trường rất ít đề cập đến dạng toán về dãy số ở dạng vận dụng và vận dụng cao, vì vậy nguồn tài liệu ôn tập thường xuyên cho học sinh khá giỏi là không nhiều Với học sinh khá giỏi niềm say

mê toán học không chỉ dừng lại mức độ nhận biết, mà biết vận dụng, vận dụng cao Đặc biệt hằng năm UBND tỉnh và Sở giáo dục tổ chức thi để tuyển chọn học sinh giỏi của tỉnh đi tham dự thi kì thi học sinh giỏi quốc gia, đối tượng học sinh THPT không chuyên thường lúng túng về dạng toán về dãy số

vì do học sinh ít được tiếp cận biết được cách làm Trong quá trình giảng dạy đội tuyển học sinh giỏi , nhiều em học sinh có tâm lý lo sợ khi gặp bài toán này, mặc dù niềm say mê toán học của các em vẫn có song do tiếp cận ít nên các em không tự tin giải dạng toán này Vì vậy việc phân chia một số dạng toán về dãy và ứng dụng giúp các em tự định ra phương pháp, kinh nghiệm cho bản thân để tiếp tục nâng cao niềm say mê toán học của các em, các đồng nghiệp có nguồn tài liệu tham khảo để giảng dạy

2 Sau khi có sáng kiến

Sáng kiến này viết theo cấu trúc gồm 2 chương bao hàm kiến thức chuẩn

bị và phân ra các dạng toán về dãy số, đặc biệt nêu một số ứng dụng của dãy

số giúp học sinh giải quyết được rất nhiều dạng bài trong các đề thi chọn học

sinh giỏi tỉnh, học sinh giỏi Quốc gia như bất đẳng thức, các bài hình học…

Dạng toán về dãy số và ứng dụng sẽ mang lại cho học sinh nhiều kinh nghiệm, định hướng giải về toán dãy số.Học sinh say mê toán học tìm thấy rất

nhiều điều bổ ích, không ngại giải những dạng bài này

III NỘI DUNG

Chương 1: MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

đó u1 là số hạng đầu, un = u(n) là số hạng thứ n và là số hạng tổng quát của

dãy số

Mỗi hàm số u xác định trên tập M = {1,2,3,…, m} với *

m được gọi

là một dãy số hữu hạn Dạng khai triển của của dãy số hữu hạn: u1, u2,

u3,…,um trong đó u1 là số hạng đầu, um là số hạng cuối

Dãy số (un) được gọi là:

- Dãy đơn điệu tăng nếu un+1 > un, với mọi n = 1, 2, …

- Dãy đơn không giảm nếu un+1 un, với moi n = 1, 2, …

- Dãy đơn điệu giảm nếu un+1 < un, với mọi n = 1, 2, …

- Dãy đơn điệu không tăng nếu un+1 un, với mọi n = 1, 2, …

Dãy số (un) gọi là bị chặn trên nếu tồn tại số M sao cho un < M, với mọi

n = 1, 2, …; được gọi là dãy số bị chặn dưới nếu tồn tại số m sao cho un > m,

với mọi n = 1, 2, …; Một dãy số bị chặn nếu vừa bị chặn trên vừa bị chặn

iii) Dãy số cho bằng phương pháp mô tả

Ví dụ: Cho a1 = 19, a2 = 98 Với mỗi số nguyên n  1, xác định an +2 bằng số dư của phép chia an + an +1 cho 100

1.1.3 Giới hạn của dãy số

Định nghĩa Ta nói rằng dãy số (un) có giới hạn là hằng số thực a hữu

hạn nếu với mọi số dương (có thể bé tùy ý), luôn tồn tại chỉ số n0 (n0 có thể phụ thuộc vào  và vào dãy số (un) đang xét), sao cho với mọi chỉ số n ,

0

nn ta luôn có u n a  Khi đó kí hiệu lim n

  hoặc limun = a và còn nói rằng dãy số (un) hội tụ về a Dãy số không hội tụ gọi là dãy phân kì

Định lý 1: Nếu một dãy số hội tụ thì giới hạn của nó là duy nhất

Định lý 2 (Tiêu chuẩn hội tụ Weierstrass):

a) Một dãy số đơn điệu và bị chặn thì hội tụ

b) Một dãy số tăng và bị chặn trên thì hội tụ

c) Một dãy số giảm và bị chặn dưới thì hội tụ

Nếu hàm số y = f(x) liên tục trên đoạn [a; b] và có đạo hàm trong

khoảng (a; b) thì tồn tại c(a; b) thỏa mãn: f(b) – f(a) = f’(c)(b – a)

Định lý 6 (Định lý trung bình Cesaro):

Nếu dãy số (un) có giới hạn hữu hạn là a thì dãy số các trung bình cộng

  (Định lý Stolz)

Định lý 7: Cho f: DD là hàm liên tục, khi đó:

i) Phương trình f(x) = x có nghiệm phương trình f n(x) = x có nghiệm

ii) Gọi  , là các mút trái, mút phải của D Biết lim [ ( ) ]

i) Nếu x0 là nghiệm của phương trình f(x) = x thì x0 cũng là nghiệm

của phương trình f n(x) = x Ngược lại, nếu phương trình f(x) = x vô nghiệm thì

f(x) – x > 0 hoặc f(x) – x < 0 với mọi x D do đó f n(x) – x > 0 hoặc fn(x) – x

< 0 với mọi x  D nên phương trình f n(x) = x cũng vô nghiệm

ii) Giả sử phương trình f(x) = x có nghiệm duy nhất là x0 thì đây cũng

là một nghiệm của phương trình f n (x) = x Đặt F(x) = f(x) - x do F(x) liên tục trên (x0; ) và ; x0nên F(x) giữ nguyên một dấu

  cùng dương thì F(x) > 0 trong khoảng

(x0;  ) và ; x0suy ra f(x) > x với mọi xD\{x0}

Xét x1D\{x0} suy ra f(x1) > x1  f(f(x1)) > f(x1)> x1 => fn(x1) > x1 nên

x 1 không là nghiệm của phương trình f n (x) = x

Vậy phương trình f n(x) = x có nghiệm duy nhất x = x0

Ta thấy mọi nghiệm của phương trình fn(x) = x đều là nghiệm của phương trình f n (x) = x, do đó nếu phương trình f n (x) = x có nghiệm duy nhất thì phương trình f n (x) = x cũng có nghiệm duy nhất

Định lý 8: Cho hàm f: DD là hàm đồng biến Dãy (xn) thỏa mãn xn+1

= f(xn), *

x

  , khi đó:

i) Nếu x1< x2 thì dãy (xn) tăng

ii) Nếu x1< x2 thì dãy (xn) giảm

Chứng minh (bằng phương pháp quy nạp)

i) Nếu dãy (xn) bị chặn thì  = limx2n và = limx2n+1

ii) Nếu f(x) liên tục thì , là nghiệm của phương trình f(f(x)) = x (1)

iii) Nếu phương trình (1) có nghiệm duy nhất thì = và limxn = =

Chứng minh:

i) Vì f(x) là hàm nghịch biến nên f(f(x)) đồng biến Áp dụng định lý 2

ta có điều phải chứng minh

ii) Suy ra từ i)

iii) Ta có f(f(x2n) = f(x2n+1) = x2n+2 và lim f(f(x2n) = limx2n+2 =  ,

limx2n = do f(x) liên tục nên f(f( ) = 

Chứng minh tương tự ta có f(f() = 

Vậy  ,  là nghiệm phương trình f(f(x)) = x

1.2 Một vài dãy số trong chương trình Toán phổ thông

1.2.1 Cấp số cộng

Định nghĩa: Dãy số u1, u2, u3… đƣợc gọi là một cấp số cộng với công

sai d (d0) nếu un = un – 1 + d với mọi n = 2, 3…

𝑢1: số hạng đầu tiên; 𝑢𝑛: số hạng thứ n (tổng quát); 𝑑: công sai

Tính chất:

- Công sai 𝑑 = 𝑢2 − 𝑢1 = 𝑢3 − 𝑢2 = ⋯ = 𝑢𝑛+1 − 𝑢𝑛 = ⋯

- Dãy (𝑢𝑛) xác định bởi: 𝑢 𝑢1 = a

𝑛+1 = 𝑢𝑛 + 𝑑 (∀𝑛 ∈ ℕ∗) (𝑎, 𝑑 là các số thực) là 1 cấp số cộng

Định nghĩa: Dãy số u1, u2, u3, … đƣợc gọi là một cấp số nhân với công

bội q (q0, q1) nếu un = un–1q với mọi n = 2, 3, …

𝑢1: số hạng đầu tiên; 𝑢𝑛: số hạng thứ n (tổng quát); 𝑞: công bội

2 1

2 1

n u u u

u u

n n n

đƣợc gọi là dãy Fibonacci

Bằng phương pháp sai phân có thể tìm được công thức tổng quát của dãy Fibonacci là (công thức Binet):

𝑢𝑛 = 1 5

1 + 52

𝑛

− 1 5

1 − 52

- Tính chia hết giữa các số Lucas: 𝑢𝑚𝑛 chia hết cho 𝑢𝑛 nếu m là số lẻ

- Số Lucas liên hệ với số Fibonacci bởi công thức

Ln = Fn−1 + Fn+1Hoặc tổng quát hơn là công thức:

Khi chỉ số là số nguyên tố, Ln đồng dƣ với 1 mod n nếu n là số nguyên tố

- Số nguyên tố Lucas: Số nguyên tố Lucas là số Lucas và đồng thời là

số nguyên tố Ví dụ: 2, 3, 7, 11, 29, 47, 199, 521, 2207, 3571, 9349,

Chương 2: MỘT SỐ DẠNG BÀI TOÁN VỀ DÃY SỐ

Trong phạm vi chương 2, chúng tôi chọn lọc một số các ví dụ, bài tập trong các tài liệu tham khảo [1], [2], [3], [4], [5], [6], [7] Các ví dụ, bài tập được sắp xếp theo chủ đề, mặt khác chúng tôi cũng cố gắng đưa ra lời giải một cách chi tiết hơn cho một số bài tập để bạn đọc tiện theo dõi

2.1 Dạng bài toán tìm giới hạn dãy số

Bài toán 2.1.1.[4,tr.31.32] Cho dãy số {un} xác định bởi công thức

3 2

n n

Vậy chỉ có một trong các nghiệm của phương trình là nghiệm y 1  x 1sẽ là

giới hạn của dãy  y n , khi đó: 1 1 1 1 1

1 2



 là

5 1 2

2

5 1 2

n n k

S n



2

1 lim

2

n n

S n

Bài toán 2.1.5 Xét dãy số nguyên dương {an} thỏa mãn các điều kiện

Dãy {an} là một dãy tăng thực sự Thật vậy, nếu xảy ra một trường hợp

ak+1  ak thì do giả thiết ak+1 > akak+2 ta thu được ak+1 > ak+2 và cứ như thế ta được một dãy số nguyên dương giảm thực sự, điều này là không thể

Do a1 > a0  1 nên theo quy nạp ta có an > n, suy ra:

 hay {xn} là dãy giảm

Kết hợp với điều kiện dãy bị chặn, ta suy ra dãy {xn} hội tụ về 

Từ hệ thức quy nạp, chuyển qua giới hạn, ta thu được:

2 2 2 1

Ta có x2    3x 1 x, x , nên dãy đã cho là dãy tăng

Giả sử dãy {xn} là hội tụ và lim n

x    n , khi đó {xn} sẽ hội tụ vì dãy tặng và bị chặn

Nếu x1 > -1 hoặc x1 < -2 thì x2 > -1 và dẫn đến xn > -1 n , nên dãy {xn}

sẽ không hội tụ

Vậy, nếu x1  [ 2; 1] thì {xn} hội tụ

Bài toán 2.1.8 Cho

2 3 1

Quy nạp ta có: Sn+1 – Sn < 0 n  4 Vậy nên Sn+1 < Sn n  4 Suy ra

{Sn} là dãy giảm Ngoài ra {Sn} bị chặn dưới bởi 0, nên suy ra {Sn} có giới hạn

n n i

Chọn phép phân hoạch với nút x x i; i1 Ta chia [0; 1] thành 2n

phần bằng nhau bởi các điểm chia ( 0,1, 2, , 2 )

n

u tg xdx n



  , n

Xét dãy số  x n đƣợc xác định theo công thức

0

n n

n n

k n n

2.2 Dạng bài toán tìm tổng, tích của dãy số

Bài toán 2.2.1 Cho dãy số (xn) (n = 1, 2, …) đƣợc xác định nhƣ sau:

x1 = 1 và x n1  x x n( n  1)(x n  2)(x n   3) 1 với n = 1, 2, …

Đặt

1

1 2

n n

4

( 2, 3, ) 2

Lời giải:

Vậy (yn) có giới hạn hữu hạn và lim yn = 6

Bài toán 2.2.3 Xét dãy số (xn) (n = 1, 2, 3, …) xác định bởi: x1 2 và

Mặt khác vì xn + 1 – xn  0 nên dãy (xn) là dãy số tăng  n 1 Nếu (xn) bị

Trước hết ta chứng minh dãy (x2n+1) bị chặn dưới bởi 1

Theo giả thiết thì x1 = a > 1, giả sử x2k+1 > 1 thì f(x2k+1) > f(1) > 1 nên hiển nhiên x2k+3>1 tức dãy (x2n+1) bị chặn dưới bởi 1

Tiếp theo chứng minh dãy (x2n+1) là dãy giảm Thật vậy, do x2n+1 > 1

nên lnx2n+1> 0  x2n+3 – x3n+1 = - lnx2n+1 < 0, tức dãy (x2n+1) là dãy giảm 

(x2n+1) có giới hạn lim 2n 1

n

c x 



 Chuyển qua giới hạn ta được c = c – lnc 

c=1 Vậy dãy số (xn) có giới hạn là 1

Theo định lý Cessaro, ta có

1 2 2

2

n n

S a

2

n x

k

C x

- Với n=1 ta có

1

1 0

1 4 1

k n k

C

x k

k

C x

k

C x

p

p k

k

C x

k

C x

Dãy  u n giảm có giới hạn dưới là (-3) nên dãy hội tụ

Vậy  u n có giới hạn hữu hạn

Vậy  u n tăng và bị chặn trên hay  u n là dãy hội tụ

Bài toán 2.2.9 Cho dãy  u n xác định bởi: u n  2  2   2 (n dấu căn)

Tìm 1 2

lim

2

n n n

n x

n n n

1

1

sin 2

2

2

n n

n u

n

n n

u u

Khi đó ta có:

 

2 2

2

2 2 2 2

2 2

2 sin lim

là hàm số xác định trên và g(x) = f(f(x))  x (1)

Dễ thấy hàm f giảm trên , do đó hàm g tăng trên , từ (1) suy ra với

mỗi k{1; 2; 3; 4}, dãy (x4n+k), n là dãy đơn điệu, mặt khác, từ cách xác

định dãy (xn) ta có 0  x n  2,  n ℕ∗, suy ra với mỗi k{1; 2; 3; 4}, dãy

8 1

n n

Bài toán 2.2.15 Cho số thực a > 2 Đặt fn(x) = a10xn+10 + xn +…+ x + 1 (n = 1,

2, …) Chứng minh rằng với mỗi số nguyên dương n, phương trình fn(x) = a luôn có đúng một nghiệm xn  (0;  ) và dãy số (xn) có giới hạn hữu hạn khi

n 

Lời giải:

Với mỗi n, đặt gn(x) = fn(x) – a, khi đó gn(x) là hàm liên tục, tăng trên

n x

a

  , n = 1, 2, … Mặt khác, từ gn(xn) =a x10 n n10    x n n 1 a 0, suy ra

Bài toán 2.2.16 Cho số thực a và dãy số thực {xn} xác định bởi:

x1 = a và xn+1 = ln(3+cosxn + sinxn) – 2016 với n = 1, 2, 3, …

Chứng minh rằng dãy số {xn} có giới hạn hữu hạn khi n 

Lời giải:

Đặt f(x) = ln(3+sinx+cosx) – 2016, ta có

x x

x x

x f

cos sin

3

sin cos

) ( '

2

| ) ( '



x f

Áp dụng định lý Lagrange cho x, y thuộc , ta có f(x) – f(y) = f’(z)(x-y)

suy ra |f(x) – f(y)|  q|x – y| Áp dụng tính chất này với m > n  N, ta có:

Nhƣ vậy dãy {xn} thoả mãn điều kiện Cauchy do đó hội tụ

Bài toán 2.2.17 Cho dãy số thực {xn} xác định bởi

n n

2 2

Ta có biểu diễn các số hạng của dãy:

n n

/ 1

8 / 1 4

/ 1 3

4 / 1 2

1

2 2 2

1

2 2 2 1

2 2 2 1

, 2 2 2 1

Nhân đẳng thức đầu với 2, đẳng thức thứ hai với 22

, đẳng thức thứ ba với 23

… đẳng thức thứ n với 2n rồi cộng vế theo vế và giản ƣớc, ta đƣợc

2)21(22

.242

2.3 Dạng bài dãy truy hồi liên quan số chính phương

Bài toán 2.3.1 ( Đề thi chọn học sinh giỏi tỉnh Nam Định năm 2011) Cho

Ta có u1 = 1; u2 = 2 là các số nguyên, giả sử uk nguyên, theo giả thiết ta

có uk+1 = uk(uk -1) + 2 suy ra uk+1 là số nguyên, qui nạp ta có un cũng là số nguyên với mọi n ℕ∗