PHƯƠNG TRÌNH CÓ ẨN SỐ TRONG CĂN THỨC1... Một số cách giải thường dùng :a.. Đưa về phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối.. Đặt ẩn phụ.. Đưa về phương trình tích.. Vậy phương trình đã ch
Trang 1PHƯƠNG TRÌNH CÓ ẨN SỐ TRONG CĂN THỨC
1 Một số dạng cơ bản :
0 B B A
Ví dụ 1a: Giải phương trình: x 1 1 (1) (B là số thực âm)
Ta có x 1 0, x 1 và 1 < 0
Do đó phương trình (1) vô nghiệm
Ví dụ 1b: Giải phương trình: 1 x 2 0 (2) (B = 0)
(2) 1 – x2 = 0 x2 = 1 x = 1 hoặc x = 1 Vậy tập nghiệm của phương trình là S = 1 ; 1
Ví dụ 1c: Giải phương trình: 2 x 2 1
(3) (B là số thực dương) (3) 2 – x2 = 1 (vì 1 > 0)
x2 = 1 x = 1 hoặc x = 1 Vậy tập nghiệm của phương trình là S = 1 ; 1
Ví dụ 1d: Giải phương trình: 1 x 2 x 1
(3) (B là một biểu thức chứa biến) (3)
2
2 ( x 1 ) x
1 0 1 x
0 x x 1 x 2
0 ) 2 x ( x 1 x
) nhận ( 2 x
) loại ( 0 x 1 x
x = 2 Vậy tập nghiệm của phương trình là S = 2
) 0 A hay ( 0 B B A
Ví dụ 2: Giải phương trình: x 9 5 4 x (4)
(4)
x 5 9 x 2
0 x 4 5
4 x
5 x
3 2 x
4 5 x
x =
3
2
Vậy tập nghiệm của phương trình là S =
32
2
2 m B A 0 B 0 A ) 0 m ( m B A
Ví dụ 3: Giải phương trình: x 1 x 3 (5)
2
2 3 x 1 x 0 x
0 1 x
9 x ) 1 x ( x 2 1 x 0 x 1 x
x 4 ) 1 x ( x 0 x
2
) x 4 ( ) 1 x ( x
0 x 4 0 x
2
2 x 16 x x x
4 x 0
16 x
9
4 x 0
9 16 x
4 x 0
x = 169 Vậy tập nghiệm của phương trình là S =
9 16
Dạng 4: ( lấy nghiệm chung cu ûa tất cả ca ùc dòng )
0 N 0 B 0 A 0 N B
Ví dụ 4: Giải phương trình: x 2 x 3 x 2 x 5 0 (6)
(6)
0 5 x 6 x
0 3 x 4 x 2 2
0 ) 5 x )(
1 x (
0 ) 3 x )(
1 x (
5 x hoặc 1
x
3 x hoặc 1
x
x = 1 (x = 1 là nghiệm chung) Vậy tập nghiệm của phương trình là S = 1
Trang 22 Một số cách giải thường dùng :
a Nâng hai vế lên lũy thừa (các dạng cơ bản trên)
b Đưa về phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối.
Ví dụ 5: Giải phương trình: x 4 x 4 1(7)
Ta có: x – 4 x 4 = ( x 4 2)2 0, x 4
Do vậy (7)
1 2 4 x 0 4 x
1 2 4 x
1 2 4 x 0 4 x
1 4 x
3 4 x x
5 x 13 x 4 x Vậy tập nghiệm của phương trình là S = 5 ; 13
c Đặt ẩn phụ.
Ví dụ 6: Giải phương trình: x 2 5 x 2 6 7
(8) x 2 6 x 2 6 6 0
ĐKXĐ: x2 – 6 0 x2 6
6 x
6 x
Đặt t = x 2 6 0, khi đó:
(8) y2 – y + 6 = 0 (t + 3)(t – 2) = 0
2 t
) loại ( 3 t
Khi t = 2 x 2 6
= 2 x2 6 = 4 x2 = 10 x = 10
Vậy tập nghiệm của phương trình là S = 10 ; 10
d Đưa về phương trình tích.
Ví dụ 6: Giải phương trình: x 2 1 x
2 x
x 2
ĐKXĐ: 3x – 2 > 0 x > 32 Phương trình tương đương với:
x2 – (3x – 2) = (1 – x) 3 x 2 (x – 1)(x – 2) = (1 – x) 3 x 2
(x – 1)(x – 2 + 3 x 2) = 0
0 2 x 2 x
0 1 x
(*) x 2 2 x
1 x
Giải (*): (*)
2
) x 2 ( 2 x 2 x
) loại ( 6 x 1 x 2 x
x = 1 Vậy tập nghiệm của phương trình là S = 1
e Dùng bất đẳng thức.
Ví dụ 7: Giải phương trình: x 1 x 1 2 (10)
Giải
ĐKXĐ: xx 11 00 xx 11 x 1
(10) x 1 2 x 1 (10’)
Do 0 x – 1 < x + 1, nên vế trái của (10’) nhỏ hơn vế phải
Vậy phương trình đã cho vô nghiệm
Trang 33 Chú ý :
a Phương trình có chứa ẩn trong căn thức bậc hai, phải tìm điều kiện xác định của nghiệm phương trình (điều kiện để các căn thức có nghĩa)
b Quá trình biến đổi tương đương phải đặt điều kiện phát sinh (nếu có) Nếu chỉ dùng phép biến đổi mà không chú ý đến điều kiện tương đương, thì phải dùng phép thử lại các giá trị tìm được của ẩn để chọn nghiệm thích hợp
BÀI TẬP
1 Giải các phương trình sau:
3
4 x 5 3 20
9
1 x 2
15 25 x
3
1 20 x
4 d) 16 x 16 x9 9 x4 4 16 x 1.
e) 2 x 1 4 x 4 x 9 2 f) x15 11 x15
3
5
2 a) 1 x 2 x 1 b) x – 3 + x 3 0
c) x 2 7 2 x
e) x 2 4 2 x 0
g) ( 2 x 4 )( x 1 ) x 1 h) 2 x 2 x 1 x 2
g) x 2 x 1 x 1
i) x 2 x 6 x 3
k) x 4 x 9 x 1 x 7 l) x 2 x 8 x 18 x 5
m) 2 x 5 13 x n) 2 x 2 4 x
2 Giải các phương trình sau:
a) x 1 2 x 3 b) x 1 x 2 2
c) x 12 x 6 2 d) x 2 9 x 2 7 2
e) 4 x 1 x 4 1 f) x 1 x 6 6
g) x 1 x 1 2 h) x x 1 x 1
3 Giải các phương trình sau:
4 Giải các phương trình sau:
1 a) x 2 x 4 x 2
c) x 2 x 9 x
Trang 42 a) x 2 x 1 x 2 x 9 0 b) 16 x x 2 x 2 12 x 9 0
c) 25 x 2 10 x 1 x 2 12 x 9 0
3 a) x 4 x 4 5 b) x 2 4 x 2 x 7 6 x 2 1
e) x 2 x 1 x 2 x 1 2 f) x 2 3 x 5 x 2 3 x 5 2 2
g) x 2 2 x 3 1 h) x 8 2 x 7 x 1 x 7 4
i) x 2 x 1 x 1 1 j) x 3 4 x 1 x 8 6 x 1 5
5 Giải các phương trình sau:
a) 5 x 2 x 28 x 2 x 4
c) x 2 x 5 x 2 x 7
e) x 2 21 x 18 2 x 2 x 7 2 f) x 2 2 x 2 x 11 x 4
6 Giải các phương trình sau:
a) 4 x 2 x 4
1 x
3 x
x 2
1 x
2 x
e)
3 x
7 3 x 3 x
16
x 2
7 Giải các phương trình sau:
a) x 1 x 1 x 1 b) x 1 x 1 x 2
x
1 x 1
x 4
x
x
1 x 1 x 2
x
e) x 2 x 7 x 2 10 x 14 x 2 x 4
f) x 2 x 12 x 4 10 x 2 9 3 x x 2
g) x 2 x 11 x 4 x 2 28 5 x x 2