Về xác định hàm và ánh xạ chỉnh hình qua điều kiện ảnh ngược của tập hợp điểm (NCKH)

Về xác định hàm và ánh xạ chỉnh hình qua điều kiện ảnh ngược của tập hợp điểm (NCKH) Về xác định hàm và ánh xạ chỉnh hình qua điều kiện ảnh ngược của tập hợp điểm (NCKH) Về xác định hàm và ánh xạ chỉnh hình qua điều kiện ảnh ngược của tập hợp điểm (NCKH) Về xác định hàm và ánh xạ chỉnh hình qua điều kiện ảnh ngược của tập hợp điểm (NCKH) Về xác định hàm và ánh xạ chỉnh hình qua điều kiện ảnh ngược của tập hợp điểm (NCKH) Về xác định hàm và ánh xạ chỉnh hình qua điều kiện ảnh ngược của tập hợp điểm (NCKH) Về xác định hàm và ánh xạ chỉnh hình qua điều kiện ảnh ngược của tập hợp điểm (NCKH) Về xác định hàm và ánh xạ chỉnh hình qua điều kiện ảnh ngược của tập hợp điểm (NCKH) Về xác định hàm và ánh xạ chỉnh hình qua điều kiện ảnh ngược của tập hợp điểm (NCKH) Về xác định hàm và ánh xạ chỉnh hình qua điều kiện ảnh ngược của tập hợp điểm (NCKH) Về xác định hàm và ánh xạ chỉnh hình qua điều kiện ảnh ngược của tập hợp điểm (NCKH) Về xác định hàm và ánh xạ chỉnh hình qua điều kiện ảnh ngược của tập hợp điểm (NCKH)

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

BÁO CÁO TỔNG KẾT

ĐỀ TÀI KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ CẤP ĐẠI HỌC

VỀ XÁC ĐỊNH HÀM VÀ ÁNH XẠ CHỈNH HÌNH QUA ĐIỀU KIỆN ẢNH NGƯỢC CỦA TẬP HỢP ĐIỂM

Mã số: ĐH2013-TN04-08

Chủ nhiệm đề tài: ThS Lê Quang Ninh

Thái Nguyên, 5/2017

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

BÁO CÁO TỔNG KẾT

ĐỀ TÀI KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ CẤP ĐẠI HỌC

VỀ XÁC ĐỊNH HÀM VÀ ÁNH XẠ CHỈNH HÌNH QUA ĐIỀU KIỆN ẢNH NGƯỢC CỦA TẬP HỢP ĐIỂM

Mã số: ĐH2013-TN04-08

Xác nhận của tổ chức chủ trì Chủ nhiệm đề tài

(ký, họ tên, đóng dấu) (ký, họ tên)

Thái Nguyên, 5/2017

DANH SÁCH THÀNH VIÊN THỰC HIỆN ĐỀ TÀI

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN

ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

KHOA TOÁN

THÔNG TIN KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU

1 Thông tin chung:

- Tên đề tài: Về xác định hàm và ánh xạ chỉnh hình qua điều kiện ảnh ngược của tập hợp điểm

- Mã số: ĐH2013-TN04-08

- Chủ nhiệm đề tài: ThS Lê Quang Ninh

- Tổ chức chủ trì: Trường Đại học sư phạm-Đại học Thái Nguyên

- Thời gian thực hiện: 24 tháng

2 Mục tiêu:

- Đưa ra các tập hợp điểm xác định hàm phân hình khác hằng

- Xây dựng các lớp siêu mặt xác định các đường cong chỉnh hình không suy biến tuyến tính

- Đưa ra các tập hợp điểm và các lớp siêu mặt trong không gian xạ ảnh p-adic có

tính chất đề ra ở trên

3 Tính mới và sáng tạo: Có một số kết quả mới trong 2 bài báo khoa học xuất bản trên tạp chí trong nước và quốc tế, trong đó có 1 bài trong danh mục SCIE

4 Kết quả nghiên cứu: Thu được 2 lớp đa thức thuần nhất xác định duy nhất

đường cong chỉnh hình không suy biến tuyến tính và chỉ ra rằng nếu X là một siêu mặt được xác định bởi lớp đa thức này thì X là tập xác định duy nhất cho đường cong chỉnh hình p-adic không suy biến tuyến tính

5 Sản phẩm:

5.1 Sản phẩm khoa học (Bài báo khoa học):

5.1.1 Vu Hoai An and Lê Quang Ninh (2016), “On functional equations of the

Fermat-Waring Type for non- Archimedean vectorial entire functions”, Bulletin of the Korean Mathematical Society, Vol.53 (No.4), pp.1185-1196

5.1.2 Le Quang Ninh (2015), “Uniqueness polynomials for linearly

non-degenerate p-adic holomorphic curves”, Tạp chí Khoa học & Công nghệ Đại học Thái Nguyên, tập 144 (số 14), pp179-185

viên Trường Đại học sư phạm

6 Phương thức chuyển giao, địa chỉ ứng dụng, tác động và lợi ích mang lại của kết quả nghiên cứu: phục vụ cho công tác đào tạo và nghiên cứu của sinh viên và học viên cao học ngành toán giải tích

INFORMATION ON RESEARCH RESULTS

1 General information:

Project title: On determine holomorphic function and mapping through inverse mapping of point sets

Code number: ĐH2013-TN04-08

Coordinator: ThS Lê Quang Ninh

Implementing institution: Thai Nguyen University of Education

Duration: 24 months

2 Objective(s):

- Give point sets that determine meromorphic function

- Give classes of hypersurface that determine linearly non-degenerate holomorphic curves.

- Construction point sets and classes of hypersurface in N 

p

  of the nature set forth above

3 Creativeness and innovativeness: There are some new results in two scientiflic articles published in the national journal of science and international journal, where one paper belongs to the SCIE

4 Research results:

Obtained two classes of homogeneous polynomial with the uniqueness property for

linearly non-degenerate holomorphic curves and show that if X is hypersurface defined by a polynomial in this class, then X is a unique range set for linearly non- degenerate p-dic holomorphic curves

5 Products:

5.1 Scientific products:

5.1.1 Vu Hoai An and Lê Quang Ninh (2016), “On functional equations of the

Fermat-Waring Type for non- Archimedean vectorial entire functions”, Bulletin of

the Korean Mathematical Society, Vol.53 (No.4), pp.1185-1196

5.1.2 Le Quang Ninh (2015), “Uniqueness polynomials for linearly

non-degenerate p-adic holomorphic curves”, Journal of science and technology Thai Nguyen University, Vol 144 (No 14), pp179-185

5.2 Training products:

5.2.1 Vu Thi Hanh (2015), Some the second main theorem type for p-adic meromorphic functions, Graduation thesis of students of Thai Nguyen University of

Education

5.2.2 Nguyen Thi Thanh Huong và Nguyen Thuy Linh (2017), The equations

of Fermat-Waring type for meromorphic functions, Scientific research project of

the students of Thai Nguyen University of Education

6 Transfer alternatives, application institutions, impacts and benefits of research results: the training and research of students and graduate students of Thai Nguyen University

Mð ¦u

1 T½nh c§p thi¸t · t i

Trong to¡n håc, ành lþ cì b£n cõa ¤i sè kh¯ng ành r¬ng måi athùc mët bi¸n kh¡c h¬ng vîi h» sè phùc câ ½t nh§t mët nghi»m phùc Tø

â suy ra måi a thùc kh¡c h¬ng vîi h» sè phùc nhªn gi¡ trà phùc b§t

ký Picard l  ng÷íi ¦u ti¶n mð rëng ành lþ cì b£n cõa ¤i sè cho h mnguy¶n phùc m  ng y nay ÷ñc gåi l  ành lþ Picard ành lþ Picardnêi ti¸ng kh¯ng ành: måi h m nguy¶n mët bi¸n kh¡c h¬ng tr¶n m°tph¯ng phùc C nhªn måi gi¡ trà phùc, trø ra còng l­m l  mët gi¡ trà V onhúng thªp ni¶n ¦u ti¶n cõa th¸ k XX, Nevanlinna ¢ x¥y düng lþthuy¸t ph¥n bè gi¡ trà cho c¡c h m ph¥n h¼nh tr¶n C m  ng y nay ÷ñcgåi l  lþ thuy¸t Nevanlinna K¸t qu£ ch½nh cõa lþ thuy¸t Nevanlinna l hai ành lþ ch½nh

ành lþ ch½nh thù nh§t l  mð rëng cõa ành lþ cì b£n cõa ¤i sè, mæt£ sü ph¥n bè ·u gi¡ trà cõa h m ph¥n h¼nh kh¡c h¬ng tr¶n C ành lþch½nh thù hai l  mð rëng cõa ành lþ Picard, mæ t£ £nh h÷ðng cõa ¤o

h m ¸n sü ph¥n bè gi¡ trà cõa h m ph¥n h¼nh

H  Huy Kho¡i l  ng÷íi ¦u ti¶n x¥y düng t÷ìng tü Lþ thuy¸t ph¥n

bè gi¡ trà cho tr÷íng hñp p-adic Æng v  c¡c håc trá ¢ x¥y düng t÷ìng

tü lþ thuy¸t Nevanlinna cho tr÷íng sè p-adic m  ng y nay th÷íng gåi

l  lþ thuy¸t Nevanlinna p-adic Hå ¢ ÷a ra hai ành lþ ch½nh cho h mph¥n h¼nh v  ¡nh x¤ ch¿nh h¼nh p-adic

Mët trong nhúng ùng döng s¥u s­c cõa lþ thuy¸t ph¥n bè gi¡ trà (phùc

v  p-adic) l  v§n · x¡c ành duy nh§t cho c¡c h m ph¥n h¼nh kh¡c h¬ng(phùc v  p-adic) qua i·u ki»n £nh ng÷ñc cõa tªp hñp iºm m  ng ynay ÷ñc gåi l  ành lþ 5 iºm cõa Nevanlinna (ho°c t÷ìng tü cõa ành

lþ 5 iºm cho tr÷íng hñp p-adic) Câ hai h÷îng mð rëng ành lþ 5 iºm

H÷îng thù nh§t sau ¥y l  sü mð rëng tü nhi¶n cõa ành lþ 5 iºm.

1 X²t nghàch £nh ri¶ng r³ cõa iºm cho c¡c h m v  nghàch £nh cõasi¶u ph¯ng, si¶u m°t cho c¡c ¡nh x¤ ch¿nh h¼nh trong c¡c tr÷íng hñpphùc v  p-adic èi vîi v§n · x¡c ành duy nh§t h m ho°c ¡nh x¤ ch¿nhh¼nh

V§n · x¡c ành duy nh§t theo h÷îng thù nh§t ÷ñc nghi¶n cùuli¶n töc v  m¤nh m³ vîi c¡c k¸t qu£ cõa nhi·u t¡c gi£: H.Fujimoto,M.Shirosaki, M.Ru, H.X.Yi, P.C.Hu-C.C.Yang, Ha Huy Khoai, L.Lahiri,G.Dethloff, é ùc Th¡i, Tr¦n V«n T§n, T¤ Thà Ho i An, S¾ ùc Quang,A.Escassut, Ph¤m Vi»t ùc, H  Tr¦n Ph÷ìng

N«m 1977, F.Gross ÷a ra mët þ t÷ðng mîi l  khæng x²t £nh ng÷ñccõa c¡c iºm ri¶ng r³ m  x²t £nh ng÷ñc cõa c¡c tªp hñp iºm trong

C∪ {∞} Æng ÷a ra hai c¥u häi sau:

i) Tçn t¤i hay khæng tªp S cõa C∪ {∞} º vîi b§t ký c¡c h m ph¥nh¼nh f, g thäa m¢n i·u ki»n Ef(S) = Eg(S) ta câ f = g?

ii) Tçn t¤i hay khæng hai tªp Si, i = 1, 2 cõa C∪ {∞} º vîi b§t kýc¡c h m ph¥n h¼nh f, g thäa m¢n i·u ki»n Ef(Si) = Eg(Si), i = 1, 2 ta

Li¶n quan ¸n v§n · duy nh§t cõa h m ph¥n h¼nh l  kh¡i ni»m athùc duy nh§t, a thùc duy nh§t m¤nh v  ph÷ìng tr¼nh h m

Mët a thùc kh¡c h¬ng P (z) ∈ C[z] ÷ñc gåi l  a thùc duy nh§t cho

h m ph¥n h¼nh tr¶n C n¸u vîi måi c°p h m ph¥n h¼nh f, g kh¡c h¬ngtr¶n C thäa m¢n i·u ki»n P (f) = P (g) ta câ f = g

T÷ìng tü, mët a thùc kh¡c h¬ng P (z) ∈ C[z] ÷ñc gåi l  a thùc duynh§t m¤nh cho h m ph¥n h¼nh tr¶n C n¸u vîi måi c°p h m ph¥n h¼nh

f, g kh¡c h¬ng tr¶nC v  h¬ng sè c 6= 0 thäa m¢n i·u ki»n P (f) = cP (g)

2010, F.Pakovich ¢ mæ t£ nghi»m l  c¡c h m nguy¶n èi vîi ph÷ìngtr¼nh P (f) = Q(g) N«m 2011, T¤ Thà Ho i An ¢ x¥y düng hai lîp athùc duy nh§t m¤nh m  tªp c¡c nghi»m cõa chóng l  tªp x¡c ành duynh§t

Tø c¡c k¸t qu£ tr¶n, chóng tæi nhªn th§y: cæng vi»c x¥y düng tªp x¡c

ành duy nh§t gçm hai b÷îc

B÷îc 1 Tø i·u ki»n v· £nh ng÷ñc: Ef(S) = Eg(S) ho°c Ef(S) =

Eg(S) ÷a ¸n ph÷ìng tr¼nh h m P (f) = cP (g); Ð â S l  tªp nghi»mcõa a thùc P khæng câ nghi»m bëi, c 6= 0

B÷îc 2 Dòng hai ành lþ ch½nh v  c¡c kÿ thuªt ¡nh gi¡ º chùngminh c = 1 v  chùng minh ph÷ìng tr¼nh P (f) = P (g) câ nghi»m duynh§t f = g ho°c dòng t½nh hyperbolic Brody cõa ÷íng cong º chùngminh ph÷ìng tr¼nh P (f) = cP (g), c 6= 0 câ nghi»m duy nh§t f = g.Trong [12], M.Shirosaki ¢ x¥y düng si¶u m°t X x¡c ành duy nh§t

÷íng cong ch¿nh h¼nh khæng suy bi¸n tuy¸n t½nh Cæng vi»c x¥y düngsi¶u m°t X gçm 2 b÷îc:

Mët l , dòng i·u ki»n bëi giao º ÷a ra ph÷ìng tr¼nh h m nhi·ubi¸n èi vîi c¡c h m nguy¶n f1, , fN +1; g1, , gN +1

Hai l , chùng minh nghi»m cõa ph÷ìng tr¼nh câ d¤ng

(f1, , fN +1, γg1, , γgN +1)

Ð d¤ng n y γ l  h m nguy¶n khæng câ khæng iºm.

Tø â, chóng tæi câ nhªn x²t r¬ng: Ph÷ìng tr¼nh h m P (f) = P (g)(P (f1, , fN +1) = P (g1, , gN +1)) g­n bâ mªt thi¸t vîi V§n · x¡c

ành duy nh§t h m ph¥n h¼nh (÷íng cong ch¿nh h¼nh khæng suy bi¸ntuy¸n t½nh) Câ thº nâi r¬ng: méi tªp x¡c ành duy nh§t (theo h÷îngthù hai) ·u n£y sinh v§n · duy nh§t nghi»m cõa ph÷ìng tr¼nh h m

P (f ) = P (g) v  ng÷ñc l¤i Tø ¥y, n£y sinh hai c¥u häi

C¥u häi 1: V§n · væ nghi»m, câ nghi»m, câ húu h¤n nghi»m, cânghi»m duy nh§t, mæ t£ nghi»m, cõa ph÷ìng tr¼nh h m P (f) = Q(g)li¶n quan ¸n £nh ng÷ñc cõa c¡c tªp èi vîi h m ph¥n h¼nh nh÷ th¸

n o?

C¥u häi 2: V§n · væ nghi»m, câ nghi»m, câ húu h¤n nghi»m, cânghi»m duy nh§t, mæ t£ nghi»m, cõa ph÷ìng tr¼nh h m nhi·u bi¸n

èi vîi c¡c h m nguy¶n P (f1, , fN +1) = Q(g1, , gN +1) li¶n quan

¸n £nh ng÷ñc cõa c¡c si¶u m°t èi vîi ÷íng cong ch¿nh h¼nh nh÷ th¸

n o?

N«m 2007, F.Pakovich ¢ câ þ t÷ðng x²t £nh ng÷ñc cõa hai tªp pact húu h¤n ho°c væ h¤n K1, K2 ∈ C èi vîi hai a thùc phùc f1, f2.Æng ¢ ÷a ra c¥u häi sau:

com-iii) Vîi i·u ki»n n o cõa f1, f2, K1, K2 th¼ f−1

1 (K1) = f2−1(K2)?C¥u häi cõa F.Pakovich câ gèc g¡c tø c¥u häi sau ¥y cõa C C Yang.iv) Cho f1, f2 l  hai a thùc phùc, S = {−1, 1} v  f−1

1 (S) = f2−1(S).Khi â f1 = f2 ho°c f1 = −f2?

C¡c c¥u häi cõa Gross, cõa Pakovich v  C¥u häi 1, 2 n¶u tr¶n ¢ gñi

þ v§n · nghi¶n cùu sau cõa · t i:

V§n · nghi¶n cùu: X¡c ành h m v  ÷íng cong ch¿nh h¼nh qua i·uki»n £nh ng÷ñc cõa tªp hñp iºm Cö thº l : X¡c ành ÷íng cong ch¿nhh¼nh khæng suy bi¸n tuy¸n t½nh qua i·u ki»n £nh ng÷ñc cõa Xi, Yi n o

2 T¼m si¶u m°t X x¡c ành duy nh§t ÷íng cong ch¿nh h¼nh p-adickhæng suy bi¸n.

Cæng cö ÷ñc dòng º gi£i quy¸t v§n · n¶u tr¶n l  hai ành lþ ch½nhcõa lþ thuy¸t Nevanlinna v  c¡c t÷ìng tü cõa nâ, c¡c kiºu Bê · Borel

v  t÷ìng tü cõa nâ trong tr÷íng hñp p-adic Sû döng c¡c cæng cö n ytrong tr÷íng hñp c¡c tªp Si, Ti ho°c c¡c si¶u m°t Xi, Yi b§t ký g°p r§tnhi·u khâ kh«n V¼ vªy, trong · t i chóng tæi t¼m c¡c tªp Si, Ti l  tªpc¡c khæng iºm cõa a thùc v  c¡c si¶u m°t Xi, Yi kiºu Fermat-Waring.Vîi cæng cö nâi tr¶n, v§n · nghi¶n cùu ÷ñc thüc hi»n theo c¡ch sau:

- X²t ph÷ìng tr¼nh h m P (f) = Q(g); ph÷ìng tr¼nh nhi·u bi¸n èivîi c¡c h m nguy¶n P (f1, , fN +1) = Q(g1, , gN +1), ð â P, Q l  c¡c

a thùc mët bi¸n ho°c nhi·u bi¸n kiºu Fermat-Waring

- Dòng c¡c k¸t qu£ tr¶n vîi c¡c i·u ki»n £nh ng÷ñc cõa tªp hñp iºmho°c £nh ng÷ñc cõa si¶u m°t º ÷a ra c¡c k¸t qu£ t÷ìng ùng èi vîiv§n · x¡c ành h m v  ÷íng cong ch¿nh h¼nh p-adic

Kþ hi»u K l  mët tr÷íng âng ¤i sè vîi °c sè khæng, ¦y õ vîi gi¡trà tuy»t èi khæng c-si-m²t khæng t¦m th÷íng ÷ñc kþ hi»u l  | |.Chóng tæi thi¸t lªp mët si¶u m°t x¡c ành duy nh§t ÷íng cong ch¿nhh¼nh p-adic khæng suy bi¸n tuy¸n t½nh tø a thùc kiºu Fermat-Waring.Lîp c¡c a thùc kiºu Fermat-Waring ÷ñc x¥y düng nh÷ sau:

Mët hå q c¡c a thùc cõa N + 1 bi¸n vîi h» sè thuëc K ÷ñc gåi l  ð

và tr½ têng qu¡t trong KN +1 n¸u tªp N + 1 a thùc trong hå n y khæng

câ khæng iºm chung trong KN +1− {0}

Cho Li = Li(z1, , zN +1) = αi,1z1 + αi,2z2 + · · · + αi,N +1zN +1, i =

1, 2, , q l  q-d¤ng tuy¸n t½nh cõa N + 1 bi¸n (q > N + 1) ð và tr½ têngqu¡t trong KN +1 Vîi n, m, l  c¡c sè nguy¶n d÷ìng, m < n, a, b ∈ K,

a, b 6= 0 a thùc sau ÷ñc gåi l  a thùc Y i(m, n):

Y(m,n)(z1, z2) = z1n − az1n−mz2m + bz2n.X²t q a thùc thu¦n nh§t:

P1 = P1(z1, , zN +1) = Y(m,n)(L1, L2) = Ln1 − aLn−m1 Lm2 + bLn2,

v  vîi q ≥ i ≥ 2, °t

Pi = Pi(z1, , zN +1) = Y(m,n)(Pi−1, Lni+1i−1)

X²t a thùc kiºu Fermat-Waring câ bªc nq sau:

P (z1, z2, , zN +1) = Pq(z1, , zN +1)

a thùc P (z1, z2, , zN +1)÷ñc gåi l  mët q-l°p cõa a thùc Y i(m, n).Cho c¡c h m nguy¶n f1, , fN +1 v  g1, , gN +1 tr¶n K, x²t ph÷ìngtr¼nh P (f1, , fN +1) = P (g1, , gN +1)

Gåi X l  mët si¶u m°t kiºu Fermat-Waring trong PN(K) ÷ñc x¡c

ành bði ph÷ìng tr¼nh P (z1, , zN +1) = 0

ành lþ 2.3.3 Cho P (z1, z2, , zN +1) l  c¡c a thùc q-iteration Yi(m,n), n ≥ 2m + 8, m ≥ 3 v  f1, , fN +1; g1, , gN +1 l  hai hå h mnguy¶n phö thuëc tuy¸n t½nh tr¶nK, thäa m¢n ph÷ìng tr¼nh P (f1, , fN +1) =

ành lþ 2.3.4 sau gâp ph¦n tr£ líi cho c¥u häi cõa Gross èi vîi ÷íngcong ch¿nh h¼nh khæng suy bi¸n tuy¸n t½nh tø K ¸n PN(K)

2 Möc ti¶u nghi¶n cùu - ÷a ra c¡c tªp hñp iºm x¡c ành h mph¥n h¼nh kh¡c h¬ng

- X¥y düng c¡c lîp si¶u m°t x¡c ành c¡c ÷íng cong ch¿nh h¼nh khængsuy bi¸n tuy¸n t½nh

- X¥y düng c¡c tªp hñp iºm v  c¡c lîp si¶u m°t trong khæng gian x¤

£nh p−adic câ t½nh ch§t tr¶n

3 Nëi dung nghi¶n cùu, ph÷ìng ph¡p nghi¶n cùu

Ph¡t triºn lþ thuy¸t Nevanlinna chi·u cao, °c bi»t l  trong tr÷ínghñp p−adic Tø â ¡p döng nghi¶n cùu ký dà c¡c ÷íng cong ¤i sètrong khæng gian x¤ £nh phùc v  p−adic i ¸n gi£i quy¸t v§n · °tra

Ch֓ng 1

Mët sè ki¸n thùc cì b£n trong lþ

thuy¸t Nevanlinna-Cartan p-adic

1.1 H m ph¥n h¼nh p-adic

1.1.1 H m sinh bði chuéi lôy thøa

Cho h m sinh bði chuéi luÿ thøa p-adic

f (z) =

∞Xn=0

anzn, (an ∈ Cp) (1.1)B¡n k½nh hëi tö ρ cõa chuéi (1) ÷ñc t½nh bði cæng thùc

n→∞|an|rn = 0, k²o theo d¢y {|an|rn} bà ch°n trong R+ Do â, ta câc¡c t½nh ch§t sau:

M»nh · 1.1.1 Vîi méi h m sinh bði chuéi lôy thøa ta câ:

1 Vîi méi r : 0 < r < ρ, µ(r, f) luæn tçn t¤i húu h¤n

2 H m µ(r, f) li¶n töc theo r

3 Vîi méi r, ch¿ sè trung t¥m ν(r, f) luæn tçn t¤i húu h¤n v  l  mët

sè nguy¶n khæng ¥m Theo ành ngh¾a ta câ

ν(t, f ) − ν(0, f )

+ ν(0, f ) log r, (0 < r < ρ) (1.2)trong â log l  k½ hi»u logarit thüc cì sè e

K½ hi»u v nh cõa chuéi luÿ thøa f(z) = P∞

n=0

anzn (an ∈ Cp) m  tho£m¢n i·u ki»n limn→∞|an|rn = 0 bði Ar(Cp) Hiºn nhi¶n, n¸u r1 < r2 v lim

ành lþ 1.1.3 Vîi r > 0 h m µ(r, ) : Ar(Cp) → R+ tho£ m¢n t½nhch§t sau:

f0(z) =

∞Xn=1

ành lþ 1.1.8 (ành lþ biºu di¹n Weierstrass) Vîi r > 0 v  f ∈

Ar(Cp) − {0} Khi â tçn t¤i a thùc

g(z) = b0 + b1z + · · · + bνzν ∈ Cp[z]

vîi ν = ν(r, f) v  mët chuéi luÿ thøa h(z) = 1 + P∞

n=1

cnzn vîi c¡c h» sètrong Cp, tho£ m¢n

1.1.2 H m ph¥n h¼nh p−adic

Trong ph¦n n y chóng ta s³ nghi¶n cùu mët sè t½nh ch§t v· h m ph¥nh¼nh tr¶n D

ành ngh¾a 1.1.9 Cho D ⊂Cpkhæng câ iºm cæ lªp H m f : D → Cp

÷ñc gåi l  gi£i t½ch àa ph÷ìng n¸u vîi méi a ∈ D, tçn t¤i mët r ∈R+

v  c¡c h¬ng sè an ∈ Cp sao cho

f (z) =

∞Xn=0

M»nh · 1.1.10 Gi£ sû f l  h m gi£i t½ch trong tªp mð D Khi â vîiméi n, ¤o h m c§p n cõa nâ f(n) luæn tçn t¤i trong D N¸u z0 l  khæng

iºm bëi q cõa f th¼ ta câ f(n)(z0) = 0 vîi måi n < q v  f(q)(z0) 6= 0.M»nh · 1.1.11 Cho r ∈ R+ v  f(z) = P∞

n=1

anzn l  mët chuéi lôy thøavîi c¡c h» sè trong Cp Khi â c¡c i·u ki»n sau ¥y l  t÷ìng ÷ìng:1) f ∈ A(r(Cp);

2) f ∈ T

s<rAs(Cp);

3) Chuéi lôy thøa f l  hëi tö trong Cp[0; r]

ành ngh¾a 1.1.12 Cho D l  mët tªp con cõa Cp khæng câ iºm cælªp Mët h m f : D −→ Cp∪ {∞} ÷ñc gåi l  mët h m ph¥n h¼nh tr¶n

D n¸u tçn t¤i mët tªp con khæng qu¡ ¸m ÷ñc S ⊂ D sao cho S khæng

câ iºm giîi h¤n trong D v  f l  mët h m gi£i t½ch tr¶n D \ S Ta k½hi»u M(D) l  tªp c¡c h m ph¥n h¼nh tr¶n D

ành ngh¾a 1.1.13 Cho D l  mët tªp con cõa Cp khæng câ iºm cælªp Mët h m f : D −→ Cp ∪ {∞} ÷ñc gåi l  mët h m ph¥n h¼nh àaph÷ìng tr¶n D n¸u vîi måi a ∈ D, tçn t¤i r > 0, q ∈ Z+ v  an ∈ Cp saocho

f (z) =

∞Xn=−q

an(z − a)n, z ∈ D ∩Cp[0; r]

K½ hi»u Mer(D) l  tªp hñp c¡c h m ph¥n h¼nh àa ph÷ìng tr¶n D

Tø ành ngh¾a ta th§y, n¸u a−q 6= 0 vîi q > 0 th¼ ta nâi f câ cüc iºmt¤i a bëi q Hiºn nhi¶n a l  cüc iºm cæ lªp

ành ngh¾a 1.1.14 Cho D l  mët tªp con cõa Cp khæng câ iºm cælªp Mët h m f : D −→ Cp∪ {∞}÷ñc gåi l  gi£i t½ch t¤i a ∈ D n¸u tçnt¤i ρ ∈ R+∪ {∞} v  c¡c an ∈ Cp sao cho Cp(a; ρ) ⊂ D v  Cp(a; ρ0) 6= ∅vîi méi ρ > ρ0 v  thäa m¢n

f (z) =

∞Xn=0

Ta vi¸t

M(ρ(Cp) = M(Cp(0; ρ))

°c bi»t, mët ph¦n tû cõa tªp hñp

M(∞(Cp) = M(Cp(0; ∞)) = M(Cp)

÷ñc gåi l  mët h m ph¥n h¼nh tr¶n Cp K½ hi»u Cp(z)l  tªp c¡c h m húut tr¶nCp, khi âCp(z) ⊂ M(Cp) Méi ph¦n tû trong tªp M(Cp)−Cp(z)

÷ñc gåi l  h m si¶u vi»t

B¥y gií ta nghi¶n cùu th¶m mët sè t½nh ch§t cõa sè h¤ng lîn nh§tcõa h m trong M(Cp) L§y f ∈ M(ρ(Cp) (0 < ρ 6 ∞), khi â tçn t¤i

g, h ∈ A(ρ(Cp) sao cho f = g

h, trong â g v  h khæng câ nh¥n tû chungtrong v nh A(ρ(Cp) Theo ành lþ 1.1.3, chóng ta câ thº mð rëng mëtc¡ch duy nh§t h m µ cho h m ph¥n h¼nh f = g

Trong ph¦n n y ta luæn quy ÷îc c¡c sè thüc ρ0, r, ρ thäa m¢n 0 <

ρ0 < r < ρ 6 ∞ Cho f ∈ A(ρ(Cp), biºu di¹n f d÷îi d¤ng

f (z) =

∞Xn=m

anzn, (am 6= 0, m ≥ 0)

H» sè am cán ÷ñc kþ hi»u l  f∗(0) Vîi a ∈ Cp tòy þ v  kþ hi»un(r,f −a1 ) l  sè khæng iºm kº c£ bëi cõa f −a trong mi·n {|z| 6 r} °cbi»t n(0, 1

f) = m Cè ành mëi sè thüc ρ0 sao cho 0 < ρ0 < ρ K½ hi»u

ρ0

n(t, f −a1 )

t dt vîi ρ0 < r < ρ

N (r, f = a) =

rZ

m l  h» sè cõa ìn thùc bªc nhä nh§t m  a0

m 6= 0 trong khaitriºn cõa chuéi f − a ta công k½ hi»u sè c¡c khæng iºm ph¥n bi»t cõa

ρ0

¯n(r,f −a1 )

t dt (ρ < r < ρ).

ành lþ 1.1.16 Cho f ∈ A(r(Cp) câ k khæng iºm trong Cp[0, r] vîi

k ≤ 1 (kº c£ bëi) v  b ∈ f(Cp[0, r]) Khi â, f − b công ch¿ câ k khæng

iºm trong (Cp[0, r]) kº c£ bëi

H» qu£ 1.1.17 Gi£ sû f ∈ A(r(Cp)(0 < ρ ≤ ∞) l  khæng bà ch°n Khi

â vîi méi b ∈Cp ta câ

Nr, 1

f − b = N (r,

1f



+ O(1) (r −→ ρ)

+ O(1) (r −→ ρ)

Gi£ sû f ∈ M(ρ(Cp) l  mët h m ph¥n h¼nh, khi â tçn t¤i hai h m

f0, f1 ∈ Ar(Cp) sao cho f1, f0 khæng câ nh¥n tû chung trong Ar(Cp)

anzn; f0 =

∞X

Ti¸p theo ta ành ngh¾a h m bò (hay cán gåi l  h m x§p x¿) cõa h m



= log+ 1

µ(r, f ) = max{0, − log µ(r, f )}.Ti¸p theo ta xem x²t mët sè t½nh ch§t ìn gi£n cõa h m ¸m v  h mx§p x¿

M»nh · 1.1.19 Gi£ sû fi ∈ M(ρ(Cp) (i = 1, 2, , k) Khi â vîi méi

i=1

fi

6

kXi=1

N (r, fi); N



r,

kYi=1

fi

6

kXi=1

fi

6

kXi=1

fi = F

f10 fk0;

kYi=1

fi = G

f10 fk0,

trong â F, G ∈ Ar(Cp) Do â, méi cüc iºm cõa h m Pk

i=1

fi ho°c Qk

i=1

fich¿ câ thº l  khæng iºm cõa h m f10 fk0, n¶n nâ l  cüc iºm cõa mëttrong c¡c h m fi Suy ra

n



r,

kX

i=1

fi

6

kXi=1

n(r, fi) v  n



r,

kYi=1

fi

6

kXi=1

fi

6

kXi=1

N (r, fi) v  N



r,

kYi=1

fi

6

kXi=1

m



r,

kXi=1

fi



= log

kYi=1

µ(r, fi) =

kXi=1

fi

6

kXi=1



.N¶n cæng thùc Jensen (1.7) ÷ñc vi¸t l¤i l 

T



r, 1f



= T (r, f ) − log µ(ρ0, f ) (1.8)

N¸u f l  h m ph¥n h¼nh kh¡c h¬ng tr¶nCp th¼ f ph£i câ c¡c khæng iºmho°c cüc iºm, do â

i=1

fi

6

kXi=1

T (r, fi), T



r,

kYi=1

fi

6

kXi=1

T (r, fi) (1.9)Hìn núa T (r, f) l  mët h m t«ng theo r

M»nh · 1.1.21 Gi£ sû f ∈ M(ρ(Cp) Khi â f ∈ M∗

(ρ(Cp) n¸u v ch¿ n¸u T (r, f) l  bà ch°n

H» qu£ 1.1.22 Mët h m ph¥n h¼nh f tr¶n Cp l  si¶u vi»t khi v  ch¿khi

lim

r→∞

T r, f )log r = ∞.

H» qu£ 1.1.23 Gi£ sû a ∈ Cp ∪ {∞} Khi â mët h m húu t kh¡ch¬ng R tr¶n Cp thäa m¢n i·u ki»n

1.1.4 Hai ành lþ cì b£n

Trong ph¦n n y chóng tæi s³ giîi thi»u hai ành lþ cì b£n trong lþthuy¸t ph¥n bè gi¡ trà p−adic º cho ng­n gån, ta v¨n k½ hi»u |.| thaycho |.|p tr¶n Cp Ta cè ành hai sè thüc ρ v  ρ0 sao cho 0 < ρ0 < ρ < ∞.Tr÷îc ti¶n ta chùng minh ành lþ cì b£n thù nh§t, ành lþ n y t÷ìng

tü vîi tr÷íng hñp phùc

ành lþ 1.1.24 (ành lþ cì b£n thù nh§t) N¸u f l  h m ph¥n h¼nhkh¡c h¬ng tr¶n Cp(0; ρ) th¼ vîi måi a ∈ Cp ta câ

T (r, f − a) 6 T (r, f ) + T (r, a) = T (r, f ) + log+|a|,

T (r, f ) 6 T (r, f − a) + T (r, a) = T (r, f − a) + log+|a|

Tø â T (r, f − a) = T (r, f) + O(1), suy ra k¸t luªn cõa ành lþ

M»nh · sau ¥y th÷íng ÷ñc gåi l  bê · ¤o h m logarit

r.Hiºn nhi¶n c¡c h m f0, f00, , f(k) công thuëc A(ρ(Cp), n¶n

Lþ luªn t÷ìng tü nh÷ tr¶n ta công câ

Vîi mët h m ph¥n h¼nh kh¡c h¬ng f trong Cp(0; ρ), ta ành ngh¾a gi¡trà ph¥n nh¡nh bði

ành lþ 1.1.26 (ành lþ cì b£n thù hai) Cho f l  h m ph¥n h¼nh kh¡ch¬ng tr¶n Cp(0; ρ) v  a1, , aq ∈ Cp l  c¡c sè ph¥n bi»t °t

log µ(ρ0, f − aj) − log µ(ρ0, f0) + (q − 1) log A

δ .Chùng minh L§y r0 ∈ |Cp| sao cho ρ0 < r0 < ρ Ta vi¸t f = f1/f0, trong

â f0, f1 ∈ Ar0(Cp) khæng câ nh¥n tû chung v  °t

F0 = f0, Fi = f1 − aif0 (i = 1, 2, , q)

Khi â

|fk(z)| 6 A max

i {|F0(z)|, |Fi(z)|}, (k = 0, 1), (1.10)v¼ vîi méi z ∈ Cp(0, ρ), hiºn nhi¶n

|f0(z)| = |F0(z)| 6 A max

i {|F0(z)|, |Fi(z)|}

Vîi f1(z), ta x²t hai tr÷íng hñp ri¶ng nh÷ sau: tçn t¤i i ∈ {1, , q} saocho |f1(z)| 6 |ai||f0(z)|th¼ (1.10) óng, ng÷ñc l¤i n¸u |f1(z)| > |ai||f0(z)|vîi måi i = 1, , q th¼ |Fi(z)| = |f1(z) − aif0(z)| = |f1(z)|, do â (1.10)công óng.

K½ hi»u W = W(f0, f1) =

f0 f1

f00 f10

|fk(z)| 6 A

δ max{δ|f0(z)|, |Fj(z)|} 6 A

δ |Fβl(z)| (1.11)vîi måi l = 1, 2, , q − 1 Nh÷ vªy ta thu ÷ñc

| ˜f (z)| = max

δ |Fβl(z)|, l = 1, , q − 1,trong â

trong â

Dj = |Wj|

|F0Fj| =