Sự phản xạ, khúc xạ của sóng quasi p đối với biên phân chia có độ nhám cao (Tóm tắt trích đoạn)

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN ————————– Bùi Duy Vương SỰ PHẢN XẠ, KHÚC XẠ CỦA SÓNG QUASI P ĐỐI VỚI BIÊN PHÂN CHIA CÓ ĐỘ NHÁM CAO Chuyên ngành: Cơ học vật rắn M

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

—————————

Bùi Duy Vương

SỰ PHẢN XẠ, KHÚC XẠ CỦA SÓNG QUASI P ĐỐI VỚI BIÊN PHÂN CHIA CÓ ĐỘ NHÁM CAO

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

————————–

Bùi Duy Vương

SỰ PHẢN XẠ, KHÚC XẠ CỦA SÓNG QUASI P ĐỐI VỚI BIÊN PHÂN CHIA CÓ ĐỘ NHÁM CAO

Chuyên ngành: Cơ học vật rắn

Mã số: 60440107

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:

GS.TS PHẠM CHÍ VĨNH

LỜI CẢM ƠN

Lời đầu tiên em xin gửi lời cảm ơn chân thành nhất tới thầy GS.TS Phạm Chí Vĩnh, người đã tận tình hướng dẫn và giúp đỡ em từng bước để em có thể hoàn thành luận văn

Em xin cảm ơn các thầy cô trong khoa Toán-Cơ-Tin học Trường Đại học Khoa học Tự nhiên – Đại học Quốc gia Hà Nội đã dạy dỗ em trong suốt những năm học vừa qua, cảm ơn các anh chị em trong nhóm xemina đã chia sẻ kinh nghiệm, kiến thức và giúp đỡ em rất nhiều

Qua đây em cũng cảm ơn gia đình, bạn bè, đồng nghiệp luôn động viên

và tạo mọi điều kiện tốt cho em trong suốt quá trình học tập nghiên cứu

Hà Nội, tháng 12 năm 2016

Bùi Duy Vương

Mục lục

1 Sự phản xạ, khúc xạ của sóng qP đối với biên phân chia độ

1.1 Phát biểu bài toán 6

1.2 Các phương trình cơ bản và điều kiện liên tục 8

1.3 Thuần nhất hóa biên phân chia 9

1.4 Hệ số phản xạ, khúc xạ 10

2 Sự phản xạ, khúc xạ của sóng qP đối với biên phân chia độ nhám cao Phát biểu Stroh 15 2.1 Phát biểu Stroh 15

2.2 Nghiệm của (2.6) đối với các bán không gian Sóng phản xạ và sóng khúc xạ 17

2.3 Hệ số phản xạ, khúc xạ 22

2.4 Một số ví dụ số 25

Lời mở đầu

Các bài toán biên phân chia có độ nhám cao xuất hiện nhiều trong thực

tế như: sự tán xạ của sóng trên các biên nhám cao [15], sự phản xạ, khúc xạ của sóng trên các biên phân chia có độ nhám cao [10], các dòng chảy trên tường nhám [2], Khi biên phân chia có độ nhám thấp (biên độ rất nhỏ so với chu

kỳ của nó), để giải các bài toán này, các tác giả thường sử dụng phương pháp nhiễu Khi biên phân chia có độ nhám cao (biên độ rất lớn so với chu kỳ của nó), các tác giả thường sử dụng phương pháp thuần nhất hóa [3] để giải

Quá trình lan truyền các sóng mặt và sóng khối trong các môi trường dị hướng là một quá trình phức tạp, nó khác với quá trình truyền sóng trong môi trường đẳng hướng Crampin [6] chỉ ra rằng trong môi trường dị hướng, tồn tại

cả ba sóng khối lan truyền với các vận tốc khác nhau, theo các hướng khác nhau Trong những môi trường dị hướng bậc cao thì 3 sóng P, SV, SH không thể phân tách Theo đó, trong môi trường dị hướng, véc tơ dịch chuyển sóng và véc tơ lan truyền sóng không phải luôn luôn trùng nhau (đối với sóng dọc-quasi P) và vuông góc với nhau (đối với sóng ngang-quasi SV, SH) Trong số các bài toán liên quan đến quá trình truyền sóng thì bài toán phản xạ, khúc xạ của các sóng đàn hồi được nhiều tác giả quan tâm như trong các công trình của Achenbach [1], Chattopadhyay and Rogerson [4], Chattopadhyay [5], Tuy nhiên, trong các công trình này, các tác giả mới chỉ xét sự phản xạ, khúc xạ của các sóng đối với biên phân chia là phẳng Khi biên phân chia có độ nhám cao thì các nghiên cứu còn rất hạn chế Công thức tính các hệ số phản xạ, khúc xạ của các sóng đối với biên phân chia này vẫn chưa được tìm ra Nguyên nhân là do các phương trình thuần nhất hóa dạng hiện đối với lý thuyết đàn hồi trong các miền chứa biên phân chia có độ nhám cao chưa được tìm ra

Năm 1997, các tác giả Nevard và Keller [7] đã nghiên cứu thuần nhất hóa

MỤC LỤC

biên phân chia có độ nhám cao đối với hệ (ba) phương trình của lý thuyết đàn hồi tuyến tính dị hướng Sử dụng phương pháp thuần nhất hóa, các tác giả đã rút ra phương trình thuần nhất hóa của lý thuyết đàn hồi dị hướng Tuy nhiên,

hệ các phương trình này còn ở dưới dạng ẩn, vì các hệ số của chúng được xác định qua các hàm mà chúng là nghiệm của bài toán biên trên nhân tuần hoàn, gồm 27 phương trình vi phân đạo hàm riêng Bài toán biên trên nhân tuần hoàn này chỉ có thể tìm nghiệm dưới dạng số Vì hệ phương trình thuần nhất hóa thu được ở dưới dạng ẩn nên không thuận tiện khi sử dụng

Gần đây (2010, 2011), các tác giả Pham Chi Vinh và Do Xuan Tung [11, 12] đã tìm ra được phương trình thuần nhất hóa dạng hiện của lý thuyết đàn hồi trong miền hai chiều, tức là các hệ số của chúng là các hàm của các tham số vật liệu và đặc trưng hình học của biên phân chia Ngoài kết quả nêu trên, các tác giả Pham Chi Vinh và Do Xuan Tung còn tìm ra các phương trình thuần nhất hóa dạng hiện của lý thuyết đàn hồi trong miền hai chiều có biên phân chia dao động nhanh giữa hai đường tròn đồng tâm [13], phương trình thuần nhất hóa dạng hiện của lý thuyết đàn điện [14] Sử dụng các phương trình thuần nhất hóa dạng hiện này, các bài toán thực tế khác nhau, trong đó có bài toán phản xạ, khúc xạ của sóng đối với biên phân chia có độ nhám cao, được nghiên cứu một cách thuận tiện

Mục đích của luận văn là nghiên cứu sự phản xạ, khúc xạ của sóng qP đối với biên phân chia độ nhám cao của hai bán không gian đàn hồi thuần nhất trực hướng Để nghiên cứu bài toán này, các phương trình thuần nhất hóa dạng hiện của lý thuyết đàn hồi trong miền hai chiều có biên phân chia độ nhám cao, dao động nhanh giữa hai đường thẳng song song được sử dụng Cho đến nay, bài toán này chưa có tác giả nào nghiên cứu vì trước năm 2010 các phương trình thuần nhất hóa dạng hiện chưa được tìm ra Trước hết, miền chứa biên phân chia độ nhám cao được thay thế bằng một lớp vật liệu không thuần nhất theo chiều dầy với hai biên phẳng Chuyển động của lớp được mô tả bằng các phương trình thuần nhất hóa (dạng hiện) Sau đó, sự phản xạ, khúc xạ của sóng qP đối với biên phân chia độ nhám cao được đưa về bài toán phản xạ, khúc xạ của sóng

qP đối với lớp vật liệu không thuần nhất

Kết quả đạt được của luận văn là:

(i) Tìm ra các công thức tính hệ số phản xạ, khúc xạ của sóng qP Chú ý

MỤC LỤC

rằng khi sóng tới là qSV, các công thức thu được vẫn còn hiệu lực

(ii) Sử dụng các công thức này khảo sát bằng số sự phụ thuộc của hệ số phản xạ, khúc xạ vào góc tới, số sóng tới (không thứ nguyên), tham số hình học của biên phân chia trong trường hợp nó có dạng hình lược

Luận văn gồm hai chương:

Chương 1: Sự phản xạ, khúc xạ của sóng qP đối với biên phân chia độ nhám cao Phương pháp truyền thống

Trong chương này, sự phản xạ, khúc xạ của sóng qP đối với biên phân chia có độ nhám cao được nghiên cứu bằng phương pháp truyền thống Phương pháp này mang đậm tính quang học và hình học, cho cái nhìn rõ ràng về sự phản xạ, khúc xạ Tuy nhiên, phương pháp này mang tính trực giác, không đưa đến một mô hình toán học chặt chẽ cho bài toán phản xạ, khúc xạ của sóng truyền trong các môi trường đàn hồi di hướng Kết quả chính là là tìm ra các công thức tính hệ số phản xạ, khúc xạ của sóng qP

Chương 2: Sự phản xạ, khúc xạ của sóng qP đối với biên phân chia độ nhám cao Phương pháp phát biểu Stroh

Trong chương này, sự phản xạ, khúc xạ của sóng qP đối với biên phân chia độ nhám cao được nghiên cứu bằng một phương pháp mang tính toán học, dựa trên phát biểu Stroh [9] của các bán không gian và lớp vật liệu thuần nhất hóa Phương pháp này trước hết cho ta cái nhìn toán học chính xác của sự phản

xạ và khúc xạ của sóng qP Hình ảnh hình học sau đó được nhìn thấy rõ ràng

và tổng thể như là hệ quả của các biểu thức toán học

5

Chương 1

Sự phản xạ, khúc xạ của sóng qP đối với biên phân chia độ nhám cao Phương pháp truyền thống

1.1 Phát biểu bài toán

Xét 2 bán không gian đàn hồi thuần nhất Ω(+), Ω(−), trực hướng với các hằng số vật liệu cij và mật độ khối lượngρ được xác định như sau:

cij, ρ =







c(+)ij , ρ(+), (x1, x2) ∈ Ω(+)

c(−)ij , ρ(−), (x1, x2) ∈ Ω(−)

(1.1)

trong đóc(+)ij , c(−)ij , ρ(+), ρ(−) là các hằng số Giả thiết ba trục vật liệu của hai bán không gian là trùng nhau và chúng được chọn làm ba trục tọa độ (Hình 1.1)

Giả sử biên phân chia L của hai bán không gian có độ nhám cao, dao động giữa hai đường thẳng x2 = 0 và x2 = h có phương trình x2= h(x1/ε), trong

đóh(y) (y = x1/ε)là hàm tuần hoàn chu kỳ là 1 (xem Hình 1.1), ε được giả thiết

là nhỏ hơn nhiều so với h (tức là biên phân chia L có độ nhám cao) Giả thiết thêm rằng, mọi đường thẳng x 2 = x02 = const với 0 < x02 < h cắt đường cong

L tại đúng hai điểm có hoành độ là y 1 và y 2 Điều này có nghĩa: trong khoảng

0 < y < 1 phương trình h(y) = x02 có đúng hai nghiệm được ký hiệu là y1(x2),

y2(x2)

CHƯƠNG 1 SỰ PHẢN XẠ, KHÚC XẠ CỦA SÓNG QP ĐỐI VỚI BIÊN PHÂN CHIA ĐỘ NHÁM CAO PHƯƠNG PHÁP TRUYỀN THỐNG

Hình 1.1: Biên phân chia độ nhám cao L

Trong bán không gianΩ(+), xét một sóng qP, có biên độ đơn vị, vận tốcc0,

số sóngk0, truyền tới biên phân chia độ nhám cao L với góc tớiθ0(0 < θ0< π/2)

(Hình 1.1) Khi đó chuyển dịch của nó là:

u0=













sinφ

cosφ 0













eik0 (x 1sinθ 0 +x 2cosθ 0 −c 0 t) (1.2)

trong đó c0 được tính bởi công thức [5]:

2ρ(+)c20= (U(0)+ Z(0)) + [(U(0)− Z(0))2+ 4(V(0))2]1/2 (1.3) với:

U(0) = c(+)11 sin2θ0+ c(+)66 cos2θ0,

V(0)= (c(+)66 + c(+)12 )sinθ0cosθ0,

Z(0)= c(+)66 sin2θ 0 + c(+)22 cos2θ 0

(1.4)

φ là góc tạo bởi hướng của véctơ u0 và trục 0x2, được xác định bởi [5]:

φ =atan{ V

(0)

ρ(+)c20− U (0) } (1.5)

7

CHƯƠNG 1 SỰ PHẢN XẠ, KHÚC XẠ CỦA SÓNG QP ĐỐI VỚI BIÊN PHÂN CHIA ĐỘ NHÁM CAO PHƯƠNG PHÁP TRUYỀN THỐNG

Chú ý rằng k0 = ω/c0 trong đó ω là tần số của sóng tới và được cho trước

Bài toán đặt ra là: Xét sự phản xạ, khúc xạ của sóng tới qP đối biên phân chia độ nhám cao L

1.2 Các phương trình cơ bản và điều kiện liên tục

Vì sóng tới có dạng (1.2) và môi trường là trực hướng nên sóng tới gây

ra trạng thái biến dạng phẳng:

ui= ui(x1, x2, t), i = 1, 2, u3 ≡ 0 (1.6)

ui là các thành phần của vecto chuyển dịch

Đối với vật liệu trực hướng, định luật Hooke có dạng:

σ 11 = c 11 u 1,1 + c 12 u 2,2

σ12= c66(u1,2+ u2,1)

σ22= c12u1,1+ c22u2,2

(1.7)

Bỏ qua lực khối, phương trình chuyển động có dạng:

σ11,1+ σ12,2= ρ¨ u1

σ12,1+ σ22,2= ρ¨ u2

(1.8)

Giả sử hai bán không gian gắn chặt với nhau, khi đó ứng suất và chuyển dịch phải liên tục trên biên phân chia L, tức là:

[uk]L = 0, [σ1kn1+ σ2kn2]L = 0, k = 1, 2 (1.9) trong đó n1, n2 (n3 = 0) là các thành phần của véctơ pháp tuyến đơn vị đối với dường cong L (đường cong hai chiều thuộc mặt phẳng 0x1x2) (xem Hình 1.1) Trong công thức trên ta sử dụng ký hiệu sau:

CHƯƠNG 1 SỰ PHẢN XẠ, KHÚC XẠ CỦA SÓNG QP ĐỐI VỚI BIÊN PHÂN CHIA ĐỘ NHÁM CAO PHƯƠNG PHÁP TRUYỀN THỐNG

Hình 1.2: Thay miền chứa biên phân chia độ nhám cao bằng lớp vật liệu không thuần nhất

1.3 Thuần nhất hóa biên phân chia

Do biên phân chia L có độ nhám cao, nên theo Vinh và cộng sự [11], miền

0 < x2 < h chứa biên phân chia được thay thế bởi một lớp vật liệu trực hướng, không thuần nhất theo chiều dầy, có hai biên phẳng x2= 0 và x2= h (xem Hình 1.2), đặc trưng bởi các hằng số vật liệu và mật độ khối lượng xác định như sau:

cL11 = hc−111i−1, cL12= hc−111i−1hc12c−111i, c L

66 = hc−166i−1,

cL22 = hc22i + hc−111i−1hc12c−111i2− hc212c−111i, ρL = hρi (1.11) trong đó:

hf i =

Z 1 0

f dy = (y2− y1)f(−)+ (1 − y2+ y1)f(+) (1.12) Chú ý rằng, vì y1 và y2 phụ thuộc vào x2 nên các hằng số cLij và ρL là các hàm

số của x2

Đối với lớp vật liệu 0 < x2 < h, định luật Hooke và phương trình chuyển động cũng có dạng (1.7) và (1.8) trong đó cij và ρ được thay thế tương ứng bởi

cLij và ρL

Như vậy, bài toán phản xạ, khúc xạ của sóng qP đối với biên phân chia

9

CHƯƠNG 1 SỰ PHẢN XẠ, KHÚC XẠ CỦA SÓNG QP ĐỐI VỚI BIÊN PHÂN CHIA ĐỘ NHÁM CAO PHƯƠNG PHÁP TRUYỀN THỐNG

độ nhám cao được đưa về bài toán phản xạ, khúc xạ của sóng qP đối với lớp vật liệu (không thuần nhất) chiếm miền 0 < x2 < h bị kẹp giữa hai bán không gian

Sử dụng định luật Hooke vào các phương trình chuyển động dẫn đến hai phương trình sau đối với chuyển dịch:

cL11u1,11+ cL66u1,2

,2 + cL66u2,1

,2 + cL12u2,12= ρLu ¨1

cL66u1,12+ cL12u1,1

,2 + cL66u2,11+ cL22u2,2

,2 = ρLu ¨2

(1.13)

Trên các biên phân chia của lớp và hai bán không gian x2= 0 và x2 = h, chuyển dịch và ứng suất phải liên tục

Vậy, ta cần giải bài toán gồm hệ phương trình (1.13) và các điều kiện liên tục của chuyển dịch và ứng suất trên các biên x2= 0 và x2 = h

1.4 Hệ số phản xạ, khúc xạ

Sóng tới đến biên x2= 0 sinh ra các sóng phản xạ qP, qSV, truyền trong bán không gian Ω(+) và các sóng khúc xạ qP, qSV, truyền trong bán không gian

Ω(−) (xem Hình 1.3) Chúng (qP, qSV phản xạ, qP, qSV khúc xạ) tạo với trục

0x2 các góc tương ứng θ1, θ2, θ3, θ4 (góc hình học) (xem Hình 1.3) Chuyển dịch của sóng phản xạ qP với biên độ R1 = [R11 R12]T có dạng [5, 8]:







u(1)1

u(1)2





=







R11

R 12





exp[ik1(x1p11+ x2p12− c1t)] (1.14)

Chuyển dịch của sóng phản xạ qSV với biên độ R2 = [R21 R22]T xác định bởi:







u(2)1

u(2)2





=







R21

R22





exp[ik2(x1p21+ x2p22− c2t)] (1.15)

Tương tự, chuyển dịch của sóng khúc xạ qP, qSV là:







u(3)1

u(3)2





=







R31

R32





exp[ik 3 (x 1 p 31 + x 2 p 32 − c 3 t)] (1.16)

CHƯƠNG 1 SỰ PHẢN XẠ, KHÚC XẠ CỦA SÓNG QP ĐỐI VỚI BIÊN PHÂN CHIA ĐỘ NHÁM CAO PHƯƠNG PHÁP TRUYỀN THỐNG

Hình 1.3: Sóng qP truyền tới biên phân chia độ nhám cao L, sinh ra hai sóng phản xạ

P, SV và hai sóng khúc xạ P, SV







u(4)1

u(4)3





=







R 41

R42





exp[ik4(x1p41+ x2p42− c4t)] (1.17)

trong đó R3 = [R31 R32]T, R4 = [R41 R42]T là biên độ của sóng khúc xạ qP, qSV; véctơ đơn vị p n=[p n1 p n2 ]T(n = 1, 2, 3, 4) là véctơ chỉ hướng truyền của các sóng (chú ý: p 12 < 0, p 22 < 0, p 32 > 0, p 42 > 0); c 1 , c 2 , c 3 , c 4 tương ứng là các vận tốc của sóng phản xạ qP, qSV, sóng khúc xạ qP, qSV Chúng được xác định trong bằng các công thức sau [4, 5]:

a) Đối với sóng qP:

2ρc2n = (U(n)+ Z(n)) + [(U(n)− Z(n))2+ 4(V(n))2]1/2, n = 1, 3 (1.18) b) Đối với sóng qSV:

2ρc2n = (U(n)+ Z(n)) − [(U(n)− Z(n))2+ 4(V(n))2]1/2, n = 2, 4 (1.19) trong đó:

U(n)= c(+)11 p2n1+ c(+)66 p2n2,

V(n) = (c(+)66 + c(+)12 )pn1pn2,

Z(n) = c(+)66 p2n1+ c(+)22 p2n2

(1.20)

11

CHƯƠNG 1 SỰ PHẢN XẠ, KHÚC XẠ CỦA SÓNG QP ĐỐI VỚI BIÊN PHÂN CHIA ĐỘ NHÁM CAO PHƯƠNG PHÁP TRUYỀN THỐNG

đối với n = 1, 2

U(n)= c(−)11 p2n1+ c(−)66 p2n2,

V(n) = (c(−)66 + c(−)12 )pn1pn2,

Z(n) = c(−)66 p2n1+ c(−)22 p2n2

(1.21)

đối với n = 3, 4, kn (n = 1, 2, 3, 4) là số sóng của các sóng tương ứng, và chúng liên hệ với nhau bởi đẳng thức:

k1.c1= k2.c2 = k3.c3= k4.c4 = k0.c0= ω (1.22) Chú ý rằng:

pn1 =sinθn (n = 1, 2, 3, 4), pn2 = −cosθn (n = 1, 2), pn2 =cosθn (n = 3, 4) (1.23) ii) p12/p11, p22/p21 là hai nghiệm thực âm của phương trình đặc trưng của bán không gian Ω(+), trong khi đó p 32 /p 31, p 42 /p 41 là hai nghiệm thực dương của của phương trình đặc trưng của bán không gian Ω(−) (xem mục 2.2) Hai đại lượng

Rn1 và Rn2 (n = 1, 2, 3, 4) liên hệ với nhau bằng đẳng thức sau:

F n := Rn1

Rn2 =

V(n)

ρc 2

n − U (n) = ρc

2

n − Z (n)

Trong công thức trên,ρlấy giá trịρ(+) khin = 1, 2và lấy giá trị ρ(−) khin = 3, 4 Qui luật Snell có dạng:

k0sinθ0= k1sinθ1= k2sinθ2= k3sinθ3= k4sinθ4= k (1.25)

Ký hiệuη(n) = [u(n)1 u(n)2 (ik)−1σ12(n) (ik)−1σ22(n)]T (n=0, 1, 2, 3, 4) Từ (1.14)-(1.17), định luật Hooke (1.7), (1.24) và (1.25) ta có:

ηn = Rn2η ˆnexp[ikn(pn1x1+ pn2x2− cnt)], n = 1, 2, 3, 4 (1.26) trong đó:

ˆ

ηn =





















Fn 1

c66 Fnpn2+ pn1
/sinθn

c12Fnpn1+ c22pn2
/sinθn





















, n = 1, 2, 3, 4 (1.27)