Tiếp cận một số bài toán hình học sơ cấp bằng hình học xạ ảnh (Tóm tắt trích đoạn)

Đây là chương chính của luận văn trình bày về ứng dụng của mặt phẳng xạ ảnh và mô hình của mặt phẳng xạ ảnh afin, Euclide vào việc chứng minh một số định lý và giải bài toán hình học sơ

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

TIẾP CẬN MỘT SỐ BÀI TOÁN HÌNH HỌC SƠ CẤP

BẰNG HÌNH HỌC XẠ ẢNH

Người hướng dẫn khoa học:

PGS.TS VŨ ĐỖ LONG

Hà nội - 2017

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

Chuyên ngành: Phương pháp toán sơ cấp

Mã số: 60.46.01.13

Mục lục

1.1.1 Một số dạng hình học cơ bản trong mặt phẳng 4

1.1.2 Phương pháp nghiên cứu hơnh học xạ ảnh 5

1.2 Ánh xạ xạ ảnh giữa hai dạng cấp một bậc nhất 5

1.2.1 Tỉ số kép của bốn phần tử 5

1.2.2 Ánh xạ xạ ảnh giữa các hàng điểm và giữa các chứm đường thẳng 6

1.2.3 Nghiên cứu ánh xạ xạ ảnh giữa hai dạng cấp một bậc nhất bằng tọa độ Descartes 7

1.2.4 Phép biến đêi xạ ảnh trên một dạng cấp một, bậc nhất 9 1.3 Các đường cong bậc hai và lớp bậc hai 10

1.3.1 Một số đành lờ cơ bản liên quan đến đường cong bậc hai, lớp hai 10

1.3.2 Ánh xạ xạ ảnh giữa hai dạng cấp một bậc hai, lớp hai 11 1.4 Ánh xạ xạ ảnh giữa hai dạng cấp hai 15

1.4.1 Phép cộng tuyến giữa hai trường điểm 15

1.4.2 Tọa độ xạ ảnh 15

1.4.3 B ổ sung p hần tử ả o vào m ặt p hẳng xạ ả nh thực 17

1.4.4 P hép đ ối x ạ, n guyên tắc đ ối n gẫu 17

1.4.5 Cực và đối cực 18

2 Ứng dụng hình học xạ ảnh trong hình học sơ cấp 19 2.1 Một số bài toán chứng minh đồng quy song song, thẳng hàng 2.2 Một số bài toán chứng minhđại lượng không đổi hoặc chứng minh đẳng thức liên quan đến độ dài đoạn thẳng 30

2.3 Bài toán chứng minh đường thẳng luôn đi qua một điểm cố định 42

2.4 Bài toán quỹ tích và hình bao 45

2.5 Một số bài toán dựng hình 51

19

2.6 Một số tính chất Euclide đặc trưng của phép biến đổi xạ ảnh eliptic

trên đường thẳng và đường tròn 56

2.7.1 Dùng hình học afin để nghiên cứu hình học Euclid 59

2.8 Dùng hình học afin và hình học Euclide 68

2.8.1 Giải một số bài toán của hình học xạ ảnh 68

2.8.2 Phát hiện sự kiện mới của hình học xạ ảnh 70 2.9 Mở rộng định lý Steiner và định lý Fre'gier 77

Mở đầu

Hình học xạ ảnh là môn hình học tổng quát sử dụng công cụ tuyến tính Nhiều định lý hình học nổi tiếng cũng như nhiều bài toán hình học hay trở nên đơn giản dưới góc nhìn của hình học xạ ảnh Vì vậy, sử dụng hình học xạ ảnh là công cụ hữu hiệu trong việc nghiên cứu, giảng dạy và bồi dưỡng học sinh năng khiếu về hình học ở trường phổ thông

Mục đích của luận văn này là trình bày một số khái niệm trong mặt phẳng xạ ảnh ảnh của mặt phẳng afin, Euclide và đặc biệt là ứng dụng hình học xạ ảnh để định hướng cho lời giải sơ cấp của các bài toán hình học

Nội dung chính của luận văn được trình bày trong hai chương:

Chương 1 Cơ sở lí thuyết hình học xạ ảnh phẳng

Trong chương này, tác giả trình bày tóm lược các kiến thức cơ sở về mặt phẳng xạ ảnh và các khái niệm xạ ảnh nghịch đảo, xạ ảnh giữa hai dạng cấp một bậc nhất và bậc hai, ánh xạ xạ ảnh giữa hai dạng cấp một bậc hai Ngoài ra để khai thác được nhiều ứng dụng của hình học xạ ảnh, tác giả sử dụng mô hình xạ ảnh afin, Euclide có

bổ sung các phần tử vô tận

Chương 2 Ứng dụng hình học xạ ảnh trong hình học sơ cấp

Đây là chương chính của luận văn trình bày về ứng dụng của mặt phẳng xạ ảnh và

mô hình của mặt phẳng xạ ảnh afin, Euclide vào việc chứng minh một số định lý và giải bài toán hình học sơ cấp thông qua các ví dụ được chọn và phân loại thành những dạng toán khác nhau, mục này cũng đề xuất và chứng minh một tính chất đặc trưng của phép biến đổi xạ ảnh eliptic trên đường thẳng và trên đường tròn Phần cuối của chương trình bày mở rộng định lí Steiner, Fre'gier

Luận văn được hoàn thành dưới sự hướng dẫn, chỉ bảo rất tận tình của PGS.TS

Vũ Đỗ Long Tác giả cũng xin bày tỏ lòng kính trọng và biết ơn sâu sắc đến thầy về sự giúp đỡ quý báu này Nhân đây tác giả cũng xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới thầy Nguyễn Vũ Lương, Đ ỗ Thanh Sơn đã giúp đỡ tạo điều kiện cho tác giả trong quá trình thực hiện luận văn này

Mặc dù bản thân đã có cố gắng nhiều trong quá trình thực hiện nhưng luận văn không thể trách khỏi những thiếu sót Rất mong được sự chỉ bảo, góp ý của các quý thầy cô và các bạn đồng nghiệp

Xin chân trọng cảm ơn

Người viết luận văn: Nguyễn Văn Sơn

Chương 1

Một số kiến thức cơ bản của hình học

xạ ảnh phẳng

học xạ ảnh

Hình học xạ ảnh chuyên nghiên cứu các tính chất xạ ảnh của các hình, tức

là các tính chất bất biến qua phép chiếu xuyên tâm (xem mục 1.2.2), chẳng hạn như tương quan đồng quy, thẳng hàng, tính chất chia điều hòa, tính suy biến hay không suy biến của đường bậc hai, Các khái niệm được xét trong các định lí của hình học xạ ảnh cũng đều là những khái niệm xạ ảnh, chẳng hạn như điểm, đường thẳng, tam giác, tứ giác toàn phần, đường cong bậc hai, tỉ số kép, Trong hình học xạ ảnh, người ta thường nghiên cứu những ánh xạ từ một tập hợp đối tượng (điểm, đường thẳng, mặt phẳng) này sang một tập hợp đối tượng khác Các tập hợp đối tượng đó được gọi là những dạng

1.1.1 Một số dạng hình học cơ bản trong mặt phẳng

1 Các dạng cấp một bậc nhất

Định nghĩa 1.1.1 Hàng điểm thẳng là tập hợp tất cả các điểm cùng thuộc một đường thẳng Đường thẳng này được gọi là giá của hàng điểm Mỗi giá có thể chứa nhiều hàng điểm khác nhau

Định nghĩa 1.1.2 Chùm đường thẳng là tập hợp tất cả các đường thẳng trong mặt phẳng và cùng đi qua một điểm Điểm này được gọi là giá (hay tâm) của chùm Mỗi giá có thể chứa nhiều chùm đường thẳng khác nhau

2 Các dạng cấp hai

Định nghĩa 1.1.3 Trường điểm là tập hợp tất cả các điểm cùng thuộc một mặt phăng đã cho Mặt phẳng này được gọi là giá của trường Một giá có thể chứa nhiều trường điểm khác nhau

Định nghĩa 1.1.4 Trường đường thẳng là tập hợp tất cả các đường thẳng cùng thuộc một mặt phăng đã cho Mặt phẳng này được gọi là giá của trường Một giá có thể chứa nhiều trường đường thẳng khác nhau

1.1.2 Phương pháp nghiên cứu hình học xạ ảnh

Để nghiên cứu hình học xạ ảnh, có thể dùng những khái niệm và tính chất không xạ ảnh của những hình học khác (hình học afin, hình học Euclide, ) làm phương tiện hoặc nghiên cứu độc lập

Theo cách thứ nhất, ta xem những tính chất xạ ảnh là một bộ phận lẫn vào trong những tính chất khác của hình học afin và hình học Euclide, sau đó sử dụng kiến thức của những hình học này để nghiên cứu, sau cùng, ta thể hiện các kết quả thu được dưới dạng xạ ảnh để được những kết quả của hình học xạ ảnh

Theo cách thứ hai, ta xây dựng hình học xạ ảnh thành một môn độc lập, hoàn toàn không dùng gì đến các tính chất không xạ ảnh làm phương tiện Mỗi cách nói trên đều có những ưu điểm riêng, cách thứ nhất thì tự nhiên (phù hợp với lịch sử phát triển của hình học) và gần gũi với toán phổ thông hơn, còn cách thứ hai thì lại khoa học hơn và tiện lợi hơn Những kiến thức được trình bày trong chương này là theo đường lối thứ nhất

nhất

1.2.1 Tỉ số kép của bốn phần tử

Định nghĩa 1.2.1 Cho bốn điểm A, B, C, D thẳng hàng trên đường thẳng ∆

DA

là (ABCD) Như vậy

DA

(ABC) (ABD)

Nếu tỉ số kép (ABCD) = −1 thì ta nói cặp điểm C, D chia điều hòa cặp điểm A, B Khi đó ta cũng nói bốn điểm A, B, C, D lập thành một hàng điểm điều hòa, hay cặp điểm A, B và cặp điểm C, D liên hợp điều hòa với nhau Định nghĩa 1.2.2 Cho bốn đường thẳng a, b, c, d đồng quy tại điểm O Khi đó một cát tuyến biến thiên, cắt chùm bốn đường thẳng đó tại bốn điểm A, B, C, D

có tỉ số kép không đổi Tỉ số kép không đổi này được gọi là tỉ số kép của chùm bốn đường thẳng đã cho, ký hiệu là (abcd) hay (OA, OB, OC, OD)

Nếu tỉ số kép (abcd) = −1 thì ta nói cặp đường thẳng c, d chia điều hòa cặp đường thẳng a, b Khi đó ta cũng nói bốn đường thẳng a, b, c, d lập thành một chùm điều hòa, hay cặp đường thẳng a, b và cặp đường thẳng c, d liên hợp điều hòa với nhau

Định lí 1.2.1 Trên mỗi đường chéo của tứ giác toàn phần, hai đỉnh đối diện chia điều hòa hai giao điểm của đường chéo đó với hai đường chéo còn lại Định lí 1.2.2 Tại mỗi điểm chéo của một hình bốn đỉnh toàn phần, hai cạnh chia điều hòa hai đường thẳng nối điểm chéo đó với hai điểm chéo còn lại

1.2.2 Ánh xạ xạ ảnh giữa các hàng điểm và giữa các chùm

đường thẳng

S nằm ngoài hai đường thẳng đó Với mỗi điểm M thuộc d, ta cho ứng với điểm

Định nghĩa 1.2.5 Một song ánh giữa hai dạng cấp một được gọi là một ánh

xạ xạ ảnh nếu nó bảo toàn tỉ số kép

Theo định nghĩa trên thì phép chiếu xuyên tâm và phép chiếu xuyên trục đều là những ánh xạ xạ ảnh Phép chiếu xuyên tâm và phép chiếu xuyên trục được gọi chung là ánh xạ phối cảnh Sau đây là một số tính chất cơ bản của ánh xạ xạ ảnh và ánh xạ phối cảnh

Định lí 1.2.3’ Mọi ánh xạ xạ ảnh f : O −→ O0 giữa hai chùm đường thẳng

Định lí 1.2.4 Điều kiện cần và đủ để một ánh xạ xạ ảnh giữa hai đường thẳng phân biệt trở thành một phép chiếu xuyên tâm là giao điểm của hai đường thẳng

đó tự ứng

Định lí 1.2.4’ Điều kiện cần và đủ để một ánh xạ xạ ảnh giữa hai chùm đường thẳng phân biệt trở thành một phép chiếu xuyên trục là đường thẳng đi qua hai tâm của chúng tự ứng

Định lí 1.2.5 Cho ba điểm phân biệt A, B, C bất kỳ trên đường thẳng ∆ và ba

Định lí 1.2.5’ Cho ba đường thẳng phân biệt a, b, c bất kỳ thuộc chùm (O) và

xạ xạ ảnh f biến a, b, c theo thứ tự thành a0, b0, c0

1.2.3 Quan hệ ánh xạ xạ ảnh giữa hai dạng cấp một bậc nhất

bằng tọa độ Descartes

Trong hình học xạ ảnh người ta thường dùng một loại tọa độ riêng, đó là tọa

độ xạ ảnh Trong mục này ta sẽ dùng tọa độ Descartes thông thường làm công

cụ trung gian để nghiên cứu một số tính chất của ánh xạ xạ ảnh giữa hai dạng cấp một bậc nhất Tuy nhiên ở đây, đường thẳng Euclide đã được bổ sung một điểm xa vô tận mà ta gán cho hoành độ ∞ (−∞ hay +∞ cũng chỉ một điểm

xa vô tận của đường thẳng đó)

Từ (1.1) ta sẽ thiết lập đặc trưng Euclide - đặc trưng hình học về lượng theo nghĩa Euclide của ánh xạ xạ ảnh giữa hai đường thẳng, từ đó ta có thể vận dụng được vào một lớp bài toán hình học sơ cấp Trước hết ta đưa ra định nghĩa sau về điểm giới hạn

hạn

Hệ thức sau đây thể hiện đặc trưng về lượng của ánh xạ xạ ảnh giữa hai đường thẳng

Như vậy trong mô hình afin hay mô hình Euclide của mặt phẳng xạ ảnh, bất biến xạ ảnh (tỉ số kép) được diễn tả bằng một bất biến về lượng thông qua

độ dài của đoạn thẳng Từ đây ta có thể áp dụng vào việc phát hiện và chứng

chuyển động trên hai đường thẳng nào đó)

biến (1.1) trở thành hàm bậc nhất

b d

Do đó nếu hai điểm M1(x1), M2(x2) có ảnh tương ứng là M10(x01), M20(x02) thì ta có

M10M20

a

Định lí 1.2.8 Điều kiện cần và đủ để một ánh xạ xạ ảnh giữa hai đường thẳng trở thành một ánh xạ đồng dạng là cả hai điểm giới hạn đều ở xa vô tận

Dựa vào định lí này ta có thể đề xuất những bài toán chứng minh một hệ thức không đổi có dạng (1.3) Tuy nhiên muốn đặt ra những bài toán chứng minh một hệ thức không đổi có dạng (1.3) hoặc có dạng (1.2) ta cần có một tiêu chuẩn nhận biết một ánh xạ xạ ảnh giữa hai hàng điểm

Định lí 1.2.9 Nếu từ mỗi điểm M của một đường thẳng (hàng điểm) ∆, ta

hình sao cho

ii) Các đường và mặt dùng trong các phép dựng hình để xác định cặp điểm

thẳng

Các định lí 1.2.6 và 1.2.9 cũng đúng đối với hai chùm đường thẳng (đối ngẫu của hai hàng điểm)

Định lí 1.2.10 Cho hai đường thẳng m, m0 lần lượt thuộc chùm tâm O, O0 và

1.2.4 Phép biến đổi xạ ảnh trên một dạng cấp một, bậc

nhất

1 Phân loại các phép biến đổi xạ ảnh trên một dạng cấp một, bậc nhất

Định nghĩa 1.2.7 Một ánh xạ xạ ảnh giữa hai hàng cùng giá d (tương ứng, giữa hai chùm cùng tâm (O)) được gọi là một phép biến đổi xạ ảnh (hay biến hình xạ ảnh) của đường thẳng d (tương ứng, của chùm (O))

Vì hai hàng cùng giá hay hai chùm cùng tâm nên có thể xảy ra trường hợp hai phần tử tương ứng trùng nhau Những phần tử đó được gọi là những phần

tử kép (hay phần tử bất động)

Định nghĩa 1.2.8 Ta gọi một phép biến đổi xạ ảnh của đường thẳng (hay của một chùm đường thẳng) là thuộc loại hybebolic, parabolic hay eliptic tùy theo nó

có hai, một hay không có điểm (hay đường thẳng) bất động thực nào Trường hợp phép biến đổi xạ ảnh loại eliptic, tuy không có phần tử bất động nào thực,

ta bảo rằng nó có hai điểm (hay đường thẳng) ảo liên hợp

2 Một số tính chất đặc trưng

Định lí 1.2.11 Trong một phép biến đổi xạ ảnh loại hybebolic của đường thẳng, hai điểm bất động cùng với cặp điểm tương ứng tạo thành bốn điểm có tỉ số kép không đổi

Định lí 1.2.11’ Trong một phép biến đổi xạ ảnh loại hybebolic của một chùm đường thẳng, hai đường thẳng bất động cùng với hai đường thẳng tương ứng tạo thành bốn đường thẳng có tỉ số kép không đổi

Định lí 1.2.12 Điều kiện cần và đủ để một phép biến đổi xạ ảnh loại hybebolic trên một đường thẳng trở thành một biến đổi đồng dạng là một trong hai điểm bất động ở vô tận

Định lí 1.2.13 Trong một phép biến đổi xạ ảnh loại eliptic của đường thẳng ∆ luôn tồn tại hai điểm đối xứng nhau qua ∆ sao cho từ mỗi điểm đó luôn nhìn

không đổi

Định lí 1.2.14 Bằng một phép chiếu xuyên tâm ta có thể biến một phép biến đổi xạ ảnh loại parabolic thành một phép biến đổi đẳng cự trên đường thẳng Euclide

Hệ quả 1.2.1 Nếu chọn điểm bất động của phép biến đổi xạ ảnh loại parabolic làm gốc hoành độ thì một phép biến đổi parabolic sẽ có dạng

1

3 Phép biến đổi xạ ảnh đối hợp của một dạng cấp một, bậc nhất Định nghĩa 1.2.9 Một phép biến đổi xạ ảnh f : d −→ d (tương ứng, f : (O) −→ (O)) được gọi là phép biến đổi xạ ảnh đối hợp của đường thẳng d

Định lí 1.2.15 Một phép biến hình xạ ảnh khác phép đồng nhất f : d −→ d (tương ứng, f : (O) −→ (O)) là phép biến hình đối hợp khi và chỉ khi nó có

Định lí 1.2.16 Nếu một phép biến hình đối hợp f , khác phép đồng nhất, có một phần tử bất động thì nó còn có một điểm bất động nữa Khi đó cặp phần tử bất động này chia điều hòa mọi cặp phần tử tương ứng của f

Định lí 1.2.17 Một phép biến hình đối hợp f , khác phép đồng nhất, được hoàn toàn xác định nếu cho biết hai phần tử phân biệt và ảnh của chúng

1.3.1 Một số định lí cơ bản liên quan đến đường cong

bậc hai, lớp hai

Định lí 1.3.1 (Định lí Steiner) Nếu f là một ánh xạ xạ ảnh giữa hai chùm đường thẳng (A) và (B), không phải là phép chiếu xuyên trục thì quỹ tích giao điểm của hai đường thẳng tương ứng là một đường cong bậc hai không suy biến, đường cong này tiếp xúc với ảnh và tạo ảnh của hai đường thẳng (AB), (BA) theo thứ tự tại B và A

Nếu f là phép chiếu xuyên trục thì quỹ tích giao điểm nói trên là một cặp đường thẳng, trong đó có một đường thẳng đi qua hai tâm A và B

Định lí 1.3.1’ Nếu f là một ánh xạ xạ ảnh giữa hai đường thẳng a và b, không phải là phép chiếu xuyên tâm thì hình bao của đường thẳng nối hai điểm tương ứng là một đường cong lớp hai Đường cong này tiếp xúc với a, b tại các điểm là ảnh và tạo ảnh của a ∩ b

Nếu f là phép chiếu xuyên tâm thì hình bao nói trên là một cặp điểm, trong

đó có một điểm là giao điểm của hai giá a và b

Định lí 1.3.2 (Định lí Pascal) Một lục giác nội tiếp một đường cong bậc hai khi và chỉ khi ba cặp cạnh đối diện giao nhau theo ba điểm thẳng hàng

Định lí Pascal có nhiều áp dụng trong việc nghiên cứu các đường cong bậc hai Khi đường cong bậc hai suy biến thành cặp đường thẳng thì ta tìm lại được định lí Pappus Vậy định lí Pappus là một trường hợp riêng của định lí Pascal Ngoài ra định lí Pascal có thể áp dụng cho các trường hợp đặc biệt, khi lục giác suy biến thành ngũ giác, tứ giác, hoặc tam giác Định lí đối ngẫu của định lí Pascal chính là định lí Brianchon

Định lí 1.3.3 (Định lí Brianchon) Một lục giác ngoại tiếp một đường cong lớp hai khi và chỉ khi các đường thẳng nối các đỉnh đối diện đồng quy

Định lí Brianchon có nhiều ứng dụng trong việc nghiên cứu các đường cong lớp hai Khi đường cong lớp hai suy biến thành cặp đường thẳng thì ta thu được định lí đối ngẫu của định lí Pappus Định lí Brianchon cũng đúng trong trường hợp lục giác suy biến thành ngũ giác, tứ giác, tam giác

Định lí 1.3.4 Tồn tại duy nhất một đường cong bậc hai đi qua năm điểm bất

kì trong mặt phẳng, trong đó không có ba điểm nào thẳng hàng,

Định lí 1.3.4’ Tồn tại duy nhất một đường cong lớp hai tiếp xúc với năm đường thẳng cho trước, trong đó không có ba đường thẳng nào đồng quy

Định lí 1.3.5 (Định lí Desargues thứ hai) Một đường cong bậc hai biến thiên trong một chùm đường cong bậc hai vạch lên trên bất kỳ đường thẳng nào một hàng điểm liên hệ xạ ảnh đối hợp với nhau

1.3.2 Ánh xạ xạ ảnh giữa hai dạng cấp một bậc hai, lớp

hai

Định nghĩa 1.3.1 Cho bốn điểm A, B, C, D thuộc đường cong bậc hai C không

không đổi, không phụ thuộc vào điểm P Tỉ số kép không đổi này được gọi là tỉ

không sợ nhầm lẫn)