Bài toán hình học không gian (tóm tắt trích đoạn)

7 Chương I Bài toán về góc và khoảng cách trong không gian 1.1 Bài toán về góc trong không gian 1.1.1 Góc giữa hai đường thẳng trong không gian Định nghĩa:  Góc giữa hai đường thẳ

1

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

ĐÀO VĂN PHÚC

“BÀI TOÁN HÌNH HỌC KHÔNG GIAN”

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

s

HÀ NỘI – 2016

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

-

ĐÀO VĂN PHÚC

“BÀI TOÁN HÌNH HỌC KHÔNG GIAN”

Chuyên ngành : Phương pháp toán sơ cấp

Mã số : 60460113 Người hướng dẫn: PGS.TS Vũ Đỗ Long

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

Hà Nội - 2016

3

Lời cảm ơn

Luận văn được hoàn thành dưới sự chỉ bảo và hướng dẫn của PGS TS Vũ Đỗ Long Thầy đã dành nhiều thời gian hướng dẫn và giải đáp các thắc mắc của tôi trong suốt quá trình làm luận văn Từ tận đáy lòng em xin bày tỏ sự biết ơn sâu sắc đến thầy

Mặc dù đã rất nghiêm túc trong quá trình tìm tòi, nghiên cứu nhưng chắcchắn nội dung được trình bày trong luận văn không tránh khỏi những thiếu sót

Em rất mong nhận được sự đóng góp của quý thầy cô và các bạn để luận văn của em được hoàn thiện hơn

Hà Nội, tháng 10 năm 2016 Tác giả

Đào Văn Phúc

Mục lục

Mở đầu

Chương I: Bài toán về góc và khoảng cách trong không gian

1.1.Bài toán về góc trong không gian……… 6

1.1.1.Góc giữa hai đường thẳng trong không gian……… ………….6

1.1.2 Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng……….……… 9

1.1.3 Góc giữa hai mặt phẳng……… ……… 11

1.2 Bài toán về khoảng cách trong không gian……….………… 15

1.2.1 Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng……….……… 15

1.2.2 Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng……….…… 17

1.2.3 Khoảng cách giữa đường thẳng và mặt phẳng song song, khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song……… ………21

1.2.4 Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau……….………24

Chương II – Bài toán về thể tích 2.1 Thể tích hình chóp……… ……… ……… 34

2.1.1.Phương pháp tính trực tiếp thể tích…… ……….………34

2.1.2 Phương pháp sử dụng tỉ số thể tích………….……… 40

2.2 Thể tích lăng trụ……… ……….47

2.2.1 Khối lăng trụ đứng và lăng trụ đều……… 47

5

2.2.2 Lăng trụ xiên…… ……… 55

2.3 Thể tích khối tròn xoay……….… 60

Chương III – Bài toán về phương pháp tọa độ trong không gian 3.1 Bài toán về đường thẳng và mặt phẳng……… ……….68

3.1.1 Bài toán về đường thẳng……….……….68

3.1.2 Bài toán về mặt phẳng……….……… ….77

3.2 Bài toán về mặt cầu………….……… …… 97

Để giúp các em học sinh cũng như những thầy cô giáo có thêm tư liệu để dạy trong trường phổ thông, tôi xin trình bày các bài toán về hình học không gian

7

Chương I

Bài toán về góc và khoảng cách

trong không gian

1.1 Bài toán về góc trong không gian

1.1.1 Góc giữa hai đường thẳng trong không gian

Định nghĩa:

 Góc giữa hai đường thẳng m và n là góc giữa hai đường thẳng m1 và n1cắt

nhau, lần lượt song song (hoặc trùng) với m và n

Kí hiệu: (m,n) hoặc ,m n và  00 m n, 900

 Hai đường thẳng vuông góc với nhau nếu góc giữa chúng bằng 90 0

 Nếu hai đường thẳng song song thì góc giữa chúng bằng 00

Phương pháp: Để tính góc giữa hai đường thẳng a và b chéo nhau trong không

gian ta có thể áp dụng một trong hai cách sau:

Cách 1: Tìm góc giữa hai đường thẳng cắt nhau c và d lần lượt

song song với hai đường thẳng a và b, đưa

vào một tam giác, sử dụng các hệ thức trong tam giác

D A'

c

a

b A

 Từ O ta kẻ đường thẳng song song với DC lần lượt cắt

AD và BC ở trung điểm mỗi đường là K và L,

O'

O

B'

C' D'

D A'

A

B C

Định nghĩa:Góc giữa đường thẳng a và mặt phẳng

(P) là góc của đường thẳng a và hình chiếu vuông

D A'

A

B C

11

góca’ của nó trên mặt phẳng (P) Kí hiệu ,a P hoặc     , P a 

Ví dụ 2: Cho hình chóp S.ABC, đáy ABC là tam giác vuông tại A,

Ngoài ra theo giả thiết ta có SA = SB = SC nên SO là

trục đường tròn của ∆ABC, suy ra SO⊥ (ABC) nên OA

là hình chiếu vuông góc của SA trên (ABC),

do đó,SA ABC =    SAO

Vì ∆SOA vuông tại O, ta có: cos  3

3

OA SAO

F

B

C A

Định nghĩa: Góc giữa hai mặt phẳng là góc giữa hai đường thẳng lần lượt

vuông góc với hai mặt phẳng đó

Phương pháp:Để tính góc giữa hai mặt phẳng (P) và (Q), ta lựa chọn một trong

hai cách sau:

 Bước 2: Tính số đo góc EOF

 Bước 3: Khi đó ((P),(Q)) =  EOF nếu  EOF ≤ 900

hoặc

   

 P , Q  180 0 EOF nếu EOF 900

Cách 2:Ta thực hiện theo các bước:

 Bước 1: Tìm giao tuyến (d) của (P) và (Q)

 Bước 2: Chọn điểm O trên (d) từ đó dựng Ox ⊥

(d) trong (P), và Oy ⊥ (d) trong (Q)

 Bước 3: Tính số đo góc xOy.

 Bước 4: Khi đó, ((P),(Q)) = xOy nếu  xOy  900,

và     P , Q 1800xOy nếu xOy 900

Ví dụ4: Cho lăng trụ ABC.A’B’C’có tất cả các cạnh đáy bằng a Biết góc tạo bởi

cạnh bên và mặt đáy là 600 và hình chiếu H của đỉnh A lên mặt phẳng (A’B’C’) trùng với trung điểm của cạnh B’C’ Tính góc giữa (ABB’A’) và mặt phẳng đáy

Lời giải:

Từ H ta dựng HK⊥A’B’ ( KA B' ') khi đó ta có A’B’⊥ AK ( Vì A’B’⊥ mp(AHK))

suy ra ’ ’ , ’ ’ ’ABB A A B C   = AKH

O

K

B C

H C'

A'

B' A

0 3' tan 60 3

Ví dụ 5: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là nửa lục giác đều nội tiếp đường

tròn đường kính AB2 , a SA a 3và vuông góc với mặt phẳng (ABCD) a) Tính góc giữa hai mặt phẳng (SAD) và (SBC)

b) Tính góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (SCD)

Lời giải:

a) Ta có hai cách giải sau:

Cách 1: Dựng góc dựa trên giao tuyến

Giả sửAD BC E  ,

SAB  SACSE Nhận xét rằng

AD⊥BD vì ABCD là nửa lục giác đều,

SA⊥BD suy ra BD⊥ (SAD) BD⊥SE

Hạ DF⊥SE = F, suy ra (BDF) ⊥SE

Như vậy góc giữa hai mặt phẳng (SAD) và (SBC) là BFD

F

15

Vì ∆ABE đều nên AE = AB = 2a và vì ∆CDE đều nên DE = CD = a

Trong ∆SAE vuông tại A, ta có:  2  2

DF DE SA DE a a a

DF

SA  SE   SE  a 

Trong ∆ABD vuông tại D, ta có: BD AB sinBAD 2 sin 60a 0 a 3

Trong ∆BDF vuông tại D, ta có:  3  0

217

BD a

DE a

Vậy tan ,SAD SBC = 7  

Cách 2: Ta có AD⊥BD vì ABCD là nửa lụcgiác đều, SA⊥BDBD⊥ (SAD)

Trong mp(SAC), hạ AJ⊥SC tại J, ta có BC⊥AC vì ABCD là nửa lục giác đều,

BC⊥SA suy ra BC⊥ SAC BC⊥AJAJ⊥(SBC)

Trong mp(SAC) hạ OK⊥SC tại K, suy ra OK// AJ

O

S

a a

4

2 33

a OK KOB

b) Trong mp(SAC), hạ AJ⊥SC tại J,

ta có BC⊥AC vì ABCD là nửa lục giác đều,

B S

I

a AI

562

a AI

1.2 Bài toán về khoảng cách trong không gian

1.2.1 Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng

Định nghĩa: Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng là khoảng cách từ

điểm đó đến hình chiếu vuông góc của nó trên đường thẳng

Phương pháp: Để tính khoảng cách từ điểm O đến đường thẳng k, ta thực hiện

theo các bước sau:

 Bước 1: Trong mặt phẳng (O,k) hạOM⊥ k với Mk

 Bước 2: Thực hiện việc xác định độ dài OM dựa trên

hệ thức lượng trong tam giác, tứ giác hoặc đường tròn

Chú ý:

 Nếu tồn tại đường thẳng a qua O và song song với

k thì d(O,k) = d(A,k), với A a

k

M O

k

a

M A O

 Nếu AN k N  thì  

,,

d O k NO

d A k  NA

Ví dụ 6: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, tâm O, SA = a

và vuông góc với mặt phẳng (ABCD) Gọi I Và M theo thứ tự là trung điểm của

SC và AB

a) Chứng minh rằng OI⊥ (ABCD)

b) Tính khoảng cách từ I tới đường thẳng CM, từ đó suy ra khoảng cách từ S đến CM

M

C S

D

H K

Định nghĩa: Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng là khoảng cách từ

điểm đó đến hình chiếu vuông góc của nó trên mặt phẳng

Phương pháp:

Cách 1:Để tính khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (P), ta thực hiện các

bước sau:

 Bước 1: Dựng mặt phẳng (Q) đi qua A và vuông góc với

(P) theo giao tuyến n

 Bước 2: Dựng AH vuông góc với n tại H AH chính là

khoảng cách từ A tới mặt phẳng (P)

Cách 2: Sử dụng công thức thể tích

Thể tích của khối chóp 1 3

.3

V

V S h h

S

   Theo cách này, để tính khoảng cách từ đỉnh của hình chóp đến mặt đáy, ta đi tính thể tích khối chóp (V) và diện tích đáy (S)

P

A

M B

d A SBC     

60°

F E O

C S

D

H

Vậy d(A,(SBC)) = 3

4

a

Ví dụ 9: Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình vuông có cạnh a và SA

vuông góc đáy (ABCD) và mặt bên (SCD) hợp với đáy một góc 60o

1.2.3 Khoảng cách giữa đường thẳng và mặt phẳng song song, khoảng

cách giữa hai mặt phẳng song song

2 Cho hai mặt phẳng (P) và (Q), để tính khỏng cách giữa (P) và (Q) ta thực

hiện các bước sau:

 Bước 1: Chọn điểm A trên (P) sao cho khoảng cách từ A đến (Q) là xác

định dễ nhất

 Bước 2: d((P),(Q)) = d(A,(Q))

Ví dụ 9: Cho hình chóp S.ABCD có SAa 6 và vuông góc với mặt phẳng

(ABCD), đáy ABCD là nửa lục giác đều nội tiếp trong đường tròn đường kínhAD

= 2a

a) Tính các khoảng cách từ A và B đến (SCD)

b) Tính khoảng cách từ đường thẳng AD đến (SBC)

c) Tính diện tích của thiết diện tạo bởi hình chóp S.ABCD với mặt phẳng

  song song với mặt phẳng (SAD) và khoảng cách giữa chúng bằng

Vậy AH là khoảng cách từ điểm A tới (SCD)

Trong ∆SAB vuông tại A, ta có :

   2 2

.2

Vậy AG là khoảng cách từ điểm A đến (SBC)

Trong ∆SAK vuông tại A, ta có :

P Q

E

C B

I A

D

S

H

K G

a AG

   

4 2

a

d  SAD AE   AK E là trung điểm của AK

Ta xác định thiết diện của hình chóp và mặt phẳng   như sau :

Kẻ đường thẳng đi qua E và song song với AD cắt AB , CD theo thứ tự tại M , N là

trung điểm của mỗi đoạn

Trong (SAB) dựng MQ // SA và cắt SB tại Q

1 Để dựng đoạn thẳng vuông góc chung giữa hai đường thẳng chéo nhau a và

b, ta lựa chọn một trong các cách sau :

Cách 1: Ta thực hiện theo các bước :

 Bước 1 : Dựng mặt phẳng (P) chứa b song song với a

 Bước 2 : Chọn M trên a, dựng MH⊥(P) tại H

 Bước 3 : Từ H, dựng đường thẳng a’// a và cắt b tại B

 Bước 4 : Từ B dựng đường thẳng song song với MH cắt

atại A AB chính là đoạn vuông góc chung của a và b

Cách 2: Ta thực hiện theo các bước :

 Bước 1 : Dựng mặt phẳng (P) ⊥a tại O

 Bước 2 : Dựng hình chiếu vuông góc b’ của b trên (P)

Dựng hình chiếu vuông góc H của O trên b’

 Bước 3 : Từ H dựng đường thẳng song song với a, cắt b

tại B

 Bước 4 : Từ B, dựng đường thẳng song song với OH, cắt

a tại A Đoạn AB là đoạn vuông góc chung của a và b

Cách 3: Trong trường hợp a ⊥ b ta thực hiện các bước sau:

 Bước 1 : Dựng mặt phẳng (P) chứa b, vuông góc với a tại A

a

a' b

27

 Bước 2 : Dựng AB ⊥ b tại B, AB chính là đoạn vuông góc chung của a và b

2 Để tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau, ta lựa chọn một trong

hai cách sau :

 Cách 1 : Tính độ dài đoạn vuông góc chung (nếu có)

 Cách 2 : Tính d(a,(P)) với (P) là mặt phẳng chứa b song song với a

 Cách 3: Tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song lần lượt chứa hai đường thẳng đó

Ví dụ 10: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm O, cạnh a,

góc DAB 600 và có đường cao SO = a

C S

I H

a OI

a OH

+ Kẻ đường thẳng qua P song song với BC’ cắt AB’ tại N

+ Kẻ đường thẳng qua N vuông góc với BC’ tại Q

+ Đoạn thẳng QN chính là đường vuông góc chung của AB’ và BC’

Ví dụ 12:(Đề thi Đại học khối A năm 2010)

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a Gọi M và N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB và AD; H là giao điểm của CN với DM Biết SH vuông góc với mặt phẳng (ABCD) và SH a 3 Tính khoảng cách giữa hai đường

P

Q

Bài tập 1 Cho hình chóp S ABC có đáy là tam giác vuông tại C, CA b CB a ,  ,

cạnh SA h  vuông góc với đáy Gọi D là trung điểm của AB Tính

;

2arccos

b) Ta có d AC SD ; d AC SDE ;  d A SDE ;   AH Với H là hình

chiếu vuông góc của A lên DE

H

E

C D S

Bài tập 2 Cho hình chóp S ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại A,

2AC BC 2a Mặt phẳng SAC tạo với mặt phẳng  ABC một góc  600

Hình chiếu của S lên mặt phẳng ABC là trung điểm H của cạnh BC Tính 

khoảng cách giữa hai đường thẳng AH và SB

SH HN a HK

N K

33

Bài tập 3.(Đề thi tuyển sinh đại học cao, đẳng khối B 2002) Cho hình lập

phương ABCD A B C D 1 1 1 1 có cạnh bằng a

a) Tính theo a khoảng cách giữa hai đường thẳng A B1 và B D1

b) Gọi M , N , P lần lượt là các trung điểm của các cạnh BB1, CD, A D1 1 Tính

góc giữa hai đường thẳng MP và C N1

trọng tâm của tam giác đều A BC1 1 có cạnh là a 2

Gọi I là trung điểm của A B1 thì IG là đường vuông góc chung của A B1 và B D1

P

N

M

G I

Bài tập 4.(Đề thi tuyển sinh đại học, cao đẳng khối A 2008) Cho hình lăng

trụ ABC A B C có độ dài cạnh bên bằng 2a , đáy ABC là tam giác vuông tại A, ' ' '

AB a , AC a 3 và hình chiếu vuông góc của đỉnh A' trên mặt phẳng

ABC là trung điểm của BC Tính theo a thể tích khối chóp '. A ACB và tính

cosin góc giữa hai đường thẳng AA B C ', ' '

a

V  A H S  đvtt

Trong tam giác vuông A’B’H có : HB' A B' '2A H' 2 2a

Nên tam giác B’BH cân tại B’

Bài tập 5 (Đề thi tuyển sinh đại học, cao đẳng khối A 2013) Cho hình

chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại A,  ABC 300, ∆SBC là tam giác đều cạnh a,

Tam giác ABC vuông tại A và H là trung

điểm của BC nên HA HB Mà SH ABC

Suy ra SA SB  Gọi I là trung điểm của a

Tài liệu tham khảo

Tiếng Việt

1 Trần Thị Vân Anh, Lê Thị Hồng Liên (2010), “Phân dạng và phương pháp

giải toán hình học lớp 12”

2 Lê Đức (2011), “Các dạng toán điển hình hình học 12”

3 Nguyễn Bạo Phương, Phan Huy Khải (1999), "Các phương pháp giải toán

hình học không gian 11"

4 Lê Bích Ngọc, Lê Hồng Đức (2005), “Học và ôn tập toán hình học 11”

5 Nguyễn Văn Lộc, Hàn Minh Toàn, Nguyễn Văn Hoàng, Bùi Hiếu Đức (2010),

“Các chuyên đề toán THPT hình học tự luận và trắc nghiệm”

37

6 Lê Hoàng Phò (2009), “Bồi dưỡng học sinh giỏi toán hình học 11”