Về một số phương pháp hiệu chỉnh bài toán Cauchy của phương trình Elliptic

ĐỖ THỊ HẰNG VỀ MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP HIỆU CHỈNH BÀI TOÁN CAUCHY CỦA PHƯƠNG TRÌNH ELLIPTIC LUẬN VĂN THẠC SĨ: NGÀNH TOÁN GIẢI TÍCH HÀ NỘI, 2017... ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

?

ĐỖ THỊ HẰNG

VỀ MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP HIỆU CHỈNH BÀI TOÁN CAUCHY CỦA PHƯƠNG TRÌNH ELLIPTIC

LUẬN VĂN THẠC SĨ: NGÀNH TOÁN GIẢI TÍCH

HÀ NỘI, 2017

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

ĐỖ THỊ HẰNG

VỀ MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP HIỆU CHỈNH BÀI TOÁN CAUCHY CỦA PHƯƠNG TRÌNH ELIPTIC

LUẬN VĂN THẠC SĨ

Chuyên ngành: Toán Giải tích

Mã số: 60460102

Người hướng dẫn khoa học:

TS DƯ ĐỨC THẮNG

HÀ NỘI, 2017

Mục lục

1.1 Khái niệm, tính chất, chuẩn và nửa chuẩn của một số không

gian 2

1.1.1 Không gian Sobolev và Hilbert (H1 và H1/2) 3

1.1.2 Chuẩn trong không gian Sobolev 3

1.2 Tìm hiểu về bài toán đặt không chỉnh 4

1.3 Phương pháp hiệu chỉnh lặp Richardson 7

2 Hiệu chỉnh bài toán hoàn thiện dữ liệu bằng phương pháp lặp Richardson 12 2.1 Đặt bài toán 12

2.2 Công thức biến phân 13

2.3 Phương pháp Richardson tiền điều kiện 19

2.3.1 Một số kết quả kỹ thuật 19

2.3.2 Liên hệ với phương pháp KMF 22

2.4 Sự hội tụ 25

2.4.1 Quy tắc dừng tiên nghiệm 26

MỞ ĐẦU

Luận văn này nhằm trình bày một phương pháp hiệu chỉnh lặp đối với bài toán Cauchy của phương trình elliptic Đây là một vấn đề được nhiều nhà toán học quan tâm ở cả phương diện lý thuyết và thực hành, có ứng dụng nhiều trong thực tế

Trong chương 1, chúng tôi trình bày một số cơ sở toán học cần thiết cho việc nghiên cứu bài toán Cauchy và một số phương pháp hiệu chỉnh của phương trình elliptic bằng phương pháp biến phân Chúng tôi nhắc lại vắn tắt về các không gian định chuẩn và không gian hàm Các khái niệm

về bài toán Cauchy và biểu thức biến phân của nó được nêu lại Một số phương pháp hiệu chỉnh cho lớp các bài toán này cũng được nêu ra

Ở chương 2, chúng tôi giới thiệu bài toán Cauchy của phương trình elliptic và một ứng dụng của nó là bài toán hoàn thiện dữ liệu Chúng tôi đưa ra mô hình hiệu chỉnh lặp bài toán và các ước lượng tiên nghiệm và hậu nghiệm

Phần kết thúc của luận văn là Kết luận và Tài liệu tham khảo

Qua đây tác giả chân thành bày tỏ lòng kính trọng và biết ơn sâu sắc tới Thầy hướng dẫn TS Dư Đức Thắng, người đã giúp đỡ, chỉ bảo tận tình tác giả trong suốt quá trình nghiên cứu và hoàn thành luận văn này Tác giả cũng xin chân thành cảm ơn Ban lãnh đạo Trường Đại học Khoa học Tự nhiên, Phòng sau đại học, các thầy cô giáo cùng toàn thể cán bộ, công nhân viên Khoa Toán- Cơ- Tin học đã giảng dạy và tạo mọi điều kiện thuận lợi cho tác giả trong suốt thời gian học tập tại trường Bên cạnh đó, tác giả cũng rất mong nhận được những ý kiến đóng góp, phê bình của thầy cô và các bạn cho bản luận văn này

Chương 1

Cơ sở toán học

một số không gian.

Phần này, chúng tôi giới thiệu một số không gian tuyến tính định chuẩn thường dùng trong các phần sau Nhắc lại rằng không gian Banach là không gian tuyến tính định chuẩn đầy đủ, tức là nó đảm bảo cho mọi dãy Cauchy đều hội tụ Không gian tiền Hilbert là không gian tuyến tính có tích vô hướng Không gian Hilbert là không gian Banach có tích vô hướng Đương nhiên mọi không gian tiền Hilbert đều là không gian định chuẩn với chuẩn sinh bởi tích vô hướng

Ví dụ về một số không gian tuyến tính định chuẩn thường gặp:

• Không gian các hàm Lp[a, b] với phần tử là các hàm khả tích x(s) có chuẩn được xác định như sau

kxk =

b R

a

|x(s)|pds

!1/p

• Không gian C[a, b], a, b ∈ R gồm các hàm x(s) liên tục trên [a, b] và

kxk = max

s∈[a,b]|x(s)|

1.1.1 Không gian Sobolev và Hilbert (H1 và H1/2)

Nội dung của phần này được tham khảo từ [7, trang 12]

Cho k ∈ N, p ∈ [1, ∞] Cho Ω là một miền bị chặn (giới nội) trong Rn Chúng ta gọi Ck(Ω) là không gian các hàm khả vi liên tục trên Ω đến cấp

k VìΩ¯ là compact, cho nên với mỗi k = 0, 1, 2, , ta có Ck(Ω) ⊆ Lp(Ω)

Do đó, ta có thể xác định được

kx(s)k = P

|α|≤k

kDαxkpL

p (Ω)

!1/p

,

với mỗi x(s) ∈ Ck(Ω), p ≥ 1

Không gian SobolevWpk(Ω)là không gian Ck(Ω)được làm đầy đủ bằng chuẩn trên Chúng ta thấy rằng:

với mọi x(s) ∈ Ck(Ω), kx(s)kLp(Ω) ≤ kx(s)kWk (Ω)

Các không gian trên đều là các không gian Banach Nếu p = 2thì chúng

là không gian Hilbert, trừ trường hợp không gian các hàm liên tục

Kí hiệu H1(Ω) là không gian Sobolev gồm tất cả các hàm trong L2(Ω)

sao cho đạo hàm cấp một của nó cũng thuộc L2(Ω) Với mỗi phầnΥ ⊂ ∂Ω, không gianH01(Ω, Υ) gồm tất cả các hàm của H1(Ω)mà triệt tiêu trên Υ Không gian H1/2(Υ) là tập các vết trên Υ của tất cả các hàm của H1(Ω) Chúng ta kí hiệu H−1/2(Υ) là không gian topo đối ngẫu của H1/2(Υ)

1.1.2 Chuẩn trong không gian Sobolev

Xét Ω là một miền bị chặn trong R2 với một độ đo Lebesgue µ Kí hiệu

L2(Ω) là không gian Lebesgue gồm các hàm khả tổng bình phương, tức là

f ∈ L2(Ω) khi và chỉ khi

 R

Ω

f2dµ

1/2

< ∞ Cùng với tích vô hướng trên L2(Ω) được xác định bởi

hf, gi =

 R

Ω

f (x)g(x)dµ(x)

1/2

, f, g ∈ L2(Ω)

Ta định nghĩa chuẩn trên L2(Ω) được xác định bởi

kf k =

 R

Ω

f2dµ

1/2

, f ∈ L2(Ω)

Xét phương trình toán tử trong cặp không gian Hilbert (X, Y ) nào đó có dạng

T x = b, (1.1) trong đó T là toán tử tuyến tính trên T ∈ L(X, Y ), vectơ b ∈ Y cho trước

và vectơ x ∈ X là vectơ cần tìm Ta nói bài toán (1.1) là Bài toán đặt chỉnh theo Hadamard

• Với mỗi b ∈ Y tồn tại nghiêm x ∈ X

• Nghiệm x xác định duy nhất

• Bài toán này ổn định trên cặp không gian (X, Y )

Một thời gian dài người ta nghĩ rằng mọi bài toán đặt ra đều thoả mãn

ba điều kiện trên Nhưng thực tế chỉ ra rằng ý niệm đó là sai lầm Nhất

là khi máy tính điện tử ra đời, trong tính toán các bài toán thực tế bằng máy tính luôn xảy ra quá trình làm tròn số Chính sự làm tròn đó dẫn đến các kết quả sai lệch đáng kể

Nếu ít nhất một trong ba điều kiện trên không thoả mãn, bài toán tìm nghiệm được gọi là bài toán đặt không chỉnh Đôi khi người ta gọi là bài toán đặt không chính quy hoặc bài toán thiết lập không đúng đắn Cũng cần lưu ý rằng một bài toán có thể thiết lập không đúng đắn trên cặp không gian metric này, nhưng lại thiết lập đúng đắn trên cặp không gian metric khác

Khái niệm về bài toán đặt chỉnh được J Hadamard đưa ra khi nghiên cứu về ảnh hưởng của các điều kiện biên lên nghiệm của các phương trình elliptic cũng như parabolic

Ví dụ 1.2.1 Ví dụ này được đưa ra bởi J Hadamard và nằm trong bài toán hoàn thiện dữ liệu dọc theo phần không thể truy nhập được của biên

từ các điều kiện biên đặc biệt trên phần truy nhập được Chúng ta có

−∆u = 0 trong R×R+; u(x, 0) = g(x) và ∂yu(x, 0) = ϕ(x)

Giả sử cho trước các dữ liệu Neumann và Dirichlet g(x) = 0, ϕ(x) = sin(ax), ta tìm được nghiệm của bài toán có dạng

u(x, y) = 1

a sin(ax) sinh(ay).

Nhận thấy rằng dữ liệu Cauchy (g, ϕ) là bị chặn đều theo tham số a trong khi nghiệm u tăng trưởng mũ theo a khi a → ∞ Do đó, nghiệm không phụ thuộc liên tục theo dữ liệu Cauchy trong L∞ Thực ra chúng ta không thể

có tính bị chặn theo bất kì chuẩn khả dĩ nào chẳng hạn các chuẩn Sobolev hoặc H¨older

Ví dụ 1.2.2 Một ví dụ khác đến từ bài toán truyền nhiệt Chúng ta xét bài toán truyền nhiệt trong Ω ⊂ Rd(d = 2, 3) với τ > 0,

ut − ∆u = 0 trong QT = Ω × (0, τ ), u(x, t) = 0 trên Γ × (0, τ ),

u(x, 0) = ϕ(x) trong Ω

Ta biểu diễn nghiệm u dưới dạng chuỗi Fourier Trước tiên, chúng ta xét

cơ sở Hilbert (un(x))n trong L2(Ω), ở đây (un)n là các vector riêng của toán tử Laplace xác định trên H01(Ω) Điều này nghĩa là un ∈ H1

0(Ω) và

−∆un = λnun Dãy các giá trị riêng (λn)n là dương và dần tới vô cực khi

n → ∞ Chúng ta viết

ϕ =

∞ X

n=0

ϕnun(x),

và rút ra nghiệm

u(x, t) =

∞ X

n=1

ϕne−λn tun(x), t ∈ (0, τ )

Dễ dàng kiểm tra ngay rằng u ∈ C((0, +∞); L2(Ω)) Bây giờ, cho trước một quan sát cuối cùng uτ ∈ L2(Ω) Bài toán truy ngược để tìm ϕ(x) tức

là nhiệt độ ở thời điểm ban đầu t = 0 nào đó, biết rằng u(x, τ ) = uτ(x)

trong Ω là đặt không chỉnh Quả vậy, bài toán trên dẫn tới biểu diễn

∞ X

n=0

ϕne−λn τun(x) =

∞ X

n=0

uτ,nun(x)

khi đó ta viết bài toán ban đầu dưới dạng sau:

T ϕ = uτ, trong L2(Ω)

Do đó, T là toán tử chéo với các giá trị riêng µn = e−λn τ Kết quả là, bài toán trên đặt không chỉnh (nghiêm ngặt) theo nghĩa của G Wahba

Để cho thuận tiện, ta xét trường hợp các không gian Hilbert X và Y

là trùng nhau, và được kí hiệu chung là H Khi đó có một tiêu chuẩn đặc trưng cho sự tồn tại nghiệm của phương trình toán tử (1.1) được áp lên

vế phải b, được gọi là tiêu chuẩn Picard Giả thiết rằng toán tử T là toán

tử compact, khi đó toán tử ngược của nó T−1 là không bị chặn Giả sử giá trị riêng và vectơ riêng của T là hệ (mun, vn) thì điều kiện Picard được phát biểu là phương trình (1.1) là giải được khi và chỉ khi

∞ X

k=0

hb, vki2

µ2k < ∞.

Trong trường hợp vế phải không đo được chính xác mà ta chỉ biết được giá trị bị nhiễu của nó b = b + δb, với  = kδbk << kbk, tức là δb 6∈ R(T ), tức là

∞ X

k=0

hδb, vki2

µ2k = ∞,

thì nghiệm tương ứng x sẽ tiến ra vô cùng khi  → 0 Điều này dẫn đến trường hợp là nghiệm nhận được từ số liệu bị nhiễu và nghiệm tính toán

từ các dữ liệu chính xác là rất sai khác nhau, gây khó khăn cho việc tính toán khoa học Chính vì vậy người ta sử dụng các công cụ, mô hình toán

xỉ tin cậy được cho bài toán đang xét Từ thời Tikhonov (1952) tới nay, các nhà toán học đã xây dựng rất nhiều phương pháp hiệu chỉnh các bài toán đặt không chỉnh Trong chương này và chương tiếp theo, chúng tôi

sẽ trình bày về một phương pháp hiệu chỉnh bài toán Cauchy của phương trình elliptic thông qua ví dụ về bài toán hoàn thiện dữ liệu

Để chuẩn bị cho các nghiên cứu về quá trình hiệu chỉnh bài toán bằng phương pháp Richardson, chúng tôi giới thiệu một số kết quả mang tính chất kĩ thuật Ta nhắc lại phương trình (1.1) trong không gian Hilbert H

như sau: tìm x ∈ H sao cho

T x = b, b ∈ H

Ở đây T là toán tử bị chặn, tuyến tính, đối xứng và toàn ánh Ta giả thiết thêm rằng T là compact, và

0 < (T x, x) < kxk2, ∀x ∈ H\{0}

Từ tính đối xứng của T, miền giá trị của T là trù mật trong H nhưng không trùng với H Điều này kéo theo T−1 được xác định nhưng không bị chặn

Phương pháp lặp Richardson cho phép từ điểm x0 ∈ H, ta xác định được dãy {xn} thoả mãn

xn+1 = xn+ (b − T xn) = (I − T )xn + b

Ta đi nghiên cứu tốc độ hội tụ của dãy{xn}trong trường hợpblà chính xác hoặcb bị nhiễu thành b Giả sử phương trình có nghiệm, khi đó b ∈ R(T ), tức là tồn tại duy nhất nghiệm x thoả mãn T x = b Đặt en = xn − x thì

ta được phương trình

en+1 = (I − T )en = = (I − T )n+1e0

Ta có một số kết quả sau

Bổ đề 1.3.1 1 Toán tử I − T là chính qui tiệm cận, tức là

lim

n→∞((I − T )n+1− (I − T )n)x = 0, ∀x ∈ H

2 lim

n→∞k(I − T )nxk = 0, ∀x ∈ H Chứng minh 1 Từ giả thiết

0 < (T x, x) < kxk2, ∀x ∈ H\{0}

Ta có:

k (I − T )x k<k x k, ∀x ∈ H\{0}

Xét xn = (I − T )nx và đặt yn = xn+1 − xn = −(I − T )nT x Ta có

yn+1 = (I − T )yn

Mà dãy(k yn k)n là không tăng vì vậy hội tụ tới số thựcν TừT là compact

và dãy ((I − T )nx)n bị chặn bởi k x k do vậy (yn)n là compact trong H

Do đó có thể trích ra một dãy (yn)k hội tụ đến y nào đó trong H Hơn nữa ,dãy (yn+1 = (I − T )yn)k hội tụ (I − T )y Do vậy, k (I − T )y k=k y k Từ

đó, ta có: y = 0 hay (k yn k)n hội tụ về 0 Ta có điều phải chứng minh

2 Giả sử x ∈ R(T ) thì x = T z Ta có:

(I − T )nx = (I − T )nT z

Áp dụng Bổ đề 1.3.1 phần 1, ta có điều phải chứng minh

Nếu x /∈ R(T ), với mọi  > 0, tồn tại y ∈ R(T ) sao cho k x − y k<  Ta có:

k (I−T )nx k≤k (I−T )n(x−y) k + k (I−T )ny k≤k x−y k + k (I−T )ny k

mà ((I − T )ny)n hội tụ về 0 khi n tiến ra vô cùng Vậy: k (I − T )ny k≤ , hay

k (I − T )nx k≤ 2

Ta có điều phải chứng minh

Nếu gọi (µk, φk) là giá trị riêng và vectơ riêng tương ứng của toán tử T

thì do T compact ta có µk → ∞ khi k → ∞ Điểm x ∈ H sẽ được biểu diễn qua hệ cơ sở {φk} như sau:

x =

∞ X

k=1

(x, φk)φk =

∞ X

k=1

xkφk,

thế thì

(I − T )nx =

∞ X

k=1

(1 − µk)nxkφk

Theo định lí Hội tụ trội của Lebesgue, dãy {(I − T )nx} hội tụ về 0 khi

n → ∞

Bổ đề 1.3.2 (Trường hợp dữ kiện chính xác) Cho b ∈ R(T ) Thuật toán Richardson hội tụ, tức là

lim

n→∞kxn − xk = 0

Ngược lại, nếu b 6∈ R(T ), thì lim

n→∞kxnk = ∞

Để trình bày tốc độ hội tụ của thuật toán Richardson, chúng ta cần một sự hiệu chỉnh bổ sung cho nghiệm chính xác Chúng ta gọi là Điều kiện Nguồn Tổng quát (GCS) Mục đích của bổ đề tiếp theo là cung cấp một tốc độ hội tụ như thế rất hữu ích cho các lập luận sau này

Bổ đề 1.3.3 Cho p ∈ (0, 1] và x, x0 ∈ R(Tp) Khi đó chúng ta có

kxn − xk ≤ En−p,

ở đây, hằng số E chỉ phụ thuộc vào (x, x0)

Tốc độ hội tụ của dãy (xn)n tới x có thể chậm tùy ý Sự lựa chọn hợp

lí tham số p sẽ cho chúng ta bậc hội tụ tối ưu Tiếp theo đây, chúng ta sẽ xét sự phân kì của nghiệm x khi dữ kiện vế phải bị nhiễu Từ đây ta đưa

ra một điều kiện về chỉ số của dãy xấp xỉ để có thể có được nghiệm chấp nhận được của phương trình Xét x,n là dãy nghiệm tương ứng với dữ kiện

b = b + δb, xấp xỉ tới nghiệm chính xác x Như ở trên, nhìn chung khoảng

cách từ x,n tới x sẽ dần ra vô cùng khi n tăng vô hạn Tuy nhiên, với một cách chọn lựa n phù hợp, ta sẽ nhận được nghiệm xấp xỉ mong muốn

Bổ đề 1.3.4 (Trường hợp dữ kiện bị nhiễu) Ta có

kx,n − xnk ≤ n, ∀n ≥ 0

Từ đây, nếu chọn n là một hàm phụ thuộc  sao cho

lim

→0n = ∞, lim

→0n = 0,

thì thuật toán Richardson sẽ cho ta một mô hình hiệu chỉnh phù hợp, tức là

lim

→0kx,n − xk = 0

Hiển nhiên nghiệm xấp xỉ x,n không thể hội tụ về x, nhưng nếu ta có thể xác định được chỉ số n thích hợp (phụ thuộc vào độ lệch tương đối ), gọi là tham số dừng, mà với tham số đó, nghiệm xấp xỉ hội tụ về nghiệm chính xác Để đánh giá được tốc độ hội tụ của nghiệm xấp xỉ, ta bổ sung một điều kiện về tính trơn của nghiệm, được gọi là điều kiện nguồn tổng quát (GSC) dạng H¨older, được biểu diễn như sau: x ∈ H được gọi là thoả mãn điều kiện nguồn tổng quát (GSC) nếu với một giá trị p ∈ (0, 1] nào

đó, x ∈ R(Tp), tức là tồn tại χ ∈ H sao cho x = Tpχ Với điều kiện này,

ta xây dựng được một ước lượng tiên nghiệm, tức là chọn được điểm dừng của tham số n phụ thuộc vào  để thuật toán Richardson hội tụ và có tốc

độ hội tụ tương ứng như sau

Bổ đề 1.3.5 Giả sử x ∈ H thoả mãn điều kiện nguồn tổng quát (GSC)

ở trên, với p ∈ (0, 1] nào đó Khi đó nếu trong phép lặp Richardson, chỉ

số n được chọn sao cho

n = n() =

"



pE



p+1p #

,

thì ta có ước lượng

kx,n − xk ≤ CE 

E

p+1p

,

Chứng minh Chứng minh dựa vào các đánh giá của các bổ đề ở trên Ta có

kx,n− xk ≤ n + En−p

Xét cực đại của hàm số

f (t) = t−1+ Etp,

ta thấy

max f (t) = C(p)E

  E

p+1p

,

đạt được khi

n =

"



pE



p+1p #

Ta có điều phải chứng minh

Tài liệu tham khảo

[1] M Aza¨ıez, F Ben Belgacem, and H El Fekih On Cauchy’s prob-lem: II Completion, regularization and approximation Inverse Problems, 22:1307–1336, 2006

[2] Ben Belgacem F and El Fekih H On Cauchy’s problem: I A variational Steklov-Poincare theory Inverse Problems 21 (2007), 1915–36

[3] Du Duc Thang, A Lavrentiev-Finite Element Model for the Cauchy Problem of Data Completion: Analysis and Numerical Assessment, 2011

[4] Faker Ben Belgacem, Duc Thang Du and Faten Jelassi Extended-domain-Lavrentiev’s regularization for the Cauchy problem Inverse Problems 27 (2011) 045005 (27p)

[5] Heinz W Engl, Martin Hanke and Andreas Neubauer Regulation

of Inverse Problems, Kluwer Academic Publishers, The Nerther-lands (2000)

[6] V.A Kozlov, V.G Maz’ya, and A.V Fomin An iterative method for solving the Cauchy problem for elliptic equations Comp Math Phys., 31(1):45–52, 1991

[7] Phạm Kỳ Anh Bài toán đặt không chỉnh NXB Đại học quốc gia

Hà Nội (2007)