Tích phân ngẫu nhiên Ito và một số hướng mở rộng tích phân ngẫu nhiên Ito

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊNVŨ THỊ KHUYÊN TÍCH PHÂN NGẪU NHIÊN ITO VÀ MỘT HƯỚNG MỞ RỘNG TÍCH PHÂN NGẪU NHIÊN ITO LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Hà Nội - 2017... ĐẠ

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

VŨ THỊ KHUYÊN

TÍCH PHÂN NGẪU NHIÊN ITO

VÀ MỘT HƯỚNG MỞ RỘNG TÍCH PHÂN

NGẪU NHIÊN ITO

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

Hà Nội - 2017

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

VŨ THỊ KHUYÊN

TÍCH PHÂN NGẪU NHIÊN ITO

VÀ MỘT HƯỚNG MỞ RỘNG TÍCH

PHÂN NGẪU NHIÊN ITO

Chuyên ngành: LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ

TOÁN HỌC

Mã số: 60 46 01 06

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

Người hướng dẫn khoa học: TS Nguyễn Thịnh

Hà Nội - 2017

Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới Khoa Toán - Cơ - Tin học,Phòng Đào Tạo, Trường Đại học Khoa học Tự nhiên - Đại học Quốc gia HàNội, các thầy cô giáo đã giảng dạy, giúp đỡ tác giả trong suốt quá trình học tập

và hoàn thành luận văn cao học tại trường

Tác giả xin được gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình, bạn bè, người thân

đã luôn động viên, cổ vũ, tạo mọi điều kiện thuận lợi cho tác giả trong quá trìnhhọc tập và hoàn thành luận văn

Hà Nội, tháng 2 năm 2017

Học viên

Vũ Thị Khuyên

Mục lục

Mở đầu 1

1 Tích phân ngẫu nhiên Ito 3 1.1 Kiến thức cơ sở 3

1.2 Quá trình Wiener 6

1.3 Tích phân Wiener 8

1.3.1 Tích phân Wiener của các hàm số đơn giản 8

1.3.2 Tính chất cơ bản của tích phân Wiener của hàm đơn giản 9 1.3.3 Tích phân Wiener của hàm số bình phương khả tích 11

1.4 Tích phân ngẫu nhiên Ito 12

1.4.1 Xây dựng tích phân ngẫu nhiên Ito 12

1.4.2 Một số tính chất của tích phân ngẫu nhiên Ito 16

1.4.3 Tích phân Ito tổng quát 20

1.5 Công thức Ito 25

2 Mở rộng tích phân ngẫu nhiên Ito 27 2.1 Phương pháp ồn trắng 28

2.2 Phương pháp mở rộng tích phân ngẫu nhiên của K.Ito 33

2.3 Một phương pháp mở rộng tích phân Ito mới 34

2.3.1 Đặt vấn đề 34

2.3.2 Tích phân ngẫu nhiên mới 35

2.3.3 Công thức Itô và phương trình vi phân ngẫu nhiên 41

Kết luận 57

Tài liệu tham khảo 58

Mở đầu

Giải tích ngẫu nhiên, hay giải tích trong môi trường ngẫu nhiên, là một hướngnghiên cứu rất quan trọng trong lý thuyết xác suất đồng thời cũng được ứngdụng rộng rãi trong nhiều lĩnh vực khác bên ngoài Toán học như Vật lý (lýthuyết chuyển động hỗn loạn, lý thuyết trường bảo giác ), Sinh vật (động lựchọc dân số ), Công nghệ (lý thuyết học, ổn định và điều khiển hệ động lựcngẫu nhiên ) và đặc biệt trong kinh tế tài chính (định giá quyền lựa chọn trongthị trường chính khoán ) Nó trở thành một công cụ tối quan trọng khi cần xử

lý, phân tích và mô hình hóa các hiện tượng có sự can thiệp của nhân tố ngẫunhiên Giải tích ngẫu nhiện hiện đang được giảng dạy ở hầu hết các trường đạihọc trong và ngoài nước, nó thu hút nhiều nhà khoa học không ngừng nghiêncứu và phát triển về nó

Trong đó vi tích phân ngẫu nhiên Ito là một trong những khái niệm quan trọngcủa giải tích ngẫu nhiên Từ khái niệm đó người ta đã xây nên một lớp các quátrình ngẫu nhiên Ito

Luận văn này hệ thống lại một số kết cơ bản về tích phân ngẫu nhiên Ito vàtrình bày một hướng mở rộng tích phân ngẫu nhiên Ito, đưa ra một số kết quảmới trong công thức Ito và phương trình vi phân ngẫu nhiên

Luận văn được chia làm 2 chương cụ thể như sau:

1 Chương 1: Tích phân ngẫu nhiên Ito Chương này trình bày một số kháiniệm cơ bản của giải tích ngẫu nhiên, các kiến thức cơ sở cần cho cácchương tiếp theo; xây dựng định nghĩa tích phân Wiener, một số tính chấtcủa tích phân Wiener; xây dựng định nghĩa tích phân Ito, một số tính chất

cơ bản của tích phân Ito, công thức Ito

2 Chương 2: Mở rộng tích phân ngẫu nhiên Ito Chương này trình bày một

số phương pháp để mở rộng tích phân ngẫu nhiên Ito Trong đó, trước khitrình bày một phương pháp mở rộng chính của luận văn, tác giả giới thiệutóm tắt hai cách tiếp cận khác để mở rộng tích phân ngẫu nhiên Một

là phương pháp mở rộng tích phân ngẫu nhiên cho quá trình ngẫu nhiênkhông thích nghi của Kiyosi Ito với ý tưởng mở rộng bộ lọc Ft và phântích bội lấy tích phân (integrator) thành một semi-martingale đối với bộlọc mới Hai là phương pháp mở rộng tích phân ngẫu nhiên của MasuyukiHitsuda theo cách tiếp cận ồn trắng (white noise)

Sau đó, tác giả trình bày sâu hơn một hướng mở rộng tích phân ngẫu nhiênIto mới được đưa ra bởi Wided Ayed và Hui-Hsiung Kuo Ta giới thiệu lớpcác quá trình ngẫu nhiên độc lập tức thì (the class of instantly independentstochastic processes) và lấy nó như một bản sao của quá trình ngẫu nhiênthích nghi (adapted stochastic processes) Sau đó định nghĩa tích phân củaquá trình ngẫu nhiên là tích của một quá trình ngẫu nhiên độc lập tức thì

và một quá trình ngẫu nhiên thích nghi Điểm cốt yếu của ý tưởng này

là sử dụng điểm đầu mút bên phải là điểm ước lượng cho quá trình ngẫunhiên độc lập tức thì và điểm đầu mút bên trái là điểm ước lượng cho quátrình ngẫu nhiên thích nghi Cuối cùng, đưa ra một số kết quả mới và ví dụ

về công thức Ito và phương trình vi phân ngẫu nhiên cho tích phân mới

Chương 1

Tích phân ngẫu nhiên Ito

1.1 Kiến thức cơ sở

Cho (Ω, F , P ) là một không gian xác suất, tức là một bộ ba gồm

• Ω là một tập hợp cơ sở bất kỳ nào đó mà mỗi phần tử w ∈ Ω đại diện chomột yếu tố ngẫu nhiên Mỗi tập con của Ω gồm một số yếu tố ngẫu nhiênnào đó

• F là một họ con nào đó các tập con của Ω, chứa Ω và đóng đối với phéphợp đếm được và phép lấy phần bù; nói cách khác F là một σ-trường cáctập con của Ω Mỗi tập hợp A ∈ F sẽ được gọi là một biến cố ngẫu nhiên

• P là một độ đo xác suất xác định trên không gian đo (Ω, F ).Định nghĩa 1.1.1 (Biến ngẫu nhiên) Cho không gian xác suất(Ω, F , P ) Khônggiảm tổng quát ta có thể giả thiết (Ω, F , P ) là không gian xác suất đủ tức là nếu

A là biến cố có P (A) = 0 thì mọi tập con B ⊂ A cũng là biến cố (tức B ∈ F)

1 Giả sử E là không gian metric, ánh xạ X : Ω → E được gọi là một biếnngẫu nhiên với giá trị trên E (hay biến ngẫu nhiên E- giá trị) nếu với mỗitập Borel B của E ta có X−1(B) ∈ F

2 Nếu X là biến ngẫu nhiên nhận giá trị trên E =Rn ta nói X là véctơ ngẫunhiên n-chiều

3 Nếu X là biến ngẫu nhiên nhận giá trị trên tập số thực R ta nói X là biếnngẫu nhiên

Định nghĩa 1.1.2 (Hàm ngẫu nhiên) Cho T là một tập nào đó Một ánh xạ

X : T × Ω →R sao cho mỗi t ∈ T ánh xạ w ∈ X(t, w) là đo được gọi là một hàmngẫu nhiên trên T và ta viết X = {X t , t ∈ T}

Như vậy một hàm ngẫu nhiên T chẳng qua là một họ các biến ngẫu nhiên X =

X t , t ∈ T được chỉ số hóa bởi tập tham số T

Định nghĩa 1.1.3 (Bộ lọc) Một bộ lọc {F t }t∈T trong không gian xác suất

(Ω, F , P ) là một dãy tăng các σ-trường con của F

Định nghĩa 1.1.4 (Quá trình ngẫu nhiên thích nghi) Một quá trình ngẫu nhiên

{Xt}t∈T được gọi là thích nghi với bộ lọc {Ft}t∈T nếu với mọi t ∈ T, biến ngẫunhiên Xt là Ft-đo được

Định nghĩa 1.1.5 (Kì vọng có điều kiện) ChoX là biến ngẫu nhiên có kỳ vọng

(X ∈ L1) Kỳ vọng có điều kiện của biến ngẫu nhiên khả tích X đối với A ∈ F

ký hiệu là E(X|A) là một biến ngẫu nhiên M thỏa mãn:

3 Nếu X và A độc lập thì E(X|A) = E(X),

4 Nếu Y là A- đo được thì E(XY |A) = Y E(X|A),

5 Nếu D ⊂ A thì E(E(X|A)|D).Định nghĩa 1.1.7 (Martingale) Cho Xt là một quá trình ngẫu nhiên thích nghivới bộ lọc {Ft} và E|Xt| < ∞ với ∀t ∈ T Khi đó Xt được gọi là một martingaleđối với bộ lọc {Ft} nếu với s ≤ t ∈ T bất kỳ,

Định nghĩa 1.1.8 (Thời điểm dừng) Một biến ngẫu nhiên τ : Ω → [a, b] đượcgọi là thời điểm dừng đối với bộ lọc {Ft , a ≤ t ≤ b} nếu {w; τ (w) ≤ t} ∈ Ft với

∀t ∈ [a, b]

Định nghĩa 1.1.9 (Martingale địa phương) Một quá trình ngẫu nhiên {Fn }thích nghi Xt, a ≤ t ≤ b được gọi là một martingale địa phương đối với {Ft } nếutồn tại một dãy thời điểm dừng τn, n = 1, 2, thỏa mãn

-(1) τn đơn điệu tăng tới b hầu chắc chắn khi n → ∞;(2) Với mỗi n, Xt∧τn là một martingale đối với {Ft , a ≤ t ≤ b}

Dễ thấy, một martingale là một martingale địa phương vì ta có thể chọn

τn = bvới mọin Tuy nhiên, một martingale địa phương thì có thể không là mộtmartingale

Định nghĩa 1.1.10 (Không gian hàm cơ bản D(Ω)) Không gian D(Ω) là khônggian gồm các hàm ϕ ∈ C0∞(Ω) với khái niệm hội tụ sau: dãy {ϕj}∞j=1 các hàmtrong C0∞(Ω) được gọi là hội tụ đến hàm ϕ ∈ C0∞(Ω) nếu

• (i) có một tập compact K ⊂ Ω mà suppϕj ⊂ K, j = 1, 2, ,

• (ii) limj→∞supx∈Ω|D α ϕj(x) − Dαϕ(x)| = 0, ∀α ∈Zn+.

Định nghĩa 1.1.11 (Không gian hàm suy rộng D0(Ω) ) Ta nói rằng f là hàmsuy rộng trong Ω nếu f là một phiếm hàm tuyến tính liên tục trên D(Ω)

Hàm suy rộng f ∈ D0(Ω) tác động lên mỗi ϕ ∈ D(Ω) được viết là hf, ϕi Hai hàmsuy rộng f, ϕ ∈ D0(Ω) được gọi là bằng nhau nếu

hf, ϕi = hg, ϕi, ∀ϕ ∈ D(Ω).

Tất cả các hàm suy rộng trong Ω lập thành không gian D0(Ω)

Định nghĩa 1.1.12 (Không gian các hàm giảm nhanh (Schwartz) S(Rn ) ).Không gian S(Rn) là tập hợp

S(Rn) = {ϕ ∈ C∞(Rn) |xαDβϕ(x)| < cα,β, ∀x ∈Rn, ∀α, β ∈Zn+}

với khái niệm hội tụ được định nghĩa như sau: dãy {ϕk}∞k=1 trong S(Rn ) được gọi

là hội tụ đến ϕ ∈ S(Rn) trong S(Rn) nếu

lim

k→∞ sup

x∈R n

|xαDβϕk(x) − xαDβϕ(x)| = 0, ∀α, β ∈Zn+.

1.2 Quá trình Wiener

Giả sử (Ω, F , P ) là một không gian xác suất

Định nghĩa 1.2.1 Cho quá trình W = {Wt, t ∈ [0; ∞)} Ta nói rằng W là quátrình Wiener nếu nó thỏa mãn các điều kiện sau

1 W0 = 0

2 W có gia số độc lập tức là: Với 0 < t1< t2 < < tn thì các biến ngẫu nhiên

Wt1 − Wt0, Wt2 − Wt1, , Wtn− Wtn−1 là độc lập

3 Với 0 ≤ s < t thì biến ngẫu nhiên Wt− Ws có phân bố chuẩn N (0, t − s)

4 W là quá trình liên tục, tức là hầu hết các quỹ đạo Wt của W là hàm liêntục

Sự tồn tại của quá trình Wiener được lập luận như sau Vì K(s, t) = min(s, t)

là covariance của quá trình Poisson nênmin(s, t) là hàm xác định không âm Do

đó tồn tại hàm ngẫu nhiên Gauss W = {Wt, t ∈ [0; ∞)} sao cho

EWt = 0, ∀t ∈ [0, ∞),

EWtWs = min(s, t) ∀s, t ∈ [0, ∞).

Nói riêng EXt2= t Ta chứng minh W là hàm ngẫu nhiên Wiener

• Đặt t = 0 ta có EW02 = 0, suy ra W 0 = 0

• Giả sử 0 = t0 < t1 < < tn Đặt ξi = Wti − Wti−1, i = 1, 2, , n Khi

đó với i < j thì j − 1 ≥ i nên t i−1 < t i ≤ t j−1 < t i suy ra cov(ξ i , ξ j ) =

EWtiWtj − EWtiWtj−1 − EWti−1Wtj + EWti−1Wtj−1 = ti− ti− ti−1− ti−1 = 0

Do đó ma trận covariance là ma trận đơn vị Vậy ξ 1 , , ξ n độc lập

• VìW là quá trình Gauss nên Xt− Xs có phân bố Gauss vớiE(Xt− Xs) = 0

2 Với mỗi phân hoạch I : a = t 0 < t 1 < < t n = b của đoạn [a, b] đặt

Khi đó S(I) hội tụ bình phương trung bình tới (b − a) khi |I| → 0, ở đó

|I| = max{ti+1− ti, i = 0, 1, , n − 1}.

Khi đó V (I) hội tụ theo xác suất tới +∞ khi |I| → 0

4 Trên đoạn [a; b], hầu hết các quỹ đạo của hàm ngẫu nhiên Wiener không cóbiến phân giới nội

Ta chú ý một vài tính chất đặc sắc của quá trình Wiener

• Tồn tại bản sao mà tất cả các quỹ đạo của nó là hàm liên tục nhưng khôngđâu khả vi

trong đó f là một hàm tất định và Wt là quá trình Wiener.

1.3.1 Tích phân Wiener của các hàm số đơn giản

Giả sử (Ω,F, P ) là một không gian xác suất cơ sở

Ký hiệu L2(Ω) là không gian của các biến ngẫu nhiên bình phương khả tích, tứclà

Kí hiệu S là không gian các hàm số đơn giản trên [0, T ] Ta biết rằng S làkhông gian tuyến tính và là tập trù mật trong không gian Hilbert của các hàmbình phương khả tích L 2 ([0, T ]) Nếu f ∈ S có dạng (1.3), đặt

Tính chất 1.3.3 Ánh xạ I : S → L2(Ω) là ánh xạ tuyến tính, tức là

Tính chất 1.3.4 Ánh xạ I : S → L2(Ω) đẳng cự, bảo toàn tích vô hướng củahai không gian Hilbert L2([0, T ]), L2(Ω) tức là

1.3.3 Tích phân Wiener của hàm số bình phương khả tích

Ta xây dựng tích phân Wiener cho hàm số (không ngẫu nhiên) f ∈ L2([0, T ])

Do S là tập trù mật trong L2([0, T ]) nên từ ánh xạ I : S → L2(Ω) ta thác triểnthành một ánh xạI : L2([0, T ]) → L2(Ω) tuyến tính, đẳng cự, bảo toàn vô hướng.Xét hàm f ∈ L2([0, T ]), khi đó tồn tại dãy fn ∈ S sao cho

(l.i.m là giới hạn theo nghĩa bình phương trung bình)

Ta gọi biến ngẫu nhiên trong (1.6) là tích phân ngẫu nhiên Wiener của f hoặctích phân Wiener, và kí hiệu là I(f ) Hơn nữa, với 0 ≤ s ≤ t ≤ T ta định nghĩa

1.4 Tích phân ngẫu nhiên Ito

Tích phân Wiener là tích phân của hàm tất định theo độ đo Wiener, ta sẽ

mở rộng hàm dưới dấu tích phân là một hàm ngẫu nhiên f : [0, T ] × Ω →R, với

T không âm Ta sẽ định nghĩa tích phân dạng

I(f ) =

Z T

0

f (t, w)dWt

cho một lớp các hàm ngẫu nhiên

Kí hiệu Ft = σ(Ws, s ≤ t) là sigma trường tự nhiên sinh ra từ quá trình Wiener

{Wt, t ∈ [0, T ]} Ta gọi đó là lọc tự nhiên sinh từ quá trình (Wt)

1.4.1 Xây dựng tích phân ngẫu nhiên Ito

Bây giờ ta xây dựng tích phân ngẫu nhiên của hàm ngẫu nhiênf : [0, T ]×Ω →

R

Ký hiệu NT là lớp các hàm ngẫu nhiên

f : [0, T ] × Ω →R

sao cho

(i) f (t, w) là hàm đo được theo hai biến

(ii) ft là tương thích đối vớiFt, tức là, với mỗit ∈ [0, T ] hàmw → f (t, w) là Ft

-đo được

(iii) RT

0 E|f (t, w)|2dt < ∞.Việc xây dựng tích phân ngẫu nhiên Itô cũng tương tự như việc xây dựng tíchphân Wiener Do đó để xây dựng khái niệm tích phân ngẫu nhiên thuộc lớpNT

trước hết ta xét các hàm sơ cấp đơn giản

Định nghĩa 1.4.1 Hàm φ ∈ NT được gọi là hàm sơ cấp nếu nó có dạng

trong đó 0 = t0 < t1 < < tn = T là một phân hoạch hữu hạn của [0, T ], λk(w)

là biến ngẫu nhiên Ftk-đo được, Ak = [tk, tk+1), k = 0, 1, , n − 1 và 1A là hàm chỉtiêu của tập A

(2) Với h ∈ NT bị chặn thì tồn tại một dãy hàm gn ∈ NT bị chặn sao cho

gn(., w) liên tục với mỗi w và

Khi đó, I(φn) =RT

0 φndWt là dãy Cauchy trong L2(Ω)

Do L2(Ω) là không gian đầy đủ nên I(φn) hội tụ đến một giới hạn nào đótrong L2(Ω), kí hiệu là I(f ) Khi đó, ta định nghĩa một tích phân ngẫu nhiênIto theo công thức sau

Ta xét một vài ví dụ đơn giản sau

Ví dụ 1.4.4 1 I =RabdW t Tích phân này có f ≡ 1 nên theo định nghĩa

trong đó, a = t0 < t1< < tn = b là một phân hoạch của đoạn [a, b]

2 Với W = {Wt, t ∈ [0, T ]} là một chuyển động Brown bắt đầu từ 0, xét

Ta đi kiểm tra xem φ n (t) có hội tụ đến W t khi n → ∞ hay không Ta có:

2−n0

1.4.2 Một số tính chất của tích phân ngẫu nhiên ItoĐịnh lý 1.4.5 Cho f, g ∈ NT Khi đó

Khi đó, I n (., w) liên tục với mọi n Hơn nữa, I n (t, w) là một martingaletương thích với lọc Ft với mọi n Thật vậy, với t < s ta có:

t≤t j <t j+1 ≤s

λj(w)(Wtj+1− Wtj)

F t j ]

Z b

a

f (t)dB(t)

Để định nghĩa tích phân ngẫu nhiên tổng quát ta cần bổ đề xấp xỉ sau

Bổ đề 1.4.11 Cho f ∈ Lad(Ω, L2[a, b]) Khi đó tồn tại một dãy {fn(t)} các quátrình ngẫu nhiên bậc thang trong L2ad([a, b] × Ω) sao cho

1.4.3 Tích phân Ito tổng quát

Tổng quát hơn, ta định nghĩa tích phân ngẫu nhiên Rabf (t)dWt cho quátrình ngẫu nhiên f... class="text_page_counter">Trang 20

1.4.2 Một số tính chất tích phân ngẫu nhiên Ito< /h3>Định lý 1.4.5 Cho f, g ∈ NT Khi đó