Sử dụng đạo hàm khảo sát bất phương trình và chứng minh bất đẳng thức

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN NGUYỄN THỊ HUỆ SỬ DỤNG ĐẠO HÀM KHẢO SÁT BẤT PHƯƠNG TRÌNH VÀ CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC Mã số: 60.46.01.13

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

NGUYỄN THỊ HUỆ

SỬ DỤNG ĐẠO HÀM KHẢO SÁT BẤT PHƯƠNG TRÌNH VÀ CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC

LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC

HÀ NỘI - NĂM 2016

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

NGUYỄN THỊ HUỆ

SỬ DỤNG ĐẠO HÀM KHẢO SÁT BẤT PHƯƠNG TRÌNH VÀ CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC

LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC

Mã số: 60.46.01.13

Người hướng dẫn khoa học

GS TSKH NGUYỄN VĂN MẬU

HÀ NỘI - NĂM 2016

Mục lục

1.1 Hàm liên tục và hàm khả vi 5

1.1.1 Hàm liên tục 5

1.1.2 Hàm khả vi 6

1.1.3 Công thức Taylor 7

1.2 Hàm đơn điệu và hàm bị chặn 9

1.3 Hàm lồi, hàm lõm 11

1.4 Hàm đa thức 13

1.4.1 Đa thức Chebyshev 13

1.4.2 Đa thức lượng giác 14

1.4.3 Nội suy Lagrange 15

2 Bất đẳng thức, bất phương trình trong lớp hàm khả vi 17 2.1 Một số bất đẳng thức chứa đạo hàm quan trọng 17

2.1.1 Bất đẳng thức Jensen và các dạng liên quan 17

2.1.2 Bất đẳng thức đối với lớp hàm lồi bậc cao 23

2.1.3 Bất đẳng thức Landau và Landau-Kolmogorov 26

2.2 Bất đẳng thức chứa đạo hàm trong lớp đa thức đại số 29

2.3 Một số dạng toán cực trị trong lớp hàm khả vi 36

2.4 Một số dạng bất phương trình trong lớp hàm khả vi 42

3 Các dạng toán về bất phương trình và bất đẳng thức qua các kỳ thi Olympic 48 3.1 Phương trình, bất phương trình, hệ phương trình 48

3.2 Bất đẳng thức và các bài toán cực trị 56

3.2.1 Ứng dụng tính đơn điệu của hàm số 56

3.2.2 Ứng dụng tính chất của hàm lồi 65

3.2.3 Ứng dụng bất đẳng thức Jensen cho hàm lồi khả vi 70

Mở đầu

Bất đẳng thức, bất phương trình là một trong những phần quan trọng của chương trình toán phổ thông và những bài toán về bất đẳng thức, bất phương trình thường là các bài toán khó đòi hỏi tính tư duy và sáng tạo cao Các bài toán về bất đẳng thức, bất phương trình là các bài toán luôn có mặt ở hầu hết các đề thi học sinh giỏi cấp tỉnh, cấp quốc gia, các đề thi Olympic Toán quốc tế Để giải một bài toán về bất đẳng thức, bất phương trình có rất nhiều cách khác nhau và không có phương pháp nào là vạn năng để giải quyết mọi bài toán.Tuy nhiên, phương pháp

sử dụng đạo hàm và các tính chất của hàm số là một công cụ hữu hiệu để giải các bài toán về tìm điều kiện của tham số để một phương trình, bất phương trình, hệ phương trình có nghiệm thỏa mãn yêu cầu nào đó, để chứng minh một bất đẳng thức hay trong một bài toán tìm cực trị của biểu thức

Bên cạnh đó, các bất đẳng thức trong lớp hàm khả vi hiện nay còn ít được quan tâm và giới thiệu trong các tài liệu bằng tiếng Việt như: Bất đẳng thức Landau, bất đẳng thức Kolmogorov, bất đẳng thức Markov-Bernsterin và một số bất đẳng thức khác liên quan đến hàm lồi khả vi Đây là những bất đẳng thức khó

và chỉ xuất hiện rải rác trong một số tài liệu Việc giới thiệu các bất đẳng thức này là cần thiết cho việc bồi dưỡng và nâng cao kiến thức của người dạy toán về bất đẳng thức liên quan đến hàm số khả vi

Vì những lý do trên đây tôi chọn đề tài "Sử dụng đạo hàm để khảo sát bất phương trình và chứng minh bất đẳng thức" làm luận văn khoa học trong chuyên ngành Phương pháp toán sơ cấp

Cấu trúc của luận văn gồm ba phần: phần mở đầu, phần nội dung và phần kết luận

Nội dung luận văn gồm ba chương:

Chương 1 Một số kiến thức cơ bản về hàm số

Trong chương này trình bày các định nghĩa về hàm số liên tục, hàm số khả

vi, hàm số đơn điệu, hàm số bị chặn, hàm lồi, hàm lõm và một số kết quả liên quan; công thức Taylor, đa thức Chebyshev và các tính chất, đa thức lượng giác,

bài toán nội suy Lagrange.

Chương 2 Bất đẳng thức, bất phương trình trong lớp hàm khả vi

Trong chương này trình bày bất đẳng thức Jensen cho hàm lồi khả vi và các dạng liên quan, bất đẳng thức Landau, bất đẳng thức Kolmogorov, bất đẳng thức Landau-Kolmogorov, một số bất đẳng thức đối với hàm lồi bậc cao, các bất đẳng thức đạo hàm của hàm đa thức, bất đẳng thức Markov-Bernsterin; các bài toán về giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm khả vi; các bất phương trình trong lớp hàm khả vi

Chương 3 Các dạng toán về bất phương trình và bất đẳng thức qua các kỳ thi Olympic

Trong chương này hệ thống các bài toán trong các đề thi đại học, học sinh giỏi cấp tỉnh, thành phố về phương trình, bất phương trình, hệ phương trình; các bài toán trong đề thi cấp quốc gia, Olympic toán quốc tế theo từng chuyên đề: Ứng dụng tính đơn điệu, ứng dụng tính chất của hàm lồi khả vi, ứng dụng bất đẳng thức Jensen cho hàm lồi khả vi

Trong thời gian thực hiện luận văn, tác giả đã nhận được sự hướng dẫn chỉ bảo tận tình của GS.TSKH.Nguyễn Văn Mậu Qua đây, tác giả xin được bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc và trân trọng những công lao, sự quan tâm, động viên và sự tận tình chỉ bảo của thầy Nguyễn Văn Mậu

Tác giả chân thành cảm ơn các thầy giáo, cô giáo khoa Toán - Cơ -Tin học

đã dạy bảo tận tình; chân thành cảm ơn các thầy cô trong Ban giám hiệu, phòng Đào tạo, văn phòng khoa Toán Cơ Tin trường Đại học Khoa học Tự nhiên -Đại học quốc gia Hà Nội đã tạo mọi điều kiện thuận lợi trong suốt thời gian tác giả học tập và thực hiện luận văn

Hà Nội, tháng 12 năm 2016

Học viên

Nguyễn Thị Huệ

Chương 1

Một số kiến thức cơ bản về hàm số

Trong chương này trình bày các định nghĩa về hàm số liên tục, hàm số khả

vi, hàm số đơn điệu, hàm số bị chặn, hàm lồi, hàm lõm và một số kết quả liên quan; công thức Taylor, đa thức Chebyshev và các tính chất, đa thức lượng giác, bài toán nội suy Lagrange Nội dung chương này dựa theo các tài liệu[1], [2], [5], [6].

1.1 Hàm liên tục và hàm khả vi

Định nghĩa 1.1 (Hàm liên tục) Cho hàm số f (x) xác định trong khoảng (a, b),

x0∈ (a, b) Hàm f (x) được gọi là liên tục tại x0 nếu lim

x→x 0

f (x) = f (x0).

Định nghĩa 1.2 Hàm số f (x) được gọi là liên tục trong khoảng (a, b) nếu nó liên tục tại mọi điểm thuộc khoảng đó

Định nghĩa 1.3 Hàm số f (x) được gọi là liên tục trên đoạn [a, b] nếu nó liên tục trong khoảng (a, b) và lim

x→a + f (x) = f (a), lim

x→b − = f (b).

Định lý 1.1 Nếu hàm số f (x) liên tục trên đoạn [a, b] và f (a)f (b) < 0 thì tồn tại

c ∈ (a, b) sao cho f (c) = 0

Định lý 1.2 Nếu hàm số f (x) liên tục trên đoạn [a, b] thì f (x) nhận mọi giá trị trung gian giữa f (a) và f (b) Tức là, với mọi M ∈ [min{f (a); f (b)}, max{f (a); f (b)}]

luôn tồn tại giá trị c ∈ [a, b] sao cho f (c) = M

Định lý 1.3 Nếu hàm sốf (x) liên tục trên đoạn [a, b] thì hàm số đạt được giá trị nhỏ nhất và lớn nhất trên đoạn[a, b] Tức là, tồn tại x1, x2∈ [a, b] sao cho ∀x ∈ [a, b]

ta luôn có f (x1) ≤ f (x) ≤ f (x2)

1.1.2 Hàm khả vi

Xét hàm số f (x) xác định trong (a, b) và x0 ∈ (a, b) Định nghĩa 1.4 (Hàm khả vi) Hàm số f (x) được gọi là khả vi tại x0 nếu tồn tại giới hạn hữu hạn lim

x→x 0

f (x) − f (x0)

x − x0 Giới hạn đó được gọi là đạo hàm của hàm số

f (x) tại x0 và ký hiệu là f0(x0).

Định nghĩa 1.5 Hàm số f (x) được gọi là khả vi phải tại x0 nếu tồn tại giới hạn hữu hạn lim

x→x+0

f (x) − f (x 0 )

x − x0 Giới hạn đó được gọi là đạo hàm bên phải của hàm số

f (x) tại x 0 và ký hiệu là f0(x 0 +).

Định nghĩa 1.6 Hàm số f (x) được gọi là khả vi trái tại x 0 nếu tồn tại giới hạn hữu hạn lim

x→x−0

f (x) − f (x0)

x − x0 Giới hạn đó được gọi là đạo hàm bên trái của hàm số

f (x) tại x0 và ký hiệu là f0(x0−).

Nhận xét 1.1 Hàm số f (x) có đạo hàm tại x0 khi và chỉ khi f0(x0+), f0(x0−)tồn tại và bằng nhau

Định nghĩa 1.7 Hàm số f (x) được gọi là khả vi trong khoảng (a, b) nếu nó khả

vi tại mọi điểm thuộc khoảng đó Đạo hàm của hàm sốf (x) trong khoảng (a, b) ký hiệu là f0(x).

Định nghĩa 1.8 Cho hàm số f (x) khả vi trong khoảng (a, b), nếu f0(x)khả vị tại mỗi điểm x ∈ (a, b) thì ta nói f (x) có đạo hàm cấp 2 tại x và ký hiệu là f00(x) Tương tự, cho hàm số f (x) có đạo hàm cấp n − 1, ký hiệu là f(n−1)(x)(n ∈

N, n ≥ 2) Nếu f(n−1)(x) có đạo hàm thì đạo hàm của nó được gọi là đạo hàm cấp

n của f (x) và ký hiệu là f(n)(x).

Định nghĩa 1.9

Định lý 1.4 (Định lý Rolle) Cho f (x) là hàm số liên tục trên đoạn [a, b] và khả

vi trong khoảng (a, b) Nếu f (a) = f (b) thì tồn tại ít nhất một điểm c ∈ (a, b) sao cho f0(c) = 0

Hệ quả 1.1 Nếu hàm số f (x) có đạo hàm trong khoảng (a, b) và phương trình

f (x) = 0 có n nghiệm (kể cả bội) thuộc khoảng (a, b) thì phương trình f0(x) = 0 có

ít nhất n − 1nghiệm (kể cả bội) thuộc khoảng (a, b) ( Phương trình f(k)(x) = 0 có

ít nhất n − k nghiệm (kể cả bội) thuộc khoảng (a, b), với k ∈ {1, 2, , n})

Nhận xét 1.2 Nếu hàmf (x) là hàm đa thức bậcn và có n nghiệm thực thì f0(x)

có n − 1 nghiệm thực

Định lý 1.5 (Định lý Lagrange) Cho f (x) là hàm số liên tục trên đoạn [a, b] và khả vi trong khoảng(a, b) Khi đó, tồn tại ít nhất một điểm c ∈ (a, b) sao cho

f (b) − f (a)

b − a = f

0 (c).

Định lý 1.6 (Định lý Cauchy về giá trị trung bình) Cho các hàm số f (x), g(x)

liên tục trên đoạn[a, b], khả vi trong khoảng(a, b) và g(a) 6= g(b) Khi đó, tồn tại ít nhất một điểm c ∈ (a, b) sao cho

f (b) − f (a) g(b) − g(a) =

f0(c)

g0(c).

Định lý 1.7 (Định lý Darboux) Cho hàm số f (x) khả vi trong khoảng (a, b) và

c, d ∈ (a, b).Khi đó f0(x) nhận mọi giá trị trung gian giữa f0(c) và f0(d)

Định nghĩa 1.10 Cho hàm sốf (x) xác định và liên tục trong khoảng (a, b), điểm

x0 ∈ (a, b) được gọi là điểm cực tiểu địa phương của f (x) nếu ∃δ > 0 sao cho

(x0− δ; x0+ δ) ⊂ (a, b) và f (x) ≥ f (x0), ∀x ∈ (x0− δ; x0+ δ).

Nếu x0 là điểm cực tiểu địa phương của −f (x) thì ta gọi x0 là điểm cực đại địa phương của f (x)

Các điểm cực đại địa phương và cực tiểu địa phương được gọi chung là điểm

cự trị địa phương

Định lý 1.8 (Định lý Fermat) Cho hàm sốf (x)xác định trong khoảng (a, b) Nếu

f (x) đạt cực trị địa phương tại x 0 và f (x) khả vi tại x 0 thì f0(x 0 ) = 0

Định lý 1.9 Giả sử f : U(a, δ) → R là hàm khả vi liên tục đến cấp n − 1 trong

δ-lân cận U(a, δ) của điểm a và có đạo hàm hữu hạn cấp n tại điểm a

Khi đó, hàm f có thể biểu diễn được dưới dạng

f (x) =

n

X

k=0

f(k)(a) k! (x − a)

k

+ o((x − a)n) (1.1)

khi x → a, trong đó 0! = 1, f(0)(a) = f (a)

Công thức (1.1) được gọi là công thức Taylor dạng địa phương với phần dư Peano

Định lý 1.10 Giả sử f : (a, b) → R khả vi liên tục cấp n trên khoảng (a, b) và có đạo hàm cấp n + 1 tại mỗi điểm của khoảng (a, b) có thể trừ ra điểm x0∈ (a, b) Khi đó, giữa điểm x0 và điểm x ∈ (a, b) bất kỳ, tồn tại điểm ξ, sao cho

f (x) =

n

X

k=0

f(k)(x0) k! (x − x0)

k + Rn+1(f ; x), (1.2) trong đó

Rn+1(f ; x) = 1

n!p



x − x0

x − ξ

p

(x − ξ)n+1f(n+1)(ξ), p ∈ R, p > 0. (1.3)

Công thức (1.2) được gọi là công thức Taylor đối với hàm f với phần dư R n+1

dưới dạng Schlomilch - Roche

Bằng cách chọn các giá trị p > 0 hoàn toàn xác định, ta thu được những trường hợp riêng đối với phần dưRn+1(f ; x) Ta xét những trường hợp quan trọng nhất khi p = n + 1 và p = 1

Khi p = n + 1, từ (1.3), ta thu được phần dư của công thức Taylor dưới dạng Lagrange

R n+1 (f ; x) = f

(n+1) (ξ) (n + 1)! (x − x0)

n+1

, ξ = x 0 + θ(x − x 0 ), 0 < θ < 1. (1.4) Khi p = 1, từ (1.3), ta thu được phần dư của công thức Taylor dưới dạng Cauchy

R n+1 (f ; x) = f

(n+1) (x0+ θ(x − x0))

n! (x − x0)

n+1

(1 − θ)n, 0 < θ < 1, (1.5) trong đó ξ = x0+ θ(x − x0)

Nhận xét 1.3 Công thức Maclaurin với các phần dư(1.4) và (1.5) có dạng tương ứng

Rn+1(f ; x) = f

(n+1) (θx) (n + 1)! x

n+1 , 0 < θ < 1 (dạng Lagrange),

R n+1 (f ; x) = f

(n+1) (θx) (n + 1)! (1 − θ)

n

xn+1, 0 < θ < 1 (dạng Cauchy).

Sau đây ta xét khai triển Maclaurin đối với một số hàm sơ cấp đơn giản

Ví dụ 1.1 Hàm f (x) = ex, x ∈R có f(n)(x) = ex ∀x ∈R Do đó

ex = 1 + x +x

2

2! + · · · +

xn n! + Rn(x),

Rn(x) = 1

(n + 1)!e

θx xn+1, 0 < θ < 1.

Ta có

|Rn(x)| ≤ |x|n+1

(n + 1)!e

x → 0 (n → ∞), x ∈ R.

Ví dụ 1.2 Hàm f (x) = sin x có

f(n)(x) = sin



x + nπ 2



, n ∈ {0, 1, },

f (0) = 0,f0(0) = 1,f00(0) = 0,f(3)(0) = −1, , f(2n)(0) = sin



2nπ 2



= 0,f(2n+1)(0) = sinh(2n + 1)π

2

i

= (−1)n

Do đó

sin x = x −x

3

3! +

x5 5! − · · · + (−1)

n−1 x2n−1 (2n − 1)! + R2n+1(x),

R 2n+1 (x) =

sinhθx + (2n + 1)π2ix2n+1

(2n + 1)! , 0 < θ < 1. (1.6)

Từ (1.6) suy rằng

|R 2n+1 (x)| ≤ |x| 2n+1

(2n + 1)! → 0 (n → ∞), ∀x ∈R.

Ví dụ 1.3 Hàm f (x) = cos x có

f(n)(x) = cosx +nπ

2



, f(n)(0) = cosnπ

2 ,

f(n)(θx) = cos



θx + nπ 2



, n ∈ {1, 2, }.

Công thức Maclaurin theo các lũy thừa của x với phần dư dưới dạng Lagrange có dạng

cos x = 1 −x

2

2! +

x4 4! − · · · + (−1)n−1 x

2(n−1)

[2(n − 1)]! + R2n(x),

R2n(x) = x

2n

(2n)!cos



θx + 2nπ

2



→ 0 (n → ∞), ∀x ∈R.

1.2 Hàm đơn điệu và hàm bị chặn

Ký hiệu I(a, b) ⊂R là ngầm định một trong bốn tập hợp(a, b), (a, b], [a, b) hoặc

[a, b] với a < b.

Định nghĩa 1.11 Cho hàm số f (x) xác định trên tập I(a, b), nếu ∀x1, x2 ∈ I(a, b) (x1 < x2) ta đều suy ra f (x1) ≤ f (x2) thì ta nói rằng f (x) là hàm đơn điệu tăng trên I(a, b)

Đặc biệt, nếu ∀x1, x2 ∈ I(a, b) ta đều có f (x1) < f (x2) ⇔ x1 < x2 thì ta nói rằng f (x) là một hàm đơn điệu tăng thực sự trên I(a, b) hay còn gọi là hàm đồng biến

Định nghĩa 1.12 Cho hàm số f (x) xác định trên I(a, b), nếu ∀x1, x2 ∈ I(a, b) (x1 < x2) ta đều suy ra f (x1) ≥ f (x2) thì ta nói rằng f (x) là hàm đơn điệu giảm trên I(a, b)

Đặc biệt, nếu ∀x1, x2 ∈ I(a, b) ta đều có f (x1) > f (x2) ⇔ x1 < x2 thì ta nói rằngf (x) là một hàm đơn điệu giảm thực sự trên I(a, b) hay còn gọi là hàm nghịch biến

Ví dụ 1.4 Hàm y = sin x đồng biến trên đoạn h−π

2,

π 2

i Thật vậy

∀x1, x2 ∈h− π

2,

π 2

i

, x1< x2,

ta có

sin x2− sin x1 = 2 cosx1+ x2

2 sin

x2− x1

Vì−π

2 ≤ x1, x2 ≤ π

2, nên −π

2 <

x1+ x2

2 <

π

2 và 0 < x2− x1

2 ≤ π

2.

Do đó, cả hai thừa số ở vế phải của (1.7) đều dương trên đoạn h− π

2,

π 2

i và

sin x 2 > sin x 1

Định lý 1.11 Cho hàm số f (x) có đạo hàm trong khoảng (a, b)

(i) Nếu f0(x) > 0, ∀x ∈ (a, b) thì hàm số f (x) đồng biến trong khoảng đó

(ii) Nếu f0(x) < 0, ∀x ∈ (a, b) thì hàm số f (x) nghịch biến trong khoảng đó

Định lý 1.12 (Mở rộng định lý 1.11) Cho hàm sốf (x) có đạo hàm trong khoảng

(a, b) Nếu f0(x) ≥ 0 (hoặc f0(x) ≤ 0) và đẳng thức chỉ xảy ra tại một số hữu hạn điểm trong khoảng (a, b) thì f (x) đồng biến (hoặc nghịch biến) trong khoảng đó Định nghĩa 1.13 (Hàm bị chặn) Hàm số f (x) với tập xác định Df, được gọi là

bị chặn trên trên tập Df nếu f (Df) là tập hợp bị chặn trên, tức là

∃M : f (x) ≤ M, ∀x ∈ Df.

Tương tự, f (x) được gọi là bị chặn dưới trên tập Df nếu tập hợp f (Df) bị chặn dưới, tức là

∃m : f (x) ≥ m, ∀x ∈ Df.

Khif (x) đồng thời vừa bị chặn trên và bị chặn dưới trên tập Df thì ta nói nó

bị chặn (bị chặn hai phía)

Từ định nghĩa ta thấy hàm số f (x) bị chặn trên Df nếu

∃M > 0 : |f (x)| ≤ M, ∀x ∈ Df.

Ví dụ 1.5 Hàm số f (x) = x

x 2 + 1, x ∈R bị chặn (trên toàn trục thực R).

Thật vậy, ta có

x

x 2 + 1

= |x|

x 2 + 1 ≤ 1

2, ∀x ∈R.

Nhận xét rằng, hàm số f (x) không bị chặn nếu với số M (M > 0) tuỳ ý, tồn tại x ∈ Df sao cho |f (x)| > M Nói một cách ngắn gọn là hàm số f (x) không bị chặn nếu

∀M > 0, ∃x ∈ Df : |f (x)| > M.

Ví dụ 1.6 Hàm số f (x) = 1

x2, x ∈R\ {0} không bị chặn

Thật vậy, giả sử M là số dương tùy ý Ta có 1

x 2 > M ⇔ |x| < √1

M, x 6= 0 Vậy, nếu ta lấy x = 1

2 √

M thì sẽ thu được bất đẳng thức 1

x 2 = 4M > M

Từ nhận xét vừa nêu suy ra rằng hàm đã cho không bị chặn

1.3 Hàm lồi, hàm lõm

Định nghĩa 1.14 Hàm số f (x) được gọi là hàm lồi (lồi dưới) trên I(a, b) nếu

∀x, y ∈ I(a, b)và với mọi cặp số dương α, β có tổng α + β = 1, ta đều cóf (αx + βy) ≤

αf (x) + βf (y).

Nếu dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x = y thì ta nói hàm số f (x) là hàm lồi thực sự trên I(a, b).

Định nghĩa 1.15 Hàm số f (x) được gọi là hàm lõm (lồi trên) trên I(a, b) nếu

∀x, y ∈ I(a, b)và với mọi cặp số dương α, β có tổng α + β = 1, ta đều cóf (αx + βy) ≥

αf (x) + βf (y)

Nếu dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x = y thì ta nói hàm số f (x) là hàm lõm thực sự trênI(a, b).

M thu bất đẳng thức 1

x = 4M > M

Từ nhận xét vừa nêu suy hàm cho không bị chặn

1.3 Hàm lồi, hàm lõm

Định nghĩa 1.14 Hàm số f...

Nếu dấu đẳng thức xảy x = y ta nói hàm số f (x) hàm lồi thực I(a, b).

Định nghĩa 1.15 Hàm số f (x) gọi hàm lõm (lồi trên)... I(a, b)và với cặp số dương α, β có tổng α + β = 1, ta cóf (αx + βy) ≥

αf (x) + βf (y)

Nếu dấu đẳng thức xảy x