TÓM TẮT LÝ THUYẾT, CÔNG THỨC VÀ KỸ THUẬT TÍNH NHANH TOÁN TRẮC NGHIỆM 2017

Đây là định lý mở rộng cho định lý trên và áp dụng mạnh hơn trong các trường hợp biện luận tính đơn điệu của hàm số , điều kiện khi đó đối với hàm đa thức thì sẽ lấy được dấu bằng, còn h

Ngô Quang Chiến

1

VẤN ĐỀ 1: TỔNG QUAN VỀ HÀM SỐ

1 Tính đơn điệu

a) Cho hàm số y f x( ); f '( )x trên D: f '( )x  0( '( )f x  0);   x D f x( ) đồng biến

(hoặc nghịch biến) trên D

b) Cho hàm số y f x( ); f '( )x trên khoảng ( ; )a b : f '( )x  0( '(f x 0);  x ( ; )a b  f x( )

đồng biến (hoặc nghịch biến)trên ( ; )a b , với f '( )x  0tại hữu hạn điểm của D Đây

là định lý mở rộng cho định lý trên và áp dụng mạnh hơn trong các trường hợp

biện luận tính đơn điệu của hàm số , điều kiện khi đó đối với hàm đa thức thì sẽ

lấy được dấu bằng, còn hàm phân thức thì không lấy được dấu bằng

2 Cực trị

a) (ĐỊNH LÝ LA-GRĂNG) Hàm số y f x( )liên tục trên  a b; và f '( )x trên

khoảng ( ; )a b   c ( ; )a b sao cho: f b( )  f a( )  f c b'( )( a) hay ( ) ( ) '( )

( )







f b f a

f c

b a

b) Hàm số y f x( ) đạt cực trị tại x0 x0 là điểm cực trị của hàm số, hay x0 là

điểm thuộc tập xác định D ; f x( )0 là giá trị cực trị của hàm số; điểm M x( ; ( ))0 f x0

là điểm cực trị của đồ thị hàm số

c) Hàm sốy f x( )có đạo hàm tại x0và đạt cực trị tại x0 f x'( )0 0(đ/lí FERMAT)

Chú ý :

+) Đạo hàm có thể triệt tiêu tại điểm x0 nhưng hàm số không đạt cực trị tại đó,

nên điều ngược lại định lý trên không đúng , ví dụ hàm số y 5 có đạo hàm

bằng 0 tại mọi điểm x0 nào đó, nhưng rõ ràng hàm này luôn không đổi nên

không tồn tại cực trị

+) Hàm số có thể đạt cực trị tại một điểm mà tại đó không có đạo hàm, ví dụ hàm

2 ' x

x

    nên đạo hàm không tồn tại 0, nhưng y x  0, x, hàm

số có giá trị cực tiểu là 0 tại x0

+) Hàm số chỉ có thể đạt cực trị tại một điểm mà tại đó đạo hàm của hàm số bằng

0 hoặc không tồn tại đạo hàm của hàm số

d) Giả sử hàm số y f x( ) liên tục trên khoảng D(x oh x; oh) và f '( )x D

hoặc trên D\ x0 , h 0 thì f '( )x  0( '( )f x  0);  x (x0h x; 0)và f '( )x  0( '( )f x  0);

( ; )

x x x h x

    là CĐ (hoặc CT)

www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01

Ngô Quang Chiến

2

e) Giả sử hàm số y f x( ),f ''( )x  D (x0h x; 0h), h 0 ,khi đó:

+) f x'( )0 0; ''( )f x0  0 x0 là CT, đồ thị hàm số lõm trên khoảng đó

+) f x'( )0 0; ''( )f x0  0 x0 là CĐ, đồ thị hàm số lồi trên khoảng đó +)x0D f; ''( )x0 đổi dấu qua x0M x( ; ( ))0 f x0 là điểm uốn của đồ thị

VẤN ĐỀ 2: CÁC LOẠI HÀM SỐ

LOẠI 1: Hàm số bậc 3 : 3 2

, ( 0)

yax bx  cx d a

LÝ THUYẾT VÀ TÍNH CHẤT

+) Hàm số có cực đại, cực tiểu : 2

' b 3ac 0

    +) Hàm số luôn đồng biến trên R : 0 2

' 3 0

a

b ac







 +) Hàm số luôn nghịch biến trên R : 0 2

' 3 0

a

b ac







 +) Phương trình đường thẳng đi qua hai cực trị của đồ thị :

2

2 2

9

ac b x ad bc

a



Cách khác : Viết phương trình đường thẳng

Gọi  là phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị :

Ta có : 1 9 '' '

y

' 3 2 ; '' 6 2

y  ax  bx c y  ax b

9

ax b

a



''

2

y

    , ta không cần quan tâm A, B có dạng

gì , ta tìm A, B :

*Nhập vào CASIO ( ) 9 '' '

2

y

T x  ay y ,CALC 0 ta thu được B : T(0) B

*Lưu T(0) B , CALC 1 rồi trừ đi B thu được A : T(1) T(0) A

+) Hàm số luôn cắt trục hoành tại ít nhất 1 điểm, và đồ thị hàm số nhận điểm uốn

x y x0; ( )0 làm tâm đối xứng, với y x''( )0 0

www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01

Ngô Quang Chiến

3

+) M thuộc (C), nếu M là điểm uốn thì có đúng một tiếp tuyến của (C) qua M và

tiếp tuyến này có hệ số góc nhỏ nhất (a0), lớn nhất (a0), M khác điểm uốn

thì có hai tiếp tuyến qua M

+)Đồ thị (C) cắt Ox tại 3 điểm phân biệt lập thành một CSC khi :

D

0 3 0

CT C

b y a

y y

  

  





BẢNG BIẾN THIÊN

+)a0, 2

' b 3ac 0

    , hàm số có 2 cực trị:

x  x1 x2 

y’ 0 - 0 +

y

CĐ 

 CT

ĐỒ THỊ

+)a0, 2

' b 3ac 0 y' 0

luôn tăng trên R :

x  

y’ +

y





+)a0, 2

' b 3ac 0

    , hàm số có 2 cực trị :

x  x1 x2 

y’ - 0 + 0 -

y

 CĐ

CT 

www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01

Ngô Quang Chiến

4

+)a0, 2

' b 3ac 0 y' 0

      , hàm số luôn

giảm trên R :

x  

y





LOẠI 2: Hàm số bậc 4 trùng phương : 4 2

, ( 0)

yax bx c a

LÝ THUYẾT VÀ TÍNH CHẤT

+) Hàm số có 1 cực trị :ab0(đồ thị không có điểm uốn)

* a0: 1 cực tiểu

* a0: 1 cực đại

+) Hàm số có 3 cực trị :ab0(đồ thị có 2 điểm uốn)

* a0: 1 cực đại, 2 cực tiểu

* a0: 1 cực tiểu, 2 cực đại

*Xét : 2

4

b ac

   , hàm số có 3 cực trị A, B, C với

(0; ), ; , ;

2 4 2 4

4

* Gọi

3 3

8 cos

8

BAC



* Diện tích tam giác ABC :

2 1

S

* Phương trình đuờng cong đi qua 3 cực trị A, B, C của đồ thị :

2 2

( ) 0

x y  c n x cn  với 2

4

n



 

Cách khác : viết phương trình đường cong

' 4 2 ; ' 0

2

b

a

( ) :

yax bx  c C yax x bx c

www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01

Ngô Quang Chiến

5

+) Đồ thị hàm số cắt trục hoành tại 4 điểm phân biệt lập thành một CSC khi

phương trình 2

0

aX bX  c có hai nghiệm dương phân biệt thoả mãn X19X2 +) Nếu đường thẳng d là tiếp tuyến của đồ thị thì đường thẳng d’ đối xứng với d

qua trục Ox cũng là tiếp tuyến của đồ thị

+) Bài toán tham số với hàm số có 3 cực trị (Nguồn : Thầy Nguyễn Phú Khánh)

Tam giác

vuông cân

3

( 2015) 5

yx  m x  có 3 cực trị tạo thành một tam giác vuông cân, với a 1,b m 2015

8a b 0 8 (m 2015) 0 m 2017

Tam giác

đều

3

24ab  0

?

m hàm số 9 4 3( 2017) 2

8

y x  m x có 3 cực trị tạo

thành một tam giác đều, với 9, 3( 2017)

8

a b m

24a b 0 27 27(m 2017) 0 m 2016

BAC 

8 tan 0

2

3 ( 7)

y x  m x có 3 cực trị tạo thành một tam giác có một góc 1200 , với a 3,b m 7

2

0

ABC

S S 3 2 5

0

32a S( ) b  0 m? hàm số 4 2

2 2

ymx  x  m có 3 cực trị tạo thành một tam giác có diện tích bằng 1 , với am b,  2

0

32a S( ) b 0 32m 32 0 m 1

Max(SABC) 5

3

32

ABC

b S

a

sau đó biện luận

?

2(1 ) 1

yx  m x  m có 3 cực trị tạo thành tam giác có diện tích max , với a1,b 2(1m2)

5

2 5

32

b

a

0

ABC

0

8 8

R

a b



 m? hàm số ymx4x22m1 có 3 cực trị tạo thành

một tam giác nội tiếp đường tròn bán kính 9

8

R , với am b,  1 0

1 8 9

1

m

m



0

ABC

0

3

1 1

b r

b a

a



?

2

yx mx  có 3 cực trị tạo thành một tam giác ngoại tiếp đường tròn bán kính r 1 , với a 1,b m

www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01

Ngô Quang Chiến

6

1 1

1 1

m b

a

a

0

BCm 2

0 2 0

am  b m? hàm số ym x2 4mx2 1 m có 3 cực trị trong đó

2

BC , với 2

,

am b m

0

AB AC

n





2 2 4 0

16a n b  8b 0 m? hàm số 4 2

ymx x m có 3 cực trị trong đó

1 4

AC , với am b,   1

2 2 4 0

16a n b 8b 0 m 3

,

B COx 2

1

yx mx  có 3 cực trị tạo thành một tam giác có B C, Ox , với a 1,b m

2

Tam giác

ABC cân

Phương trình qua điểm cực trị : :

4

BC y

a



  và

3

, :

2

b

a

    

Tam giác

ABC nhọn

3

8ab  0 m? hàm số y  x4 (m26)x2 m 2 có 3 cực trị tạo

thành một tam giác nhọn , với a 1,b (m26)

3

8a b 0 b 2 2 m 2

O là trọng

tâm tam

giác ABC

2

yx mx m có 3 cực trị tạo thành một tam giác nhận O làm trọng tâm , với a  1,bm c,  m

2

O là trực

tâm tam

giác ABC

3

8ab  4ac 0 m? hàm số yx4mx2 m 2 có 3 cực trị tạo thành

một tam giác trực tâm O , với a 1,bm c,  m 2

3

8a b 4ac 0 m 2

O là tâm

đường tròn

ngoại tiếp

tam giác

ABC

3

b  a abc m? hàm số y mx4x22m1 có 3 cực trị tạo thành

một tam giác nội tiếp đường tròn tâm O , với

4

do m0

Góc ở đỉnh

của tam

giác cân :

3 3

8 cos

8

 



Công thức mở rộng cho trường hợp điều kiện tam giác tạo

từ 3 điểm cực trị là : đều, vuông, hay có một góc bất kì

www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01

Ngô Quang Chiến

7

O là tâm

đường tròn

nội tiếp

tam giác

ABC

3

b  a abc m? hàm số ymx42x22 có 3 cực trị tạo thành một

tam giác ngoại tiếp đường tròn tâm O , với am b,  2,c  2 3

do m0

4 điểm A,

B, C, O tạo

thành 1

hình thoi

2

b  ac m? hàm số y2x4mx24 có 3 cực trị cùng với O

tạo thành hình thoi, với a 2,bm c,  4 2

BẢNG BIẾN THIÊN

+)a0,b0 hàm số có 3 cực trị:

x  x1 0 x2 

y’ - 0 + 0 - 0 +

y

 CĐ 

CT CT

+)a0,b0 hàm số có 3 cực trị:

x  x1 0 x2 

y’ + 0 - 0 + 0 -

y

CĐ CĐ

 CT 

+)a0,b0 hàm số có 1 cực trị:

x  0 

y’ - 0 +

y

 

CT

ĐỒ THỊ

www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01

Ngô Quang Chiến

8

+)a0,b0 hàm số có 1 cực trị:

x  0 

y’ + 0 -

y

CĐ

 

LOẠI 3: Hàm số nhất biến (bậc 1/bậc 1) :y ax b, (ac 0)

cx d





LÝ THUYẾT VÀ TÍNH CHẤT

+)Tập xác định :D R\ d

c

  +) Đạo hàm : ' 2 ,

ad bc y

cx d





 đặt madbc

*m0 hàm số đồng biến trên từng khoảng xác định

*m0 hàm số nghịch biến trên từng khoảng xác định

+) Tiệm cận đứng x d

c

  , tiệm cận ngang y a

c

 +)Tổng khoảng cách từ điểm M trên đồ thị đến hai tiệm cận đạt giá trị nhỏ nhất

2 ( ) ad bc

Min d

c



+)Tương giao : giả sử d y: kxm cắt đồ thị y ax b

cx d





 tại hai điểm M, N, với

ax b

kx m

cx d



 

 cho ta phương trình có dạng :

2

0, ( 0)

Ax Bx C  cx d  có 2

4

*

2 2

1

k MN

A



  , MN ngắn nhất khi tồn tại min , k const

*OMN cân tại O : 2

1 2 (x x )(1 k )  2km 0

www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01

Ngô Quang Chiến

9

( )(1x x k ) (  x x )(1 k km) m  0 +)M thuộc đồ thị (C), tiếp tuyến của đồ thị tại M cắt 2 tiệm cận luôn tạo ra một

tam giác có diện tích không đổi

+)Đồ thi hàm số nhất biến gọi là một hypebol vuông góc có tâm đối xứng

( d a; )

I

c c

 là giao điểm của hai đường tiệm cận

+)Hàm số nhất biến không có cực trị

BẢNG BIẾN THIÊN

+)m0

x  d

c

 

y’ + +

y

 a

c

a

c 

ĐỒ THỊ

+) m0

x  d

c

 

y’ + +

y

a

c 

 a

c

www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01

Ngô Quang Chiến

10

CHÚ Ý(áp dụng cho nhưng bài vận dụng nâng cao) :

1) Từ đồ thị (C): y f x( ) ta suy ra các dạng đồ thị sau :

+)y f x( ) bằng cách lấy đối xứng qua trục hoành

+)y f( x) bằng cách lấy đối xứng qua trục tung

+)y  f( x) bằng cách lấy đối xứng qua gốc toạ độ

+)y f x( ) bằng cách lấy phần đồ thị phía trên trục hoành, còn phần phía dưới

trục hoành thì lấy đối xứng qua trục hoành

+)y f x( )là hàm số chẵn, bằng cách lấy phần đồ thị phía bên phải trục tung, rồi

lấy phần đối xứng phần đó qua trục tung

2) Bài toán biện luận số nghiệm của phương trình dạng g x m( , )  0, đưa phương

trình về dạng f x( ) h m( )trong đó vế trái là hàm số đang xét đã vẽ đồ thị (C):

( )

y f x Số nghiệm là số giao điểm của đồ thị (C) và đường thẳng yh m( ) Chú

ý , do ta đang xét ở đây với m là tham số nên cho dù hàm yh m( )là hàm số bậc

bao nhiêu với m thì cũng chỉ là 1 tham số, và đường thẳng yh m( )là đường song

song hoặc trùng với trục Ox

3) Điểm đặc biết của họ đồ thị(C m) :y f x m( , ), với m là tham số

+) Điểm cố định của họ đồ thị là điểm mà mọi đồ thị đều đi qua :

0( ;0 0) ( m), 0 ( , ),0

M x y  C  m y  f x m m

+) Điểm mà họ đồ thị không đi qua là điểm mà không có đồ thị nào của họ đi qua

với mọi tham số : M x y0( ;0 0)(C m), m y0 f x m( , ),0 m

Nhóm theo tham số và áp dụng các mệnh đề sau :

*Am    B 0, m A 0,B 0

0, 0, 0, 0

Am Bm C    m A B C

*Am    B 0, m A 0,B 0

0, 0, 0, 0

Am Bm C    m A B C hoặc 2

0, 4 0

A  B  ac +)Hai đồ thị của hai hàm số y f x( ) và yg x( )tiếp xúc nhau khi hệ pt:

( ) ( )

'( ) '( )

f x g x

f x g x





 có nghiệm và nghiệm của hệ là toạ độ tiếp điểm

www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01

Ngô Quang Chiến

11

VẤN ĐỀ 3: HÀM SỐ MŨ, LOGARIT

LOẠI 1: HÀM SỐ MŨ

1 Hàm luỹ thừa

+)Các đẳng thức cơ bản : (với a b,  0, , R)

a a  a  a a

a



 

    a  a

 ab  a b  a a



  

 

  +)Với  , R

*a1;a a    *0 a 1;a a    *a0;a a   

+) Cho 0  a b m, R

*a m b mm 0 *a m b m m 0

+) Cho a b,  0;ab

*a b   0 * n n ,n n ; , ,

a b  a b a  b  a b a b nlẻ

+)Chú ý :

*Cho số thực a 0; ,m nZ n,  0 thì

m

n m n

a  a

Với a b,  0; ,m n 0; ,m nZ và hai số p, q tuỳ ý :

a b a b ( 0)

n n n

b

b  b   p

n p n

a  a

.

n m m n

a  a Nếu p p n a p m a q(a 0)

*Luỹ thừa với số mũ nguyên âm và mũ không thì cơ số khác không

*Luỹ thừa với số mũ hữu tỉ và số thực thì cơ số dương

+) Bảng biến thiên và đồ thị :

www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01

Ngô Quang Chiến

12

2 Hàm số mũ

+) Có dạng ya x(0 a 1)

+) Tập xác định : R và tập gía trị 0;, liên tục trên R

+) Tính đơn điệu : a1 hàm đồng biến, 0 a 1 hàm nghịch biến

+) Giới hạn :

0

1 lim(1 )x

x

   và

0

1

x x

e x



  +) Đạo hàm : a x ' a xlna nên ta có  a u ' a uln 'a u

+) Bảng biến thiên và đồ thị :

LOẠI 2: HÀM SỐ LOGARIT

1 Công thức Logarit

+) Logarit : Cho 0  a 1,b 0 thì a   b a loga b

www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01

Ngô Quang Chiến

13

*lgb   b 10 ln b   b e

+) Tính chất :

log 1 0; log 1; a ; log

a  a a a   a a  log ( )a b c loga bloga c b c, ( , 0)

*log ( )a b loga b loga c b c, ( , 0)

c    loga b loga b;loga b 1loga b

 



*log log

log

c a

c

b b

a

 logb c logb a

2 Hàm số Logarit :

+) Có dạng yloga x(0 a 1)

+) Tập xác định : 0; và tập gía trị R

+) Tính đơn điệu : a1 hàm đồng biến, 0 a 1 hàm nghịch biến

+) Giới hạn :

0

ln(1 )

x

x x







u

log '

ln

a

u u

u a



Đặc biệt :(ln ) 'x 1 (ln ) 'u u'

   mở rộng (lnu) ' u'

u

 ( ,x u 0) +) Bảng biến thiên và đồ thị :

www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01

Ngô Quang Chiến

14

VẤN ĐỀ 4: TOÁN LÃI XUẤT

LÃI ĐƠN Gửi a đồng, lãi r%/tháng (lãi đơn) Số tiền A có được sau n tháng Aa.(1 r n )

LÃI KÉP

+)Gửi một lần : gửi a đồng, lãi r%/tháng (lãi kép) Số tiền A có được sau n tháng

: Aa.(1r)n

Ta suy ra được các đại lượng khác như sau:

ln

; 1;

ln(1 ) (1 )

n

n

A

a

+) Gửi, trả theo định kỳ :

*Gửi vào đầu tháng: Tháng đầu gửi a đồng, mỗi tháng sau cũng gửi thêm a

đồng vào đầu mỗi tháng, lãi r%/tháng

Số tiền A thu được sau n tháng : A a(1 r) (1 r)n 1

Ta suy ra được các đại lượng khác :

ln( 1)

;

ln(1 ) (1 ) (1 )n 1

A r

r







*Gửi vào cuối tháng: Tháng đầu gửi a đồng, mỗi tháng sau cũng gửi thêm a

đồng vào cuối mỗi tháng, lãi r%/tháng

Số tiền A thu được sau n tháng : A a (1 r)n 1

    

Ta suy ra được các đại lượng khác :

ln( 1)

; ln(1 ) (1 )n 1

A r

r r





*Trả dần vào cuối tháng (Trả góp): Vay A đồng, trả a đồng vào cuối mỗi tháng,

lãi r%/tháng Số tiền còn nợ sau n tháng : (1 )n a (1 )n 1

Để hết nợ sau n tháng thì số tiền a phải trả hàng tháng là:

www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01

Ngô Quang Chiến

15

n

n



       

 

Chú ý : các bài toán về vay tiền, gửi tiền, phức tạp hay đơn giản sẽ dựa vào

những bài toán gốc trên để phát triển, vì vây cần hiểu rõ bản chất các bài toán

mẫu cho đến cách xây dựng công thức cho từng trường hợp để có thể vận dụng

công thức, xử lý bài toán một cách nhanh nhất và hiệu quả

VẤN ĐỀ 5: HÌNH HỌC KHÔNG GIAN

Khối đa diện : loại {n;p} (mỗi mặt có n cạnh, mỗi đỉnh là đỉnh chung của p mặt)

có D đỉnh, C cạnh, M mặt thì ta có : n.M = p.D = 2C hay theo Euler D + M = 2 + C

Khối đa diện

đều

2 12

a

Khối lập

phương

a

Khối bát diện

đều

2 3

a

Khối mười

hai mặt đều

(15 7 5) 4

Khối hai

mươi mặt

đều

(15 5 5) 12

CÔNG THỨC TÍNH NHANH THỂ TÍCH

SA a SB b SC c BSC  CSA  ASB 



1 (cos cos cos ) 2 cos cos cos 6

abc

www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01