Xấp xỉ bậc nhất và bậc hai của các tập hợp và các mô tả đối ngẫu tương ứng (LV thạc sĩ)

Xấp xỉ bậc nhất và bậc hai của các tập hợp và các mô tả đối ngẫu tương ứng (LV thạc sĩ)Xấp xỉ bậc nhất và bậc hai của các tập hợp và các mô tả đối ngẫu tương ứng (LV thạc sĩ)Xấp xỉ bậc nhất và bậc hai của các tập hợp và các mô tả đối ngẫu tương ứng (LV thạc sĩ)Xấp xỉ bậc nhất và bậc hai của các tập hợp và các mô tả đối ngẫu tương ứng (LV thạc sĩ)Xấp xỉ bậc nhất và bậc hai của các tập hợp và các mô tả đối ngẫu tương ứng (LV thạc sĩ)Xấp xỉ bậc nhất và bậc hai của các tập hợp và các mô tả đối ngẫu tương ứng (LV thạc sĩ)Xấp xỉ bậc nhất và bậc hai của các tập hợp và các mô tả đối ngẫu tương ứng (LV thạc sĩ)Xấp xỉ bậc nhất và bậc hai của các tập hợp và các mô tả đối ngẫu tương ứng (LV thạc sĩ)Xấp xỉ bậc nhất và bậc hai của các tập hợp và các mô tả đối ngẫu tương ứng (LV thạc sĩ)Xấp xỉ bậc nhất và bậc hai của các tập hợp và các mô tả đối ngẫu tương ứng (LV thạc sĩ)Xấp xỉ bậc nhất và bậc hai của các tập hợp và các mô tả đối ngẫu tương ứng (LV thạc sĩ)Xấp xỉ bậc nhất và bậc hai của các tập hợp và các mô tả đối ngẫu tương ứng (LV thạc sĩ)

Trang 1

o0o

XAP Xi BAC NHAT VA BAC HAI

CUA CAC TAP HOP

VÀ CÁC MÔ TẢ ĐÔI NGÂU TƯƠNG UNG

Trang 2

Muc luc

Danh mục ký hiệu

1 Non tiép tuyén và nón pháp tuyến

1.1 Nón tiếp tuyến và đạo hàm

Tài liệu tham khảo

Trang 3

Tập rỗng

Không gian Puelide ø chiều

Chuan cia Khoảng cách từ z đến S Cặp đối ngẫu hoặc tích vô hướng Dãy số dương ïz hội tụ về 0 Dãy véctơ z„ hội tụ yếu đến z Bao đóng của ©

Nón tiếp tuyến Bouligand-Severi của 2 tai x Nón tiếp tuyến yếu của © tại z

Nón tiếp tuyến Clarke của Q tai x Nón e-pháp tuyến của Q tai x

Nón pháp tuyến Eréchet của © tại z

Nón pháp tuyến qua giới hạn của 2 tai x

Hàm chỉ của tập © Ánh xạ đa trị

Đồ thị của Miền hữu hiệu của F Miền ảnh của F

ii

Trang 4

DANH MỤC KÝ HIỆU

DE¿()

DEC)

Dao ham contingent cua F tai z

Dao ham contingent yéu cia F tai z

Đạo hàm Clarke của F tai z

Đối đạo hàm Fréchet của F tai z

Đối đạo hàm Mordukhovich của #' tại z

Dưới vi phân Fréchet của ƒ tai x Dưới vi phân qua giới hạn của ƒ tại z

Độ cong của siêu mặt tại một điểm cho trước

Độ cong trên của siêu mặt tại một điểm cho trước

11

Trang 5

số tại một điểm, người ta có thể xấp xỉ các giá trị của hàm số trong lân cận

điểm đó Mặt khác, đồ thị hàm số đã cho chính là đường bao (envelope) của họ các tiếp tuyến nói trên Như vậy, tiếp tuyến chính là xấp xỉ bậc

nhất của đồ thị, và đồ thị có thể được khôi phục thông qua họ các tiếp tuyên

Sự mở rộng khái niệm tiếp tuyến sang giải tích đa trị gắn liền với nhu

cầu mở rộng khái niệm dao ham Nam 1981, J.-P Aubin (xem [3] va [4])

đề nghị xây dựng đạo hàm của một ánh xạ đa trị F: X = Y, 6 d6 X

và Y là các không gian Banach, tại một điểm z = (z,), € F(x), nhu một ánh xạ đa trị từ X vào Y có đồ thị trùng với hình nón tiếp tuyến Bouligand-Severi cia tap d6 thi gph F := {(2,y) € X x Y|y € F(a)}

tai z Dé xay dựng khái niệm đạo hàm của ánh xạ đa trị, ngoài nón tiếp

tuyến Bouligand-Severi người ta (xem [4| và [2|) còn sử dụng khái niệm nón tiếp tuyến do F H Clarke đưa ra năm 1973 (xem [7]) Đây là phương

pháp nghiên cứu bằng không gian nền

Song song với sự phát triển lý thuyết vi phân của Clarke, có một lý

thuyết vi phân khác dựa trên các khái niệm do B S Mordukhovich đã đưa

ra năm 1976, đó là các khái niệm nón pháp tuyến không lồi ([nonconvex]

normal cone), đối đạo hàm qua giới hạn (limiting coderivative), dưới vi

phân không lồi ([nonconvex] subdifferential) Cách tiếp cận bằng không gian đối ngẫu này đã đưa đến những kết quả mới mẻ và sâu sắc, do đó đã

thu hút được sự chú ý ngày càng tăng của các nhà toán học Trong khoảng những năm 1995-1997, B § Mordukhovich và các cộng sự đã công bố một loạt kết quả quan trọng, đưa ra nhiều ý tưởng và kỹ thuật mới, cho phép

hoàn thiện lý thuyết vi phân vô hạn chiều dựa trên các cấu trúc đối ngẫu

Tóm lại, cũng tương tự như vai trò của các khái niệm nón tiếp tuyến trong

iv

Trang 6

việc nghiên cứu vấn đề đó, nhưng chưa thu được kết quả cụ thể nào

Luận văn này trình bày các khái niệm cơ bản về nón tiếp tuyến, nón pháp tuyến, đạo hàm, đối đạo hàm, dưới vi phân, và tập xấp xỉ bậc hai Các mối liên hệ giữa các khái niệm đó cũng được nghiên cứu chi tiết Luận

văn được viết chủ yếu trên cơ sở Chương 1 của cuốn chuyên khảo |9] của

B S Mordukhovich, Chương 3 của cuốn giáo trình [10| của A Ruszczynski,

và phần đầu của bài báo [12] Trong luận văn có một số kết quả mới về

mối quan hệ giữa tập tiếp xúc bậc hai và dưới vi phân bậc hai của hàm chỉ, trong trường hợp tập được xét là tập có biên trơn

Ngoài phần Mở đầu, phần Kết luận và phần Tài liệu tham khảo, luận văn gồm hai chương

Chương 1 “Nón tiếp tuyến uà nón pháp tuyến” trình bày các khái niệm

cơ bản về nón tiếp tuyến, nón pháp tuyến, đạo hàm, đối đạo hàm, dưới vi

phân, và mối quan hệ giữa nón tiếp tuyến và nón pháp tuyến

Chương 2 “Tập tiếp zúc bậc hai uà dưới ti phân bậc hai” trình bày khái niệm và các tính chất của tập tiếp xúc bậc hai, mối quan hệ giữa tập tiếp

xúc bậc hai và dưới vi phân bậc hai của hàm chỉ trong trường hợp tập được xét là tập có biên trơn

Các kết quả ở Mục 2.3 là mới Ý tưởng cơ bản ở đây là sử dụng khái

niệm độ cong của tập hợp được cho dưới dạng tập nghiệm một bất đẳng thức hoặc của tập nghiệm một hệ hữu hạn các đẳng thức để thiết lập mối

quan hệ gián tiếp giữa tập xúc bậc hai và dưới vi phân bậc hai của hàm

Trang 7

chỉ thông qua các bất đẳng thức kép Chúng tôi cho rằng khó có thể thiết lập mối quan hệ trực tiếp giữa tập xúc bậc hai và dưới vi phân bậc hai của hàm chỉ, theo kiểu những công thức tính cái này qua cái kia (như đối

với nón tiếp tuyến và nón pháp tuyến - chính là dưới vi phân bậc nhất của hàm chỉ)

Luận văn đã được hoàn thành tại Viện Toán học, Viện Hàn lãm Khoa

học và Công nghệ Việt Nam, dưới sự hướng dẫn của GS TSKH Nguyễn

Đông Yên Tác giả chân thành cảm ơn thầy Yên đã dành nhiều thời gian chỉ dẫn cho tác giả thực hiện đề tài nghiên cứu

Tác giả chân thành cảm ơn các thầy cô giáo và các cán bộ công nhân viên trong Viện Toán học đã giúp đỡ tác giả trong suốt thời gian học tập

và nghiên cứu tại Viện Toán học

Hà Nội, ngày 30 tháng 08 năm 2013

Tác giả

Hoàng Minh Có

vi

Trang 8

Chương 1

Nón tiếp tuyến và nón pháp tuyến

Nói một cách đơn giản, nón tiếp tuyến là xấp xỉ bậc nhất của tập hợp

tại một điểm cho trước Còn nón pháp tuyến là xấp xỉ bậc nhất của tập hợp được viết bằng ngôn ngữ đối ngẫu Như vậy, nón tiếp tuyến là một cấu trúc trong không gian nền, còn nón pháp tuyến là cấu trúc trong không

gian đối ngẫu Khái niệm thứ nhất là cơ sở cho cách tiếp cận bằng không

gian nền (the primal-space approach), còn khái niệm thứ hai là cơ sở cho

cách tiếp cận bằng không gian đối ngẫu (the dual-space approach) Chương

này gồm hai mục Mục thứ nhất trình bày các định nghĩa nón tiếp tuyến,

đạo hàm của ánh xạ đa trị, và một số tính chất Mục thứ hai trình bày khái niệm nón pháp tuyến, đối đạo hàm của ánh xạ đa trị, và một số tính

chất

1.1 Nón tiếp tuyến và đạo hàm

Khái niệm ánh xạ đa trị là sự mở rộng tự nhiên của ánh xạ đơn trị Với

khái niệm ánh xạ đa trị, ta có thể giải quyết nhiều vấn đề trong toán học nói chung, và trong lý thuyết tối ưu và cân bằng nói riêng

1.1.1 Anh xa da tri

Dinh nghia 1.1 (Xem [2, tr 9-10]) Cho X,Y là hai tập hợp bất kỳ Cho

F:X = Y là ánh xạ từ X vào tập hợp gồm tat cả các tap con của Y,

được ký hiệu là 2Ÿ Ta nói Ƒ' là ánh zạ đa trị từ X và Y Như vậy, với

moi z € X, F(x) la mot tập hợp con của Y Không loại trừ khả năng là

với một số phần tử z € X nào đó ta có Ƒ(z) là tập rỗng

Trang 9

Đối với mỗi ánh xa đa trị F : X = Y, người ta định nghĩa các tập hợp

gph#' = {(z,u)€ X xY|u€ F()},

dom F = {7 € X | F(x) 4 0},

va

reg F = {y © Y|dx eX sao cho y € F(a)}

Các tập hợp đó, lần lượt được gọi là đồ thị, miền hữu hiệu, và miền ảnh

của ánh xạ đa trị F’

1.1.2 Nón tiếp tuyến

Định nghĩa 1.2 (Giới hạn theo Painlevé-Kuratowski, xem [2, tr 63]) Gia

sử Ä/ là không gian mêtric, X là không gian định chuẩn Cho {9;};e„; là

họ tập hợp phụ thuộc vao tham sé t € M, Q; C X véi moi £ Với mỗi

kí hiệu khoảng cách từ z đến tập Q C X, được gọi là giới hạn trên theo

Painlevé-Kuratowski cha ho {Q:}exr khi t > to Tap hop

Liminf Q¿ := {z€ X: jim d(x, Q,) = 0} tto (1.2)

2

Trang 10

Chương 1 NÓN TIẾP TUYẾN VÀ NÓN PHAP TUYEN

z € Liminf 9, © (khen C M,t, > to, lim d(x,,) = 0) (1.4) toto k-0o0

Vi du 1.2 Cho tap hop M = X = R, va ho tap hep

Cho © là tập con trong không gian định chuẩn X và cho # € Ô

Định nghĩa 1.3 (Nón tiếp xúc bậc nhất; xem |9, tr 13]) Tập hợp

Q—#

T(%;©) := Lim sup

6 d6 “Lim sup” dugc tinh theo tôpô chuẩn của X, được gọi là nón tiếp tuyến

Bouligand-Seuer¿ của Ô tại z Nêu “Limsup” trong công thức (1.5) được tính theo tôpô yếu của X, thì ta ký hiệu tập hợp thu được bởi 7T„(#; ©)

và gọi nó là nón tiếp tuyến yéu cha © tại Z

Trang 11

Định nghĩa 1.4 (Nón tiếp tuyến Clarke; xem |9, tr 13]) Tập hợp

oe

To(&;Q) := Lim inf, (1.6)

+10, az

ở đó “Liminf' được tính theo tôpô chuẩn của X, được gọi là nón tiếp tuyến

Clarke cia ©) tại Z

Ví dụ 1.3 (Tương tự như Ví dụ 2.2.4 trong [2]) Cho tap hop Q = {z = (øi,#a) € R?|z¿ = |zi|}, và # = (0,0) Ta có T(Z,9) = 9 và

Ching minh (i) Dé thấy rằng 0 € T(z;©) Lay tty ¥ v € T(%;) và

À >0 Theo công thức (1.5), tồn tại {zz} C Ô và {£„} C R.\{0}, % > 0,

Trang 12

d(E + tyv,Q) = teen < teen + Re

Do đó tồn tại z„ € Q sao cho

Vậy 0y —> 0 khi k — co Vì # + fyuy = ø„ € Ô, với mọi k, nên 0 € V

Ngược lại, giả sử ø € V Chọn {f¿}, {0x}, f„ —> 0”, ủy —> 0, sao cho

Trang 13

(iv) Lấy bất kỳ € 7c(Z;©), ta sẽ chứng minh rằng ø € 7(z;©) Vì

0 €7Tec(z;©) nên với mọi dãy ¿ | 0 và mọi dãy 5 Z ta có

Bồ đề 1.1 Cho {uy} C X Ta có uy 4 v néu va chỉ nếu uới mọi #" € X*

Vay V là lân cận mở yếu của ø Do (1.9), với mọi k và với mọi k“ > k ta

có œ„ # V Điều này mâu thuẫn với giả thiết œy -> 0

Giả sử rằng với mọi #* € X*, ta có (z*,0;) —> (+*,u) khi k — oo Xét lân cận mở yếu của dưới dạng

Vows ei} = {y € X | \(z7,y— v)| < ey, 4 = 1,m},

6 day x € X* vac; > 0,1 = I,m Lay? € {1, ,m} Vì (+Ƒ,uy) > (x7, v) khi k > oo, nên tồn bại k;, sao cho

(ai, un — v)| <j, Vk > kạ,

Dat k = max{k-,|i = 1,m} Do cach chon k, véi moi k > k ta c6

\(a3,v, —v)|<e;, Vi=1,m

Suy ra up € Vio <3 V6i moi k > k Vay Uy “>0 L]

Trang 14

Định nghĩa 1.5 Chuẩn Kadec ||.|| của không gian Banach X là chuẩn

sao cho các tôpô cảm sinh từ tôpô yếu và tôpô của chuẩn trên mặt cầu

đơn vị

5x := {z € X |||z|| = 1}

là trùng nhau Tức là, với mọi tập mở trong tôpô của chuẩn, ta có

UN Sx là vét (trace) cia mot tap md yeu W C X nao do trên Sx (điều này có nghĩa là tồn tại tập mở yếu W C X sao cho UN Sy =WN Sy)

Ví dụ 1.4 Nếu X = ï là không gian Hilbert thì

1

lzl|:= (œ,#)? = @,+)

là chuẩn Kadec Thật vậy, lấy tùy ý z € H và ø > 0 Ta cần chứng minh

rằng có tồn tại tập mở yếu W C 1 sao cho

Nếu Ø(z,ø)n Sw = Ú thì (1.10) thỏa mãn với W = Ú Giả sử rằng BŒ,p)n Sw # Ú Ta có u € B(x, p) A Sx khi và chỉ khi ||u|| = 1 và

||u — z|| < ø Bất đẳng thức cuối tương đương với

p? > (u—2,u—2) =1—2(u,2) + fla]?

7

Trang 15

trén Sy bằng vết của tập mở yếu W trén Sy Tinh chat Kadec của chuẩn

trong không gian Hilbert đã được chứng minh

Ménh dé 1.3 Chuan trong khong gian Hilbert kha vi Fréchet tai nhitng điểm khác 0

Chứng rnứnh Thật vậy, cho (X, (.,.)) là không gian Hilbert Ta có

#(z) = ||z|| = AI Va € X,

Có định điểm # € X\{0} Đặt z* = — € X = X%*, ta sẽ chứng minh rằng Vụ(Ø) = +* Ta dat f(x) = (2, 1) g(t) = t!/? vdi moi t > 0, và để

ý rằng @ = øo ƒ Ta có Vƒ(#) = 2# Thật vậy, đẳng thức này xảy ra vì

Ƒ(#+u)T— ƒ(Z)T— (@#,u) _ (#+u,z-+u)T— (Z,) — 2(,u)

Trang 16

Chương 1 NÓN TIẾP TUYẾN VÀ NÓN PHÁP TUYẾN

Vì Z # 0 nên ƒ(#) = ||#||? > 0 Vậy g(-) khả vi tại £ := ƒ(#) Áp dụng

quy tắc tính đạo hàm của hàm hợp cho hàm ¿ = go ƒ ta thu được

Vì ø € Liminf7(z+;©) nên, với day 2, *\ ø vừa chọn, với mỗi k € Ñ

tồn tại ø € 7(zz;©) mà 0y — 0 khi & — oo

Do (o+eBx)ff(z;;Q) = f theo cach chon zp, ta phải có ||ux—0|| > £ với mọi k € Ñ Cho k —> œ, từ đó ta có || — 0|| > e Mâu thuẫn này kết

To(%;Q) Cc Lim inf T;, (a; Q)

Trang 17

(iii) Nếu chuẩn trên X là chuẩn Kadec uà khả vì Fréchet tại những điểm

khác 0, thà

To(%;Q) = Lim inf 7„(x; 9)

Q

ue Chứng rmữnh (¡) Ta đi chứng mình bao hàm thức thứ nhất trong định lý Lấy bất kỳ ø € Liminf 7+; ©) Khi đó, theo Mệnh đề 1.4, với mỗi e > 0,

Ta có 7ÿ là tập trù mật trong (0,1) với mỗi ô € (e,2£) Thực vậy, do cách

chọn 1 ở trên, ta tìm được một dãy „ | 0 sao cho

(z¿ + f„(o+ðBx))n Q9 # 0

với k€ Ñ Do đó 7š # Ú Lấy bất kì r € (0,⁄}\ 7š và đặt t, = sup [Ty N (0,7)], ta có (z +f„(o +ðBx)) n 9 #0 Do cách chọn 1,

+f,(o+ðBx) C#+ 5 Bx + y(|lvl| +5)Bx C F+nBx

Ta có thể chọn một day t; | 0 sao cho

(xp + (t +ty)(v+6Bx)) NQAD véi moi k EN

Diéu nay cé nghia la t, = 7, và do đó 7 1a diém tu cia tap Ts Do ổ € (e, 2£)

và sự lựa chọn bất kì 7 € (0,1) \ 74, nên chúng ta có

(x +t(v + 2enBx)) NQAO với mọi £ € (0,0)

Từ đó ta suy ra rằng ø € 7(Z;©) Vậy bao hàm thức thứ nhất đã được

chứng minh

10

Trang 18

(1ñ) Giả sử rằng X là không gian phản xạ, ta đi chứng minh bao hàm thức thứ hai trong định lý Lấy tùy ý u € Tc(Z;©) Khi đó, với mọi e > Ú

ta tìm được ? > 0 sao cho véi moi x € (% + nBx) MQ ton tại một dãy

t„ | 0 và day {uy} C (0 +eBy) với z + tuy € O, k © N Do tinh phan

xạ của X, hình cầu đóng + ex là compact yếu Vì vậy, ta tìm được

Uy € X thỏa mãn „ € ø+eBx và tập chỉ số {k'} C {k} sao cho 0 “> vy

khi k’ > oo Theo định nghĩa của nón tiếp tuyến yéu, vz € Ty (x; 0) Do

ce > 0 được lấy tùy ý, ta có u € Lim inf T,(a;Q) Vay bao ham thitc thứ

LTE hai đã được chứng minh

(iii) Chứng minh phần này có trong Aubin và Frankowska (xem {4, Theorem 4.1.13]) va bai béo của Browein và Strójwas (xem [6, Theorem

Tw Dinh ly 1.1, Vi du 1.4, và Mệnh đề 1.3, ta có hệ qua sau

Hé qua 1.1 Cho X là không gian Banach, Q C X là tập đóng địa phương quanh 2

(i) Néu X là không gian phẩn xa, thi

Lim inf T(2;Q) C To(%;Q) C Lim inf T),, (x; Q) (1.12) (ii) Néu X la khong gian Hilbert thi

Lim inf T(2;Q) C To(%;Q) = Lim inf T,,(2; ©) (1.13)

1.1.3 Đạo hàm

Cho X,Y là các không gian định chuẩn, `: X = Y là ánh xạ đa trị

Ba khái niệm đạo hàm sau đây được xây dựng nhờ các cấu trúc hình

học - đó là các nón tiếp tuyến của đồ thị của ánh xạ đa trị được xét tại

một điểm cho trước Dựa vào đạo hàm người ta có thể đặc trưng tính lồi và tính lồi theo nón của ánh xạ đa trị F thong qua tính đơn điệu và

tính đơn điệu theo nón của các ho anh xa dao ham {DF,(-)}-cepnr va

{CF.(-)}-egpnr Tuong tự như trong giải tích cổ điển, người ta cũng có

thể dựa vào các khái niệm đạo hàm sau đây để đưa ra các định lý ánh xạ

11

Trang 19

mở, hàm an, hàm ngược cho ánh xạ đa trị Các khái niệm đạo hàm này

cũng đã được sử dụng để thiết lập các điều kiện cần và đủ cực trị trong lý

thuyết tối ưu và lý thuyết tối tu véctơ

Định nghĩa 1.6 (2, tr 71]) Dao ham contingent (dao ham Bouligand) DF-):X 3 Y cia F tai diém Z = (Z,ÿ) € gphF là ánh xạ đa trị có đồ thị trùng với hình nón tiếp tuyến Bouligand-Severi 7'{Z; gph'), tức là

DEF;(u) := {u€ Y |(u,u) €T(Œ;gphF)}, Vu X

Nếu ƑF(+) = {ƒ(+)} với mọi z € X, ở đó ƒ : X — Y là ánh xạ đơn trị,

thì ta viết Dfz(-) thay cho Dz,/(ø))(-)

Nếu sử dụng hình nón tiếp tuyến Bouligand yếu 7„(Z; gphF') thay cho

T(Z;gph#') trong định nghĩa trên, thì ta có khái niệm dao ham sau

Dinh nghia 1.7 Dao ham contingent yếu (dạo hàm Bouligand yéu)

DY FA): X 3 Y cia F tai diém 7 = (%,9) € gphF |a ánh xạ đa

trị có đồ thị trùng với hình nón tiép tuyén Bouligand yéu T,,(Z; gphF),

tức là

D"F;(u) := {o€Y |(u,u) € Tụu(Z;gphF)}, Vu e X

Nếu Ƒ(z) = {ƒ(œ)} với mọi z € X, ở đó ƒ : X -> Y là ánh xạ đơn trị,

thì ta viết D"ƒz(-) thay cho D“tz,;œ)(-)

Định nghĩa 1.8 (|2, tr 71]) Đạo hàm Clarke DF;(-): X — Y của F tại

điểm Z = (Z,ÿ) € gphF' là ánh xạ đa trị có đồ thị trùng với hình nón tiếp

tuyến Bouligand 7o(Z; gph#'), tức là

CF‡(u) := {o€ Y |(u,) € To(Z;gphF)}, Vu € X

Néu F(x) = {f(x)} voi moi w € X, 6 do f : X > Y là ánh xạ đơn trị, thì ta viết Œ ƒz(-) thay cho ỞFz gœ)(-)

Vi du 1.5 Xét anh xa da tri F: RR, véi

(0, +00) khi z < 0, F(x) =

[/z,+00) khix > 0

12

Trang 20

Tai Z = (0,0) € gphF ta cé

To(Z; gphF’) = T7; gphF') = T,,(Z; gpbhF’) = (—co, 0] x Ry

Vi vay,

CF,(u) = DF;(u) = D" F,(u) = ‘ toe) neu < 0, Ú nếu + > 0

Ở phần tiếp theo, chúng ta sẽ đề cập đến khái niệm nón pháp tuyến

và đối đạo hàm Đối đạo hàm của một ánh xạ đa trị F : X = Y tai mot

điểm Z = (Z,ÿ) € gphF là một ánh xạ đa trị từ không gian đối ngẫu Y*

vào không gian đối ngẫu X*, lưu giữ các thông tin đã được mã hóa trong ngôn ngữ của các không gian đối ngẫu về tốc độ thay đổi của ánh xạ đa trị trong các không gian nền Đối đạo hàm được xây dựng nhờ các nón

pháp tuyến của đồ thị của ánh xạ đa trị tại một điểm cho trước Cách xây

dựng xấp xỉ bậc nhất của ánh xạ đa trị này là hoàn toàn khác với cách đã

được trình bày trong các Định nghĩa 1.5-1.7 Đối đạo hàm qua giới hạn

(xem Tiểu mục 1.2.3 dưới đây) không nhất thiết là ánh xạ đa trị liên hợp

của một ánh xạ đa trị giữa các không gian nền nào

1.2 Nón pháp tuyến và đối đạo hàm

Trong giai đoạn các năm 1995-1997, B 5 Mordukhovich và các cộng

sự đã công bố nhiều bài báo quan trọng đặt nền móng cho lý thuyết vi

phân vô hạn chiều theo lược đồ mà trong đó sử dụng dưới vi phân để định

nghĩa nón pháp tuyến (nói chung là không lồi) của các tập hợp và sử dụng

nón pháp tuyến (không lồi) để định nghĩa đối đạo hàm (coderivative) của

ánh xạ đa trị Vì dưới vi phân và nón pháp tuyến có quan hệ chặt chẽ, nên cũng có thể định nghĩa nón pháp tuyến trước khi định nghĩa dưới vi phân Cách trình bày này đã được B 5 Mordukhovich sử dụng trong cuốn sách

chuyên khảo [9]

1.2.1 Nón pháp tuyến

Định nghĩa 1.9 (Tập véctơ e-pháp tuyến, xem |9, tr 4]) Cho O C X,

13

Trang 21

cho bởi công thức

N-(x;Q) = {<* € X*| ¬ `" < e} mộ Tai]

N.(a;Q) := Ú, với mọi e > 0

Định nghĩa 1.10 (Tập nón pháp tuyến qua giới hạn, xem [9, tr 4]) Cho

QC X,OzJ Choozc€ 9 Khi đó z* € X* được gọi a một phấp tuyển

qua giới hạn của 2 tại Z nếu tồn tại các dãy £y | 0, # 3 %, Và xy, “ +”

oe

c0 được gọi là nón pháp tuyến qua giới hạn (hay nón pháp tuyến Mor-

1.2.2 Dưới vi phân

Cho tập hợp 9 C X, ở đó X là không gian Banach Cho ¿@ : X + R=

[—co, +00] 14 ham nhận giá trị trong tập số thực suy rộng Giả sử rằng + € dom¿ := {z € X ||w@(z)| < +ee}

Định nghĩa 1.11 ((2, tr 108|) Với mỗi e > 0, đặt

> *

8v = {x* € X*| liminf pla) = gla) = hah 2) = VÉ) =& ` >—e} (115) 2)

8 lz — Z|

Tập hợp này được gọi là e-dudi vi phan Fréchet cia ¿ tại # Các phần

tử của tập hợp ở về trái của công thức (1.15) này được gọi là các e-dưới gradient Fréchet cua ¿ tại # Khi e = Ú thì ta sử dụng kí hiệu Øv() thay

cho 8¿(®) và gọi tập này là dưới vi phân Fréchet dưới, hay nói gọn hơn

la dudi vi phan Fréchet của ÿ tại Z

14

Trang 22

Xét hàm chỉ

o() = 0 nếu ø € Q

+oc nếu c€Q

Mệnh đề sau đây cho thấy mối quan hệ giữa dưới vi phân của hàm chỉ

khi va chi khi

Ve > 0, 4d >0 sao cho A(x, 2) > —e, Vx € X\{F} ma ||x — Z| < 6;

15

Trang 23

tức là

Ve >0, đổ >0 sao cho ?o(#) — io(#) — (+”,œ& — #) > —el|# — #||, với mọi z € X\{Z} mà ||z — Z|| < ô Do io(#) = 0 và ie() = +œ nếu + #@ Q, nên tính chất cuối có nghĩa là

Khi X là không gian Asplund thì, theo [9, Theorem 2.34], với mọi hàm

nửa liên tục dưới @: X -> R ta có

Øio(u) = Limsup Øïo(z) Vue X (1.19)

được gọi là e-đối đạo hàm của F tai (x,y) € gphF’ Khi e = 0 thì ánh xạ

được cho bởi công thức (1.20) được gọi là đối đạo hàm Fréchet của F tai

(x,y) € gphF, va dugc kí hiệu bởi D*F(cx, ) Ta quy ước rằng với moi e>Ovay* € Y* thi D*tF(x,y)(y") := Q néu nhu (2, y) ¢ gphF

(ii) Anh xa da tri D*F(%,%)(-) : Y* = X* xác định bởi công thức

DˆFŒ.)(w) := {ae X*|(a”,—w”) e N(Œ,ÿ);¡sphf)} (121)

16

Trang 24

1.3 Quan hệ giữa nón tiếp tuyến và nón pháp tuyến

Định lý 1.2 (xem |9, tr 16]) Cho Q C Ä là tập hợp trong không gian

N.(Z;Q) C {x* € X*| (a*,v) < ellul], Vo € T(E;Q)} (1.22)

vdt mote > 0 Ngodi ra, vdi e = 0 ta có

Trang 25

Vì > 0 có thể lấy tùy ý, từ đó ta suy ra bất đẳng thức ở (1.24) Vậy bao hầm thức (1.22) đã được chứng minh

Để chứng minh (1.23), ta lấy zø* € ÑŒ, Q) va lấy tùy ý v €

*

Chọn ø > 0 sao cho ||0|| < ø với mọi k € Ñ Do (1.26), với mỗi ? > 0 ta

có (z*, 0y) < r||ox|| < ạo Với k đủ lớn Cho k —> oo, từ đó ta thu được

(œ*,) < np

(Vi vy, “> v nén theo Bo dé 1.1, (a*, vg) — (2*,v) khi k — 00.) Cho

7 — 0, ta suy ra rang (x*,v) < 0 Vay (1.23) d& được chứng minh

Khi X là không gian phản xạ thì ta có

£ >0 và một day x, 5$ # sao cho

(er tk) es với k đủ lớn IIzz — #||

18

Trang 26

Bao hàm thức “C” trong (1.29) được suy ra từ (1.22) Lấy tùy ý z* € X*

Qo \|x = z|

LT

Giả sử phản chứng: Bất đẳng thức (1.30) là sai Khi đó, tồn tại z 2

Do X là không gian hữu hạn chiều, hình cầu Bx 1a compact Mặt khác,

Định dạng
Số trang	53
Dung lượng	10,65 MB