Các hàm (.,W) Chỉnh hình và ứng dụng (LA tiến sĩ)

Các hàm (.,W) Chỉnh hình và ứng dụng (LA tiến sĩ)Các hàm (.,W) Chỉnh hình và ứng dụng (LA tiến sĩ)Các hàm (.,W) Chỉnh hình và ứng dụng (LA tiến sĩ)Các hàm (.,W) Chỉnh hình và ứng dụng (LA tiến sĩ)Các hàm (.,W) Chỉnh hình và ứng dụng (LA tiến sĩ)Các hàm (.,W) Chỉnh hình và ứng dụng (LA tiến sĩ)Các hàm (.,W) Chỉnh hình và ứng dụng (LA tiến sĩ)Các hàm (.,W) Chỉnh hình và ứng dụng (LA tiến sĩ)Các hàm (.,W) Chỉnh hình và ứng dụng (LA tiến sĩ)Các hàm (.,W) Chỉnh hình và ứng dụng (LA tiến sĩ)Các hàm (.,W) Chỉnh hình và ứng dụng (LA tiến sĩ)Các hàm (.,W) Chỉnh hình và ứng dụng (LA tiến sĩ)Các hàm (.,W) Chỉnh hình và ứng dụng (LA tiến sĩ)Các hàm (.,W) Chỉnh hình và ứng dụng (LA tiến sĩ)Các hàm (.,W) Chỉnh hình và ứng dụng (LA tiến sĩ)

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠOTRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN

NGUYỄN VĂN ĐẠI

VÀ ÁP DỤNG

LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC

BÌNH ĐỊNH - NĂM 2017

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠOTRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN

NGUYỄN VĂN ĐẠI

Phản biện 3: PGS TS Đinh Huy Hoàng

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:

PGS TS Thái Thuần Quang

BÌNH ĐỊNH - NĂM 2017

LỜI CAM ĐOAN

Luận án này được hoàn thành tại Trường Đại học Quy Nhơn, dưới sự hướngdẫn của PGS TS Thái Thuần Quang Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiêncứu của tôi Các kết quả trong luận án là trung thực, được các đồng tác giả chophép sử dụng và chưa từng được ai công bố trước đó

Tác giả

Nguyễn Văn Đại

Tác giả xin chân thành cảm ơn các bạn đồng nghiệp gần xa đã giúp đỡ, độngviên, khích lệ tác giả trong suốt quá trình làm luận án Xin cảm ơn Liên VươngLâm, giảng viên Trường Đại học Phạm Văn Đồng, Quảng Ngãi, đã nhiệt tình cùngtác giả học tập và nghiên cứu.

Cuối cùng, tác giả xin dành tình cảm đặc biệt đến gia đình, người thân và cácngười bạn của tác giả, những người đã luôn mong mỏi, động viên và tiếp sức chotác giả để hoàn thành bản luận án này

DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU

HpD, Fq : Không gian các hàm chỉnh hình trên D nhận giá trị trong F

HGpD, Fq : Không gian các hàm G-chỉnh hình trên D nhận giá trị trong F

H8pD, Fq : Không gian con của tất cả các hàm bị chặn trong HpD, Fq

HbpE, Fq : Không gian của tất cả các hàm chỉnh hình từ E vào F

mà bị chặn trên các tập bị chặn trong E

HubpE, Fq : Không gian của tất cả các hàm chỉnh hình loại bị chặn đều

HLBpD, Fq : Không gian các hàm chỉnh hình bị chặn địa phương trên D

HWpD, Fq : Không gian các hàm pF, Wq-chỉnh hình

HW,8pD, Fq : Không gian các hàm pF, Wq-chỉnh hình bị chặn

HlocWpD, Fq : Không gian các hàm pF, Wq-chỉnh hình địa phương

HlocW,8pD, Fq : Không gian các hàm pF, Wq-chỉnh hình bị chặn địa phương

BpEq : Tập tất cả các tập con lồi, cân, đóng, bị chặn trong E

KpEq : Tập tất cả các tập con compact, lồi, cân trong E

Uk : txP E : }x} k  1u

P SHpΩq : Tập các hàm đa điều hòa dưới trên Ω

U pK, Ωq : tu PP SHpΩq: u ¤1, u

K ¤0u

uK,Ωpzq : Hàm cực trị tương đối của cặp pK, Ωq

uK,Ω : Hàm chính quy hóa nửa liên tục trên của uK,Ω

Ox : Vành các mầm chỉnh hình tại xPX

OX : Bó các mầm chỉnh hình trên X

Mục lục

Chương 1 Tính chỉnh hình của hàm p, Wq-chỉnh hình 8

1.1 Một vài khái niệm 9

1.1.1 Không gian các dãy K¨othe 9

1.1.2 Các bất biến tôpô tuyến tính 10

1.1.3 Các hàm chỉnh hình, mầm hàm chỉnh hình 12

1.1.4 Hàm đa điều hòa dưới 13

1.1.5 Tập cực, tập đa cực, tập đa chính quy 13

1.2 Một số đặc trưng mới của tính chất pΩq 15

1.3 Hàm chỉnh hình bị chặn địa phương 20

1.4 Các hàm σp, Wq-chỉnh hình 26

Chương 2 Thác triển chỉnh hình các hàm p, Wq-chỉnh hình 34 2.1 Thác triển từ bao tuyến tính của một tập bị chặn 34

2.2 Thác triển từ tập compact không đa cực 42

Chương 3 Hàm p, Wq-chỉnh hình phân biệt 52 3.1 Một số vấn đề cơ bản về không gian Stein 52

3.1.1 Không gian phức 52

3.1.2 Không gian Stein 55

3.2 Mở rộng Định lý Hartogs trên tích Descartes 563.3 Mở rộng Định lý Hartogs trên các tập chữ thập 61

4.1 Bài toán Wrobel 704.2 Các định lý hội tụ kiểu Vitali 714.2.1 Định lý Vitali đối với dãy các hàm chỉnh hình

bị chặn địa phương 724.2.2 Định lý Vitali đối với dãy các hàm chỉnh hình

bị chặn trên các tập bị chặn 74

MỞ ĐẦU

Các hàm chỉnh hình giá trị véctơ là công cụ rất hữu ích trong việc nghiên cứucác lĩnh vực toán học khác, ví dụ như trong lý thuyết nửa nhóm một tham số (xemchẳng hạn, Arendt và các cộng sự [9]) hoặc trong lý thuyết phổ và các tính toángiải tích hàm (xem chẳng hạn, Vasilescu [77]) Ngay cả khi để chứng minh các định

lý về các hàm chỉnh hình giá trị vô hướng, đôi lúc cũng rất hữu ích nếu ta xét cáchàm với giá trị trong không gian Banach

Trong giải tích hàm, có thể nói rằng có hai cách tiếp cận chính với tính chấtgiải tích của các hàm giá trị véctơ thông qua các khái niệm hàm chỉnh hình yếu vàchỉnh hình, trong đó khái niệm “yếu” là dễ kiểm tra hơn nhiều trong thực hành

Ở đây, hàm f : D ÑF được gọi là chỉnh hình yếu nếu uf là chỉnh hình với mọi

uP F1, trong đó E, F là các không gian lồi địa phương và D là một miền (tập mở

và liên thông) trong E

Ta biết rằng, một hàm chỉnh hình là chỉnh hình yếu Vì vậy bài toán được đặt

ra một cách tự nhiên là “Khi nào tính chất chỉnh hình của hàm f được quyết địnhnếu nó chỉnh hình yếu?” Có thể nói người đầu tiên giải quyết bài toán này vàonăm 1938 là Dunford [18] Ông khẳng định rằng điều này xảy ra khi D €C và F

là một không gian Banach Sau đó Grothendieck [25] mở rộng kết quả này khi F

là tựa đầy đủ Trong thực tế, điều này cũng đúng khi E và F là các không gianHausdorff và E là khả mêtric [48, Théorème 1.2.10]

Như vậy, trong các trường hợp trên, nói chung người ta không kiểm tra tínhchỉnh hình của một hàm giá trị véctơ bằng việc kiểm tra các tính chất của địnhnghĩa, mà sẽ thuận lợi hơn nếu ta tiến hành kiểm tra thông qua tính chỉnh hìnhyếu

Tuy nhiên, người ta cảm nhận rằng có thể làm bé hơn tập thử F1 cho tínhchất chỉnh hình của hàm f Khi đó một câu hỏi quan trọng được đặt ra là “xácđịnh tập thử nhỏ nhất W €F1” sao cho vẫn đủ để kiểm tra tính chất chỉnh hìnhcủa f Vì vậy một số khái niệm chỉnh hình yếu khác (yếu hơn khái niệm truyềnthống) được đề xuất và nhận được sự quan tâm nghiên cứu rất gần đây Đó là hàm

pF, Wq-chỉnh hình, theo nghĩa, uf là chỉnh hình với mọi u P W € F1 Chính vìthế, gần đây một số tác giả đã gọi là hàm chỉnh hình “rất yếu” thay cho tên gọi

“yếu” thông thường nhằm phân biệt với các khái niệm yếu mới xuất hiện

Để trả lời câu hỏi đó, trong hơn thập niên gần đây, hai bài toán sau dành được

sự quan tâm đặc biệt của nhiều nhóm nghiên cứu trên thế giới

Bài toán 1 Tìm kiếm các lớp F các hàm pF, Wq-chỉnh hình trên D € Evới giá trị trong F và các điều kiện của các không gian lồi địa phương E, F,các tập xác định D €E, các tập thử W € F1 sao cho mọi f P F đều chỉnhhình

Bài toán 2 Tìm kiếm các lớp F các hàm f : M ÑF và các điều kiện củacác không gian lồi địa phương E, F, các tập xác định M € E, các tập thử

W € F1 sao cho nếu uf có một thác triển chỉnh hình đến một lân cận Dnào đó của M thì f có thể thác triển (duy nhất) chỉnh hình trên D với mọi

f P F

Kết quả sớm nhất của Bài toán 1 có thể tìm thấy trong [40, p 139] cho trườnghợp D € C, F Banach, W xác định chuẩn và F là lớp hàm bị chặn địa phương(cũng xem [8, Theorem 1.3]) Nó là một hệ quả trực tiếp của công thức tích phânCauchy Sau đó, trong luận án Tiến sĩ của mình, Grosse-Erdmann [23] đã mở rộngkết quả trên cho trường hợp W tách điểm F nhưng với một chứng minh khá phứctạp

Năm 2000, trong [8] Arendt và Nikolski đã cải thiện chứng minh của Erdmann bằng cách sử dụng các định lý Vitali Thậm chí họ còn khẳng định rằngkết quả trên đúng cho trường hợp F là không gian Fréchet Cũng trong công trìnhnày, các tác giả cũng chỉ ra rằng, nếu W không xác định tính bị chặn thì kết luậnnày không còn đúng nữa [8, Theorem 1.5] Ở đây chú ý rằng, nếu W xác địnhtính bị chặn thì nó xác định chuẩn Tính chất bị chặn địa phương của lớp hàm F

Grosse-cũng được chứng minh là không thể bỏ qua Tuy nhiên, Grosse-cũng trong [8], Arendt vàNikolski đã chứng tỏ rằng, trong trường hợp này nếu W là không gian con hầu xácđịnh chuẩn thì f P F sẽ chỉnh hình nhưng chỉ trên một tập con trù mật D0 nào

đó của D [8, Theorem 1.8]

Sau đó, vào năm 2004, Grosse-Erdmann đã đạt được kết quả tổng quát củaBài toán 1 với D là một miền trong không gian E lồi địa phương, F là đầy đủ địaphương, F là lớp các hàm bị chặn khuếch đại và W là tách điểm [24, Theorem 3]

Từ kết quả nói trên, trong [23] Grosse-Erdmann dễ dàng giải quyết Bài toán 2cho trường hợp M DzK, với K là tập compact trong miền D của C, và sự thác

triển là duy nhất [23, Theorem 5.2] Năm 2004, tác giả này đã giải quyết bài toántrên cho tập M nhỏ hơn so với kết quả trước Ở đây tập M được giả thiết là xácđịnh hội tụ đều địa phương trong HpDq với D là một miền trong Cn và F là lớpcác hàm bị chặn trên M XK với mọi tập compact K €D [24, Theorem 2].

Trong công trình [8], Arendt và Nikolski cũng quan tâm đến Bài toán 2 chotrường hợp M là một tập con có điểm giới hạn trong miền D €C và lớp hàm F làtùy ý, còn W là một không gian con đóng, hầu xác định chuẩn của F1 [8, Theorem3.5]

Hầu hết các tác giả kể trên đều sử dụng công cụ thuần túy giải tích phức, cụthể là hàm chỉnh hình nhiều biến giá trị véctơ và một ít công cụ của không gianvéctơ tôpô

Vào năm 2007, Bonet, Frerick và Jordá [14, 21], thông qua công cụ giải tíchhàm, lý thuyết bó và nhờ kỹ thuật tuyến tính hóa không gian các hàm chỉnh hình,

đã giải quyết Bài toán 2 cho nhiều trường hợp hơn Các tác giả này đã chứng minhđược các kết quả tổng quát sau:

• Nếu F là một bó con đóng của lớp C 8 các hàm khả vi vô hạn trên một miền

D „ Rn, M là một tập duy nhất đối với F pDq, và W € F1 là một khônggian con xác định tính bị chặn, F đầy đủ địa phương thì ánh xạ hạn chế

RM,W :F pD, Fq Ñ F G pM, Fq là toàn ánh [14, Theorem 9]

• Nếu M „ D Nn0 xác định tôpô trong F pDq và W „ F1 là tách điểm, thìánh xạ hạn chế RM,W : F pΩ, Eq Ñ F W pM, Fq lb là toàn ánh trong hai trườnghợp sau: hoặc F là một không gian Br-đầy đủ [14, Theorem 17]; hoặc F làđầy đủ địa phương và W là trù mật mạnh [21, Theorem 1 and Theorem 3]

Gần đây, vào năm 2009, trong [22], Frerick, Jordá và Wengenroth cũng dùng

kỹ thuật nói trên đã giải quyết Bài toán 2 cho M là các tập gầy và tập béo với một

số lớp hàm nhận giá trị trong không gian đầy đủ địa phương Cụ thể, các tác giảnày khẳng định rằng sự thác triển là duy nhất đến một hàm chỉnh hình bị chặntrên D trong các trường hợp:

• D € Cn, M € D là một tập duy nhất đối với H8pDq, F là không gian đầy

đủ địa phương và W € F1 là một không gian con mà xác định tính bị chặntrong F [22, Theorem 2.2]

• M là một tập mẫu của H8pDq, F là không gian đầy đủ địa phương, W làmột không gian con σpF1, Fq-trù mật của F1 và F là lớp các hàm bị chặntrên M [22, Theorem 3.2].

Theo dòng nghiên cứu này, chúng tôi quan tâm đến việc khảo sát các bài toántrên một cách tổng quát hơn so với các tác giả trước, trong trường hợp không gian

có bất biến tôpô tuyến tính Đồng thời chúng tôi cũng quan tâm đến hàm chỉnhhình phân biệt, các định lý dạng Hartogs, các định lý chữ thập cho lớp hàm trênkhông gian Fréchet, lớp hàm p, Wq-chỉnh hình phân biệt Bài toán tìm các điềukiện để đảm bảo cho một hàm chỉnh hình phân biệt (tức là chỉnh hình theo từngbiến) là chỉnh hình đã được đặt ra từ cuối thế kỷ 19 và cho đến nay vẫn còn nhậnđược sự quan tâm của nhiều nhà toán học Có thể tạm chia lịch sử phát triển củabài toán này thành 4 giai đoạn chính

Trong giai đoạn từ năm 1899 đến năm 1967, nhiều kết quả đặc biệt quan trọngđạt được về vấn đề này bởi các nhà toán học nổi tiếng như Osgood (1899), Hartogs(1906) và Hukuhara (1930) cho trường hợp hàm 2 biến trên tích Descartes (hìnhchữ nhật) Cuối giai đoạn này, Shimoda (1957) và Terada (1967) đưa ra một số kếtquả cho trường hợp một trong hai “cạnh” của hình chữ nhật là có điểm tụ hoặc làkhông đa cực

Ở giai đoạn từ năm 1968 đến năm 1997, người ta quan tâm đến việc tìm cáckết quả tương tự như Định lý Hartogs cho các hàm giải tích thực trên các tập chữthập nhưng cũng chỉ cho trường hợp hàm 2 biến Một số nhà toán học tiêu biểucho hướng nghiên cứu này phải kể đến Siciak, Zaharjuta, Nguyễn Thanh Vân vàZeriahi

Giai đoạn từ năm 1998 đến năm 2001, các kết quả nghiên cứu chủ yếu là cácđịnh lý chữ thập có kỳ dị giải tích Định lý tổng quát nhất cho trường hợp 2 biến

là của Alehyane và Zeriahi [1, Théorème 2.2.1] Người ta gọi kết quả này là Định lýchữ thập cổ điển Ta dễ nhận thấy rằng có thể thiết lập định lý này một cách tổngquát hơn cho trường hợp n ¡ 2 biến, cho không gian giải tích phức và các đa tạpStein Với trường hợp có kỳ dị giải tích phải kể đến các kết quả của ¨Oktem [49, 50].Sau đó chúng được Siciak tổng quát hóa cho trường hợp kỳ dị trên các tập đại

số [69] Một số kết quả tổng quát về bài toán này thuộc về Jarnicki và Pflug đượccông bố trong các năm 2000, 2001 [34, 35]

Giai đoạn từ năm 2001 đến nay, người ta quan tâm đến các định lý chữ thập

có kỳ dị tổng quát hơn Bài toán hiện đang được quan tâm giải quyết với kỳ dị đacực, kỳ dị đa chính quy, và đang xem xét cho các lớp hàm với giá trị trên các

đa tạp và trên các không gian phức Nhiều kết quả đã đạt được có thể xem trongcác công trình của Jarnicki, Pflug và Nguyễn Việt Anh [3–7, 36–38, 51–55]

Mục đích của luận án là giải quyết hai Bài toán 1 và 2 cho trường hợp tổngquát, cụ thể là thay việc xem xét D là tập con của Cn bởi D là tập con của mộtkhông gian Fréchet hoặc đối ngẫu Fréchet nào đó, mở rộng các Định lý Hartogs vàĐịnh lý chữ thập cho các hàm p, Wq-chỉnh hình phân biệt và tìm kiếm một số ápdụng của kết quả nghiên cứu

Giải tích hàm, Giải tích phức, Lý thuyết thế vị phức, là các công cụ chính

mà chúng tôi sẽ sử dụng trong luận án này

Luận án, ngoài phần mở đầu và kết luận, gồm có 4 chương và 86 tài liệu thamkhảo

Tính bị chặn địa phương của hàm đóng vai trò quan trọng trong bài toán chỉnhhình yếu và thác triển chỉnh hình Trong phần đầu của chương 1, chúng tôi quantâm đến tính bị chặn địa phương của các hàm chỉnh hình giữa các không gianFréchet với các bất biến tôpô tuyến tính Cụ thể chúng tôi chứng minh được đẳngthức

HLBpD, Fq  HpD, Fq (HLB)với mọi tập mở D trong E, khi E P pΩq(tương ứng prΩq) và F P pLB8q (tương ứng

pDNq), trong đó E, F là các không gian Fréchet (Định lý 1.3.2) Định lý này là

mở rộng thực sự các kết quả của Vogt phát biểu cho các ánh xạ tuyến tính liêntục [82, Satz 2.1, Satz 3.2, Satz 6.1, Satz 6.2]

Ở phần tiếp theo của chương, chúng tôi nghiên cứu một số vấn đề về hàm

σpF, Wq-chỉnh hình Trong [28] Hải đã mở rộng kết quả của Arendt và Nikolski vớihàm f xác định trên một tập con mở D trong không gian Fréchet-Schwartz E P pΩq

nhận giá trị trong không gian Fréchet-Schwartz F P pLB8q hoặc D € C nhận giátrị trong không gian Fréchet F P pLB8q và trong cả hai trường hợp trên kết quả

có được là hàm f chỉnh hình trên một tập con mở trù mật của D [28, Theorem4.1, Theorem 4.2] Với điều kiện chúng tôi thêm vào “bị chặn trên các tập bị chặn”của hàm f thì kết luận “chỉnh hình trên một tập con mở trù mật của D” đượcthay bằng “chỉnh hình trên D” (Định lý 1.4.6) Chú ý rằng, trong một số trườnghợp (chẳng hạn, khi E là không gian Fréchet-Montel), tính “bị chặn trên các tập bị

chặn” của hàm f là yếu hơn so với tính “bị chặn địa phương” của hàm f Nhờ vàomột kết quả của Hải [28, Example 5.1] ta có thể chỉ ra rằng Định lý 1.4.6 khôngđúng đối với các hàm giải tích thực nhận giá trị Banach và vì vậy nói chung nócũng không đúng đối với các hàm giải tích thực nhận giá trị Fréchet tổng quát.Cuối cùng, từ Bổ đề 1.4.7 chúng tôi nhận được trực tiếp kết quả cho trường hợp

E Cn (Định lý 1.4.8)

Dựa vào các kết quả nghiên cứu của chương 1, chúng tôi sẽ khảo sát ở chương

2 bài toán thác triển chỉnh hình từ các tập đặc biệt Dựa vào ý tưởng của Meise vàVogt [46, Theorem 3.3, Theorem 3.9], chúng tôi đã xét bài toán này trong trườnghợp tổng quát hơn, đó là thác triển từ bao tuyến tính của một tập bị chặn (Định

lý 2.1.2 và Định lý 2.1.3), thác triển từ tập con compact không đa cực (Định lý2.2.3 và Định lý 2.2.4) Các kết quả này là sự tổng quát hóa kết quả của Frerick,Jordá và Wengenroth [22, Theorem 2.2] Từ tính chất kế thừa qua các không giancon của tính chất pDNq, như trong [22] chúng tôi nhận được kết quả về tính duynhất (Hệ quả 2.2.5) Hệ quả này khẳng định rằng, không gian con đóng nhỏ nhấtchứa ảnh của một tập compact không đa cực qua ánh xạ chỉnh hình bị chặn cũngchính là không gian miền giá trị nhỏ nhất của ánh xạ đó

Trong chương 3 chúng tôi nghiên cứu sự thác triển chỉnh hình của các hàm

pF, Wq-chỉnh hình phân biệt từ một tích của tập con L-chính quy compact trongr

không gian Stein với một không gian Stein đến một lân cận nào đó của nó (Định

lý 3.2.6) và của các hàm pF, Wq-chỉnh hình bị chặn với các tập con compact không

đa cực trên một tập chữ thập trong CpCq, trong đó F là không gian Fréchet và

W €F1 là một không gian con xác định tính bị chặn trong F (Định lý 3.3.1) TừĐịnh lý 3.3.1 chúng tôi cũng suy ra được rằng thớ theo từng thành phần của tập

kỳ dị của hàm f là các tập đa cực (Mệnh đề 3.3.2) Nếu ta thay F trong Định lý3.3.1 là không gian đầy đủ địa phương và điều kiện yếu hơn cho các họtufzu u PW,

tufwu u PW thì ta nhận được thác triển chỉnh hình của hàm f trên một tập có kỳ

dị (Định lý 3.3.3) Một số kết quả về hàm p, Wq-chỉnh hình với kỳ dị đa chính quycũng nhận được từ Định lý trên như là các hệ quả Chú ý rằng tính đa chính quy

là mạnh hơn tính không đa cực Vì vậy nếu ta thay giả thiết “không đa cực” của E

và G trong Định lý 3.3.1 bởi điều kiện mạnh hơn “đa chính quy” và điều kiện tăngthêm cho các họ tufzu uPW, tufwu uPW thì ta nhận được thác triển chỉnh hình

không có kỳ dị của hàm f (Định lý 3.3.6) Ý tưởng chính của phép chứng minh cácđịnh lý này là sử dụng kết quả gần đây của Frerick, Jordá và Wengenroth ([22],

có thể đảm bảo dãy các hàm chỉnh hình mà nó hội tụ trên một tập con của miền Dhội tụ trên toàn miền D Kết quả này là mở rộng kết quả của Arendt và Nikolski(Định lý 4.2.3) Trong phần cuối của chương này, chúng tôi trình bày các định lýkiểu Vitali đối với dãy các hàm chỉnh hình giữa các không gian Fréchet-Schwartz

có bất biến tôpô tuyến tính (Định lý 4.2.5)

Luận án được viết dựa trên các công trình [61–63] Các kết quả của luận ánđược báo cáo tại:

• Seminar Khoa Toán, Trường Đại học Quy Nhơn;

• Hội nghị Toán học phối hợp Việt-Pháp tại Huế, 20-24/08/2012;

• Hội thảo Toán học Châu Á, 2013 tại Busan, Korea, 30/06-04/07/2013;

• Đại hội Toán học Việt Nam lần thứ 8 tại Nha Trang, 10-14/08/2013;

• Hội nghị Toán học Miền Trung-Tây Nguyên tại Quy Nhơn, 12-14/08/2015

Đối với không gian Fréchet E, chúng tôi luôn giả thiết rằng cấu trúc lồi địaphương của nó được sinh bởi dãy tăng t}  } k ucủa các nửa chuẩn Khi đó ta ký hiệu

Ek là bổ sung của không gian định chuẩn chính tắc E{ker}  } k và ωk : E ÑEk là

ký hiệu ánh xạ chính tắc và Uk  tx P E : }x} k   1u Đôi khi để thuận tiện ta giảthiết tUku k PN là cơ sở lân cận của 0 và ta ký hiệu UpEq

Nếu B là tập con lồi tuyệt đối của E ta xác định chuẩn }  }B trên E1, khônggian đối ngẫu mạnh của E, với giá trị trong r0, 8s như sau

}u}B  supt|upxq|: xP Bu

Thay cho }  }Uk ta viết }  }k Ký hiệu EB là bao tuyến tính của B, và nó sẽ trởthành không gian định chuẩn một cách chính tắc nếu B bị chặn Không gian Eđược gọi là đầy đủ địa phương nếu mọi không gian EB là Banach với mọi B P B,trong đó BpEq là tập tất cả các tập con lồi, cân, đóng, bị chặn trong E Ta cũng

sử dụng ký hiệu KpEq để chỉ tập tất cả các tập con compact, lồi, cân trong E.Đối với không gian phức, không gian Stein, chúng tôi sử dụng các khái niệm

và ký hiệu được trình bày trong sách của Fischer [19]

Trong chương này chúng tôi nghiên cứu về tính chỉnh hình của hàm p, Wqchỉnh hình Phần đầu chúng tôi trình bày một số khái niệm về không gian các dãyK¨othe, các bất biến tôpô tuyến tính, các hàm chỉnh hình, mầm chỉnh hình, hàm

-đa điều hòa dưới, tập cực, tập -đa cực, tập -đa chính quy Các hàm chỉnh hình bịchặn địa phương với các không gian thuộc các lớp tổng quát có các bất biến tôpôtuyến tính được khảo sát ở phần tiếp theo của chương Phần cuối chương là cácnghiên cứu về tính chỉnh hình của hàm σp, Wq-chỉnh hình Các kết quả mới củachương này được trích ra từ công trình [61]

1.1 Một vài khái niệm

1.1.1 Không gian các dãy K¨ othe

Định nghĩa 1.1.1 ([56]) Cho A  paj,kqpj,kqPN2 là một ma trận K¨othe thỏa mãncác điều kiện:

jÑ 8αj  8;(ii) 0  rk  rk 1, lim

k Ñ 8rk r, 0 r ¤ 8,thì không gian

được gọi là không gian các chuỗi lũy thừa

Nếu r hữu hạn thì Λrpαq được gọi là không gian các chuỗi lũy thừa loại hữuhạn

Nếu r  8 thì Λ8pαq được gọi là không gian các chuỗi lũy thừa loại vô hạn.

1.1.2 Các bất biến tôpô tuyến tính

Định nghĩa 1.1.3 ([82]) Cho E là không gian Fréchet với tôpô xác định bởi họtăng các nửa chuẩn t}  } k u Ta nói E có tính chất

pΩq: nếu @p Dq @k, Dd, C ¡0 sao cho

• Λ8pαq P pΩq nhưng R prΩq

• Λ1pαq P pΩq

• Tồn tại không gian hạch E P pLB8q nhưng E R prΩq

• Tồn tại không gian hạch E P prΩq nhưng E R pΩq

• Vì E 2π pRq : tf P C8pRq : f tuần hoàn chu kỳ 2πu  Λ8plogp1 jqq  s,nên E 2π pRq P pΩq

Định nghĩa 1.1.4 ([46]) Cho E là không gian Fréchet với tôpô xác định bởi họtăng các nửa chuẩn t}  } k u Giả sử B P BpEq Ta nói E có tính chất

prΩBq: nếu @ p D q, d, C ¡0 sao cho

pLB8q: nếu @dn Ò 8,Dp @qDkq ¥q, Cq ¡0,@x PE,Dm : q ¤m¤kq sao cho

• Λ1pαq P pDNq nhưng R pDNq với mọi α.

• Cũng nhờ lập luận như trên ta có E 2π pRq P pDNq

Chú ý rằng, từ các bất đẳng thức Cauchy dễ thấy rằng ánh xạ f ÞÑ fpjqp0q

j! xácđịnh một đẳng cấu giữa HpCq với Λ8pjq; và giữa Hp∆q với Λ1pjq, ở đây ∆ là hìnhcầu đơn vị mở trong C Trong trường hợp nhiều biến phức, ta có một cách sắp xếpcác hệ số Taylor của các hàm chỉnh hình để thấy rằng

Giả sử D là tập con mở hữu hạn của không gian véctơ E và F là không gianlồi địa phương Hàm f : D ÑF được gọi là hàm chỉnh hình Gâteaux hay G-chỉnhhình nếu với mỗi aP D, bP E và u PF1 hàm giá trị phức của một biến số phức

λ ÞÝÑufpa λbq

là chỉnh hình trên lân cận của 0 PC

Ký hiệu HGpD, Fqlà tập tất cả các hàm G-chỉnh hình trên D nhận giá trị trong

F Khi F C, để đơn giản ta thay HG pD, Cq bởi HGpDq

Định nghĩa 1.1.7 ([16]) Cho E và F là các không gian lồi địa phương và H 

D €E là mở Hàm f : D ÑF được gọi là hàm chỉnh hình nếu f liên tục và uf

là hàm chỉnh hình Gâteaux với mọi u PF1

Ký hiệu HpD, Fq là không gian véctơ của tất cả các hàm chỉnh hình trên Dnhận giá trị trong F Khi F  C, để đơn giản ta thay HpD, Cq bởi HpDq Tôpô

mở compact trên HpD, Fq được ký hiệu là τo

Không gian của tất cả các hàm chỉnh hình đi từ E vào F mà bị chặn trên cáctập bị chặn trong E được ký hiệu là HbpE, Fq, không gian này được trang bị tôpô

τb hội tụ đều trên các tập bị chặn Ký hiệu H8pD, Fq là không gian con của tất

cả các hàm bị chặn trong HpD, Fq Để đơn giản ta thay H8pD, Cq bởi H8pDq.Định nghĩa 1.1.8 ([16]) Giả sử K là một tập con compact trong E Ký hiệu

HpKq là không gian các mầm hàm chỉnh hình trên K, được trang bị với tôpô giớihạn quy nạp

HpKq lim ind

U ×K H

8 pUq,trong đó U chạy trên tất cả các lân cận của K trong E

Ký hiệu Ωpfq  tz P D : f chỉnh hình tại zu Khi đó Spfq:DzΩpfq được gọi

là tập kỳ dị của f

1.1.4 Hàm đa điều hòa dưới

Định nghĩa 1.1.9 ([20]) Cho E là không gian lồi địa phương, Ω €E là tập con

mở, u : Ω Ñ r
8, 8q là hàm nửa liên tục trên Hàm u được gọi là đa điều hòadưới trên Ω nếu u là hàm điều hòa dưới trên mọi đường thẳng phức trong Ω

Tập hợp tất cả các hàm đa điều hòa dưới trên Ω, ký hiệu là P SHpΩq

Ví dụ 1.1.10 Cho E là không gian lồi địa phương, Ω€E là tập con mở và F làkhông gian véctơ với nửa chuẩn }  } Nếu f : Ω Ñ F là hàm chỉnh hình thì hàm

z ÞÝÑ log}fpzq} là đa điều hòa dưới trên Ω

Định nghĩa 1.1.11 ([20]) Cho X là đa tạp phức, u : X Ñ r
8, 8q là hàm nửaliên tục trên Hàm u được gọi là đa điều hòa dưới trên X nếu uf là hàm điều hòadưới trên ∆ với mọi ánh xạ chỉnh hình f : ∆ÑX trên đĩa ∆  tz P C :|z|  1u

1.1.5 Tập cực, tập đa cực, tập đa chính quy

Định nghĩa 1.1.12 ([16]) Cho D là tập con mở của không gian lồi địa phương

E Tập B € D được gọi là tập cực nếu tồn tại một hàm đa điều hòa dưới v trên

D, v 
8 sao cho B € txP D : vpxq 
8u

Chú ý rằng nếu E  Cnpn ¥ 2q thì B được gọi là tập đa cực Josefson [43,Theorem 4.7.4] đã chỉ ra rằng một tập con X của Cn là đa cực nếu và chỉ nếu tồntại ϕ PP SHpCnq, ϕ 
8 sao cho

uK,Ωpzq ωpz, K, Ωq lim sup

Ω Qz 1 Ñz uK,Ωpz1q, z P Ωđược gọi là hàm chính quy hóa nửa liên tục trên của uK,Ω

Định nghĩa 1.1.14 ([86]) Điểm aP Ω được gọi là điểm đa chính quy địa phương(hay L-chính quy địa phương) của K nếu a PK và ωpa, K, Uq  0 với mọi lân cận

U của a trong Ω Hơn nữa, K được gọi là đa chính quy địa phương (hay L-chínhquy địa phương) nếu nó đa chính quy địa phương tại mọi điểm a P K

Ký hiệu K là tập tất cả các điểm đa chính quy của K (trong Ω) Trong [10]Bedford và Taylor đã chứng minh được kết quả sau:

Định lý 1.1.15 ([10]) Nếu K là không đa cực thì K là không đa cực và KzK

là đa cực

Định nghĩa 1.1.16 ([86]) Tập K được gọi là đa chính quy (hoặc L-chính quy)nếu ωp, K XU, Uq 0 trên K với mọi lân cận U của K

Định nghĩa 1.1.17 ([86]) Tập K được gọi là L-chính quy nếu ωr p, KXU, Uq  1

trên K với mọi lân cận U của K

Để chuẩn bị công cụ cho các phép chứng minh, chúng ta nhắc lại một số kếtquả sau:

Bổ đề 1.1.18 ([70]) Cho Z là không gian Stein Khi đó HpZq P pDNq nếu và chỉnếu HpZzHq P pDNq với tất cả các siêu mặt H €Z chứa tập kỳ dị SpZq của Z.Định lý 1.1.19 ([44]) Giả sử E là không gian Fréchet hạch có tính chất xấp xỉ

bị chặn và B là một tập compact, lồi, cân trong E Khi đó các khẳng định sau làtương đương:

(i) E P prΩBq;

(ii) rHpBqs1 P pLB8q;

(iii) B là không đa cực

Bổ đề 1.1.20 ( [31]) Cho K là tập compact trong không gian phức X sao cho

rHpKqs1β P pLB8q Khi đó K là tập duy nhất, nghĩa là nếu f P HpKq và f| K  0thì f 0 trên lân cận nào đó của K

Định lý 1.1.21 ([31]) Cho K là tập con compact trong không gian Stein X Khi

đó các điều kiện sau là tương đương:

1.2 Một số đặc trưng mới của tính chất p Ω q

Trong hầu hết các kết quả đã có trước đây khi khảo sát các hàm chỉnh hìnhgiá trị Fréchet trên một không gian Fréchet E thì người ta chỉ khảo sát khi E cùnglắm là có tính chất pLB8q, rất ít kết quả đạt được trên lớp không gian rộng nhất

pΩq (được phân lớp theo các bất biến tôpô tuyến tính) Sở dĩ như vậy là do các tácgiả còn vướng mắc một số về vấn đề kỹ thuật xuất phát từ định nghĩa của tínhchất này

Mục này sẽ đưa ra một số đặc trưng mới của tính chất pΩq nhằm khắc phụcvấn đề nêu trên Nhờ các đặc trưng này một số vấn đề về hàm chỉnh hình trên lớpkhông gian rộng nhất pΩq cũng đạt được trong chương này.

Mệnh đề 1.2.1 Cho E là không gian Fréchet Khi đó E P pΩq nếu và chỉ nếu

Ta sẽ chứng minh rằng với mọi k ¥ k0 thì

rCpkq}u}B }u}dk

p s 1 dk1 ¤rdk }u}B

Dpkq

r }u}p, @r¡0, (1.1)trong đó

Dpkq  rCpkqs

1 dk

Uq €rdkB Cpkq

r Up.Điều kiện đủ Giả sử Dtdnu Ò 8, @pDq Dko @k ¥ko DCpkq ¡ 0 sao cho

Do đó

}u}q ¤rdk }u}B Cpkq

r }u}p, @uP E1, r ¡0, k¥ k0.Suy ra

Cpkq  rDpkqs

1 dk

αpnqUq €ndkαpnqB 2αpnqεpnq

n Up.Đặt C 2 max

Với mỗi r ¡0, ta đặt trMpkq dk Khi đó

1.3 Hàm chỉnh hình bị chặn địa phương

Tính bị chặn địa phương của hàm đóng vai trò quan trọng trong bài toán chỉnhhình yếu và thác triển chỉnh hình Kết quả chính của phần này là thiết lập tính bị

chặn địa phương của các hàm chỉnh hình giữa các không gian Fréchet với các bấtbiến tôpô tuyến tính.

Trong [82] Vogt đã chứng minh được rằng một không gian Fréchet F P pLB8q

nếu và chỉ nếu

LpΛ8pαq, Fq LBpΛ8pαq, Fq, (LB)trong đó LpE, Fq không gian các ánh xạ tuyến tính liên tục giữa các không gianlồi địa phương E, F và LBpE, Fqlà tập hợp tất cả A P LpE, Fq mà tồn tại lân cận

U của 0 trong E sao cho ApUq là bị chặn Chú ý rằng Λ8pαq P pΩq với mọi α.Chúng tôi muốn mở rộng tính chất pLBq cho không gian các hàm chỉnh hình.Định nghĩa 1.3.1 ([15]) Một hàm chỉnh hình f P HpD, Fq được gọi là bị chặnđịa phương trên D nếu với mọi z P D tồn tại một lân cận Uz của z sao cho fpUzq

là bị chặn trong F

Đặt HLBpD, Fq  f PHpD, Fq: f bị chặn địa phương trên D(

.Vấn đề được đặt ra ở đây là tìm các điều kiện của E và F sao cho

HLBpD, Fq  HpD, Fq (HLB)với mọi tập mở D trong E

Định lý sau là một phiên bản chỉnh hình của pLBq nhưng với các không gianthuộc các lớp tổng quát có các bất biến tôpô tuyến tính

Định lý 1.3.2 Cho E, F là các không gian Fréchet Giả sử E có một cơ sở tuyệtđối Khi đó, đẳng thức pHLBq xảy ra với mọi tập mở D trong E nếu một tronghai điều kiện sau thỏa mãn:

(a) Trường hợp E là không gian Banach.

Chọn một dãy con tεku Ó0 của δd1

và Pynf là đa thức đối xứng cảm sinh bởi Pnf.

Với mỗi s mà q ¤s¤kpqq ta định nghĩa

Khi đó F 

kpqq ¤

sq

Fs Hơn nữa, không mất tính tổng quát ta có thể giả sử các tập

Jns rời nhau Khi đó từ (1.3), (1.4) và (1.5) ta suy ra

với }x}   εp 1

(b) Trường hợp E là không gian Fréchet

Giả sử teju jPI là cơ sở tuyệt đối của E và teju jPI là dãy các phiếm hàm tọa

độ tương ứng với cơ sở này Từ Định lý ánh xạ mở ta có thể giả sử hệ nửa chuẩn

t}  } α u xác định tôpô trên E thỏa mãn

Rõ ràng }ej}k 0 với mọi j ¥1, và vì

}ej}K 2  }ej}K 1, @ j ¥1,nên ta suy ra rằng

}ej}K  }ej}K1, @ j ¥1

Do đó

}ej}Kej P K, @ j ¥1,hay

ej P 1}ej}KK, @j ¥1.

Điều này có nghĩa là

Lấy z0 P D Ta chứng minh rằng f là bị chặn địa phương tại z0 Vì HpD, Fq 

HpD
z0, Fq và tính chất địa phương của khái niệm chỉnh hình nên không mấttính tổng quát ta có thể giả sử D là lồi, cân và z0 0

Xét khai triển Taylor của hàm f tại 0 P E :

Mpα, pq supt}fpxq} p :}x} α  1u   8

Cpqq 1 dk1 Cpkq 1 dkn |ej1pxq| .|ejnpxq|}ej1} β .}ejn} β



 } yPnfpej1, , ejnq} k

}ej1} K .}ejn} K

1 dk  } yPnfpej1, , ejnq} p

Định nghĩa 1.4.1 ([28]) Cho E, F là các không gian lồi địa phương, D là tập

mở trong E và W là tập con của F1 Hàm f : D Ñ rF, σpF, Wqs được gọi là

σpF, Wq-chỉnh hình nếu uf là hàm chỉnh hình với mọi u PW

Định nghĩa 1.4.2 ([8]) Cho F là không gian lồi địa phương và W €F1 Tập Wđược gọi là

(i) tách điểm nếu upxq 0 với mỗi u P W suy ra x 0;

(ii) xác định tính bị chặn nếu mọi tập con B €F là bị chặn khi upBq là bị chặntrong C với mọi uP W ;

(iii) xác định tôpô của F nếu tôpô của F là tôpô hội tụ đều trên các tập bị chặncủa F1 chứa trong W.

Rõ ràng, nếu W €F1 xác định tính bị chặn trong F hoặc xác định tôpô của F thì

σpF, Wq-chỉnh hình thì f chỉnh hình trên một tập con mở trù mật của D

Hải [28] đã chỉ ra rằng Định lý 1.4.4 không đúng trong trường hợp hàm giải tíchthực, thậm chí hàm giải tích thực nhận giá trị Banach Hải cũng chỉ ra điều ngượclại của Định lý 1.4.5 là không đúng Chúng tôi mở rộng hai định lý này, với điềukiện thêm vào “bị chặn trên các tập bị chặn” của hàm f thì kết luận “chỉnh hìnhtrên một tập con mở trù mật của D” được thay bằng “chỉnh hình trên D” Chú ýrằng, trong một số trường hợp (chẳng hạn, khi E là không gian Fréchet-Montel),tính “bị chặn trên các tập bị chặn” của hàm f là yếu hơn so với tính “bị chặn địaphương” của hàm f

Định lý 1.4.6 Cho E, F là các không gian Fréchet-Schwartz và D là tập con mởtrong E Giả sử E P pΩq, E có cơ sở Schauder tuyệt đối, F P pLB8q, W €F1 xácđịnh tôpô của F Khi đó nếu f : D ÑF là hàm σpF, Wq-chỉnh hình, bị chặn trêncác tập bị chặn trong D thì f là chỉnh hình

Để chứng minh định lý này, chúng ta cần kết quả quan trọng sau Bổ đề này

là một kết quả tương tự như [8, Theorem 3.1]

Bổ đề 1.4.7 Cho E là không gian Fréchet, D €E là tập mở và F là không gianFréchet Giả sử f : D ÑF là một hàm bị chặn địa phương sao cho ϕf là chỉnhhình với mọi ϕ PW € F1, W là tách điểm Khi đó f là hàm chỉnh hình

Phép chứng minh của bổ đề lặp lại hoàn toàn như phép chứng minh của Định

lý 3.1 trong [8], nhưng ở đây chúng tôi sử dụng Định lý Vitali [11, Theorem 6.2]đối với một dãy của các hàm chỉnh hình trên một tập con mở liên thông của mộtkhông gian lồi địa phương thay vì Định lý 2.1 trong [8]

Bây giờ, chúng ta sẵn sàng để đưa ra chứng minh của Định lý 1.4.6 như sau.Chứng minh của Định lý 1.4.6

Vì HpD, Fq  HpD
ξ, Fqvới mọi ξ PE, không mất tổng quát ta có thể giả sử

0 P D Theo Mệnh đề 1.2.3, tồn tại B P BpEq để E P pΩBq Vì f bị chặn trên tất

cả các tập bị chặn trong E nên f là bị chặn địa phương trên không gian Banach

EB cảm sinh từ B Chú ý rằng tôpô τ của EB là mạnh hơn tôpô τE của EB cảmsinh bởi tôpô của E

Theo Bổ đề 1.4.7, f là chỉnh hình trên EB XD, nói cách khác f P HbppEB X

D, τq, Fq, trong đó HbppEB XD, τq, Fq là không gian của các hàm chỉnh hình bịchặn trên tất cả các tập bị chặn của EBXD với giá trị trong F Ta viết khai triểnTaylor của f

fpxq  ¸8

n0

Pnfpxq với x P EBXD,trong đó

supt}Pnpxq} p : xP D0XUαu ¤supt}fpxq} p : xP D0XUαu Mp,α.

Vì D0 trù mật trong D nên ta có thể giả sử

supt}Pnpxq} p : xP Uαu Mp,α   8

(a) Trước hết, ta xét trường hợp teju j¥1 € EB và teju j¥1 là cơ sở Schauder

tuyệt đối của E Khi đó }ej} 

Bej hội tụ đến 0 P E Xét tập con lồi tuyệt đối, bịchặn

Bây giờ với s ¡0, xP D,}x} β ¤s, với mọi q ¥maxpγo, pq ta có

N  spantpz1, y1q, ,pzn, ynqu Ta có N €EB, ImSXN  t0u và ImS `N E.Hơn nữa, tpzi, yiq: 1¤i ¤nu là một cơ sở của N.

Định nghĩa ánh xạ

r

S : E `N ÑImS `N  Exác định bởi

r

Spx, tq  pSpxq, tq

Ta suy ra rằng S là toàn ánh tuyến tính liên tục và kerr Sr  ker S  t0u, do đó

dim kerSr  8 Hơn nữa, Sr ”

j ¥1 pej, 0q, pz1, y1q, ,pzn, ynq€EB Ta có

E`N kerSr`E `N{kerS.r

Đặt B2  prS
1pBq trong đó S là một phép đẳng cấu từ Epr `N /kerS vào trong Er

cảm sinh bởi S Khi đó Er `N /kerS có tính chấtr pΩB

2 q Chọn một tập con lồi cânđóng bị chặn B1 trong kerS sao cho kerr S có tính chấtr pΩB

Khi đó B là một tập con lồi cân đóng bị chặn trong Er `N và E`N có tính chất

pΩBrq Hơn nữa, Srp rBq €EpBq và spanB chứa cơ sở tuyệt đốir

(c) Trong trường hợp tổng quát ta chọn α (ta có thể giả sử rằng α 1) sao cho

supt}fpzq} p : z P U1 u   8.Đặt

J  tj P N :}ej} 1 0u

và viết

E  E1`E2,trong đó E1 là không gian con của E với cơ sở Schauder tuyệt đối tej, j P Ju và

có chuẩn }  } 1 | E 1 liên tục và E2  ker}  } 1 Cho π1 : E ÑE1 là phép chiếu chínhtắc Chú ý rằng U1  U11 E2 trong đó U11  π1pU1q  tx1 P E1 : }x1} 1   1u.Hơn nữa, nếu E P pΩBqthì E1 P pΩB1q, trong đó B1 π1pBq Mặt khác, theo Định

lý Liouville f có thể được phân tích thông qua π1 : E Ñ E1 bởi f1 : EB11 Ñ Fvới f1px1q  fpx1, 0q, x1 P EB11 Áp dụng (b) cho f1 ta nhận được một hàm chỉnhhình loại bị chặn f1 : E1 Ñ F mà nó là một thác triển chỉnh hình của f1 Đặt

g  f1π1 : E ÑF Khi đó g là một hàm chỉnh hình loại bị chặn và g là một tháctriển chỉnh hình của f Định lý được chứng minh 

Nhận xét Trong Định lý 1.4.6, nếu f : D Ñ F là hàm σpF, Wq-chỉnh hình saocho qf : D ÑR là bị chặn trên các tập bị chặn trong D với tất cả các nửa chuẩnliên tục q trên F thì hàm f cũng chỉnh hình

Chú ý Từ Ví dụ 5.1 trong [28] của Hải ta có thể khẳng định rằng Định lý 1.4.6không đúng đối với các hàm giải tích thực nhận giá trị Banach và vì vậy nói chung

nó cũng không đúng đối các hàm giải tích thực nhận giá trị Fréchet tổng quát

Từ Bổ đề 1.4.7 ta nhận được trực tiếp kết quả sau cho trường hợp E Cn, vìmọi tập W xác định tôpô trong F đều tách điểm và các hàm f bị chặn trên cáctập bị chặn trong Cn đều bị chặn địa phương Đây là một tổng quát thật sự củaĐịnh lý 1.4.5

Định lý 1.4.8 Cho F là không gian Fréchet và W là không gian con F1 xác địnhtôpô của F Khi đó nếu f : D ÑF là hàm σpF, Wq-chỉnh hình trên tập mở D€Cn(n ¥1) sao cho f là bị chặn trên các tập bị chặn trong D thì f là chỉnh hình.Như vậy chương 1 đã trình bày các kết quả chính sau:

• Đưa ra các đặc trưng mới pΩ8q và pΩBq cho bất biến tôpô tuyến tính pΩq

(Mệnh đề 1.2.1 và Mệnh đề 1.2.3)

• Khẳng định rằng mọi hàm chỉnh hình trên một tập mở của không gianFréchet E nhận giá trị trong không gian Fréchet F đều bị chặn địa phươngkhi E P pΩq(tương ứngprΩq) và F P pLB8q(tương ứngpDNq) (Định lý 1.3.2).

• Với W € F1 là tập xác định tôpô của không gian Fréchet F và D là tậpcon mở trong không gian Fréchet-Schwartz E thì điều kiện để đảm bảo chotính chỉnh hình của bất kỳ hàm σpF, Wq-chỉnh hình, bị chặn trên các tập bịchặn trong D là E P pΩq, E có cơ sở Schauder tuyệt đối, F P pLB8q (Định

lý 1.4.6)