phương trình và trình bày điều kiện cần và đủ cho tính ổn định mũ của phương trình qua các hàm Lyapunov

Tính ổn định của phương trình động lực ngẫu nhiên trên thang thời gian.. Các kết quả nghiên cứu về giải tích trên thang thời giancho phép chúng ta xây dựng được mô hình toán học của các

Lời cảm ơn

Luận văn được thực hiện tại trường Đại học khoa học tự nhiên - ĐHQGHN dưới sựhướng dẫn tận tình, chu đáo của thầy giáo, GS.TS Nguyễn Hữu Dư Tôi xin được bày tỏlòng biết ơn sâu sắc nhất tới Thầy, người đã chỉ dạy tác giả những kiến thức, kinh nghiệmtrong học tập, nghiên cứu khoa học và các bài học trong cuộc sống

Tôi xin gửi lời cảm ơn chân thành tới Ban chủ nhiệm khoa Toán - Cơ - Tin, Phòng sauđại học, trường Đại học Khoa học Tự nhiên - Đại học Quốc Gia Hà Nội Tôi cũng xin gửilời cảm ơn chân thành tới các Thầy, Cô giáo trong Bộ môn Lý thuyết xác suất và thống

kê toán, khoa Toán - Cơ - Tin đã nhiệt tình giảng dạy trong suốt quá trình học tập tạiKhoa

Nhân dịp này tôi cũng xin được gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình, bạn bè đã luôngóp ý, cổ vũ, động viên, giúp đỡ tôi trong suốt quá trình học tập và thực hiện luận văn

Hà Nội, ngày tháng năm 2015

Học viên

Mục lục

Chương 1 Một số kiến thức chuẩn bị 5

1.1 Các khái niệm cơ bản về giải tích trên thang thời gian 5

1.2 Quá trình ngẫu nhiên trên thang thời gian 15

Chương 2 Tích phân ngẫu nhiên trên thang thời gian 20

2.1 Tích phân ngẫu nhiên trên thang thời gian 20

2.2 Công thức Itô và ứng dụng 26

2.3 Phát biểu bài toán martingale 36

Chương 3 Tính ổn định của phương trình động lực ngẫu nhiên trên thang thời gian 42

3.1 Phương trình động lực ngẫu nhiên trên thang thời gian 42

3.2 Ước lượng moment 54

3.3 Tính ổn định của phương trình động lực ngẫu nhiên trên thang thời gian 60

Tài liệu tham khảo 71

Lời mở đầu

Giải tích ngẫu nhiên là một lĩnh vực toán học nghiên cứu các phép tính giải tích (tíchphân, đạo hàm, tính liên tục, khả vi, ) đối với quá trình ngẫu nhiên, nhằm mục đíchxây dựng các mô hình toán học cho các hệ động lực có sự tác động của các yếu tố ngẫunhiên Do đó, giải tích ngẫu nhiên là ngành khoa học có nhiều ứng dụng trong sinh học,

y học, vật lý học, kinh tế học, khoa học xã hội, và được nhiều nhà toán học quantâm nghiên cứu Cho đến nay giải tích ngẫu nhiên với thời gian rời rạc và thời gian liêntục đã được nghiên cứu khá đầy đủ

Khi xây dựng mô hình toán học cho các hệ thống tiến triển theo thời gian, người tathường giả thiết hệ thống hoạt động liên tục hoặc rời rạc đều, tức là các thời điểm quansát cách nhau một khoảng cố định Từ đó, các phép giải tích liên tục (phép tính vi phân)

và rời rạc (phép tính sai phân) được nghiên cứu để mô tả hệ thống tương ứng với các giảthiết lý tưởng được đặt ra Tuy nhiên, trên thực tế, hầu hết các hệ thống hoạt động khônghoàn toàn liên tục và cũng không hoàn toàn cách đều nhau Đôi khi các quan sát còn xenlẫn các khoảng thời gian liên tục với các thời điểm rời rạc Chẳng hạn một loài sâu nào

đó chỉ phát triển trong mùa hè nhưng đến mùa đông thì sự phát triển của chúng bị giánđoạn Vì vậy, trong nhiều trường hợp, phương trình vi phân hoặc sai phân không đủ để

mô tả các thông tin cần thiết của mô hình Lý thuyết thang thời gian ra đời nhằm khắcphục nhược điểm này Lý thuyết được đưa ra lần đầu tiên vào năm 1988 bởi S Hilger,một nhà Toán học người Đức Các kết quả nghiên cứu về giải tích trên thang thời giancho phép chúng ta xây dựng được mô hình toán học của các hệ thống tiến triển khôngđều theo thời gian, phản ánh đúng mô hình thực tế Do đó, chủ đề thang thời gian thuhút được sự quan tâm nghiên cứu của nhiều nhà toán học trên thế giới và đã có nhiềucông trình được công bố trên các tạp chí toán học có uy tín

Cho đến nay, các kết quả nghiên cứu về thang thời gian chủ yếu ở giải tích tất định

Vì thế các kết quả này chỉ mô tả được các mô hình phát triển trong các điều kiện môi

trường không có nhiễu biến đổi Tuy nhiên, các mô hình thực tế phải tính đến các yếu

tố ngẫu nhiên tác động vào Mục đích của luận văn là trình bày các kết quả về giải tíchtrên thang thời gian của các mô hình ngẫu nhiên

Bố cục của luận văn bao gồm ba chương:

• Chương 1 trình bày những vấn đề cơ bản về giải tích tất định và quá trình ngẫu

nhiên trên thang thời gian

• Chương 2 trình bày tích phân ngẫu nhiên theo martingale bình phương khả tích;

công thức Itô đối với bộ d −semimartingale trên thang thời gian và phát biểu bài

toán martingale

• Chương 3 trình bày phương trình động lực ngẫu nhiên trên thang thời gian với nhiễu

là martingale bình phương khả tích; công thức ước lượng moment đối với nghiệmcủa phương trình và trình bày điều kiện cần và đủ cho tính ổn định mũ của phươngtrình qua các hàm Lyapunov

Do kiến thức còn hạn chế nên khi làm luận văn không tránh khỏi những hạn chế và saisót Tác giả mong nhận được sự góp ý và những ý kiến phản biện của quý thầy cô và bạnđọc Xin chân thành cảm ơn!

Hà Nội, ngày tháng năm 2015

Học viên

Chương 1

Một số kiến thức chuẩn bị

Trong chương này, tôi trình bày một số kết quả cơ bản của giải tích tất định và quátrình ngẫu nhiên trên thang thời gian để làm cơ sở cho việc trình bày nội dung chính củaluận văn ở các chương sau

1.1 Các khái niệm cơ bản về giải tích trên thang thời gian

Các kết quả trình bày trong mục này được tham khảo từ các tài liệu [1] và [2]

Định nghĩa 1.1.1 Một tập con đóng, khác rỗng của tập số thực R được gọi là thang thời gian (time scales) Ký hiệu thang thời gian làT.

Dễ thấy rằng các tập hợp: R, Z, N, N0, [0, 1] ∪ [2, 3], [0, 1] ∪N và tập Cantor là cácthang thời gian

Trong khi đó, các tập hợp: Q, R Q, (0, 1) không phải là các thang thời gian vì chúng

xạ ρ :T→T xác định bởi

ρ(t) = inf {s ∈T: s > t }, được gọi là toán tử bước nhảy lùi (backward jump operator) trên thang thời gian T.

Quy ước inf∅ = supT(nghĩa là σ(M ) = M nếu thang thời gianTcó phần tử lớn nhất

là M ) và sup ∅ = infT (nghĩa là ρ(m) = m nếu thang thời gian T có phần tử nhỏ nhất

là m).

Định nghĩa 1.1.3 Giả sử T là một thang thời gian Một điểm t ∈ T được gọi là trù mật phải (right-dense) nếu σ(t) = t, cô lập phải (right-scattered) nếu σ(t) > t, trù mật trái (left-dense) nếu ρ(t) = t, cô lập trái (left-scattered) nếu ρ(t) < t và là điểm cô lập (isolated) nếu t vừa cô lập trái vừa cô lập phải.

Với mỗi a, b ∈T, kí hiệu [a, b] là tập hợp {t ∈ T: a ≤ t ≤ b}, tương tự, kí hiệu các tập

hợp (a, b] ; (a, b) ; [a, b) tương ứng là các tập hợp {t ∈ T: a < t ≤ b}; {t ∈T: a < t < b }; {t ∈T: a ≤ t < b} Kí hiệuTa ={t ∈ T : t ≥ a} và

ν : k T→R+ xác định bởi

ν(t) = t − ρ(t), được gọi là hàm hạt lùi (backward graininess function) trên thang thời gian T.

Ví dụ 1.1.1. • Nếu T=R thì ρ(t) = t = σ(t), µ(t) = ν(t) = 0.

• Nếu T=Z thì ρ(t) = t − 1, σ(t) = t + 1, µ(t) = ν(t) = 1.

• Với h là số thực dương, chúng ta định nghĩa thang thời gian T= hZ như sau:

hZ={kh : k ∈Z} = { − 3h, −2h, 0, h, 2h, 3h, } , khi đó ρ(t) = t − h, σ(t) = t + h, µ(t) = ν(t) = h.

• Với a, b là các số thực dương, ta xét thang thời gian T=Pa,b như sau

• Với n ∈ N0, xét dãy số điều hòa

Định nghĩa 1.1.5 Cho hàm số f :T→R Hàm số f được gọi là

i) chính quy (regulated) nếu f có giới hạn trái tại các điểm trù mật trái và có giới hạn phải tại các điểm trù mật phải.

ii) rd-liên tục (rd-continuous) nếu f liên tục tại các điểm trù mật phải và có giới hạn trái tại các điểm trù mật trái Tập các hàm rd-liên tục kí hiệu là C rd hoặc C rd(T,R).

iii) ld-liên tục (ld-continuous) nếu f liên tục tại các điểm trù mật trái và có giới hạn phải tại các điểm trù mật phải Tập các hàm ld-liên tục kí hiệu là C ld hoặc C ld(T,R) Giả sử f :T→Rlà một hàm số xác định trên T Khi đó, chúng ta viết f ρ :T→Rlà

hàm số xác định bởi f ρ = f ◦ρ, nghĩa là f ρ (t) = f (ρ(t)) với mọi t ∈ kT Kí hiệu lim

σ(s) ↑t f (s)

bởi f (t − ) hoặc f t − nếu tồn tại giới hạn trái Ta thấy rằng nếu t là điểm cô lập trái thì

f t − = f ρ (t).

Định lý 1.1.1 Giả sử f :T→R là một hàm xác định trên T Khi đó,

i) Nếu f là hàm số liên tục thì f là hàm số rd-liên tục và ld-liên tục.

ii) Nếu f là hàm số rd-liên tục thì f là hàm số chính quy.

iii) Toán tử bước nhảy tiến σ là hàm số rd-liên tục.

iv) Toán tử bước nhảy lùi là hàm số ld-liên tục.

v) Nếu f là hàm số ld-liên tục thì f ρ cũng là hàm số ld-liên tục.

Định nghĩa 1.1.6 Giả sử f là một hàm số xác định trên T, nhận giá trị trên R Hàm

số f được gọi là có ∇-đạo hàm (có đạo hàm Hilger hoặc đơn giản có đạo hàm) tại t ∈ kT

nếu tồn tại f ∇ (t) ∈R sao cho với mọi ε > 0 tồn tại một lân cận U của t để

f (ρ(t)) − f(s) − f ∇ (t)(ρ(t) − s) ≤ ε |ρ(t) − s| với mọi s ∈ U.

f ∇ (t) ∈R được gọi là ∇-đạo hàm của hàm số f tại t.

Nếu hàm số f có ∇-đạo hàm tại mọi điểm t ∈ kTthì f được gọi là có ∇-đạo hàm trên

T

Ví dụ 1.1.2. • Nếu T=R thì f ∇ (t) ≡ f ′ (t) chính là đạo hàm thông thường.

• Nếu T=Z thì f ∇ (t) = f (t) − f(t − 1) chính là sai phân lùi cấp một.

Định lý 1.1.2 Giả sử f :T→R là một hàm số xác định trên T và t ∈ kT Khi đó, i) Nếu hàm số f có ∇-đạo hàm tại t thì f là hàm số liên tục tại t.

ii) Nếu hàm số f liên tục tại điểm cô lập trái t thì f có ∇-đạo hàm tại t và

f ∇ (t) = lim

s →t

f (t) − f(s)

t − s . iv) Nếu hàm số f có ∇-đạo hàm tại t thì

)∇

(t) = f

∇ (t)g(t) − f(t)g ∇ (t)

g(t)g ρ (t) . Sau đây là quy tắc tính đạo hàm của lũy thừa bậc n.

ii) Nếu g là hàm số xác định bởi g(t) = 1

Định nghĩa 1.1.7 Hàm số p xác định trên thang thời gian T được gọi là hồi quy gressive) nếu

Tiếp theo, tôi giới thiệu sơ bộ về độ đo Lebesgue-Stieltjes trên thang thời gian

Giả sử A là hàm tăng, liên tục phải, xác định trênT Kí hiệu M1={(a; b] : a, b ∈T} là

họ tất cả các khoảng mở bên trái và đóng bên phải củaT Khi đó, M1 là nửa vành cáctập con củaT Lấy m1 là hàm tập xác định trên M1 và được xác định bởi

m1((a, b]) = A b − A a (1.1.2)

Chúng ta thấy rằng m1 là hàm cộng tính đếm được trên M1 Kí hiệu µ A ∇ là mở rộng

Carathéodory của hàm tập m1 liên kết với họ M1 và nó được gọi là ∇ A-độ đo Lebesgue

- Stieltjes liên kết với A trên thang thời gian T Chúng ta chứng minh được kết quả sau:

Với t ∈ k T, tập một điểm {t} là ∇ A-đo được và

µ A ∇({t}) = A t − A t −

Với a, b ∈T và a ≤ b,

µ A ∇ ((a, b)) = A b − − A a ; µ A ∇ ([a, b)) = A b − − A a − ; µ A ∇ ([a, b]) = A b − A a −

Chứng minh chi tiết cho các kết quả này có thể xem trong [5]

Lấy E ⊂ kT là một tập µ A ∇ -đo được và f : T → R là một hàm số µ A ∇-đo được Kí

hiệu ∫

E f τ ∇A τ là tích phân của hàm số f liên kết với độ đo µ A ∇ trên E và được gọi là

∇ A -tích phân Lebesgue - Stieltjes Nếu A(t) = t với mọi t ∈ T ta có µ A ∇ là ∇-độ đo

Lebesgue trên T và ∫

E f τ ∇A τ là ∇-tích phân Lebesgue Trong luận văn, tôi sử dụng kí

k= b

h+1

f (kh)h nếu a > b

k=b+1

f (k) nếu a > b

Các bước xây dựng ∆-tích phân Lebesgue tương tự như xây dựng∇-tích phân Lebesgue

(xem [2]) Trong trường hợp tổng quát ta không có mối liên hệ nào giữa ∆-tích phân và

∇-tích phân Trường hợp đặc biệt hàm số dưới dấu tích phân là chính quy ta có bổ đề

Ta có điều phải chứng minh

Từ định lý 2.33 trong [1] và Bổ đề 1.1.1 suy ra, nếu p ∈ R thì e p (t, t0) là nghiệm củaphương trình

x(t) = 1 +

t

∫

a p(τ )y(τ )∆τ ,

cũng là nghiệm của bài toán Cauchy:

{

y ∇ (t) = p(t − )y(t −) ∀t ∈Ta

Với hàm số h k :T×T→R; k ∈N0 được xác định bởi

kéo theo

u(t) ≤ u a e p (t, a) ∀t ∈ Ta Chứng minh Bằng cách thế liên tiếp, ta có

u(t) ≤ u a + p

t

∫

a u(τ1−)∇τ1



∇τ1.

Vì u(t) là một hàm số có tính chính quy nên tồn tại một hằng số dương K ∗ sao cho

|u(t)| ≤ K ∗ ∀t ∈ [a, T ] Tiếp tục quá trình này ta có

τ n −

∫

a u(τ n+1 −)∇τ n ∇τ2∇τ1

1.2 Quá trình ngẫu nhiên trên thang thời gian

Thông thường, chúng ta định nghĩa quá trình ngẫu nhiên với tập chỉ số là tập con nào

đó của tập số thực R Thang thời gian là một tập con đóng của tập số thực R Chính

vì vậy, việc định nghĩa quá trình ngẫu nhiên trên thang thời gian cũng được định nghĩatheo cách thông thường

Trong mục này, tôi trình bày một số kết quả về quá trình ngẫu nhiên trên thang thờigian Các kết quả được trình bày trong mục này được dựa trên các tài liệu tham khảo [5,

6, 7, 8]

Định nghĩa 1.2.1 Giả sử (Ω, F) là không gian đo Cho (F t)t∈Ta là họ σ-trường con của

F Khi đó, (F t)t∈Ta được gọi là không giảm, nếu

trong đó σ( C) là σ-trường bé nhất của F chứa lớp các tập con C ⊂ F.

Nếu (F t)t ∈Ta không giảm thì

F t − ⊂ F t ⊂ F t+.

Ta nói rằng họ σ-trường con ( F t)t ∈Ta liên tục phải nếu F t=F t+ với mọi t ∈T

Xét không gian xác suất đầy đủ (Ω, F,P) với bộ lọc (F t)t ∈Ta thỏa mãn các điều kiệnthông thường (F a chứa các tập có độ đo 0,F tliên tục phảiF t = ∩

s>t

F s),B(R) là σ-trường

các tập con Borel của tập số thực R

Định nghĩa 1.2.2 Giả sử T là một thang thời gian Khi đó, ánh xạ

X :T× Ω →R

(t, ω) 7→ X t (ω),

được gọi là một quá trình ngẫu nhiên nếu thỏa mãn:

1) Với mỗi t ∈T thì X t : Ω→R là ánh xạ F-đo được.

2) Với mỗi ω ∈ Ω thì X . (ω) : T→R là hàm số xác định trên T.

X . (ω) được gọi là quỹ đạo của quá trình ngẫu nhiên X với mỗi ω.

Định nghĩa 1.2.3 Giả sử X = (X t)t ∈T là một quá trình ngẫu nhiên trên T Khi đó,

X = (X t)t ∈T được gọi là:

1) Liên tục ( rd-liên tục, ld-liên tục) nếu với mọi ω ∈ Ω thì X . (ω) là hàm số liên tục

(rd-liên tục, ld-liên tục)

2) ( F t )-phù hợp nếu với mỗi t thì X t là F t -đo được.

3) Đo được nếu B(T)× F-đo được.

4) Cadlag nếu quỹ đạo của X liên tục phải và có giới hạn trái tại mọi điểm.

5) Đo được dần nếu với mọi T ∈Ta , (X t)t∈[a,T ] là quá trình B([a, T ]) × F T -đo được.

Định nghĩa 1.2.4 Giả sử (Ω, F,P) là không gian xác suất, X : Ω → R là biến ngẫu nhiên và G là σ-trường con của F Khi đó, kì vọng có điều kiện của X đối với σ-trường

G là biến ngẫu nhiên Y thỏa mãn:

i) Y là biến ngẫu nhiên G-đo được.

ii) Với mỗi A ∈ G, ta có ∫

ii) E|X t | < ∞ với mọi t ∈Ta ;

iii) Với mọi s, t ∈Ta , s ≤ t,

E(X t |F s ) = X s h.c.c.

Martingale (X t)t∈Ta được gọi là martingale bình phương khả tích nếu E|X t |2 < ∞ ∀t ∈

Ta Kí hiệu tập tất cả các martingale bình phương khả tích là M2

Định nghĩa 1.2.6 Quá trình ngẫu nhiên X = (X t)t ∈Ta được gọi là ( F t)−supermartingale nếu các điều kiện i) và ii) được thỏa mãn và

iii’) Với mọi s, t ∈Ta , s ≤ t,

Định lý 1.2.1 (Bất đẳng thức Doob) Giả sử (M t)t ∈Ta là ( F t )-submartingale, không

âm, liên tục phải vớiE|M t | p < ∞, 1 < p < +∞ và T ∈ Ta Khi đó,

Lấy P là σ-trường các tập con của Ta × Ω sinh bởi các quá trình ngẫu nhiên trên L

Dễ dàng thấy rằngP được sinh bởi họ các tập {(s, t] × F : s, t ∈ Ta , s < t, F ∈ F s }

Định nghĩa 1.2.8 Mỗi phần tử của σ-trường P được gọi là một tập khả đoán Một quá trình ngẫu nhiên ϕ được gọi là khả đoán nếu nó đo được đối với σ-trường P.

Trong trường hợp tổng quát, một quá trình liên tục trái chưa chắc đã là quá trình khảđoán

Chú ý 1.2.1. i) Nếu T =N thì quá trình ϕ t là khả đoán nếu ϕ t là quá trình F t−1 -đo được.

ii) NếuT=R thì quá trình ϕ t là khả đoán nếu ϕ t là quá trình đo được đối với σ-trường sinh bởi họ các quá trình ngẫu nhiên liên tục trái.

Mệnh đề 1.2.1 Giả sử Φ là không gian tuyến tính gồm các quá trình ngẫu nhiên

ϕ :Ta × Ω →R đo được, bị chặn thỏa mãn:

i) Φ chứa tất cả các quá trình ϕ bị chặn và ϕ ∈L;

ii) Mọi dãy đơn điệu {ϕ n } ⊂ Φ sao cho lim

n →∞ ϕ n = ϕ là quá trình bị chặn thuộc Φ. Khi đó, Φ chứa tất cả các quá trình khả đoán.

Định nghĩa 1.2.9 Giả sử Ω, F,Plà không gian xác suất với lọc là ( F t)t∈Ta Khi đó, ánh

xạ τ : Ω → Ta được gọi là thời điểm dừng (stopping time) đối với họ σ-trường ( F t)t∈Ta

nếu biến cố (τ ≤ t) ∈ F t , với mọi t ∈Ta

Định nghĩa 1.2.10 Giả sử (X t)t ∈Ta , X a = 0 là một quá trình ( F t )-phù hợp Khi đó, (X t)t ∈Ta được gọi là martingale địa phương bình phương khả tích nếu tồn tại một dãy thời điểm dừng {τ n } , τ n ↗ ∞ sao cho (X t∧τ n)t ∈Ta là ( F t )-martingale bình phương khả tích.

Định nghĩa 1.2.11 Giả sử (X t)t∈Ta , X a = 0 là một quá trình ( F t )-phù hợp Khi đó (X t)t∈Ta được gọi là semimartingale nếu với mọi t ∈Ta ta có

X t = M t + A t , trong đó (A t)t ∈Ta là quá trình liên tục phải, ( F t )-phù hợp, với quỹ đạo có biến phân giới

nội và (M t)t∈Ta là martingale địa phương bình phương khả tích.

Định nghĩa 1.2.12 Giả sử H ⊂L1 Họ H được gọi là khả tích đều nếu

sup

X ∈H

∫

[|X|>c] |X|dP→ 0 khi c → ∞. (1.2.6)

Định lý 1.2.2 (Dunford - Pettis) Giả sử (Y n)n∈N là dãy các biến ngẫu nhiên khả tích

đều Khi đó tồn tại một dãy con (Y n k)k∈N của (Y n)n∈N hội tụ yếu về biến ngẫu nhiên Y ,

nghĩa là với mọi biến ngẫu nhiên bị chặn ξ ta có

lim

k →∞E(ξY n k) =E(ξY ).

Bổ đề 1.2.1 Giả sử (Y n)n ∈N là dãy các biến ngẫu nhiên khả tích xác định trên không

gian xác suất (Ω, F,P) hội tụ yếu đến biến ngẫu nhiên khả tích Y, khi đó với mỗi σ-trường

G ⊂ F, dãy các biến ngẫu nhiên (E[Y n |G]) n ∈N hội tụ yếu đến biến ngẫu nhiên E[Y |G] Chứng minh Với bất kì biến ngẫu nhiên ξ bị chặn, xác định trên không gian xác suất

(Ω, F,P) ta có

E[ξE(Y n |G)] =E[E{ξE(Y n |G)|G}] =E[E(ξ |G)E(Yn |G)]

=E[E{Y nE(ξ |G)|G}] =E[YnE(ξ |G)].

Vậy ta có điều phải chứng minh.

Định nghĩa 1.2.13 Quá trình ngẫu nhiên X được gọi là thuộc lớp (DL) nếu với mỗi

T ∈Ta thì {

X τ : τ là thời điểm dừng thỏa mãn a ≤ τ ≤ T}

khả tích đều.

d −semimartingale trên thang thời gian và phát biểu bài toán martingale.

2.1 Tích phân ngẫu nhiên trên thang thời gian

Định nghĩa 2.1.1 Giả sử M ∈ M2 là một martingale bình phương khả tích Vì M2

là submartingale, nên theo khai triển Doob - Meyer trong [18], tồn tại duy nhất một quá trình tăng tự nhiên ⟨M⟩ = (⟨M⟩ t)t∈Ta sao cho M t2− ⟨M⟩ t là một martingale Quá trình tăng tự nhiên ⟨M⟩ t được gọi là đặc trưng của martingale M

Kí hiệu L2(M ) là không gian tất cả các quá trình ngẫu nhiên nhận giá trị thực, khả đoán ϕ = {ϕ t } t∈Ta thỏa mãn

Với mỗi b > a cố định, gọi L2((a, b] ; M ) là hạn chế của không gian L2(M ) trên (a, b].

Trên không gianL2((a, b] ; M ) xét chuẩn xác định bởi

Hai quá trình ϕ, ϕ ∈ L2((a, b] ; M ) được gọi là trùng nhau nếu ϕ − ϕ b,M = 0.

Một quá trình ϕ xác định trên [a, b] được gọi là quá trình đơn giản, nếu tồn tại một phân hoạch π : a = t0 < t1 < < t n = b của [a, b] và dãy các biến ngẫu nhiên bị chặn

(f i ) sao cho f i là F t i −1 -đo được với mọi i = 1, n và

Bổ đề 2.1.1. L0 trù mật trong L2((a, b] ; M ) với metric xác định bởi

ϕ (n) (t) := ϕ(σ(t i )), nếu t ∈ (t i , t i+1 ] với i = 0,k n − 1,

trong đó{t i } là một phân hoạch của [a, b] sao cho max

i (ρ(t i+1)− t i)≤ 2 −n Điều này dẫn

tới ϕ ∈ L0 và ϕ (n) − ϕ b,M → 0 khi n → ∞ Từ Mệnh đề 1.2.1, suy ra Υ chứa tất cả

các quá trình khả đoán bị chặn Do đó, Υ = L2((a, b] ; M ).

Định nghĩa 2.1.2 Giả sử ϕ là một quá trình thuộc L0, có dạng (2.1.1) Khi đó,

ϕ τ ∇M τ là biến ngẫu nhiên

F b-đo được và mệnh đề sau đây được thỏa mãn

Mệnh đề 2.1.1 Giả sử ϕ là một quá trình ngẫu nhiên thuộc L0 và α, β là các số thực Khi đó,

điều này đảm bảo {∫b

ii) Nếu T=R thì L2((a, b] ; M ) chứa tất cả các quá trình khả đoán (quá trình đo được

đối với σ-trường sinh bởi các quá trình liên tục trái) Hơn nữa,

Sau đây là một số tính chất cơ bản của ∇-tích phân ngẫu nhiên.

Mệnh đề 2.1.2 Giả sử ϕ, ξ ∈ L2((a, b] ; M ) và α, β là hai số thực Khi đó các khẳng

định sau được thỏa mãn.

Chứng minh Các tính chất trên luôn đúng với ϕ ∈ L0 Bằng cách lấy giới hạn qua dấu

tích phân ta có các tính chất trên đúng với ϕ ∈ L2((a, b] ; M ).

Định lý 2.1.1 Giả sử M ∈ M2 và ϕ ∈ L2((a, b] ; M ) Khi đó,

Chứng minh Đẳng thức (2.1.5) suy ra trực tiếp từ định nghĩa ∇-tích phân ngẫu nhiên

và tính chất của kì vọng có điều kiện Hơn nữa, với mọi A ∈ F a ta có

Ta có điều phải chứng minh

Định nghĩa 2.1.4 Giả sử ϕ ∈ L2((a, b] ; M ) Với mỗi t ∈ [a, b], đặt

Chứng minh Rõ ràng {I(t)} t∈[a,b] là một quá trình (F t)-phù hợp, bình phương khả tích

Tính chất martingale của I(t) được suy ra từ

Bất đẳng thức (2.1.7) được suy ra từ Định lý 1.2.1 và Mệnh đề 2.1.2(iii).

Mệnh đề 2.2.1 Giả sử M và N là hai semimartingale thì biến phân hỗn hợp [M, N ] t

luôn tồn tại và hệ thức sau được thỏa mãn

Như vậy, tồn tại giới hạn

P− lim n→∞

Ta có điều phải chứng minh

Mệnh đề 2.2.1 chỉ ra rằng, biến phân hỗn hợp của hai martingale địa phương bình

phương khả tích M, N luôn tồn tại Hơn nữa, với X ∈ L2(Ta , M ) và Y ∈ L2(Ta , N ) ta

là semimartingale Hơn nữa, ta có bổ đề sau:

Bổ đề 2.2.1 (Tính chất kết hợp) Giả sử M là semimartingale và X, H là hai quá trình

trong đó, Y t được xác định bởi (2.2.12).

Chứng minh Nếu X, H ∈ L0 thì (2.2.13) đúng Giả sử rằng

Ta có điều phải chứng minh.

Với mỗi t ∈Ta và G :R →R là hàm số liên tục Xét phân hoạch π (n) của đoạn [a, t]

Bổ đề 2.2.2 Giả sử M là semimartingale và S n (t) được xác định bởi (2.2.14) Khi đó,

Chứng minh Xét thời điểm dừng

τ m= inf{t : |M t | ≥ m}.

Khi đó, martingale Mt ∧τ m bị chặn bởi m Hơn nữa, quỹ đạo của M s bị chặn với xác suất

1, suy ra τ m ↑ ∞ Bổ đề 2.2.2 đúng với M t ∧τ m với mỗi m, bằng cách lấy giới hạn khi

m → ∞ suy ra Bổ đề 2.2.2 đúng với M Vì vậy, chúng ta giả thiết M bị chặn Mặt khác,

Hệ thức trên tương đương với

t

∫

a G(M τ −)∇[M] τ =

M t i − M t i −1)2

)

.

Ta có điều phải chứng minh.

Kí hiệu C1,2(Ta ×Rd;R)là họ tất cả các hàm V (t, x) xác định trên Ta ×Rd sao cho

∇-khả vi liên tục theo biến t và khả vi liên tục 2 lần theo biến x.

Định lý sau là công thức Itô đối với bộ d-semimartingale trên thang thời gian Kết quả

là sự tổng quát hóa cho công thức Itô đối với thời gian rời rạc và liên tục

Định lý 2.2.1 (Công thức Itô) Giả sử X = (X1, X2, , X d ) là bộ d-semimartingale

V ∈ C 1,2(Ta ×Rd;R) Khi đó, V (t, X) là một semimartingale và công thức sau được thỏa

mãn

V (t, X(t)) = V (a, X(a)) +

∫ t a

trong đó|R(x, y| ≤ r (∥y − x∥) ∥y − x∥2

với r :R+ →R+là hàm tăng sao cho lim

u↓0 r (u) =

0, đúng với V ∈ C2 xác định trên tập compact

Xác định thời điểm dừng τ m = inf{t : ∥X (t)∥ ≥ m} Khi đó, semimartingale X(t∧τ m)

bị chặn bởi m và nếu công thức Itô đúng với X(t ∧ τ m ) với mỗi m, thì công thức đúng với X Do đó, ta luôn giả thiết rằng X bị chặn.

Lấy ε > 0, vì các điểm gián đoạn của martingale X không quá đếm được và

∑

s ∈(a,t]

∥X(s) − X(s −)∥2

< ∞,

chúng ta có thể phân tập các điểm gián đoạn của X trên (a, t] thành hai lớp: C1 là tập

hữu hạn và C2 là tập các điểm gián đoạn sao cho

R (X (t k −1 ) , X (t k))

...

vì vậy, việc định nghĩa q trình ngẫu nhiên thang thời gian định nghĩatheo cách thơng thường

Trong mục này, tơi trình bày số kết trình ngẫu nhiên thang thờigian Các kết trình bày mục dựa... data-page="9">

Định lý 1.1.2 Giả sử f :T→R là hàm số xác định trên T và t ∈ kT Khi đó, i) Nếu hàm số f có ∇-đạo hàm t f hàm. .. tiếp từ định nghĩa ∇-tích phân ngẫu nhiên

và tính chất kì vọng có điều kiện Hơn nữa, với A ∈ F a ta có

Ta có điều phải chứng minh

Định nghĩa