ĐỘNG HỌC CỦA PHƯƠNG TRÌNH KOLMOGOROV CHỊU NHIỄU MARKOV

Lời nói đầu.Đối với các hệ sinh thái trong sinh học, sinh thái học và quần thể học gồm có hai loài,người ta thường mô tả chúng bằng mô hình toán học dưới dạng các hệ phương trình vi phân

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

LÊ THỊ MINH THU

ĐỘNG HỌC CỦA PHƯƠNG TRÌNH KOLMOGOROV CHỊU NHIỄU MARKOV

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

Hà Nội - Năm 2012

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

LÊ THỊ MINH THU

ĐỘNG HỌC CỦA PHƯƠNG TRÌNH KOLMOGOROV CHỊU NHIỄU MARKOV

Chuyên ngành : Lý thuyết xác suất và thống kê toán học

Mã số: 60 46 15

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:

GS.TS Nguyễn Hữu Dư

Hà Nội - Năm 2012

Mục lục

1.1 Phương trình Kolmogorov tất định 5

1.2 Toán tử sinh của quá trình Markov thời gian liên tục 9

1.2.1 Quá trình Markov 9

1.2.2 Toán tử sinh của nửa nhóm các toán tử Markov 11

1.2.3 Toán tử sinh của xích Markov với thời gian liên tục 11

1.2.4 Quá trình Markov hai trạng thái 13

2 Tính chất tiệm cận của hệ phương trình cạnh tranh Kolmogorov chịu nhiễu điện báo 14 2.1 Tính bền vững của hệ 14

2.2 Tập ω- giới hạn 22

2.2.1 Trường hợp 1: cả hai hệ tất định là ổn định. 22

2.2.2 Trường hợp 2: Một hệ ổn định và một hệ song ổn định. 23

2.2.3 Trường hợp 3: Một hệ ổn định toàn cục và một hệ triệt tiêu. 24

2.3 Nửa nhóm và tính ổn định trong phân bố 29

3 Ứng dụng 33 3.0.1 Trường hợp 1: Hệ (3.2) và (3.3) ổn định tiệm cận toàn cục 35

3.0.2 Trường hợp 2: Hệ (3.2) ổn định tiệm cận toàn cục và (3.3) song ổn định. 38

3.0.3 Trường hợp 3: Hệ (3.2) ổn định tiệm cận toàn cục và tất cả các nghiệm dương của hệ (3.3) dần tới một điểm trên biên . 39

Lời nói đầu.

Đối với các hệ sinh thái trong sinh học, sinh thái học và quần thể học gồm có hai loài,người ta thường mô tả chúng bằng mô hình toán học dưới dạng các hệ phương trình vi phân:

˙

x= x f (x, y) , ˙y= yg (x, y) , (1)trong đó x(t) và y(t) là mật độ quần thể của từng loài tại thời điểm t và f (x, y) , g (x, y) là tốc

độ tăng trưởng bình quân của từng loài Thông thường, các hệ như vậy được gọi là các hệKolmogorov

Các hệ kiểu Kolmogorov là các mô hình thông dụng nhất để mô tả sự phát triển củaquần thể trong một hệ mà tốc độ tăng trưởng bình quân của mỗi loài phụ thuộc vào quy môquần thể của cả hai loài Mô hình kiểu Kolmogorov quan trọng vì mỗi quỹ đạo xuất pháttrong góc phần tư thứ nhất của mặt phẳng thì luôn nằm trong mặt phẳng này (tức là nếu

x(0) > 0, y (0) > 0) thì x (t) > 0, y (t) > 0) với mọi t > 0) Nói cách khác miền trong của gócphần tư thứ nhất của mặt phẳng là bất biến đối với hệ (1) Đã có rất nhiều công trình nghiêncứu về động lực học quần thể thông qua nghiên cứu các nghiệm dương, chẳng hạn như là tínhbền vững đều, sự diệt vong hay và sự giới nội ở kết cục (xem [10, 13, 20, 11])

Cách mô tả hệ theo các phương trình trên đều dựa vào giả thiết các loài sống trong mộtmôi trường không thay đổi Do đó, tốc độ tăng trưởng f (x, y) , g (x, y) là các hàm tất định.Tuy nhiên, rõ ràng rằng điều đó nói chung không phù hợp trong thực tế bởi vì chúng ta phảitính đến sự các biến động của môi trường mà có thể gây những tác động mạnh đến tính độnglực học cũng như sự phát triển bền vững của quần thể Sự biến đổi của môi trường có thểđược thể hiện như là các yếu tố ngẫu nhiên và điều quan trọng là chúng ta phải mô tả chúng ởdạng phương trình ngẫu nhiên Tuy vậy, trong khi hệ Kolmogorov tất định (1) đã được nghiêncứu với một lịch sử lâu dài thì hệ Kolmogorov ngẫu nhiên lại chưa đề cập nhiều trong các tàiliệu toán học và hầu như không có công trình nào nghiên cứu về phương diện thống kê Ởđây, chúng tôi đề cập đến một trong những nỗ lực đầu tiên theo hướng này, đó là báo báo rấthay của Arnold [5], trong đó các tác giả đã sử dụng các lý thuyết về quá trình chuyển độngBrown để nghiên cứu các quỹ đạo mẫu của phương trình Đối với các mô hình phân nhánhtrong một môi trường biến thiên, chúng ta có thể tham khảo [2, 3, 18, vv ] Một cách trìnhbày tương đối hệ thống về vấn đề này đã được đưa ra trong [1] Gần đây, [16] xem xét ảnh

hưởng của cả hai loại nhiễu là quá trình chuyển đổi Markov và ồn trắng tác động lên hệ (1),

A Bobrowski trong [8] sử dụng nửa nhóm Markov để nghiên cứu sự ổn định của phân phốidừng của các hệ ngẫu nhiên (1); W Shen, Y Wang trong [19] nghiên cứu các hệ Kolmogorovcạnh tranh ngẫu nhiên thông qua các phương pháp tích lệch

Trong trường hợp đơn giản nhất, chúng ta giả sử điều kiện môi trường có thể chuyển đổingẫu nhiên giữa hai trạng thái, ví dụ: trạng thái nóng và lạnh, trạng thái khô và ướt Nhưvậy, chúng ta có thể giả sử có một tiếng ồn điện báo ảnh hưởng đến trên mô hình bằng cáchchuyển đổi hai trạng thái trong một tập hợp E = {+, −} có hai phần tử Với các trạng tháikhác nhau, động lực học của hệ trong mô hình là khác nhau Sự chuyển đổi ngẫu nhiên củađiều kiện môi trường khiến cho mô hình thay đổi từ hệ trong trạng thái + với hệ trong trạngthái − và ngược lại

Trong [7], các tác giả đã nghiên cứu các hệ cạnh tranh cổ điển với tiếng ồn điện báo Cáctác giả chỉ ra rằng tập ω-giới hạn của các nghiệm đối với các hệ là rất phức tạp và đã thànhcông trong việc mô tả một số tập hợp con của tập ω- giới hạn Mục đích của chúng tôi là kháiquát những kết quả này bằng cách xét một hệ tổng quát và sẽ mô tả đầy đủ tất cả các tập ω-giới hạn của các nghiệm của phương trình Chúng tôi cũng chứng minh rằng các tập ω- giớihạn của tất cả các nghiệm dương là như nhau và nó hút tất cả các nghiệm dương khác Hơnnữa, chúng tôi muốn đi xa hơn bằng cách nghiên cứu một số tính chất của phân phối dừng.Chúng tôi chỉ ra rằng phân phối dừng (nếu nó tồn tại) sẽ có mật độ và mật độ này hút tất cảcác phân phối khác

Để làm được điều đó, chúng tôi đưa ra 2 tham số λ1, λ2như là ngưỡng phát triển của hệ.Mặc dù chưa đưa ra được biểu thức để tìm các giá trị λ1, λ2, nhưng chúng ta có thể dễ dàngước lượng chúng bằng phương pháp mô phỏng thông qua các hệ số Các tham số này đóngmột vai trò quan trọng trong thực tế vì bằng cách phân tích các hệ số, chúng ta hiểu đượcdáng điệu động học của hệ

Luận văn được chia làm 3 chương:

Chương I: Các kiến thức chuẩn bị

Nội dung của chương này là đưa ra một số khái niệm cơ bản về mô hình cạnh tranh của

hệ Kolmogorov tất định cũng như các tính chất quan trọng của quá trình Markov hữu hạntrạng thái với thời gian liên tục

Chương II: Tính chất tiệm cận của hệ phương trình cạnh tranh Kolmogorov chịu nhiễuMarkov

Chương này chủ yếu dựa trên nội dung của bài báo [23] Trong chương này, chúng tôi mô

tả quỹ đạo động học của các nghiệm dương đối với các loại hệ cạnh tranh chịu sự tác độngcủa tiếng ồn điện báo Nó cho thấy rằng các tập ω- giới hạn hấp thụ tất cả các nghiệm dương.Chúng tôi cũng xét 3 trường hợp cụ thể về dáng điệu của các nghiệm của hệ Kolmogorovchịu nhiễu Markov

Chương III: Ứng dụng vào mô hình hệ phương trình cạnh tranh cổ điển.

Chương này đề cập đến dáng điệu của các nghiệm của hệ phương trình cạnh tranh cổ điểnLotka- Volterra dưới tác động của nhiễu Markov Các mô hình cổ điển này có thể xem là thí

dụ cụ thể minh họa các kết quả trong Chương II

Lời cảm ơn

Bản luận văn này được hoàn thành dưới sự hướng dẫn nghiêm khắc và chỉ bảo tận tìnhcủa GS TS Nguyễn Hữu Dư Thầy đã dành nhiều thời gian hướng dẫn cũng như giải đáp cácthắc mắc của tôi trong suốt quá trình làm luận văn Tôi muốn bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đếnngười thầy của mình

Qua đây, tôi xin gửi tới các thầy cô Khoa Toán-Cơ-Tin học, Trường Đại học Khoa học Tựnhiên, Đại học Quốc gia Hà Nội, cũng như các thầy cô đã tham gia giảng dạy lớp cao họcToán khóa 2010- 2012, đặc biệt là thầy Nguyễn Hải Đăng, giảng viên khoa toán sinh thái họcmôi trường, lời cảm ơn sâu sắc nhất đối với công lao dạy dỗ, chỉ dẫn nhiệt tình trong suốtkhóa học và thời gian làm luận văn

Tôi cũng xin gửi lời cảm ơn tới các anh chị em học viên đồng khóa và các em sinh viênnăm cuối khoa Toán- Cơ- Tin của trường đã giúp đỡ rất nhiệt tình để tôi hoàn thành bản luậnvăn này

Tôi xin cảm ơn gia đình, bạn bè và tất cả mọi người đã quan tâm, tạo điều kiện, động viên

cổ vũ tôi để tôi có thể hoàn thành nhiệm vụ của mình

Hà nội, tháng 12 năm 2012

Người làm luận văn

Lê Thị Minh Thu

Chương 1

Kiến thức chuẩn bị.

1.1 Phương trình Kolmogorov tất định.

Xét một hệ sinh thái đơn giản gồm có hai loài sống trong cùng một môi trường tương đối

ổn định Giả sử x(t), y(t) là số lượng cá thể của mỗi loài tại thời điểm t và f (tương ứng g)

là tỷ lệ tăng trưởng của loài thứ nhất (tương ứng loài thứ 2); trong đó f , g là hai hàm của haibiến x và y

Như thế, chúng ta có thể mô tả sự phát triển của hệ bởi các phương trình:

xvà y là các số thực không âm và không chịu sự tác động ngẫu nhiên

Hệ (1.1) được gọi là hệ Kolmogorov

Trong toàn bộ Luận văn này, chúng tôi luôn đưa ra giả thiết là f , g cùng với đạo hàm bậcnhất của chúng xác định và liên tục với mọi giá trị không âm của x và y và phương trình (1.1)luôn tồn tại nghiệm xác định trên [0, ∞) (do đó là duy nhất) Nhờ tính duy nhất nghiệm của

hệ, dễ dàng thấy rằng góc phần tư thứ nhất R2+= {(u, v) : u > 0, v > 0} của mặt phẳng R2làbất biến Tức là nếu x(0) > 0, y(0) > 0 thì x(t) > 0, y(t) > 0 với mọi t > 0 Tương tự như vậyphần trong int R2+ = {(u, v) : u > 0, v > 0} cũng sẽ bất biến

Tùy theo từng bài toán cụ thể chúng ta sẽ đưa ra các điều kiện bổ sung cụ thể cho hai hàm

f và g

Mối quan hệ giữa các loài có thể có chia làm ba loại chính:

a) Loài thứ nhất gặp khó khăn, loài thứ hai gặp thuận lợi, do có sự hiện diện của một yếu

tố nào đó khác (quan hệ loài săn mồi với con mồi),

b) Cả hai loài đều gặp khó khăn bởi sự hiện diện của một loài khác (mô hình cạnh tranh),

c) Cả hai loài đều gặp thuận lợi bởi sự hiện diện của một loài khác (mô hình cộng sinh).Trong toàn bộ Luận văn này chúng ta chỉ xét các mô hình cạnh tranh Đó là trường hợp

mà cả hai loài sống trong một vùng lãnh thổ và cạnh tranh nhau về nguồn thức ăn hay môitrường Mô hình toán học đầu tiên nghiên cứu hiện tượng này được đưa ra bởi Volterra (1927)

và đã đưa ra nhiều kết luận bổ ích về sự phát triển của từng loài Ở đây chúng tôi xét mô hìnhcạnh tranh tổng quát hơn (1.1) và cố gắng đạt được kết luận tương tự

Để mô tả mô hình có tính chất cạnh tranh, chúng ta đưa ra các giả thiết sau về các hàm f

Nói chung, hai đường cong f = 0 và g = 0 có thể có bất kỳ số lượng điểm chung Khi

đó, góc phần tư thứ nhất của hệ tọa độ (x, y) sẽ được chia thành 3 khu vực: khu vực I có

f > 0, g > 0; khu vực II có f < 0, g < 0 và khu vực III có f g < 0 Những khu vực đó đượcbiểu diễn bởi biểu đồ trong hình 1

Tất cả các đường cong tích phân xuất phát từ khu vực I và II cuối cùng đi vào khu vựcIII Khu vực III được hình thành bởi các đường cong f = 0 , g = 0, bởi các điểm bên trong

bị chặn bởi hai đường cong đó và đoạn AD và BC Tùy thuộc vào đồ thị của các hàm f và g,các điểm trong khu vực này ít hơn các điểm trên biên Khu vực III này có thể được chiathành một hoặc nhiều tập con, mỗi tập này cộng với những điểm biên tạo thành một khu vựccon; tất cả các đường cong tích phân trong khu vực con kết thúc tại một điểm cân bằng của

nó x = maximum, y = minimum, hoặc tương ứng x = minimum, y = maximum, tùy thuộc vàoviệc những điểm trong của khu vực con là f > 0, g < 0 hoặc f < 0, g > 0 Ví dụ, trong trườnghợp của hình 1, D là một điểm cân bằng của một khu vực con và R là một điểm cân bằng của

Hình 1

một khu vực con khác Có thể, nhưng không chắc chắn, một vài điểm của khu vực III khôngthuộc vào nhóm các khu vực con này, điều này xảy ra khi mà đường cong f = 0 và g = 0 cóđoạn trùng nhau Trong trường hợp này, đường cong tích phân xuất phát từ khu vực I và IIđến đoạn trùng nhau này thì dừng lại

Một ví dụ minh họa đơn giản có thể cho ta biết rất nhiều thông tin về dáng điệu giới hạncủa đường cong tích phân Ví dụ như những đường cong trong hình 1 được sao chép tronghình 2, ở đây dấu của các hàm f và g được biểu diễn bởi 2 véc tơ đơn vị song song với cáctrục Trong khu vực I, chúng ta có f > 0 và g > 0 và do đó, với thời gian ngày càng tăng, cácđường cong tích phân trong khu vực này được giới hạn trong góc phần tư xác định bởi 2 véc

tơ đơn vị như thể hiện trong hình 2

Để minh họa cụ thể, ta hãy xét khu vực con được giới hạn bởi điểm Q và R; rõ ràng từ cácvéc tơ ta thấy, Q là một điểm cân bằng không ổn định và R là một điểm cân bằng ổn định.Chú ý rằng, đường cong tích phân bất kỳ đi qua khu vực hình chữ nhật xq1Q∞và cuối cùngphải kết thúc tại điểm R Các đường cong tích phân đi qua khu vực hình chữ nhật yq2Q∞không bao giờ đến được R, nhưng đến D Dáng điệu của các đường cong tích phân trong cáckhu vực còn lại của góc phần tư thứ nhất phải được xác định bằng cách phân tích chi tiết.Kết luận, khi các đường cong f = 0 và g = 0 không giao nhau, một loài sẽ tồn tại, cụ thể

là, loài thứ nhất tồn tại nếu B > C hoặc loài thứ hai tồn tại nếu B < C Khi các đường cong

f = 0 và g = 0 cắt nhau tại một điểm, khi đó nếu B > C thì chỉ có một trong hai loài sống

Hình 2

sót, tùy thuộc vào các điều kiện ban đầu; còn nếu B < C thì cả hai loài cùng sống sót Khicác đường cong f = 0 và g = 0 cắt nhau tại nhiều điểm, có thể cả hai loài đều có khả năngsống sót cao tùy thuộc vào các điều kiện ban đầu Nhìn chung, các giao điểm giữa các đườngcong f = 0 có cùng hoặc lớn hơn về độ dốc (trong giá trị tuyệt đối) so với các giao điểm giữacác đường cong g = 0, những điểm đó cùng nhau tồn tại

Khả năng sống sót của cả hai loài có mâu thuẫn với nguyên tắc cạnh tranh loại trừ củaVolterra hay không? Trong ý nghĩa toán học, nếu hai loài tương tác theo các điều kiện củaVolterra, khi đó chỉ có một loài sống sót Tuy nhiên, mô hình Volterra là đơn giản nhất, vàkhi xem xét một hình thức chung của các phương trình tăng trưởng dân số thì ta thấy có mộtloạt các phương thức cho sự phát triển của hai loài cạnh tranh Thực tế, không khó khăn đểtìm được một mô hình chỉ hơi phức tạp hơn Volterra mà cho phép cả hai loài tồn tại Đó là

bất kỳ t > T∗, (x0, y0) ∈K

Chứng minh. Theo giả thiết, tồn tại một lân cận mở V của (x∗, y∗) sao cho

(x (t, x0, y0) , y (t, x0, y0)) ∈ U, ∀t > 0, (x0, y0) ∈ V (1.2)Hơn thế nữa, với mỗi (x, y) ∈K , có một Tx,y> 0 sao cho

(x (t, x, y) , y (t, x, y)) ∈ V, ∀t > Tx,y.Theo (1.2) và tính liên tục của nghiệm trong điều kiện ban đầu, tồn tại một lân cận mở Ux,ycủa (x, y) sao cho

∀ (u, v) ∈ Ux,y, (x (Tx,y, u, v) , y (Tx,y, u, v)) ∈ V,kéo theo (x (t, u, v) , y (t, u, v)) ∈ U, ∀t > Tx,y

Họ (Vx,y)(x,y)∈K là một phủ mở củaK

DoK compact, nên có các Uxi,yi, i = 1, , n sao cho

Ta thấy (x (t, x0, y0) , y (t, x0, y0)) ∈ U , với bất kỳ t > T∗, (x0, y0) ∈K

1.2 Toán tử sinh của quá trình Markov thời gian liên tục.

1.2.1 Quá trình Markov.

Mục đích của phần này là trình bày vắn tắt về quá trình Markov

Giả sử (Ω,F ,(Ft)t>0, P) là một không gian xác suất với lọc thỏa mãn các điều kiệnthông thường, tức là (Ft)t>0 là dòng tăng các σ − đại số con củaF và F là đầy đủ theo P.Một quá trình ngẫu nhiên d− chiều {Xt,t > 0} là một tập hợp các biến ngẫu nhiên, xác địnhtrên (Ω,F ,P), lấy giá trị trong Rdvới d > 1 Chỉ số t được gọi là thời gian Như thế một quátrình ngẫu nhiên có thể xem là một ánh xạ

X : Ω × [0, ∞) → Rd sao cho với mỗi t ta có Xt làF - đo được

Với mỗi ω ∈ Ω, ánh xạ t → Xt(ω) được gọi là quỹ đạo mẫu của quá trình ngẫu nhiên Xt.Nếu với xác suất 1, các quỹ đạo mẫu của (Xt) là các hàm liên tục thì ta gọi nó là quá trìnhngẫu nhiên liên tục

Nếu với xác suất 1, các quỹ đạo là những hàm hằng từng khúc thì ta gọi (Xt) là quá trìnhbước nhảy.

Nếu với mỗi t, biến ngẫu nhiên Xt làFt - đo được thì quá trình (Xt) được gọi là Ft− phùhợp

Quá trình ngẫu nhiên (Xt) được gọi là có tính markov (gọi tắt là quá trình Markov) nếu

nó thỏa mãn điều kiện sau

P (Xt∈ B|Fs) = P (Xt∈ B|Xs) , ∀0 6 s < t, ∀ B ∈ Bd (1.3)Tính Markov (1.3) có thể được phát biểu một cách hình thức như sau:

Nếu trạng thái của quá trình tại một thời điểm cụ thể s (hiện tại) đã biết, thì thông tin bổ sung về dáng điệu của quá trình tại thời điểm r < s (quá khứ) không ảnh hưởng đến xác suất của quá trình tại thời điểm t > s (trong tương lai).

Đặt

P(s, x,t, B) = P (Xt∈ B|Xs= x) , ∀0 6 s < t, ∀ B ∈ Bd

và gọi nó là hàm xác suất chuyển của quá trình markov Xt

Quá trình Markov (Xt) được gọi là thuần nhất nếu P(s, x,t, B) chỉ phụ thuộc vào hiệu sốthời gian t − s, có nghĩa là

P (Xt+h∈ B|Xt) = P (Xh∈ B|X0) , ∀0 6 t, h, ∀B ∈Bd.Cho (Xt) là một quá trình Markov thuần nhất với phân bố ban đầu ν0 Khi đó, phân phốixác suất của biến ngẫu nhiên Xt tại thời điểm t được cho bởi

P (Xt ∈ B) =

Z

Rd

P(t, x, B) ν0(dx), (1.4)với mọi tập con B ∈Bd Trong đó,

P(s, x, B) := P (Xs∈ B|X0= x) , s∈ [0, ∞), x ∈ Rd, B ∈Bd.Hàm P : [0; ∞) × Rd×Bd→ [0; 1] có tính chất sau:

(i) x 7→ P (s, x, B) đo được với s ∈ [0, ∞) cố định và B ∈Bd cố định

(ii) B 7→ P (s, x, B) là một độ đo xác suất với s ∈ [0, ∞) cố định và x ∈ Rd cố định

(iii) P 0, x, Rd\ {x}
= 0 với mọi x ∈ Rd.(iv) Thỏa mãn phương trình Chapman- Komogorov

P(t + s, x, B) =

Z

Rd

P(t, x, dz) P (s, z, B) (1.5)với mọi t, s ∈ [0, ∞), x ∈ Rd, B ∈Bd

Ta nói rằng quá trình Markov (Xt) có phân phối dừng µ, nếu

1.2.2 Toán tử sinh của nửa nhóm các toán tử Markov.

Mỗi một quá trình Markov thuần nhất có thể gán một nửa nhóm các toán tử Markov{Tt,t > 0}, được định nghĩa bởi

Miền xác định DL của toán tửL là một tập con của không gian các hàm vô hướng đo được

bị chặn xác định trên Rd để cho giới hạn trong (1.8) tồn tại

1.2.3 Toán tử sinh của xích Markov với thời gian liên tục.

Giả sử {ξt,t > 0} là một xích Markov thời gian liên tục, tức nó chỉ nhận giá trị trong mộttập không quá đếm được J Khi đó thay hàm xác suất chuyển P(t, x, B) với x ∈ Rd, B ∈Bd

ta chỉ cần biết hàm pi, j(t) = P(t, i, { j}), i, j ∈ J vì khi đó P(t, i, B) = ∑j∈Bpi, j(t), i ∈ J Hơnnữa, trong trường hợp này

Trong trường hợp này, để xác định toán tử sinhL ta chỉ cần biết đại lượng

ai, j = lim

t↓

pi, j(t) − δi, j

trong đó δi, j là ký hiệu Kronecker

Nếu ký hiệu P(t) là ma trận xác suất chuyển, P(t) = (pi, j(t)), khi đó

P(t + u) = P (u) P (t) = P (t) P (u) Đặt A = (ai, j) ta có

Toán tửL xác định trên tất cả các hàm xác định trên J, nhận giá trị trên R

Phân phối dừng đối với xích Markov hữu hạn trạng thái luôn tồn tại Nếu ký hiệu phânphối dừng là φ = {φ (i) : i ∈ J thì nó là nghiệm của phương trình đại số

L u(x,i) = f (x,i)du

dx+∑

j∈J

ai ju(x, j),xác định trên lớp hàm u(x, i), khả vi liên tục theo x

Phân phối dừng của quá trình (Xt, ξt) nếu tồn tại và có hàm mật độ φ (x, i) khả vi thì nó

sẽ thỏa mãn phương trình Focker-Planck

1.2.4 Quá trình Markov hai trạng thái.

Cho (Ω,F ,P) là một không gian xác suất thỏa mãn các giả thiết nói chung và (ξt)t>0 làmột quá trình Makov, xác định trên (Ω,F ,P), lấy giá trị trong tập hợp gồm 2 phần tử, kíhiệu E = {+; −} Giả sử rằng (ξt) có cường độ xác suất chuyển từ +→ − và −α → + vớiβ

α > 0, β > 0 Quá trình (ξt) có phân phối dừng:

n=1 là một dãy các biến ngẫu nhiên độc lập có điềukiện, lấy giá trị trong [0, ∞) Hơn thế nữa, nếu ξ0= + thì σ2n+1có phân phối mũ với mật độ

α 1[0,∞)e−αt và σ2n có phân phối mũ với mật độ β 1[0,∞)e−βt Ngược lại, nếu ξ0= − thì σ2n

có phân phối mũ với mật độ α1[0,∞)e−αt và σ2n+1 có phân phối mũ với mật độ β 1[0,∞)e−βt(xem [12]) Trong đó:

Chương 2

Tính chất tiệm cận của hệ phương trình cạnh tranh Kolmogorov chịu nhiễu điện báo.

Trong suốt bản luận văn này, chúng tôi giả sử rằng trong cả 2 hệ (2.2) và (2.3), các hệ số

a(±, x, y) , b (±, x, y) thỏa mãn các giả thiết sau:

Trong suốt bản luận văn này, giả thiết rằng những nghiệm đó xác định trên [0, ∞) Hơnnữa, giả sử rằng,

Giả thiết 2.2 Tồn tại tập compact D ⊂ R2+ bất biến đối với cả hai hệ (2.2) , (2.3) Hơn thế nữa, ∀ (x, y) ∈ R2+, tồn tại T > 0 sao cho (x+(t) , y+(t)) ∈ D, (x−(t) , y−(t)) ∈ D, ∀t > T

Ta chú ý rằng Giả thiết 2.2 sẽ được thỏa mãn nếu a (±, x, y) < 0, b (±, x, y) < 0 khi x hoặc

Trong trường hợp u+ 6= u−chúng ta giả sử rằng u+< u− và đặt

h+= h+(u) = ua (+, u, 0) ,

h−= h−(u) = ua (−, u, 0) Điều này có nghĩa là (xem [21]), nếu u (t) là nghiệm của hệ (2.4) thì (ξt, u (t)) là một quátrình Markov với toán tử vi phân L cho bởi:

Mật độ dừng (µ+, µ−) của (ξt, u (t)) có thể được tìm thấy từ phương trình Fokker–Planck







−α µ+(u) + β µ−(u) −dud [h+µ+(u)] = 0

α µ+(u) − β µ−(u) −dud [h−µ−(u)] = 0

τ a (+, τ , 0)+ β

τ a (−, τ , 0)

dτ

,

lim

t→∞

1t

Z t 0

τ b (+, 0, τ )+ β

τ b (−, 0, τ )

dτ

,

−1

Hơn nữa, theo giả thiết 2.1, với |ε| đủ nhỏ (ε có thể âm), tồn tại duy nhất u+ε thỏa mãn

a(+, u+ε, 0) = ε và u−ε thỏa mãn a (−, u−ε, 0) = ε Để đơn giản, ta viết u+ (hoặc u−) thay cho

u+0 (hoặc u−0) Xét phương trình:

˙

uε(t) = uε(t) (a (ξt, uε(t) , 0) − ε) (2.10)Phương trình (2.10) cũng có một phân phối dừng duy nhất với mật độ (µε+, µε−) cho bởi:

, và

, và

ε →0

νε+, νε−
= ν+, ν−

Chứng minh. Do a (+, x, 0) là một hàm giảm, khả vi liên tục và u+ε là nghiệm của phươngtrình a (+, u+ε, 0) = ε, nên u+ε liên tục giảm trong ε và trong lân cận của 0 Để đơn giản,chúng tôi chứng minh bổ đề này cho trường hợp ε > 0 Trường hợp ε < 0 chứng minh tươngtự

Cho M > 0 là một số dương sao cho D ⊂ [0, M) × [0, M)

Với mọi ε0> 0 tồn tại một ε1< ε0sao cho u+− ε0< u+ε, u−− ε0< u−ε , với mọi ε < ε1.Hơn nữa,

→ 0 khi ε0→ 0

Nếu ta cố định ε0,

Chứng minh. Dễ dàng chứng minh được ý (a) với trường hợp u+= u−.

Cho u+6= u− và λ1> 0 Cho M là một số được cho trong chứng minh của bổ đề 2.1.1 và

L= max

i∈E;(x,y)∈H 0,M



∂ a (i, x, y)

∂ x

,